/
chapter08.qq
171 lines (133 loc) · 10.3 KB
/
chapter08.qq
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
\chapter Первые интегралы и теорема о выпрямлении
\label chap:8:rect
Идея об использовании координат является одним из главных достижений математики.
Однако, ещё более важной является идея о том, что системы координат нужно
выбирать с умом. Мы уже сталкивались с этим в линейной алгебре: один и тот же
оператор в одной системе координат может записываться ужасной непонятной
матрицей, в которой все элементы ненулевые, а в другой — замечательной
диагональной матрицей, в которой ненулевые элементы стоят только на диагонали,
и работать с которой — одно удовольствие.
Анализируя дифференциальное уравнение также полезно перейти в такую систему
координат, в которой это уравнение записывается в самом простом виде.
Оказывается, если мы работаем локально, то есть вблизи некоторой точки, и эта
точка является неособой (то есть векторное поле в ней не обращается в ноль), то
выбором системы координат можно привести уравнение к чрезвычайно простому виду.
К сожалению, это не поможет нам его решить (потому что найти такую систему
координат в явном виде не проще, чем найти решение исходного уравнения), но для
теории факт важный и полезный, и пройти мимо мы не можем.
\section Мотивирующий пример
Рассмотрим систему
\equation \label eq:08:xy
\dot x=x,\quad \dot y=-y
Нетрудно видеть, что функция $H(x,y)=xy$ является её первым интегралом, а фазовыми кривыми являются гиперболы.
\figure \showcode \collapsed
\pythonfigure \style max-width: 450px;
plt.figure(figsize=(6,6))
ob.mcontour(np.linspace(-4,4),
np.linspace(-4,4),
lambda x,y: x*y,
list(np.arange(-15,15,1))+list(np.arange(-1,1,0.5)))
ob.axes4x4(labels=('x','y'))
ob.vectorfield(np.arange(-4,4,0.5),np.arange(-4,4,0.5),lambda x,y: (x,-y))
\caption Фазовые кривые системы \eqref{eq:08:xy}
Сделаем замену переменных: $(x,y)\mapsto (x,xy)=:(u,v)$. Заметим, что замена не
взаимно однозначна: не всегда можно сделать обратное отображение. Напрмер, если
$u=v=0$, то нет шансов восстановить $y$. Зато в области $x,y>0$ (следовательно
$u,v>0$) отображение является взаимно однозначным. Произведя замену, мы получим новую
систему такого вида:
\eq
\dot u=u,\quad \dot v=0
Фазовые кривые этой системы — прямые, а векторное поле — параллельные векторы. Таким образом, мы \em{выпрямили} векторное поле.
\figure \showcode \collapsed
\pythonfigure \style max-width: 450px;
plt.figure(figsize=(6,6))
ob.axes4x4(labels=('u','v'))
ob.vectorfield(np.arange(-4,4,0.5), np.arange(-4,4,0.5),lambda x,y: (x,0*y))
\caption Векторное поле после выпрямления
Мы могли бы пойти дальше, и в качестве второй новой координаты взять функцию
$w=\ln x$. В этом случае (проверьте!) в новой системе координат система
записалась бы в простейшем виде:
\eq
\dot w=1, \quad \dot v = 0
Оказывается, к такому виду можно привести любую систему вблизи неособой точки.
\theorem
Пусть $P=(x_0,y_0)$ — неособая точка векторного поля v: $(\dot x, \dot y) =
v(x,y)$. Тогда в некоторой окрестности $U \ni (x_0,y_0)$ существуют
координаты (криволинейные), такие, что в этих координатах векторное поле $v$
выпрямляется.
\proof
Идея доказательства: в качестве новой координаты возьмём проекцию вдоль
траектории на вертикальную или горизонтальную прямую.
Давайте считать, что $v=(v_x,v_y)$, при этом $v_x(x_0,y_0)\ne 0$. Без
ограничения общности, считаем, что $v_x |_P > C > 0$. (Случай, когда $v_x$
отрицательно, рассматривается аналогично.)
Пусть $y=\psi(x;x_1,y_1)$ — уравнение фазовой кривой, проходящей через точку
$(x_1,y_1)\in U$. Фазовая кривая является графиком функции в области $U$,
поскольку эту область можно выбрать достаточно маленькой, чтобы в ней
выполнялась теорема существования и единственности для уравнения
$dy/dx=v_y/v_x$, правая часть гладка и ограничена, поскольку $v_x$ отделена
от нуля в области $U$.
\figure \showcode \collapsed
\pythonfigure \style max-width: 350px;
plt.figure(figsize=(5,5))
plt.axis('off')
ob.mplot(np.linspace(-2,2), lambda x: x**2/10-0.5)
plt.plot([0,0], [-2,2], color='red', lw=2)
ob.mcontour(np.linspace(-2,2),
np.linspace(-2,2),
lambda x,y:x**2 + y**2,
levels=[4], linestyles='--')
plt.plot([0,0,1],[0.5,-0.5,0.1-0.5],'o')
plt.text(0.05,0.5,"$(x_0,y_0)$",fontsize=16)
plt.text(1,-0.7,"$(x_1,y_1)$",fontsize=16)
plt.text(-0.05, -0.5, "$(x_0,z_1)$",
fontsize=16, horizontalalignment="right",
verticalalignment="top")
Проведем через точку $(x_1,y_1)$ фазовую кривую до точки пересечения с
прямой $x=x_0$. Обозначим $y$-координату точки пересечения через $z_1$.
Иными словами,
\eq
z_1=\psi(x_0;x_1,y_1)
В качестве новых координат точки $(x_1,y_1)$ возьмём $u=x_1,v=z_1$.
Нетрудно видеть, что разным точкам, лежащим на одной и той же фазовой
кривой, соответствует одна и та же точка $(x_0, z_1)$, и значит одна и та же
новая координата $v$. Таким образом, координата $v$ не меняется вдоль
фазовой кривой.
Итак, в новых координатах уравнение принимает следующий вид:
\eq
\begin{cases}
\dot u = v_u(u,v) \\\\
\dot v = 0
\end{cases}
Что и требовалось.
\remark
Строго говоря, необходимо ещё доказать, что выбранная замена координат
является гладкой и невырожденной — отображение перехода от одних координат к
другим имеет невырожденную матрицу Якоби. Чтобы это сделать, требуются
дополнительные соображения, которые мы пока не обсуждали.
\proposition Первый интеграл всегда существует (локально, вблизи неособой точки).
\proof После выпрямления, в качестве первого интеграла можно взять функцию $F(u,v)=v$.
\subsection Нормализация на прямой
Рассмотрим уравнение
\eq
\dot x=v(x), \quad x \in \mathbb R^1
\proposition
Вне окрестности особой точки это уравнение заменой неизвестной функции
приводится к виду
\eq
\dot u=1
\proof
Возьмём в качестве новой фазовой переменной время движения от фиксированной
точки $x_0$ до $x$, которое равно $\int_{x_0}^x \frac {ds} {v(s)}$.
Действительно, $\dot u =
\frac{du}{dt}=\frac{du}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{1}{v(x)} \cdot v(x)=1$.
Это утверждение можно интерпретировать следующим образом: если измерять
расстояния в днях пути (такое часто практиковалось в древности), то скорость
движения всегда равна «1 день в день».
Таким образом, если векторное поле можно выпрямить, его можно и нормализовать
(на каждой прямой $v=const$ по-своему), и таким образом привести любую систему к
виду
\eq
\dot u=1,\quad \dot v=0.
У этого утверждения имеется многомерный аналог, но мы его пока не будем
обсуждать.