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【Complex Analysis4】积分 |
0x53_复分析与积分变换 |
92504 |
TH:$\mid \int_r f(z) dz\mid\leq \int_r\mid f(z)\mid \mid dz \mid$
In particular, if
If f is continuous on a domain D and if f has a primitive F in D, then for any curve
- 积分与路径无关
- 注意一个前提是f在D上存在原函数
(Goursat)在simple connected domain D上解析的函数,一定有原函数。
- (Morera's Theorem)If
$f$ is continuous on a simply connected domain D, and if$\int_\gamma f(z)dz=0$ for any triangular curve$\gamma$ in D, then f has a primitive in D. - (Cauchy Theorem for Triangles)If
$f$ is analytic in D, for any triangle T that fits into D (including its boundary), then$\int_{\partial T} f(z)dz=0$
- 一定要在 simple connected domain 上解析。例如$f(z) = \dfrac{1}{z}$ is analytic in the domain
$$D=\mathbb{C}\setminus{0}$$ ,but only have primitive on$\mathbb C \setminus(-\infty,0]$ - 函数连续,原函数必解析
Let D be a simply connected domain in C, and let f be analytic in D. Let
TH
C是一条闭曲线,$f(z)$在以C为边界的有界闭区域D上解析,那么
推论
TH
证明,根据积分路径无关的知识,右边的路径可以是一个圆
注意
- 如果$z_0$不在C 所围成的区域内,就不能用这个公式。(这时,可以考虑整个被积公式解析,进而值可能为0)
- f在C内解析,不然不能用这个定理
推论1(平均值公式)
推论2
If f is analytic in an open set U, then
证明方法:$f'(w)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_\gamma\dfrac{f(z)}{(z-w)^2}dz$
(对$f(w)$求导得到的)
实际上,$f^{(k)}(w)=\dfrac{k!}{2\pi i}\int_\gamma\dfrac{f(z)}{(z-w)^{k+1}}dz$
(这也是一个常用结论)
Suppose that f is analytic in an open set that contains
TH1:可以轻松证明下面的命题:如果 f 在
TH2:$f=u+iv$在$\mathbb C$上解析,如果$\forall z \in \mathbb C, u\leq 0$,那么f是常数。
证明,构造$g(z)=e^{f(z)}$,对$f(z)$用上面的定理。
证明(先证明$p(z)=0$有解)
- 假设无解,也就是说,在$\mathbb C$上没有0点,那么$f=1/p$在$\mathbb C$上有界,且解析
- 根据上面的定理,f是常数。矛盾,所以必有零点
(反复使用多项式除法和上面的定理,证明可以在复数域上进行多项式分解)
TH Let f be analytic in a domain D and suppose there exists a point
(联系一下前面有个定理,解析函数在C上有界必为常数)
If D ⊂ C is a bounded domain, and if
实分析的方法,先假设$x=\phi(t), y=\psi(t)$,那么$L=\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{i=1}^n \sqrt{l_x^2+l_y^2}=\dfrac{\sqrt{(x(t+\Delta t)-x(t))^2+(y(t+\Delta t)-t(t))^2}}{\Delta t}\Delta t=\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}\Delta t=\int_a^b \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)} dt$
上面这个式子,恰好是$f=1$时的第一类曲线积分
复分析方法
弧是$\gamma :[a,b]\to \mathbb C$
(两个方法最后的结果其实一样)
我们定义$\mid dr \mid=\mid r'\mid dz$,那么$L=\int_a^b\mid dz \mid=\int_a^b \mid r'\mid dz$