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#+TITLE: 御製歷象考成
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#+PROPERTY: JUAN 上編卷三
<pb:KR3f0018_WYG_003-1a>¶
欽定四庫全書¶
御製歴象考成上編卷三¶
弧三角形下¶
斜弧三角形論¶
斜弧三角形邊角比例法¶
斜弧三角形作垂弧法¶
斜弧三角形用總較法(次形/法附)¶
斜弧三角形設例八則¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-2a>¶
斜弧三角形論¶
弧三角之有斜弧形猶直線三角之有銳鈍形也但¶
直線三角之銳鈍形惟二種一種三角俱鋭一種一¶
鈍兩銳而斜弧形則不然或三角俱銳或三角俱鈍¶
或兩銳一鈍或兩鈍一銳其三邊或俱大過於九十¶
度或俱小不及九十度或兩大一小或兩小一大參¶
錯成形為類甚多而新法算書所載推算之法抑復¶
繁雜難稽葢三角三邊各有八線但線與線之比例¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-2b>¶
相當即可相求是故或同步一星或同推一數而所¶
用之法彼此互異遂使學者莫知所從兹約以三法¶
求之無論角之銳鈍邊之大小並視先所知之三件¶
為斷其一先知之三件有相對之邊角又有對所求¶
之邊角則用邊角比例法其一先知之三件有相對¶
之邊角而無對所求之邊角(或求角而無對角之邊/或求邊而無對邊之角)¶
則用垂弧法其一先知之三件無相對之邊角(或三/邊求)¶
(角或有兩邊一角而角在所知兩邊之間或三/角求邊或有兩角一邊而邊在所知兩角之間)則用¶
總較法明此三法則斜弧之用已備而七政之升降¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-2b>¶
出沒經緯之縱橫交加無不可推測而知矣¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-3a>¶
斜弧三角形邊角比例法¶
凡斜弧三角形先知之三件有相對之¶
邊角又有對所求之邊角者則用邊角¶
比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角¶
有甲乙邊有乙丙邊而求丙角則乙丙¶
為對所知之邊甲為所知之角甲乙為¶
對所求之邊乃以對所知之乙丙邊正¶
弦與對所求之甲乙邊正弦之比同於¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-3b>¶
所知之甲角正弦與所求之丙角正弦¶
之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁¶
角有己角有丁戊邊而求戊己邊則己¶
角為對所知之角丁戊為所知之邊丁¶
為對所求之角乃以對所知之己角正¶
弦與對所求之丁角正弦之比同於所¶
知之丁戊邊正弦與所求之戊己邊正¶
弦之比也¶
斜弧三角形作垂弧法¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-3b>¶
凡斜弧三角形先知之三件有相對之¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-4a>¶
邊角而無對所求之邊角者則用垂弧¶
法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲¶
乙邊有乙丙邊而求乙角及甲丙邊乃¶
自乙角作乙丁垂弧於形内分為甲乙¶
丁丙乙丁兩正弧三角形算之先用甲¶
乙丁形求乙丁垂弧甲丁分邊及乙分¶
角葢此形有甲角有甲乙邊有丁直角¶
以丁角正弦(即半/徑)與甲角正弦之比同¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-4b>¶
於甲乙邊正弦與乙丁垂弧正弦之比¶
而得乙丁垂弧以半徑與甲角餘弦之¶
比同於甲乙邊正切與甲丁邊正切之¶
比而得甲丁分邊以甲乙邊正弦與甲¶
丁邊正弦之比同於丁角正弦(即半/徑)與¶
乙分角正弦之比而得乙分角次用丙¶
乙丁形求乙分角及丁丙分邊葢此形¶
有乙丙邊有乙丁垂弧有丁直角以乙¶
丙邊正切與乙丁垂弧正切之比同於¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-4b>¶
半徑與乙分角餘弦之比而得乙分角¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-5a>¶
以丁角正弦(即半/徑)與乙分角正弦之比¶
同於乙丙邊正弦與丁丙邊正弦之比¶
而得丁丙分邊既得兩分角並之即乙¶
角得兩分邊並之即甲丙邊也又如戊¶
己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己¶
庚邊而求戊庚邊及己角乃自己角作¶
己辛垂弧於形外將戊庚弧引長至辛¶
作戊己辛庚己辛兩正弧三角形算之¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-5b>¶
先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虚邊¶
及己虚角葢此形有庚外角有己庚邊¶
有辛直角以辛角正弦(即半/徑)與庚角正¶
弦之比同於己庚邊正弦與己辛垂弧¶
正弦之比而得己辛垂弧以半徑與庚¶
角餘弦之比同於己庚邊正切與庚辛¶
虚邊正切之比而得庚辛虛邊以己庚¶
邊正弦與庚辛邊正弦之比同於辛角¶
正弦(即半/徑)與己虚角正弦之比而得己¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-5b>¶
虚角次用戊己辛形求戊辛總邊及己¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-6a>¶
