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线性代数

向量(Vector)

从A点指向B点的

点乘/点积（dot product）

$$ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos(\theta) $$

向量点乘的结果是一个数字

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影

点乘满足交换律、结合律、分配律

2D情况下： $$ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}x_a\y_a\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_b\y_b\end{pmatrix} = x_ax_b+y_ay_b $$ 3D情况下： $$ \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}x_a\y_a\z_a\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x_b\y_b\z_b\end{pmatrix} = x_ax_b+y_ay_b+z_az_b $$ 点乘的主要作用，就是找到两个向量之间的夹角， 这样就可以计算：

1. 计算光线的入射角
2. 物体表面法线
3. 一个向量“投影”到另一个向量上是什么样子:

4. 点乘还可以用来计算两个向量是否“方向接近”， 如果两个向量比较接近，那么点乘后的值应当接近1

5. 用于检测前向/后向， 点乘大于0 是正向，小于0是负向，等于0是垂直方向。 如下图， 红色向量相对黑色向量就是正向， 蓝色向量相对黑色向量就是负向。

   

叉乘/叉积（cross product）

向量叉乘后，是一个新的垂直于a和b的向量。 新的向量的方向遵循右手定则确定

$$ \overrightarrow{x} \times \overrightarrow{y} = +\overrightarrow{z}\ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0} \ \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}\ \overrightarrow{a} \times (k\overrightarrow{b}) = k \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \ $$ 向量叉乘不满足交换律， 但是满足分配律、结合律

代数形式： $$ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}y_az_b-y_bz_a\z_ax_b-x_az_b\x_ay_b-y_ax_b\end{pmatrix} $$

矩阵形式： $$ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (A^*)b = \begin{pmatrix} 0&-z_a&y_a\ z_a&0&-x_a\ -y_a&x_a&0\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b\ y_b\ z_b\ \end{pmatrix} $$

用途：

1. 判定左/右：a叉乘b后为正向量，说明 b一定在 a左侧； 如果为负向量，则b一定在a右侧

2. 判定内/外：利用叉乘判定一个点是否在形状内/外，如下图，可用 AB AP 做叉乘， BC BP叉乘， CA CP 叉乘是否都为正（都在三条边的左侧），就可以判定 P是否在三角形内部。 这样可以用于计算三角形覆盖那些像素，用于光栅化计算，对像素着色

   

直角坐标系

通常我们会定义三个模为1的向量 u,v,w 的单位向量，这样我们可以把任意一个向量分解为这三个方向向量的投影之和。

当 u、v、w 向量相互垂直的时候，我们就能很方便的用三个数字表示任意一个点。 这就是直角坐标系。

矩阵(Matrix)

矩阵就是由m行n列构成的一个数列

矩阵乘积（multiplication）

第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数的时候，才能进行两个矩阵相乘。 $$ \underbrace{(M \times \textcolor{red}{N})}_A \underbrace{(\textcolor{red}{N} \times P)}_B = \underbrace{(M \times P)}_C $$ （也即：M行N列矩阵A 乘与 N行P列矩阵B 等于 M行P列矩阵C）

矩阵乘法简单的记忆方法：

计算结果矩阵 C 的第 m行第p 列位置的值，等于原来矩阵 A的第m 行矩阵点乘矩阵B第n列矩阵, 例如： $$ \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\ a_{21}&a_{22}\ a_{31}&a_{32}\ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}&b_{14}\ b_{21}&b_{22}&b_{23}&b_{24}\ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} & a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23} & a_{11}b_{14}+a_{12}b_{24}\ a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22} & a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23} & a_{21}b_{14}+a_{22}b_{24}\ a_{31}b_{11}+a_{32}b_{21} & a_{31}b_{12}+a_{32}b_{22} & a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23} & a_{31}b_{14}+a_{32}b_{24}\ \end{pmatrix} $$ 矩阵乘积不满足交换律， 但是满足结合律和分配律

矩阵乘以向量

我们可以把向量看作列向量（w行1列）后，就可以用一个w列的矩阵乘以该向量。

例如：把任意一个点做y轴对称的操作，我们可以这么计算即可： $$ \begin{pmatrix} -1&0\ 0&1\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\ y\ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} -x\ y\ \end{pmatrix} $$ 这样我们可以用矩阵乘积，就能计算出镜像坐标。

矩阵转置（Transpose）

把矩阵的行列交换，就叫矩阵转置通常记做上标T，例如： $$ \begin{pmatrix} 1&2\ 3&4\ 5&6\ \end{pmatrix}^T

\begin{pmatrix} 1&3&5\ 2&4&6\ \end{pmatrix} $$ 转置的特性： $$ (AB)^T=B^TA^T $$

单位矩阵 (Identity Matrix) 及其逆(Inverses)

对角线为1，其余为0，且行列数相同的矩阵叫单位矩阵，如： $$ I_{3\times3}= \begin{pmatrix} 1&0&0\ 0&1&0\ 0&0&1\ \end{pmatrix} $$

矩阵的逆，是指我们如果能找到一个矩阵B， 使得矩阵A乘与该矩阵B后等于单位矩阵I，我们就称 B矩阵 是 A矩阵的 逆， 即： $$ AA^{-1}=A^{-1}A=I $$ 逆运算也与转置比较类似，满足： $$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $$

向量点乘/叉乘 的矩阵形式

向量的点乘/叉乘，我们可以用矩阵的乘积形式来表示：

• 点乘（Dot Product）

$$ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}= (\overrightarrow{a})^T\overrightarrow{b}\

\begin{pmatrix}x_a&y_a&z_a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_b\y_b\z_b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_ax_b+y_ay_b+z_az_b\end{pmatrix} $$

• 叉乘（Cross Product）

$$ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (A^*)b = \begin{pmatrix} 0&-z_a&y_a\\ z_a&0&-x_a\\ -y_a&x_a&0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b\\ y_b\\ z_b\\ \end{pmatrix} $$

注意上面 A* 是一个叫“A*” ( dual matrix )的矩阵， 而不是 A乘b 的意思