Skip to content

Latest commit

 

History

History
145 lines (116 loc) · 4.65 KB

funkcje-sklejane.md

File metadata and controls

145 lines (116 loc) · 4.65 KB
Raw
lang title author date
pl
Funkcje sklejane
Jerry Sky
2020-11-24

1. DEF

Zadanie interpolacji za pomocą funkcji sklejanych 3-go stopnia możemy sformułować następująco:

Dla danych $n+1$ punktów $(x_i, y_i)$, gdzie $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$, znaleźć funkcję $s$ spełniającą warunki:

  1. $s \in C^2 [x_0; x_n]$
  2. $s\upharpoonright_{[x_{k-1}; x_k]} \equiv p_k \in \Pi_3 \enspace (1 \le k \le n)$
  3. $s(x_k) = y_k \enspace (0 \le k \le n)$

Jeżeli funkcja $s$ spełnia $s''(x_0) = s''(x_n) = 0$,
to $s$ jest naturalną funkcją sklejaną 3-go stopnia.

2. Twierdzenie#4

Dla dowolnych $n, x_0 < x_1 < \dotsb < x_n, y_0, y_1, \dots, y_n$ istnieje dokładnie jedna funkcja sklejana 3-go stopnia spełniająca dodatkowe warunki $s''(x_0) = s''(x_n) = 0$.

Wartości $M_k = s''(x_k) \enspace (0 \le ke \le n)$, ($M_0 = M_n = 0$) spełniają układ $n-1$ równań liniowych $$ \lambda_k M_{k-1} + 2M_k + (1 - \lambda_k) M_{k+1} = 6 f[x_{k-1}, x_k, x_{k+1}] \quad (1 \le k \le n-1), $$ gdzie $\lambda_k = \frac{h_k}{h_k + h_{k+1}}, \enspace h_k = x_k - x_{k-1}$.

Ponadto $$ \begin{aligned} s(x) = p_k(x) &= \frac{1}{h_k}\Bigg( \frac{1}{6} M_{k-1} (x_k - x)^3\ &+ \frac{1}{6} M_k (x - x_{k-1})^3\ &+ (y_{k-1} - \frac{1}{6} M_{k-1} h^2_k) (x_k - x)\ &+ (y_k - \frac{1}{6} M_k h_k^2) (x - x_{k-1}) \Bigg)\ &\quad x_k \in [x_{k-1}, x_k]. \end{aligned} $$

3. Wyznaczanie funkcji sklejanej 3-go stopnia

  1. Obliczyć ilorazy różnicowe $d_k = 6f[x_{k-1}, x_k, x_{k+1}]$ dla $k = 1,\dots,n$, gdzie $f[x_{k-1}, x_k, x_{k+1}] = \frac{f[x_k, x_{k+1}] - f[x_{k-1}, x_k]}{x_{k+1} - x_{k-1}}$.
  2. Obliczyć $\lambda_k = \frac{h_k}{h_k + h_{k+1}}$ dla $k = 1,\dots,(n-1)$.
  3. Wyznaczyć $M_k$ dla $k = 1,\dots,(n-1)$ rozwiązując układ (metodą przegnania — TBA)

$$ \begin{bmatrix} 2 & 1 - \lambda_1\ \lambda_2 & 2 & 1 - \lambda_2\ & \ddots & \ddots & \ddots\ && \lambda_{n-2} & 2 & 1 - \lambda_{n-2}\ &&& \lambda_{n-1} & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M_1\ M_2\ \vdots\ M_{n-2}\ M_{n-1} \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} d_1\ d_2\ \vdots\ d_{n-2}\ d_{n-1} \end{bmatrix} $$

Macierz powyższego układu jest diagonalnie silnie dominująca $(2 > |\lambda_k| + |1 - \lambda_k|)$. Stąd jest nieosobliwa.

3.1. Przykład

$S''(x)$ jest przedziałami liniowa, ponieważ $s$ jest przedziałami $\Pi_3$ ($s''\upharpoonright_{[x_{k-1}, x_k]} \equiv p_k'' \in \Pi_1$).

  • $s''(x_{k-1}) = M_{k-1}$
  • $s''(x_k) = M_k$

Narazie załóżmy, że $M_{k-1}$ i $M_k$ mamy dane. Chcemy zobaczyć, jaka jest postać drugiej pochodnej w przedziale $[x_{k-1}, x_k]$ — musimy przeprowadzić interpolację. Wiemy, że jest to wielomian co najwyżej pierwszego stopnia.
Stosujemy wzór Lagrange’a na przedziale $[x_{k-1}, x_k]$. $$ s''(x) = M_{k-1} \frac{(x - x_k)}{- h_k} + M_k \frac{(x - x_{k-1})}{h_k} = M_{k-1} \frac{(x_k - x)}{h_k} + M_k \frac{(x - x_{k-1})}{h_k} $$

Teraz dwukrotnie całkujemy: $$ s'(x) = M_{k-1} \frac{(x_k - x)^2}{-2 h_k} + M_K \frac{(x - x_{k-1})^2}{2h_k} + A $$ $$ s(x) = M_{k-1} \frac{(x_k - x)^3}{6h_k} + M_k \frac{(x - x_{k-1})^3}{6h_k} + A(x - x_{k-1}) + B $$

Musimy teraz jakoś wyznaczyć $A$ i $B$. $$ s(x_{k-1}) = y_{k-1}, \enspace s(x_k) = y_k $$ $$ s(x_{k-1}) = M_{k-1} \frac{(x_k - x_{k-1})^3}{6h_k} + B = y_{k-1} \implies\ \implies B = y_{k-1} - \frac{h_k^2}{6}M_{k-1} $$

$$ s(x_k) = M_k \frac{h_k^2}{6} + A\cdot h_k + y_{k-1} - M_{k-1} \frac{h_k^2}{6} = y_k \enspace \Bigg|, /h_k $$ $$ A = \frac{y_k - y_{k-1}}{h_k} - M_k \frac{h_k}{6} + M_{k-1} \frac{h_k}{6} $$

Mamy już $A$ i $B$. Wstawiamy je do wzoru na $s(x)$: $$ s(x) = \frac{1}{h_k}\Bigg( \frac{1}{6} M_{k-1} (x_k - x)^3 + \frac{1}{6} M_{k-1} (x - x_{k-1})^3 +\ \left( y_k - y_{k-1} - \frac{M_k h_k^2}{6} + \frac{M_{k-1}h_k^2}{6} \right)(x - x_{k-1}) + y_{k-1} h_k - \frac{h_k^3}{6}M_{k-1} \Bigg) \dots $$ $$ s(x) = \frac{1}{h_k}\Bigg( \frac{1}{6}M_{k-1}(x_k - x)^3 + \frac{1}{6}M_{k-1}(x - x_{k-1})^3 + \left( y_k - \frac{M_k h_k^2}{6} \right)(x - x_{k-1})\

  • \left( y_{k-1} - \frac{h_k^2}{6}M_{k-1} \right)(x_k - x)\Bigg) $$ (tutaj trzeba pamiętać o sytuacjach typu $x_k = h_k + x_{k-1}$)

Wymagamy ciągłość 1. pochodnej w $[x_{k-1}; x_k]$. $$ s'(x) = M_{k-1} \frac{(x_k - x)^2}{-2h_k} + M_k\frac{(x - x_{k-1})^2}{2h_k} + \frac{y_k - y_{k-1}}{h_k} - M_k \frac{h_k}{6} + M_{k-1} \frac{h_k}{6} $$

itd.