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WellTypedTermsNBEModel.agda
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WellTypedTermsNBEModel.agda
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module WellTypedTermsNBEModel where
open import Library
open import Naturals
open import WellTypedTerms
open import RMonads.REM
open import FunctorCat
open import Categories.Sets
open NatT
open Σ
-- normal forms
mutual
data Nf (Γ : Con) : Ty → Set where
lam : ∀{σ τ} → Nf (Γ < σ) τ → Nf Γ (σ ⇒ τ)
ne : Ne Γ ι → Nf Γ ι
data Ne (Γ : Con) : Ty → Set where
var : ∀{σ} → Var Γ σ → Ne Γ σ
app : ∀{σ τ} → Ne Γ (σ ⇒ τ) → Nf Γ σ → Ne Γ τ
mutual
renNf : ∀{Γ Δ} → Ren Δ Γ → ∀{σ} → Nf Δ σ → Nf Γ σ
renNf ρ (lam n) = lam (renNf (wk ρ) n)
renNf ρ (ne n) = ne (renNe ρ n)
renNe : ∀{Γ Δ} → Ren Δ Γ → ∀{σ} → Ne Δ σ → Ne Γ σ
renNe ρ (var x) = var (ρ x)
renNe ρ (app n n') = app (renNe ρ n) (renNf ρ n')
mutual
renNfid : ∀{Γ} σ (v : Nf Γ σ) → renNf id v ≅ v
renNfid ι (ne x) = cong ne (renNeid ι x)
renNfid (σ ⇒ τ) (lam v) = cong lam $
proof
renNf (wk id) v
≅⟨ cong (λ (ρ : Ren _ _) → renNf ρ v)
(iext λ _ → ext wkid) ⟩
renNf id v
≅⟨ renNfid τ v ⟩
v
∎
renNeid : ∀{Γ} σ (v : Ne Γ σ) → renNe id v ≅ v
renNeid σ (var x) = refl
renNeid τ (app {σ} v x) = cong₂ app (renNeid (σ ⇒ τ) v) (renNfid σ x)
mutual
renNecomp : ∀{Δ Γ B}(ρ : Ren Δ Γ)(ρ' : Ren Γ B) σ (v : Ne Δ σ) →
renNe (ρ' ∘ ρ) v ≅ renNe ρ' (renNe ρ v)
renNecomp ρ ρ' σ (var x) = refl
renNecomp ρ ρ' τ (app {σ} v x) = cong₂
Ne.app
(renNecomp ρ ρ' (σ ⇒ τ) v)
(renNfcomp ρ ρ' σ x)
renNfcomp : ∀{Δ Γ B}(ρ : Ren Δ Γ)(ρ' : Ren Γ B) σ (v : Nf Δ σ) →
renNf (ρ' ∘ ρ) v ≅ renNf ρ' (renNf ρ v)
renNfcomp ρ ρ' (σ ⇒ τ) (lam v) = cong Nf.lam $
proof
renNf (wk (ρ' ∘ ρ)) v
≅⟨ cong (λ (ρ : Ren _ _) → renNf ρ v)
(iext λ _ → ext (wkcomp ρ' ρ)) ⟩
renNf (wk ρ' ∘ wk ρ) v
≅⟨ renNfcomp (wk ρ) (wk ρ') τ v ⟩
renNf (wk ρ') (renNf (wk ρ) v)
∎
renNfcomp ρ ρ' ι (ne x) = cong ne (renNecomp ρ ρ' ι x)
mutual
Val : Con → Ty → Set
Val Γ ι = Ne Γ ι
Val Γ (σ ⇒ τ) = ∀{B} → Ren Γ B → Val B σ → Val B τ
-- (λ f → ∀{B B'}(ρ : Ren Γ B)(ρ' : Ren B B')(a : Val B σ) → renV ρ' (f ρ a) ≅ f (ρ' ∘ ρ) (renV ρ' a))
renV : ∀{Γ Δ} → Ren Δ Γ → ∀{σ} → Val Δ σ → Val Γ σ
renV ρ {ι} n = renNe ρ n
renV {Γ}{Δ} ρ {σ ⇒ τ} f = λ ρ' → f (ρ' ∘ ρ)
{-
Ren Γ B → Val B σ → Val B τ
| |
\/ \/
Ren Γ B' → Val B' σ → Val B' τ
-}
-- interpretation of contexts
Env : Con → Con → Set
Env Γ Δ = ∀{σ} → Var Γ σ → Val Δ σ
_<<_ : ∀{Γ Δ σ} → Env Γ Δ → Val Δ σ → Env (Γ < σ) Δ
(γ << v) vz = v
(γ << v) (vs x) = γ x
eval : ∀{Γ Δ σ} → Env Δ Γ → Tm Δ σ → Val Γ σ
eval γ (var i) = γ i
eval γ (lam t) = λ ρ v → eval ((renV ρ ∘ γ) << v) t