總角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛¶
直角以戊角正切與半徑之比同於己¶
辛垂弧正切與戊辛邊弦弦之比而得¶
戊辛總邊以己辛垂弧正弦與戊辛邊¶
正弦之比同於戊角正弦與己角弦弦¶
之比而得己總角既得戊辛總邊内減¶
去庚辛虚邊即戊庚邊得己總角内減¶
去己虚角即己角也¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-6b>¶
斜弧三角形用總較法¶
凡斜弧三角形知三邊求¶
角者則用總較法以角傍¶
之兩邊相加為總弧相減¶
為較弧各取其餘弦相加¶
減(總弧較弧俱不過象限/或俱過象限則兩餘弦)¶
(相減若一過象限一不過/象限則兩餘弦相加其或)¶
(過二象限者與過一象限/同過三象限者與不過象)¶
(限/同)折半為中數又以對邊¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-6b>¶
之矢與較弧之矢相減餘¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-7a>¶
為矢較乃以中數與矢較¶
為比同於半徑與所求角¶
之正矢之比也如知兩邊¶
一角而角在兩邊之間者¶
以半徑與所知角之正矢¶
為比同於中數與矢較之¶
比既得矢較與較弧之矢¶
相加即得對邊之矢也如¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-7b>¶
甲乙丙斜弧三角形有三¶
邊求甲角則以甲角傍之¶
甲乙甲丙二邊相加得乙¶
丁(甲丙甲戊甲丁三弧同/為丁戊距等圈所截故)¶
(其度/相等)為總弧其正弦為丁¶
己餘弦為己庚甲乙與甲¶
丙相減餘乙戊為較弧其¶
正弦為戊辛餘弦為辛庚¶
兩餘弦相加得己辛(乙丁/總弧)¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-7b>¶
(過象限乙戊較弧不過象/限其兩餘弦在圜心之兩)¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-8a>¶
(邊故/相加)折半得辛壬與癸子¶
等為中數乙丙對邊與乙¶
丑等(乙丙與乙丑兩弧同/為丑寅距等圈所截)¶
(故其度/相等)其正弦為丑卯餘¶
弦為卯庚正矢為乙卯以¶
乙卯與乙戊較弧之正矢¶
乙辛相減餘辛卯與辰巳¶
等為矢較戊辰巳與戊癸¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-8b>¶
子為同式兩勾股形故癸¶
子與辰巳之比同於戊子¶
與戊巳之比也又午庚為¶
半徑戊子為距等圈之半¶
徑午未與戊己兩段同為¶
甲丙申大圈所分則戊子¶
與戊己之比原同於午庚¶
與午未之比是以中數癸¶
子與矢較辰巳之比即同¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-8b>¶
於半徑午庚與甲角正矢¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-9a>¶
午未之比也以午未與午¶
庚半徑相減餘未庚為甲¶
角之餘弦檢表即得甲角¶
所當午申弧之度也若先¶
有甲角及甲乙甲丙二邊¶
求乙丙對邊則以半徑午¶
庚與甲角正矢午未之比¶
即同於中數癸子與矢較¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-9b>¶
辰巳之比既得辰巳與辛¶
卯等與乙戊較弧之正矢¶
乙辛相加得乙卯為乙丙¶
對邊之正矢也如有甲乙¶
甲丙乙丙三邊求乙角則¶
以乙角傍甲乙乙丙二邊¶
相加得甲丁(乙丙乙丁乙/戊三弧同為)¶
(戊丁距等圈所/截故其度相等)為總弧其¶
正弦為丁己餘弦為己庚¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-9b>¶
甲乙與乙丙相減餘甲戊¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-10a>¶
為較弧其正弦為戊辛餘¶
弦為辛庚兩餘弦相減餘¶
辛己(甲丁總弧甲戊較弧/皆不過象限其兩餘)¶
(弦同在圜心之/一邊故相減)折半得辛¶
壬與癸子等為中數甲丙¶
對邊與甲丑等(甲丙與甲/丑兩弧同)¶
(為寅丑距等圈所/截故其度相等)其正弦¶
為丑卯餘弦為卯庚正矢¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-10b>¶
為甲卯以甲卯與甲戊較¶
弧之正矢甲辛相減餘辛¶
卯與辰巳等為矢較戊癸¶
子與戊辰巳為同式兩勾¶
股形故癸子與辰巳之比¶
同於戊子與戊巳之比也¶
又午庚為半徑戊子為距¶
等圈之半徑戊巳與午未¶
兩段同為乙丙申大圈所¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-10b>¶
分則戊子與戊巳之比原¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-11a>¶
同於午庚與午未之比是¶
以中數癸子與矢較辰巳¶
之比即同於半徑午庚與¶
乙角大矢午未之比也(凡/鈍)¶
(角所用諸線皆與外角同/惟矢則有正矢大矢之别)¶
(如庚未為乙銳角所當申/酉弧之餘弦亦為乙鈍角)¶
(所當午申弧之餘弦檢表/銳角即得本角度鈍角與)¶
(半周相減亦即得本角度/而未酉為乙銳角之正矢)¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-11b>¶
(乃於酉庚半徑内減庚未/餘弦午未為乙鈍角之大)¶
(矢乃於午庚半徑加庚未/餘弦也此正矢大矢之别)¶
(過弧/亦然)於午未大矢内減午¶
庚半徑餘庚未為乙角之¶
餘弦檢表得乙外角度與¶
半周相減餘即乙鈍角之¶
度也若先有乙鈍角及甲¶
乙乙丙二邊求甲丙對邊¶
