homeworks/Homework06.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "minute-oxford",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Прикладные дифференциальные уравнения\n",
    "## Домашнее задание №6\n",
    "\n",
    "\n",
    "*Илья Щуров*\n",
    "\n",
    "Факультет компьютерных наук, Прикладная математики и информатика, 2021-22 учебный год\n",
    "\n",
    "[Страница курса](http://math-info.hse.ru/2021-22/Прикладные_дифференциальные_уравнения)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "revolutionary-excellence",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Зависимость решений от начального условия и параметров\n",
    "В этом задании мы будем рассматривать уравнение\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\tag{1}\n",
    "\\dot x = x(a\\sin(t) + b - x)$$\n",
    "\n",
    "Оно соответствует логистическому росту населения (с ограниченными ресурсами) с учётом сезонности: количество еды меняется периодически, летом её больше, зимой — меньше. Будем считать $a$ и $b$ фиксированными неотрицательными параметрами. При $a=0$ и $b=1$ получается логистическая модель, которую мы рассматривали ранее."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "excessive-desire",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Задача 1"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "american-crown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Пусть $a=1$ и $b=1$. Пусть $\\varphi(t; x_0)$ — решение уравнения с начальным условием $x(0)=x_0$, то есть $\\varphi(0; x_0)=x_0$ для всех $x_0$. Обозначим через $y(t)$ производную решения $\\varphi$ по начальному условию в точке $x_0=0$:\n",
    "$$y(t):=\\left.\\frac{\\partial \\varphi(t; x_0)}{\\partial x_0}\\right|_{x_0=0}.$$\n",
    "\n",
    "1. Найдите аналитически решение $\\varphi(t; 0)$ уравнения (1) с начальным условием $x(0)=0$.\n",
    "2. Запишите дифференциальное уравнение на $y(t)$ (уравнение в вариациях). \n",
    "3. Должно получиться уравнение с разделяющимися переменными. Найдите аналитически его решение (с правильным начальным условием).\n",
    "4. Напишите функцию, которая находит приближенное значение $\\hat y(t)$ с помощью численного решения уравнения (1). А именно, для фиксированного $t$ нужно взять маленькое значение $x_0$, численно (например, с помощью `np.odeint`) найти решение $\\hat \\varphi(t; x_0)$ уравнения (1) с начальным условием $x(0)=x_0$ и вычислить\n",
    "$$\\hat y(t) := \\frac{\\hat \\varphi(t; x_0) - \\varphi(t; 0)}{x_0-0}.$$\n",
    "5. Постройте на одной картинке графики $y(t)$, найденного аналитически, и $\\hat y(t)$, найденного численно, на отрезке $[0, T]$ для какого-нибудь $T$ (например, $T=1$). Что происходит, когда $x_0$ становится больше или меньше? Что происходит, если увеличивать $T$? Почему так происходит?\n",
    "6. Исходя из анализа уравнения в вариациях, какие выводы можно сделать о поведении решений вблизи решения $\\varphi(t; 0)$? С течением времени они будут удаляться от решения $\\varphi(t; 0)$ или приближаться к нему?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "id": "perceived-fight",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Задача 2\n",
    "Пусть $b=1$. Рассмотрим решение системы (1) с начальным условием $x(0)=1$. При разных значениях $a$ мы получаем разные системы и значит разные решения, поэтому решение будет зависеть от $a$. Обозначим его через $\\varphi(t; a)$. Обозначим через $y(t)$ производную решения $\\varphi$ по параметру $a$ в точке $a=0$:\n",
    "$$y(t):=\\left.\\frac{\\partial \\varphi(t; a)}{\\partial a}\\right|_{a=0}.$$\n",
    "\n",
    "1. Найдите аналитически решение $\\varphi(t; 0)$ уравнения (1) при $a=0$.\n",
    "2. Запишите дифференциальное уравнение на $y(t)$ (уравнение в вариациях).\n",
    "3. Должно получиться линейное неоднородное уравнение. Найдите аналитически его решение (с правильным начальным условием). Его можно решить с помощью метода вариации постоянной.\n",
    "4. Возьмём $t=10\\pi$. В какую сторону будет сдвинуто решение $\\varphi(t; a)$ при маленьких $a>0$ относительно решения $\\varphi(t; 0)$? Иными словами, что вы можете сказать про знак разности $\\varphi(t; a) - \\varphi(t; 0)$ при маленьких положительных $a$? Ответ обосновать без использования численного решения дифференциальных уравнений.\n",
    "4. Напишите функцию, которая находит приближенное значение $\\hat y(t)$ с помощью численного решения уравнения (1). А именно, для фиксированного $t$ нужно взять маленькое значение $a$, численно найти решение $\\hat \\varphi(t; a)$ уравнения (1) с начальным условием $x(0)=1$ и вычислить\n",
    "$$\\hat y(t) := \\frac{\\hat \\varphi(t; a) - \\varphi(t; 0)}{a-0}.$$\n",
    "5. Постройте на одной картинке графики $y(t)$, найденного аналитически, и $\\hat y(t)$, найденного численно, на отрезке $[0, T]$ для какого-нибудь $T$ (например, $T=10$). Что происходит, когда $a$ становится больше или меньше?\n",
    "6. Напишите функцию, которая для данного значения $a$ строит интегральные кривые системы (1) с начальными условиями $x(0)=x_0$, $x_0 \\in \\texttt{np.linspace(0, 3, 31)}$. Постройте анимацию, которая показывает, как эта картинка меняется при изменении $a$ от 0 до 2. Как вы можете описать поведение решений при различных значениях $a$ при $t \\to +\\infty$? Как вы можете описать зависимость этого поведения при изменении $a$?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "id": "weighted-grass",
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.6.10"
  },
  "varInspector": {
   "cols": {
    "lenName": 16,
    "lenType": 16,
    "lenVar": 40
   },
   "kernels_config": {
    "python": {
     "delete_cmd_postfix": "",
     "delete_cmd_prefix": "del ",
     "library": "var_list.py",
     "varRefreshCmd": "print(var_dic_list())"
    },
    "r": {
     "delete_cmd_postfix": ") ",
     "delete_cmd_prefix": "rm(",
     "library": "var_list.r",
     "varRefreshCmd": "cat(var_dic_list()) "
    }
   },
   "types_to_exclude": [
    "module",
    "function",
    "builtin_function_or_method",
    "instance",
    "_Feature"
   ],
   "window_display": false
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}