Exercise_All_Set_for_Monoids.md

2.4 Exercise: All Set for Monoids

对于 Set 类型，可以定义哪些 Monoid 和 Semigroup 实例呢？

首先，Set 有 4 种典型操作：

• union 取并集
• intersect 取交集
• diff 取差 + complement 取补集

1. union

取并集可以定义为 Monoid，单位元为空集合：

implicit def unionMonoid[A]: Monoid[Set[A]] =
  new Monoid[Set[A]] {
    override def empty: Set[A] = Set.empty[A]
    override def combine(x: Set[A], y: Set[A]): Set[A] = x union y
  }

证明：

associativeLaw(Set(1, 2, 3), Set(4, 5), Set(6))(unionMonoid)

identityLaw(Set(1, 2, 3))(unionMonoid)

这里使用 def 定义 unionMonoid，而非 val，原因是 def 定义可以接受类型参数，使用 val 会将 unoinMonoid 限制在某一特定类型的 Set 上。

可以这样使用 unionMonoid：

val intSetMonoid: Monoid[Set[Int]] = Monoid[Set[Int]]

intSetMonoid.combine(Set(1, 2, 3), Set(1, 2, 3, 4, 5))

2. intersect

取交集只能定义为 Semigroup，因为无法为它找到有意义的 单位元：

implicit def insersectSemigroup[A]: Semigroup[Set[A]] =
  (x, y) => x intersect y

3. complement 和 difference

差集和补集都不满足结合律，因此不能为其定义 Monoid 或 Semigroup 实例。