上一节我们讨论了矩阵的列空间和零空间的相关问题，那么这一节我们从它们的定义过渡到它们的计算，即如何求解出这些空间的一般形式。给出一种可以解出 Ax=0 中的 x 构成的零空间的算法。
具体内容如下：
- 求解矩阵的零空间的算法（求解 Ax = 0 的算法）
- 对于方程 Ax = 0，对 A 向下消元，碰到无法取得主元的列，不管它，接着消元，直到得到行阶梯矩阵 U（Row echelon form matrix）, 确定主列及自由列，确定主变量与自由变量，令自由变量为 0 和 1，求出特解，特解的线性组合即为零空间；接着向上消元，使得主元全部变为1，主元上方和下方的变量全部为 0，得到最简行阶梯矩阵 R(Reduced row echelon form matrix, rref)，由最简行阶梯矩阵即可得到零空间矩阵N（Null space Matrix）。由零空间矩阵 N 可以直接得到特解（因为零空间矩阵各列由特解组成）
- Ax = 0 -> Ux = 0 -> Rx = 0 -> RN = 0
- 这里的 R 用最简的形式包含了所有的信息。
- 一些概念
- 主行、主列 (Pivot cols, rows)
- 主变量、自由变量（Pivot variables, Free variables)
- 矩阵的秩（Rank）
在之前讲解「 使用消元法求解方程组 Ax=b」时，我们对一种情况是无法处理的，那就是矩阵 A 不可逆的情况。之前对这种情况的解释是：求出的解不唯一。这正好对应了我们现在学到的 “空间” 概念。
接下来我们使用消元法求解这种矩阵不可逆的情况。
我们从最简单的零空间（b = 0）的计算谈起，即求解 Ax = 0。
这节学习的是计算 Ax = 0 中的 x 构成的零空间的方法，即：消元，找主变量与自由变量，为自由变量赋值，得到特解，特解线性组合得到零空间。后面又介绍了化简 U 变为 R，直接利用 R 的结构得到零空间矩阵 N 的方法。这节重在计算流程，需要加以练习才可以熟练掌握。