在上一节 「04-A 的 LU 分解」中，我们谈到了 置换矩阵 和 转置矩阵 ，这一节，我们再深入谈一下 置换矩阵 和 转置矩阵 ，并简要介绍 对称阵。之后便进入学习 linear-algebra （线性代数） 的关键所在 —— 向量空间 与 子空间，到此才算是开始进入线性代数的大门。
具体内容如下：
- 置换矩阵（Permutations）
- 转置矩阵（Transposes）
- 对称矩阵（Symmetric）
- 向量空间（Vector Spaces）及其子空间（Subspaces）
Permutations P: Identity matrix with reordered rows, which are used to execute row exchange.
**置换矩阵（Permutations, P） ** 是指对行进行重排的单位阵。主要用来进行行交换。
- 置换矩阵可以通过对单位阵的行进行重排得到，以下举个例子说明：
- 那么对于 n * n阶矩阵来说，有多少个置换矩阵呢？
答案是： n! 种，也就是将单位阵 I 各行重新排列后所有可能的情况的数量。
- 那么置换矩阵有什么性质呢？
所有的置换矩阵都满足：
因此，所有的置换矩阵都是可逆矩阵，其逆为其转置，即：
详细解释如下：
- 置换矩阵有什么用呢？
前面在讲消元法的时候，主元位置为 0 是一件很让人头疼的事情，这时就需要考虑 置换矩阵 P来完成行交换，确保消元过程顺利进行。
上一节我们学习 A = LU 分解时，我们没有考虑要交换行的过程，如果我们想写出更加普适的 LU 分解式的话，必须把 行交换 情况考虑进去，即:
PA = LU
先用 行交换 使得主元位置不为 0，行顺序正确。其后，再用 LU 分解。
转置矩阵（Transposes）：对于矩阵A，其转置矩阵满足：
示例如下：
对称矩阵（Symmetric Matrixs），顾名思义，就是对角线两侧元素对应相等的矩阵。
-
对称矩阵满足以下性质：
-
那么如何构造对称阵呢？
这里有个性质，对于任意矩阵 A, 矩阵 
总是一个对称阵。
证明如下：
**向量空间（Vector Spaces） **表示一整个空间的向量。
但是要注意，不是任意向量的集合都能被称为 向量空间。
向量空间必须对以下运算满足封闭性，即两个向量进行向量的加法与数乘之后得到的向量仍然属于这个向量空间，即向量进行线性组合之后所得到的向量仍然属于这个向量空间。
-
向量加法：V + W
-
向量数乘：aV , 其中，a为标量。
-
向量的线性组合：aV + bW。其中，a，b为标量。事实上，以上2种运算都是线性组合的特例。
任何向量空间及其子空间都需要满足封闭性。
以下举例说明：
很明显，这部分空间无法满足 “线性组合仍在空间中” 的要求，比如 数乘运算 时，随便取个负数，向量就跑到第三象限去，脱离 D 空间范围内了。
上面的反例已经证明了。在向量空间里随便取其一部分，很可能得到的不是 向量空间。
那如果我们取向量空间的一部分，将其打乱，构成的有没有可能是 向量空间 呢？
总结一下，我们得到以下结论：
- 对于二维实向量空间（R2），其子空间有：
- R2本身
- 零向量构成的空间，记为Z
- 所有经过原点（零向量）的直线，记为L
- 对于三维实向量空间（R3），其子空间有：
- R3本身
- 零向量构成的空间
- 所有经过原点（零向量）的直线
- 所有经过原点（零向量）的平面
那么如何构造子空间呢？
上面介绍的子空间都是基于已知的图像来寻找的，接下来我们来通过矩阵来构造出一个子空间。
比如: 列向量构造出的列空间。对于矩阵A, 其所有列向量的线性组合构成了列空间，记为C(A)。
这里还需要注意列向量之间的性质，如果列向量之间就是共线的，那么其列空间就是一条过原点的直线。
本节算是结束了之前部分对基本运算和基本概念的介绍。介绍了 向量空间 和 子空间，并由子空间引出了通过具体的列向量构成的空间 —— 列空间。如何理解 空间 十分重要，本节中对低维的空间做了图，目的主要是便于我们理解 “空间” 这一概念。