則以半徑午庚與乙角大¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-11b>¶
矢午未之比即同於中數¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-12a>¶
癸子與矢較辰巳之比既¶
得辰巳與辛卯等與甲戊¶
較弧之正矢甲辛相加得¶
甲卯為甲丙對邊之正矢¶
也¶
斜弧三角形知三角求邊¶
者則用次形法如甲乙丙¶
形可易為丁戊己次形葢¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-12b>¶
甲角之度當庚辛弧而庚¶
辛與己戊等(庚己與辛戊/皆象限故庚)¶
(辛與己/戊等)故本形之甲角即¶
次形之己戊邊乙外角之¶
度當壬癸弧而壬癸與己¶
丁等(壬己與癸丁皆象限/故壬癸與己丁等)¶
故本形之乙外角即次形¶
之己丁邊丙角之度當子¶
丑弧而子丑與戊丁等(子/戊)¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-12b>¶
(與丑丁皆象限故/子丑與戊丁等)故本形¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-13a>¶
之丙角即次形之戊丁邊¶
是本形之三角即次形之¶
三邊也又次形丁角之度¶
當癸丑弧而癸丑與乙丙¶
等(丙丑與乙癸皆象限/故癸丑與乙丙等)故¶
次形之丁角即本形之乙¶
丙邊戊外角之度當辛子¶
弧而辛子與甲丙等(丙子/與甲)¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-13b>¶
(辛皆象限故辛/子與甲丙等)故次形之¶
戊外角即本形之甲丙邊¶
己角之度當庚壬弧而庚¶
壬與甲乙等(乙壬與甲庚/皆象限故庚)¶
(壬與甲/乙等)故次形之己角即¶
本形之甲乙邊是本形之¶
三邊即次形之三角也故¶
用丁己戊次形仍用總較¶
法算之求得次形之三角¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-13b>¶
即得本形之三邊也如有¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-14a>¶
乙角丙角及乙丙邊而求¶
甲角亦用丁戊己次形有¶
己丁邊戊丁邊及丁角仍¶
用總較法算之求得己戊¶
邊即甲角也¶
設如申正初刻測得太陽髙三十二度地平經度偏¶
西八十一度四十二分四十八秒求太陽距赤道¶
緯度幾何¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-14b>¶
甲乙丙三角形甲為北極¶
乙為天頂丙為太陽乙丁¶
戊己為子午經圏乙丙癸¶
戊為地平經圏丁己為地¶
平庚辛為赤道庚壬為申¶
正初刻距午正赤道六十¶
度即甲角丙癸為太陽髙¶
三十二度(即地平緯度/一名髙弧)與¶
乙癸象限相減餘太陽距¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-14b>¶
天頂五十八度即乙丙邊¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-15a>¶
丁癸為地平經度偏西八¶
十一度四十二分四十八¶
秒與丁己半周相減餘癸¶
己九十八度一十七分一¶
十二秒即乙角丙壬為太¶
陽距赤道緯度與甲壬象¶
限相減餘甲丙邊為太陽¶
距北極度故用甲乙丙三¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-15b>¶
角形有甲乙二角及乙丙¶
邊求甲丙邊以甲角六十¶
度為對所知之角其正弦¶
八百六十六萬零二百五¶
十四為一率乙角九十八¶
度一十七分一十二秒為¶
對所求之角其正弦九百¶
八十九萬五千五百九十¶
三為二率乙丙五十八度¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-15b>¶
為所知之邊其正弦八百¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-16a>¶
四十八萬零四百八十一¶
為三率求得四率九百六¶
十九萬零一百七十六為¶
所求甲丙邊之正弦檢表¶
得七十五度四十二分零¶
一秒即甲丙弧之度與九¶
十度相減餘一十四度一¶
十七分五十九秒即太陽¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-16b>¶
距赤道北之緯度也此法¶
用邊角相比例與直線三¶
角形同但直線三角形以¶
角之正弦與邊相比(見數/理精)¶
(藴第十/七卷)此以角之正弦與¶
邊之正弦相比其比例之¶
理一也又以正弧之理明¶
之試將甲乙弧引長至丁¶
自丙角作丙丁垂弧則成¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-16b>¶
甲丁丙乙丁丙兩正弧三¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-17a>¶
角形先求乙丁丙形丁角¶
正弦(即半/徑)為一率乙角正¶
弦為二率乙丙正弦為三¶
率丙丁正弦為四率此第¶
一比例也次求甲丁丙形¶
甲角正弦為一率丁角正¶
弦(即半/徑)為二率丙丁正弦¶
為三率甲丙正弦為四率¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-17b>¶
此第二比例也然第二比¶
例之二率三率即第一比¶
例之一率四率而二率三¶
率相乘與一率四率相乘¶
之數等故用第一比例之¶
二率三率而用第二比例¶
之一率即得第二比例之¶
四率此有對角求對邊之¶
法也¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-17b>¶
設如太陽距赤道北一十四度一十七分五十九秒¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-18a>¶