eval γ (app t u) = eval γ t id (eval γ u)
lem : ∀{B Γ Δ σ}(ρ : Ren Γ B)(γ : Env Δ Γ)(t : Tm Δ σ) →
renV ρ (eval γ t) ≅ eval (renV ρ ∘ γ) t
lem = {!!}
renVid : ∀{Γ} σ (v : Val Γ σ) → renV id v ≅ v
renVid ι v = renNeid ι v
renVid (σ ⇒ τ) v = refl
renVcomp : ∀{Δ Γ B}(ρ : Ren Δ Γ)(ρ' : Ren Γ B) σ (v : Val Δ σ) →
renV (ρ' ∘ ρ) v ≅ renV ρ' (renV ρ v)
renVcomp ρ ρ' ι v = renNecomp ρ ρ' ι v
renVcomp ρ ρ' (σ ⇒ τ) v = refl
renV<< : ∀{B' B Γ}(α : Ren B B')(β : Env Γ B){σ}(v : Val B σ) →
∀{ρ}(y : Var (Γ < σ) ρ) →
((renV α ∘ β) << renV α v) y ≅ (renV α ∘ (β << v)) y
renV<< α β v vz = refl
renV<< α β v (vs y) = refl
substeval : ∀{σ τ}(p : σ ≅ τ){Γ B : Con}{γ : Env Γ B}(t : Tm Γ σ) →
(subst (Val B) p ∘ eval γ) t ≅ (eval γ ∘ subst (Tm Γ) p) t
substeval refl t = refl
wk<< : ∀{B Γ Δ}(α : Ren Γ Δ)(β : Env Δ B){σ}(v : Val B σ) →
∀{ρ}(y : Var (Γ < σ) ρ) →
((β ∘ α) << v) y ≅ (β << v) (wk α y)
wk<< α β v vz = refl
wk<< α β v (vs y) = refl
<<eq : ∀{Γ Δ σ}{β β' : Env Γ Δ} → (λ{σ} → β {σ}) ≅ (λ{σ} → β' {σ}) →
(v : Val Δ σ) → (λ {σ} → (β << v) {σ}) ≅ (λ {σ} → (β' << v) {σ})
<<eq refl v = refl
reneval : ∀{B Γ Δ σ}(α : Ren Γ Δ)(β : Env Δ B)(t : Tm Γ σ) →
eval (β ∘ α) t
≅
(eval β ∘ ren α) t
reneval α β (var x) = refl
reneval α β (app t u) =
cong₂ (λ f x → f id x) (reneval α β t) (reneval α β u)
reneval {B} α β (lam t) = iext λ B' → ext λ (ρ : Ren B B') → ext λ v →
proof
eval ((renV ρ ∘ β ∘ α) << v) t
≅⟨ cong (λ (γ : Env _ B') → eval γ t)
(iext λ _ → ext (wk<< α (renV ρ ∘ β) v)) ⟩
eval (((renV ρ ∘ β) << v) ∘ wk α) t
≅⟨ reneval (wk α) ((renV ρ ∘ β) << v) t ⟩
eval ((renV ρ ∘ β) << v) (ren (wk α) t)
∎
lifteval : ∀{B Γ Δ σ τ}(α : Sub Γ Δ)(β : Env Δ B)
(v : Val B σ)(y : Var (Γ < σ) τ) →
((eval β ∘ α) << v) y ≅ (eval (β << v) ∘ lift α) y
lifteval α β v vz = refl
lifteval α β v (vs x) = reneval vs (β << v) (α x)
subeval : ∀{B Γ Δ σ}(α : Sub Γ Δ)(β : Env Δ B)(t : Tm Γ σ) →
eval (eval β ∘ α) t ≅ (eval β ∘ sub α) t
subeval α β (var x) = refl
subeval α β (app t u) = cong₂ (λ f x → f id x) (subeval α β t) (subeval α β u)
subeval {B} α β (lam t) = iext λ B' → ext λ (ρ : Ren B B') → ext λ v →
proof
eval ((renV ρ ∘ eval β ∘ α) << v) t
≅⟨ cong (λ (γ : Env _ B') → eval (γ << v) t)
(iext λ _ → ext λ x → lem ρ β (α x)) ⟩
eval ((eval (renV ρ ∘ β) ∘ α) << v) t
≅⟨ cong (λ (γ : Env _ B') → eval γ t)
(iext λ _ → ext λ x → lifteval α (renV ρ ∘ β) v x) ⟩
eval (eval ((renV ρ ∘ β) << v) ∘ lift α) t
≅⟨ subeval (lift α) ((renV ρ ∘ β) << v) t ⟩
eval ((λ {σ} x → renV ρ (β x)) << v) (sub (lift α) t)
∎
modelRAlg : Con → RAlg TmRMonad
modelRAlg Γ = record {
acar = Val Γ;
astr = λ γ → eval γ;
alaw1 = refl;
alaw2 = λ {B} {Δ} {α} {γ} → iext (λ σ → ext (subeval α γ))}