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<html>
<head>
<meta charset=utf-8>
<meta name=description content="Der Matrizenrechner berechnet online, per Skript so ziemlich alles was Du brauchst, vom Kreuzprodukt über verschiedene Matrizenzerlegungen bis hin zu Normen. ">
<meta name=keywords content="Spur, Adjunkte, Inverse, QR-Zerlegung, Matrixmultiplikation, Skalarmultiplikation, Kreuzprodukt, Determinante, Skalarprodukt, Matrizenaddition, Matrix transponieren, Cholesky-Zerlegung, Spatprodukt, berechnen">
<meta name=author content="Karsten Behrendt">
<meta name=email content="info@matrizen-rechner.de">
<meta name=Distribution content=Global>
<meta name=Rating content=General>
<meta name=Robots content="INDEX,FOLLOW">
<meta name=Revisit-after content="31 Days">
<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" type="image/x-icon">
<script>var pkBaseURL=(("https:"==document.location.protocol)?"https://karottika.de/piwik/":"http://karottika.de/piwik/");document.write(unescape("%3Cscript src='"+pkBaseURL+"piwik.js' type='text/javascript'%3E%3C/script%3E"));</script>
<script>try{var piwikTracker=Piwik.getTracker(pkBaseURL+"piwik.php",8);piwikTracker.trackPageView();piwikTracker.enableLinkTracking();}catch(err){}</script>
<script src=rechnung.js></script>
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="style.css">
<title>Matrizenrechner</title>
</head>
<body onload="erklaerungenEntfernen()">
<!--
HIER DER INHALT!
-->
<div id=kompletterInhalt>
<div id=ueberschrift>
<a href="http://matrizen-rechner.de"><h1> Der Matrizenrechner</h1></a>
</div>
<form name=form1>
<div id=eingabe>
<table id=eingabeTabelle>
<tr>
<td class=tdTop>
Matrix 1
</td>
<td class=tdTop>
Matrix 2
</td>
<td class=tdTop>
3 Vektoren
</td>
<td class=tdTop>
Skalar
</td>
</tr>
<tr>
<td>
<textarea name=m1 class="upper_matrix" cols=25 rows=7>1 1 1 1 1
1 2 3 4 8
1 8 2 4 1
1 1 4 2 5
1 2 3 4 5</textarea>
</td>
<td>
<textarea name=m2 class="upper_matrix" cols=25 rows=7>1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1</textarea>
</td>
<td>
<textarea name=vektor cols=3 rows=7>5
5
5
5
5</textarea>
<textarea name=vektor2 cols=3 rows=7>5
5
5
5
5</textarea>
<textarea name=vektor3 cols=3 rows=7>5
5
5
5
5</textarea>
</td>
<td>
<textarea name=skalar cols=3 rows=1>5</textarea>
</td>
</tr>
</table>
</div>
<div id=optionen>
<br>
Operation:
<select name="operationen" onchange="perform_operation()">
<optgroup label="Generelle Operationen: ">
<option value="adjunkte">Adjunkte</option>
<option value="aequilibrierung">Äquilibrierung</option>
<option value="loesen">Ax = b nach x lösen</option>
<option value="cholesky">Cholesky-Zerlegung</option>
<option value="determinante_laplace">Determinante nach Laplace</option>
<option value="determinante_zerlegung">Determinante mittels LR-Zerlegung</option>
<option value="dimension_kern">Dimension Kern</option>
<option value="dimensionsregel">Dimensionsregel</option>
<option value="gauss">Gauss Elimination</option>
<option value="householder">Householder Matrix</option>
<option value="inverse">Inverse</option>
<option value="kreuzprodukt">Kreuzprodukt</option>
<option value="lr_zerlegung">LR Zerlegung</option>
<option value="matrixaddition">Matrixaddition</option>
<option value="matrix_vektor">Matrix-Vektor-Multiplikation</option>
<option value="matrixmultiplikation">Matrixmultiplikation</option>
<option value="qr_house">QR Zerlegung mittels Householdermatrix</option>
<option value="qr_givens">QR Zerlegung nach Givens</option>
<option value="rang">Rang der Matrix</option>