測得髙弧三十二度地平經度偏西八十一度四¶
十二分四十八秒求係何時刻¶
甲乙丙三角形甲為北極¶
乙為天頂丙為太陽丙壬¶
為太陽距赤道北一十四¶
度一十七分五十九秒甲¶
丙即為太陽距北極七十¶
五度四十二分零一秒丙¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-18b>¶
癸為太陽髙三十二度乙¶
丙即為太陽距天頂五十¶
八度丁癸為地平經度偏¶
西八十一度四十二分四¶
十八秒癸己為九十八度¶
一十七分一十二秒即乙¶
角庚壬為太陽距午正赤¶
道度即甲角故用甲乙丙¶
三角形有乙角及甲丙乙¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-18b>¶
丙二邊求甲角以甲丙七¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-19a>¶
十五度四十二分零一秒¶
為對所知之邊其正弦九¶
百六十九萬零一百七十¶
六為一率乙丙五十八度¶
為對所求之邊其正弦八¶
百四十八萬零四百八十¶
一為二率乙角九十八度¶
一十七分一十二秒為所¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-19b>¶
知之角其正弦九百八十¶
九萬五千五百九十三為¶
三率求得四率八百六十¶
六萬零二百五十四為所¶
求甲角之正弦檢表得六¶
十度即甲角度以六十度¶
變得二時從午正初刻後¶
計之(因偏西故/為午正後)為申正初¶
刻也此有對邊求對角之¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-19b>¶
法也¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-20a>¶
設如北極出地四十度申正初刻測得太陽髙三十¶
二度求太陽距赤道緯度及地平經度各幾何¶
甲乙丙三角形甲為北極¶
乙為天頂丙為太陽甲己¶
為北極出地四十度甲乙¶
即為北極距天頂五十度¶
庚壬為申正初刻距午正¶
赤道六十度即甲角丙癸¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-20b>¶
為太陽髙三十二度乙丙¶
即為太陽距天頂五十八¶
度丙壬為太陽距赤道緯¶
度甲丙為其餘丁癸為地¶
平經度即乙角之外角(甲/乙)¶
(丙形之乙角當癸己弧其/癸乙丁外角即當丁癸弧)¶
故用甲乙丙三角形有甲¶
角及甲乙乙丙二邊求甲¶
丙邊及乙角乃自乙角作¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-20b>¶
乙丁垂弧分為甲乙丁丙¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-21a>¶
乙丁兩正弧三角形先求¶
甲乙丁形以丁角正弦即¶
半徑一千萬為一率甲角¶
六十度之正弦八百六十¶
六萬零二百五十四為二¶
率甲乙五十度之正弦七¶
百六十六萬零四百四十¶
四為三率求得四率六百¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-21b>¶
六十三萬四千一百三十¶
九為乙丁弧之正弦檢表¶
得四十一度三十三分三¶
十九秒即乙丁弧之度也¶
(此即正弧三角形有黃赤/交角有黃道求距緯之法)¶
(葢甲角即如黄赤交角甲/乙即如黃道甲丁即如赤)¶
(道乙丁即/如距緯)又以半徑一千¶
萬為一率甲角六十度之¶
餘弦五百萬為二率甲乙¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-21b>¶
五十度之正切一千一百¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-22a>¶
九十一萬七千五百三十¶
六為三率求得四率五百¶
九十五萬八千七百六十¶
八為甲丁弧之正切檢表¶
得三十度四十七分二十¶
三秒即甲丁弧之度也(此/即)¶
(正弧三角形有黃赤交/角有黃道求赤道之法)又¶
以甲乙五十度之正弦七¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-22b>¶
百六十六萬零四百四十¶
四為一率甲丁三十度四¶
十七分二十三秒之正弦¶
五百一十一萬八千八百¶
八十八為二率丁角正弦¶
即半徑一千萬為三率求¶
得四率六百六十八萬二¶
千二百三十四為乙分角¶
之正弦檢表得四十一度¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-22b>¶
五十五分四十八秒即乙¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-23a>¶
分角之度也(此即正弧三/角形有黃道)¶
(有赤道求黃道/交極圏角之法)次求乙丙¶
丁形以乙丁四十一度三¶
十三分三十九秒之餘弦¶
七百四十八萬二千五百¶
二十六為一率乙丙五十¶
八度之餘弦五百二十九¶
萬九千一百九十三為二¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-23b>¶
率半徑一千萬為三率求¶
得四率七百零八萬二千¶
零九十一為丙丁弧之餘¶
弦檢表得四十四度五十¶
四分三十八秒即丙丁弧¶
之度也(此即正弧三角形/有黃道有距緯求)¶
(赤道之法葢丙角即如黃/赤交角乙丙即如黃道丙)¶
(丁即如赤道乙/丁即如距緯)又以乙丙¶
五十八度之正弦八百四¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-23b>¶
十八萬零四百八十一為¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-24a>¶
一率丙丁四十四度五十¶
