本文来自于一本书的翻译，这本书是做图形学Mesh人看的书，但是其中介绍的基本知识倒是和图像互通的。
对于一些基本概念，我们需要从简单到复杂慢慢推导，首先是曲线。这里考虑的是在2维平面下的1维可微manifold流型。我们可以定义一个定义域为[a, b],值域为R2的函数:
def curve(u):
if u in [a,b]:
return [x(u), y(u)]
else:
return None其中x(u),y(u)是两个函数，比方说对于一个半圆的曲线，可以进行如下的定义：
def x(u):
return u
def y(u):
return sqrt((b - a) ^ 2 - (u - a) ^ 2)可以看出上面的函数是可微的。
tangent vector是指曲线上某一点的一阶导数：
def tangentVector(u):
if u in [a,b]:
return [dx(u), dy(u)]
else:
return None同理，我们可以求出dx()和dy()。假设我们把曲线想象成动力学中的物体，那么曲线中的点相当于物体运动的轨迹，那么该点的tagent vector相当于该点的速度方向。
同样可以定义一个点的normal vector/法线向量：
def normalVector(u):
tv = tangentVector(u)
tv = rotate90degree(tv) // 转动切线向量90度
tvNorm = norm(tv) // 求向量的范数
if tvNorm != 0:
return tv / tvNorm
else:
return None前面提到的对于曲线的定义有一个问题，就是对同样的一根曲线线段，我们可能拥有不同的定义方法，例如：
def curve1(u):
if u in [0, 1]:
return [u, u]
else:
return None
def curve2(u):
if u in [0, 1]:
return [u ^ 2, u ^ 2]
else:
return None这两条曲线实际上都是从(0,0)到(1,1)的一条直线，但是由于采用不同的定义方法，他们的内在性质是不同的，下面就来讨论第一个内在性质——弧长。
弧长可以用曲线的切线向量在作用域的积分表示：
def arcLength(u): //从a到u的弧长
return integral[ from a to u: tangentVector(t) dt]因为这个性质，tangent vector实际上可以做曲线上的metric/测度，也就是说任意两点的弧长等于这两点在曲线上的距离，而这个距离是通过计算切线向量的积分得到的。
同时，我们可以把原来的2维表示转化1维，同时不会改变曲线任意两点的距离，那种感觉好像是把一条曲线拉直了一样:
def curveArcVersion(u):
return arcLength(u)通过这个函数，我们可以把2维平面的参数转换到1维表示，经过这个转换，我们可以看出来上面的例子里，curve1和curve2的弧长公式会变得不一样，这样两个公式将产生差别。
如果采用弧长的方式表示曲线，那么我们可以用其表示曲率：
def curvature(u):
return ddx(arcLength(u))曲率可以用来表示曲线与当前切线向量的偏离度。曲率也是有方向的，朝一个方向是正曲率，那么另一个方向就是负曲率。
这里还有一个概念叫osculating circle/密切圆，它的概念是用一个圆来表示当前点的曲率，而这个圆是和当前点附近点贴合最好的圆。关于密切圆的概念可以自行查找。
上面分析完了曲线，我们要把规模往上推了，那就是在3维空间里面的2D manifold：曲面。一个用2维参数表示3维坐标系物体的例子就是地球了。
我们可以把地球想象成一个标准的球体，如何像把曲线展成直线那样，把曲面展成平面呢？大家家里的世界地图实际上告诉了我们解决方法。（developable/可展性可是微分几何里面的一个问题）
我们的做法是把地球沿某个经度线剪开，然后把地球表层拉成一个长方形。这里定义两个变量：phi表示“从球心到球上某点的连线”和“从球心到过这点的经线和赤道的交点”的夹角，theta表示球上点所在的维度所形成的圆上的角度。很显然，phi的范围是[-90,90],theta的范围是[-180, 180]。于是有如下的曲面定义：
def sphere(theta, phi, R = some value):
return [R * cos(phi) * cos(theta),
R * cos(phi) * sin(theta),
R * sin(phi)
]