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前情提要

(1) X

两个时间：现在t=0，未来t=1

学生在时间t的掌握状态，未掌握，X=0；已掌握，X=1

定义学习为 l = P(X₁=1|X₀=0) = 0.5

已知学生先验掌握概率pi = P(X₀)= 0.3

问P(X₁) = ?

0.3 + 0.7*0.5 = 0.65

(2) X -> Y

学生答题结果Y。答对Y=1，答错Y=0

定于猜测：Y=1|X=0，粗心 Y=0|X=1

学生粗心概率是0.1, 猜测概率是0.4

（a）t=0时的学生做对的概率是多少P(Y₀=1)

（b）t=1时的学生做对的概率是多少P(Y₁=1)

(a): 0.7*0.4 + 0.3*0.9 = 0.55

(b): 0.35*0.4 + 0.65*0.9 = 0.725

(3) Y -> X

在t=0，你观察到学生答对了，学生在t=0后验掌握概率是多少？

P(X_0=1|Y_0=1) = 0.3*0.9 / 0.55 ~= 0.49   

BONUS 在t=0你看到学生答错了，t=1你看到学生答对了，学生在t=1的后验掌握概率是多少

P(X_1=1|Y_0=0,Y_1=1) = P(X_0=1,X_0=1,Y_1=0,Y_1=1) + P(X_0=0,X_1=1,Y_0=0,Y_0=1)/P(Y_0=0,Y_1=1)
= (0.3*0.1*0.9+0.7*0.5*0.6*0.9) / (0.3*0.1*0.9+0.7*0.5*0.6*0.9+0.7*0.5*0.6*0.4)
= 0.72

BONUS (4) Y -> l

假设pi = 0.3, P(Y=1|X=0) = 0.4, P(Y=0|X=1) = 0.1

假设你观察到P(Y₁)=0.8，请问l的估计值是多少？

P(Y_1=1) = 0.7*(1-l)*0.4 + 0.7*l*0.9 + 0.3*0.9 = 0.8
-> l ~= 0.71

BONUS (5) Y -> l, pi

假设 P(Y=1|X=0) = 0.4, P(Y=0|X=1) = 0.1

假设你观察到P(Y₀=1) = 0.6, P(Y₁=1)=0.8，请问pi, l的估计值是多少？

P(Y_0) = pi * 0.9 + (1-pi)* 0.4 = 0.6 
-> pi = 0.4

P(Y_1) = 0.6*(1-l)*0.4 + 0.6*l*0.9 + 0.4*0.9 
-> l ~= 0.67