四分三十八秒之正弦七¶
百零六萬零二十七為二¶
率丁角正弦即半徑一千¶
萬為三率求得四率八百¶
三十二萬五千零三十為¶
乙分角之正弦檢表得五¶
十六度二十一分二十四¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-24b>¶
秒即乙分角之度也(此即/正弧)¶
(三角形有黃道有距緯求/黄赤交角之法葢乙分角)¶
(即如黃赤交角乙丙即如/黃道乙丁即如赤道丙丁)¶
(即如/距緯)乃以甲丁丙丁相併¶
得甲丙七十五度四十二¶
分零一秒即太陽距北極¶
度與九十度相減餘一十¶
四度一十七分五十九秒¶
即太陽距赤道北之緯度¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-24b>¶
(如甲丙大於九十度則減/去九十度餘為太陽距赤)¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-25a>¶
(道南之/緯度)以兩乙分角相併¶
得九十八度一十七分一¶
十二秒與一百八十度相¶
減餘八十一度四十二分¶
四十八秒即太陽距午正¶
偏西之地平經度也此作¶
垂弧於形内之法也¶
設如申正初刻測得太陽髙三十二度地平經度偏¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-25b>¶
西八十一度四十二分四十八秒求北極出地度¶
幾何¶
甲乙丙三角形甲為北極¶
乙為天頂丙為太陽丙癸¶
為太陽髙三十二度乙丙¶
即為太陽距天頂五十八¶
度庚壬為申正初刻距午¶
正赤道六十度即甲角丁¶
癸為地平經度偏西八十¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-25b>¶
一度四十二分四十八秒¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-26a>¶
即乙角之外角甲己為北¶
極出地度甲乙為其餘故¶
用甲乙丙三角形有甲乙¶
二角及乙丙邊求甲乙邊¶
乃自丙角作丙丁垂弧補¶
成甲丙丁乙丙丁兩正弧¶
三角形先求乙丙丁形以¶
丁角正弦即半徑一千萬¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-26b>¶
為一率乙角九十八度一¶
十七分一十二秒之正弦¶
九百八十九萬五千五百¶
九十三為二率乙丙五十¶
八度之正弦八百四十八¶
萬零四百八十一為三率¶
求得四率八百三十九萬¶
一千九百三十九為丙丁¶
弧之正弦檢表得五十七¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-26b>¶
度零三分一十八秒即丙¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-27a>¶
丁弧之度也(此即正弧三/角形有黃赤)¶
(交角有黃道求距緯之法/葢乙角即如黃赤交角乙)¶
(丙即如黃道乙丁即如/赤道丙丁即如距緯)又¶
以半徑一千萬為一率乙¶
角九十八度一十七分一¶
十二秒之餘弦一百四十¶
四萬一千二百六十為二¶
率乙丙五十八度之正切¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-27b>¶
一千六百萬零三千三百¶
四十五為三率求得四率¶
二百三十萬六千四百九¶
十八為乙丁弧之正切檢¶
表得一十二度五十九分¶
一十七秒即乙丁弧之度¶
也(此即正弧三角形有黃/赤交角有黃道求赤道)¶
(之/法)次求甲丙丁形以甲角¶
六十度之正切一千七百¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-27b>¶
三十二萬零五百零八為¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-28a>¶
一率半徑一千萬為二率¶
丙丁五十七度零三分一¶
十八秒之正切一千五百¶
四十三萬一千零五十九¶
為三率求得四率八百九¶
十萬九千一百二十六為¶
甲丁弧之正弦檢表得六¶
十二度五十九分一十七¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-28b>¶
秒即甲丁弧之度也(此即/正弧)¶
(三角形有黃赤交角有距/緯求赤道之法葢甲角即)¶
(如黃赤交角甲丙即如黃/道甲丁即如赤道丙丁即)¶
(如距/緯)乃以甲丁與乙丁相¶
減餘甲乙五十度即北極¶
距天頂又與九十度相減¶
餘四十度即北極出地度¶
也(若求丙角則求得丙總/角與丙虚角相減即得)¶
此作垂弧於形外之法也¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-28b>¶
設如大角星黃道緯北三十一度零三分赤道緯北¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-29a>¶
二十度五十八分四十七秒黃極赤極(即北/極)相距¶
二十三度三十分求黃道經度赤道經度各幾何¶
甲乙丙三角形甲為赤極¶
(即北/極)乙為黃極甲乙相距¶
二十三度三十分丙為大¶
角星丁戊為黃道己庚為¶
赤道丙辛為黃道緯北三¶
十一度零三分乙丙即為¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-29b>¶
星距黃極五十八度五十¶
七分丙壬為赤道緯北二¶
十度五十八分四十七秒¶
甲丙即為星距赤極六十¶
九度零一分一十三秒丁¶
辛為星距夏至後黃道經¶
度即乙角己壬為星距夏¶
至後赤道經度即甲角之¶
外角故用甲乙丙三角形¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-29b>¶
有甲乙甲丙乙丙三邊求¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-30a>¶