<option value="skalar_matrix">Skalar * Matrix</option>
<option value="skalarprodukt">Skalarprodukt</option>
<option value="spatprodukt">Spatprodukt</option>
<option value="spur">Spur der Matrix</option>
<option value="transponieren">Matrix transponieren</option>
<option value="vektor1_vektor2">Vektor1_transponiert * Vektor2</option>
</optgroup>
<optgroup label="Matrixnormen: ">
<option value="spaltensummennorm">||A|| <sub>1</sub></option>
<option value="zeilensummennorm">||A|| <sub>∞</sub></option>
<option value="gesamtnorm">||A||</option>
<option value="relativer_fehler">κ<sub>rel</sub></option>
</optgroup>
<optgroup label="Vektornormen: ">Vektornormen:
<option value="betragsnorm">||A||</option>
<option value="euklidnorm">||A|| <sub>2</sub></option>
<option value="maxnorm">||A||<sub>∞</sub></option>
</optgroup>
<optgroup label="Unfertig: ">
<option value="eigenwerte">Eigenwerte berechnen (nur reelle)</option>
<option value="pivotisierung">Pivotisierung</option>
<option value="aequlibrierung_pivotisierung">Pivotisierung und Äquilibrierung</option>
</optgroup>
</select>
<input type=button value="↺" onclick="perform_operation()">
Anzahl Nachkommastellen:
<select name=nachkomma size=1>
<option>0</option>
<option>1</option>
<option>2</option>
<option selected>3</option>
<option>4</option>
<option>5</option>
<option>6</option>
<option>7</option>
<option>8</option>
<option>9</option>
</select>
</div>
<br>
<div id=ausgabe>
<div id=erklaerungsdiv>
<p id=erklaerung>
Für diese Seite muss Javascript aktiv sein. <br><br>
Der Matrizenrechner besteht aus einem Skript zur Berechnung einiger Matrixoperationen. <br><br>
Skalarmultiplikation: Einfach nur eine Matrix mit einer Zahl multiplizieren, dabei wird jeder Eintrag mit dem Skalar multipliziert. <br><br>
Matrixmultiplikation: Die Matrixmultiplikation ist sehr viel Arbeit per Hand. Skalarprodukte, Zeilen mal Spalten. <br><br>
Matrixtransponierung: Eine Matrix wird transponiert, indem man die Elemente der Diagonalen spiegelt(quadratische Matrizen), bzw. die Indizes tauscht (alle Matrizen). <br><br>
Determinante: Die Determinanten wird hier nach Laplace berechnet, hierzu empfehle ich den Wikipedia Artikel. Was sehr wichtig ist, ist dass eine Matrix mit einer Determinante ungleich 0 invertierbar ist. <br><br>
Matrix-Vektor-Multiplikation: Eine Matrixmultiplikation bei der der Vektor als n*1 Matrix aufgefasst wird. <br><br>
Gauß Elimination: Zum lösen linearer Gleichungssysteme verwendet man Anfangs Gauss Methode Zeilen mit einander zu addieren. Leider ist diese Methode numerisch nicht sehr stabil. <br><br>
LR-Zerlegung: Mittels Gauss-Verfahren wird diese Matrix in eine linke untere und eine rechte obere Dreiecksmatrix zerlegt. <br><br>
Skalarprodukt: Das Skalarprodukt ist eine Verknüpfung zweier Vektoren, bei der die jeweiligen Elemente miteinander multipliziert werden und die Produkte addiert. <br><br>
Vektormultiplikation: Die Vektormultiplikation mit 1 Vektor ausführen. Dies spannt eine Matrix auf. <br><br>
Rang: Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen. (=Anzahl der linear unabhängigen Spalten) <br><br>
Matrixaddition: Bei der Matrixaddition werden einfach die Elemente der jeweiligen Matrizen miteinander addiert. <br><br>
Lineares Gleichungssystem lösen: Mittels Gauss-Verfahren wird hier A*x=b nach x aufgelöst. <br><br>
Kern einer Matrix: Die Dimension des Kerns gibt die Anzahl aller Zeilen - die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen an. <br><br>
