Lecture1.md

%title: Metody Formalne, wykład 1 %author: Tomasz Brengos %date: 2024-02-26

-> # Instalacja Agda i IDE <-

• Emacs (doom)
• Agda mode
• Agda std-lib (1.7.3)

---

-> # Pierwszy moduł <-

module lecture1 where

import Relation.Binary.PropositionalEquality as Eq
open Eq using (_≡_; refl; cong; sym)
open Eq.≡-Reasoning using (begin_; _≡⟨⟩_; step-≡; _∎)

---

-> # Typ reprezentujący liczby naturalne <-

Definicja typu reprezentującego liczby naturalne:

data ℕ : Set where
  zero : ℕ
  suc  : ℕ → ℕ
{-# BUILTIN NATURAL ℕ #-}

Definicja dodawania

_+_ : ℕ → ℕ → ℕ
...

---

-> # Pierwsze twierdzenie <-

_ : 2 + 2 ≡ 4

---

-> # Automatyzacja twierdzeń <-

_ : 5 + 2 ≡ 7

---

-> # Typy zależne i dowody <-

Rozważmy następującą deklarację typu funkcji:

+_zero-neutral : ∀ (m : ℕ ) → m + zero ≡ m

---

-> # Dalsze kroki <-

_*_ : ℕ → ℕ → ℕ
*-right-zero : ∀ ( m : ℕ ) → m * zero ≡ zero
+-assoc : ∀ (m n p : ℕ) → ( m + n ) + p ≡ m + ( n + p )
+-identity_r : ∀ (m : ℕ) → m + zero ≡ m
+-suc : ∀ (m n : ℕ) → m + (suc n) ≡ suc (m + n)
+-commutativity : ∀ ( m n : ℕ ) → m + n ≡ n + m

Mozemy uzywać słowa klucza rewrite:

+-assoc2 : ∀ ( m n p : ℕ ) → (m + n) + p ≡ m + (n + p)
+-assoc2 zero n p = refl
+-assoc2 (suc m) n p rewrite +-assoc m n p = refl

---

-> # Ćwiczenie 1 <-

• Zdefiniować typ reprezentujący listę
• Zdefiniować operację konkatenacji dwóch list
• Udowodnić własności konkatenacji (np. równości monoidowe)

---

-> # Ćwiczenie 2 <-

Rozważmy następującą definicję postaci binarnej liczb naturalnych:

data Bin : Set where
  ⟨⟩ : Bin
  _O : Bin → Bin
  _I : Bin → Bin

Zdefiniować inc: Bin → Bin oraz dla przedstawionych

to   : ℕ → Bin
from : Bin → ℕ

udowodnić zgodność obu definicji.