甲乙二角先求乙角則以¶
夾乙角之甲乙邊二十三¶
度三十分與乙丙邊五十¶
八度五十七分相加得八¶
十二度二十七分為總弧¶
其餘弦一百三十一萬三¶
千九百一十三又以甲乙¶
乙丙兩邊相減餘三十五¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-30b>¶
度二十七分為較弧其餘¶
弦八百一十四萬六千二¶
百二十兩餘弦相減(總弧/較弧)¶
(俱不過象限或俱過象限/則兩餘弦相減若一過象)¶
(限一不過象限則兩餘弦/相加其或過二象限者與)¶
(過一象限同過三象/限者與不過象限同)餘六¶
百八十三萬二千三百零¶
七折半得三百四十一萬¶
六千一百五十四為中數¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-30b>¶
為一率以對乙角之甲丙¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-31a>¶
邊六十九度零一分一十¶
三秒之正矢六百四十一¶
萬九千六百二十五(餘弦/與半)¶
(徑相減/得矢度)與較弧三十五度¶
二十七分之正矢一百八¶
十五萬三千七百八十相¶
減餘四百五十六萬五千¶
八百四十五為矢較為二¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-31b>¶
率半徑一千萬為三率求¶
得四率一千三百三十六¶
萬五千四百五十四為乙¶
角之大矢(凡矢度過於半/徑者為大矢其)¶
(角即為/鈍角)内減半徑一千萬¶
餘三百三十六萬五千四¶
百五十四為乙角之餘弦¶
檢表得七十度二十分與¶
半周相減餘一百零九度¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-31b>¶
四十分為乙角度即星距¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-32a>¶
夏至後黃道經度自夏至¶
未宫初度逆計之為卯宫¶
一十九度四十分也如圖¶
甲乙與乙丙相加得甲癸¶
為總弧(乙丙乙癸乙子三/弧同為癸子距等)¶
(圈所截故/其度相等)其正弦為癸丑¶
餘弦為丑寅甲乙與乙丙¶
相減餘甲子為較弧其正¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-32b>¶
弦為子卯餘弦為卯寅以¶
丑寅與卯寅兩餘弦相減¶
餘卯丑折半得卯辰與巳¶
午等為中數又對乙角之¶
甲丙邊與甲未等其正弦¶
為未申餘弦為申寅正矢¶
為甲申以甲申與甲子較¶
弧之正矢甲卯相減餘卯¶
申與酉戌等為矢較遂成¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-32b>¶
子酉戌與子巳午同式兩¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-33a>¶
勾股形故巳午與酉戌之¶
比必同於子午與子戌之¶
比也又丁寅為半徑子午¶
為距等圈之半徑子戌與¶
丁亥兩段同為乙丙辛黃¶
道經圈之所分則子午與¶
子戌之比原同於丁寅與¶
丁亥之比是以中數己午¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-33b>¶
與矢較酉戌之比即同於¶
半徑丁寅與乙角大矢丁¶
亥之比也既得丁亥大矢¶
内減丁寅半徑餘寅亥即¶
乙外角之餘弦檢表得乙¶
外角所當辛戊弧之度復¶
與半周相減即得乙角所¶
當丁辛弧之度也既得乙¶
角則以對邊對角之法求¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-33b>¶
之即得甲角度矣¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-34a>¶
如先求甲角則以夾甲角¶
之甲乙邊二十三度三十¶
分與甲丙邊六十九度零¶
一分一十三秒相加得九¶
十二度三十一分一十三¶
秒為總弧其餘弦四十三¶
萬九千七百二十九又以¶
甲乙甲丙兩邊相減餘四¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-34b>¶
十五度三十一分一十三¶
秒為較弧其餘弦七百萬¶
零六千五百六十八兩餘¶
弦相加(總弧過象限較弧/不過象限故兩餘)¶
(弦相/加)得七百四十四萬六¶
千二百九十七折半得三¶
百七十二萬三千一百四¶
十八為中數為一率以對¶
甲角之乙丙邊五十八度¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-34b>¶
五十七分之正矢四百八¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-35a>¶
十四萬二千一百四十一¶
與較弧四十五度三十一¶
分一十三秒之正矢二百¶
九十九萬三千四百三十¶
二相減餘一百八十四萬¶
八千七百零九為矢較為¶
二率半徑一千萬為三率¶
求得四率四百九十六萬¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-35b>¶
五千四百四十五為甲角¶
之正矢與半徑一千萬相¶
減餘五百零三萬四千五¶
百五十五為甲角之餘弦¶
檢表得五十九度四十六¶
分一十六秒即甲角度與¶
半周相減餘一百二十度¶
一十三分四十四秒即星¶
距夏至後赤道經度自夏¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-35b>¶
至未宫初度逆計之為卯¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-36a>¶
宫初度一十三分四十四¶
秒也如圖甲乙與甲丙相¶
加得乙癸為總弧其正弦¶
為癸子餘弦為子丑甲乙¶
與甲丙相減餘乙寅為較¶
弧其正弦為寅卯餘弦為¶
卯丑兩餘弦相加得卯子¶