Das Kreuzprodukt und Spatprodukt sind in der Physik sehr interessant. Hier empfehle ich den Wikipedia-Artikel. <br><br>
Die Spur einer Matrix ist die Summer ihrer Diagonaleinträge. Die Spur ist gleichzeitig die Summe aller Eigenwerte. <br><br>
Die Cholesky Zerlegung ist eine für synmetrische Matrizen optimierte LR-Zerlegung. <br><br>
Die Householder Transformation ist eine Spiegelung, so dass gewünschte Stellen zu Null werden. Die Givens Rotation ist als Drehung ein Spezialfall der Householder Transformation. Das Ergebnis zeigt Q*A = R. R ist eine rechte obere Dreiecksmatrix, Q ist eine orthogonale Matrix. Dies kann umgestellt werden zu A = Q(transponiert)*R. Das Verfahren ist sehr stabil. <br><br>
Die Adjunkte berechnet sich so ein bisschen wie die Determinate nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz (ein bisschen!). Mit ihr kann man die Inverse berechnen. <br><br>
Matrize*Inverse = Einheitsmatrix. Mit der Inversen kann man Ax=b auflösen. Also Inverse*A*x=Inverse*b Daraus folgt: x = Inverse*b. <br><br>
Die Betragsnorm ist eine Vektornorm. Alle Vektoreinträge werden hier addiert. <br><br>
Die Euklidnorm ist eine Vektornorm. Die Quadrate aller Einträge werden addiert und aus der Summe wird die Wurzel gezogen. <br><br>
Die Maximumsnorm ist eine Vektornorm. Es wird hier nur der größte Eintrag des Vektors genommen und das war es schon. <br><br>
Die Spaltensummennorm ist eine Matrixnorm. Hier wird die Spalte mit der größten Betragsnorm genommen. <br><br>
Die Zeilensummennorm ist eine Matrixnorm. Hier wird die Zeile mit der größten Betragsnorm genommen. <br><br>
Die Gesamtnorm ist eine Matrixnorm. Für die Norm wird lediglich das betragsmäßig größte Element genommen und mit der Anzahl aller Elemente mutipliziert. <br><br>
Der relative Fehler ist die Norm dividiert durch die Norm der Inversen. Hier wird der relative Fehler für drei Normen berechnet. <br><br>
Die Pivotisierung guckt welche Zeile an welcher Stelle das größte Element hat und das wird genutzt zur Sortierung. Dadurch kann man z.B. den Gauss Algorithmus stabiler gestalten. <br><br>
Bei dieser Äquilibrierung wird bekommt jede Zeile eine Betragsnorm von 1. Dadurch werden Verfahren durch zusätzliche Pivotisierung sehr viel stabiler. <br><br>
Äquilibrierung und Pivotisierung führt dazu, dass zB die LR-Zerlegung sehr viel stabiler wird. <br><br>
Eigenwerte sind toll. <br><br>
</p>
</div>
<br>
<textarea name=ergebnisp class="result_matrix" cols=35 rows=7>z.B. Permutationsmatrizen </textarea>
<textarea name=ergebnis class="result_matrix" cols=35 rows=7>Ergebnisfeld 1 </textarea>
<textarea name=ergebnis2 class="result_matrix" cols=35 rows=7>Ergebnisfeld 2 </textarea>
<br>
<input type=button class=move_button value="Links --> Matrix 1" onclick="hoch1()">
<input type=button class=move_button value="Links --> Matrix 2" onclick="hoch6()">
<input type=button class=move_button value="Mitte --> Matrix 1" onclick="hoch2()">
<input type=button class=move_button value="Mitte --> Matrix 2" onclick="hoch3()">
<input type=button class=move_button value="Rechts --> Matrix 1" onclick="hoch4()">
<input type=button class=move_button value="Rechts --> Matrix 2" onclick="hoch5()">
</div>
</form>
<div id=unten>
<br>
Version 0.995 ©2010-2014 by Karsten Behrendt<br/>
<span id="warning">Fehler, Kritik, Likes, und Code bitte auf <a href="https://github.com/karstenBehrendt/matrizenrechner">Github</a></span> <br/>
<a href=impressum.htm>Impressum</a>, <a href=changelog.txt>Changelog </a>
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