(因兩餘弦在圜心/之兩邊故相加)折半得¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-36b>¶
卯辰與巳午等為中數又¶
對甲角之乙丙邊與乙未¶
等其正弦為未申餘弦為¶
申丑正矢為乙申以乙申¶
與乙寅較弧之正矢乙卯¶
相減餘卯申與酉戌等為¶
矢較遂成寅巳午與寅酉¶
戌同式兩勾股形故巳午¶
與酉戌之比同於寅午與¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-36b>¶
寅戌之比又庚丑為半徑¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-37a>¶
寅午為距等圈之半徑寅¶
戌與庚亥兩段同為甲丙¶
壬赤道經圈之所分則寅¶
午與寅戌之比原同於庚¶
丑與庚亥之比是以巳午¶
中數與矢較酉戌之比即¶
同於半徑庚丑與甲角正¶
矢庚亥之比也既得庚亥¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-37b>¶
正矢與庚丑半徑相減餘¶
亥丑即甲角之餘弦檢表¶
即得甲角所當庚壬弧之¶
度也既得甲角則以對邊¶
對角之法求之亦即得乙¶
角度矣此三邊求角之法¶
也¶
設如大角星黃道經度距夏至一百零九度四十分¶
赤道經度距夏至一百二十度一十三分四十四¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-37b>¶
秒黃赤兩過極經圈交角二十三度四十二分四¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-38a>¶
十五秒求黃道緯度赤道緯度各幾何¶
甲乙丙三角形甲為赤極¶
(即北/極)乙為黃極甲乙為兩¶
極距度丙為大角星丁戊¶
為黃道己庚為赤道丁辛¶
為黃道經度距夏至一百¶
零九度四十分即乙角己¶
壬為赤道經度距夏至一¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-38b>¶
百二十度一十三分四十¶
四秒即甲角之外角丙角¶
為甲壬乙辛兩經圏交角¶
二十三度四十二分四十¶
五秒丙辛為黃道北緯度¶
乙丙為其餘丙壬為赤道¶
北緯度甲丙為其餘故用¶
甲乙丙三角形有甲乙丙¶
三角求乙丙甲丙二邊乃¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-38b>¶
用次形法先求乙丙邊將¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-39a>¶
甲乙丙形易為癸子丑次¶
形葢本形之甲角即次形¶
之子丑邊(甲角當庚壬/弧與子丑等)本¶
形乙角之外角即次形之¶
癸丑邊(乙角之外角當戊/辛弧與癸丑等)¶
本形之丙角即次形之癸¶
子邊(丙角當寅卯/弧與癸子等)本形之¶
甲乙邊即次形之丑角(丁/己)¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-39b>¶
(弧與甲乙等/即丑角度)本形之乙丙¶
邊即次形之癸角(辛寅弧/與乙丙)¶
(等即癸/角度)本形之甲丙邊即¶
次形子角之外角(壬卯弧/與甲丙)¶
(等即子銳角度為癸子/丑形子鈍角之外角)故¶
用癸子丑三角形有三邊¶
求癸角(即乙/丙邊)以夾癸角之¶
癸子邊(即丙/角)二十三度四¶
十二分四十五秒與癸丑¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-39b>¶
邊(即乙/外角)七十度二十分相¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-40a>¶
加得九十四度零二分四¶
十五秒為總弧其餘弦七¶
十萬五千五百四十四又¶
以癸子癸丑兩邊相減餘¶
四十六度三十七分一十¶
五秒為較弧其餘弦六百¶
八十六萬八千二百三十¶
二兩餘弦相加(總弧過象/限較弧不)¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-40b>¶
(過象限故兩/餘弦相加)得七百五十¶
七萬三千七百七十六折¶
半得三百七十八萬六千¶
八百八十八為中數為一¶
率以對癸角之子丑邊(即/甲)¶
(角/)五十九度四十六分一¶
十六秒之正矢四百九十¶
六萬五千四百四十五與¶
較弧四十六度三十七分¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-40b>¶
一十五秒之正矢三百一¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-41a>¶
十三萬一千七百六十八¶
相減餘一百八十三萬三¶
千六百七十七為矢較為¶
二率半徑一千萬為三率¶
求得四率四百八十四萬¶
二千一百七十四為癸角¶
之正矢與半徑一千萬相¶
減餘五百一十五萬七千¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-41b>¶
八百二十六為癸角之餘¶
弦檢表得五十八度五十¶
七分即癸角度亦即乙丙¶
邊度與象限相減餘三十¶
一度零三分即黃道北之¶
緯度也既得乙丙邊則以¶
對邊對角之法求之即得¶
甲丙邊矣¶
如先求甲丙邊則用癸子¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-41b>¶
丑次形求子角(子角之外/角當壬卯)¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-42a>¶
(弧與甲/丙等)以夾子角之子丑¶
邊(即甲/角)五十九度四十六¶
分一十六秒與癸子邊(即/丙)¶
(角/)二十三度四十二分四¶
十五秒相加得八十三度¶
二十九分零一秒為總弧¶
其餘弦一百一十三萬四¶
千八百七十四又以子丑¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-42b>¶
癸子兩邊相減餘三十六¶
度零三分三十一秒為較¶
弧其餘弦八百零八萬四¶
千一百五十二兩餘弦相¶
減(總弧較弧俱不過象/限故兩餘弦相減)餘¶
六百九十四萬九千二百¶
七十八折半得三百四十¶
七萬四千六百三十九為¶
中數為一率以對子角之¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-42b>¶
癸丑邊(即乙/外角)七十度二十¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-43a>¶
分之正矢六百六十三萬¶
四千五百二十五與較弧¶
三十六度零三分三十一¶
秒之正矢一百九十一萬¶
五千八百四十八相減餘¶
四百七十一萬八千六百¶
七十七為矢較為二率半¶
徑一千萬為三率求得四¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-43b>¶
率一千三百五十八萬零¶
三百三十七為子角之大¶
矢内減半徑一千萬餘三¶
百五十八萬零三百三十¶
七為子角之餘弦檢表得¶
六十九度零一分一十三¶
秒即子角之外角度亦即¶
甲丙邊度與象限相減餘¶
二十度五十八分四十七¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-43b>¶
秒即赤道北之緯度也既¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-44a>¶
得甲丙邊則以對邊對角¶
之法求之亦即得乙丙邊¶
矣此三角求邊之法也¶
設如土星黃道經度卯宫二度二十九分距夏至一¶
百二十二度二十九分黃道南緯度二度三十七¶
分黄極赤極相距二十三度三十分求赤道經度¶
緯度各幾何¶
甲乙丙三角形甲為赤極¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-44b>¶
(即北/極)乙為黃極甲乙相距¶
二十三度三十分丙為土¶
星丁戊為赤道己庚為黃¶
道己辛為黃道經度距夏¶
至一百二十二度二十九¶
分即乙角丙辛為黃道南¶
緯度二度三十七分乙丙¶
為星距黃極九十二度三¶
十七分丙壬為赤道南緯¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-44b>¶
度甲丙即星距北極度丁¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-45a>¶
壬為距夏至赤道經度即¶
甲角之外角故用甲乙丙¶
三角形有乙角及甲乙乙¶
丙二邊求甲丙邊及甲角¶
先求甲丙邊以半徑一千¶
萬為一率乙角一百二十¶
二度二十九分之大矢一¶
千五百三十七萬零五百¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-45b>¶
四十二為二率以夾乙角¶
之甲乙邊二十三度三十¶
分與乙丙邊九十二度三¶
十七分相加得一百一十¶
六度零七分為總弧其餘¶
弦四百四十萬二千零四¶
又以甲乙乙丙兩邊相減¶
餘六十九度零七分為較¶
弧其餘弦三百五十六萬¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-45b>¶
四千六百六十二兩餘弦¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-46a>¶
相加(總弧過象限較弧不/過象限故兩餘弦相)¶
(加/)得七百九十六萬六千¶
六百六十六折半得三百¶
九十八萬三千三百三十¶
三為中數為三率求得四¶
率六百一十二萬二千五¶
百九十九為矢較與較弧¶
六十九度零七分之正矢¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-46b>¶
六百四十三萬五千三百¶
三十八相加得一千二百¶
五十五萬七千九百三十¶
七為甲丙對邊之大矢(凡/矢)¶
(度過於半徑者為大/矢其弧即為過弧)内減¶
半徑一千萬餘二百五十¶
五萬七千九百三十七為¶
甲丙邊之餘弦檢表得七¶
十五度一十分四十六秒¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-46b>¶
與半周相減餘一百零四¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-47a>¶
度四十九分一十四秒即¶
甲丙邊之度内減九十度¶
餘一十四度四十九分一¶
十四秒為赤道南之緯度¶
也如圖己癸為半徑己子¶
為甲角之大矢甲乙與乙¶
丙相加(乙丙與乙丑/乙卯皆相等)得甲¶
丑為總弧其正弦為丑寅¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-47b>¶
餘弦為寅癸甲乙與乙丙¶
相減餘甲卯為較弧其正¶
弦為卯辰餘弦為辰癸兩¶
餘弦相加得辰寅折半得¶
辰巳與午未等為中數又¶
對乙角之甲丙邊與甲申¶
等其正弦為申酉餘弦為¶
酉癸大矢為甲酉以甲酉¶
與甲卯較弧之正矢甲辰¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-47b>¶
相減餘辰酉與戌亥等為¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-48a>¶
矢較遂成卯午未與卯戌¶
亥同式兩勾股形而卯未¶
與卯亥之比同於午未與¶
戌亥之比又卯未為丑卯¶
距等圈之半徑卯亥與巳¶
子兩段同為乙辛丙黃道¶
經圈之所分則卯未與卯¶
亥之比原同於己癸與己¶
<pb:KR3f0018_WYG_003-48b>¶
子之比是以半徑己癸與¶
乙角大矢己子之比即同¶
於中數午未與矢較戌亥¶
之比也既得戌亥矢較與¶
甲卯較弧之正矢甲辰相¶
加得甲酉即為甲丙弧之¶
大矢内減甲癸半徑餘酉¶
癸為甲丙弧之餘弦亦即¶
丙乾弧之餘弦檢表得丙¶