变换 (Transform)
变换是在处理3d场景中的重要数学工具。变换可以做到：
- 在3d环境下移动、旋转、缩放3d物体
- 构建显示表面环境的二维视图
在世界坐标系中定义物体，一般使用右手坐标系， 所以下文的内容基于右手坐标系进行讨论及展示。
一般而言，刚体只能被用于平移和旋转，缩放主要是用在物体建模时候。
我们定义一个矩阵S，S矩阵可以使得目标点按照原点缩小放大。
此时对于坐标上的任意点，都有： $$ \begin{bmatrix}x'\y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}s_x&0\0&s_y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}\ P'= SP $$
和缩放矩阵类似，我们也可以定义一个矩阵R，使得目标按照 x或y方向镜像
此时对于坐标上任意点，都有： $$ \begin{bmatrix}x'\y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1&0\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}\ P'= RP $$
切变矩阵可以让目标图片产生错切效果（y=0时水平挪动(shift)为0， y=1时水平挪动为a， 垂直方向 挪动shift 都是0）
此时对于坐标上任意点，都满足： $$ \begin{bmatrix}x'\y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&a\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}\ $$
一般而言。如果没有特别声明，旋转就是指绕着坐标系原点进行的旋转
此时对于坐标上任意点，都满足： $$ \begin{bmatrix}x'\y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}cos(\theta)&-sin(\theta)\sin(\theta)&cos(\theta)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}\ P'=RP $$
综上所述，我们就可以发现，上面的操作都可以用一个 2x2的矩阵对任意一个点进行乘积运算变换得到， 我们把这种变换就叫做线性变换。 $$ \begin{bmatrix}x'\y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix}\ P'=MP $$
特别的, 如果我们还能计算出一个结论，旋转角度为负值的矩阵，等于旋转角度为正的矩阵的逆，这个结论后面十分有用： $$ R_{-\theta} = R^{-1}_\theta $$
但是特殊的，对于平移操作来说， 我们无法简单的吧点P‘ 的位置，用一个矩阵进行乘积后得到。
如上图，实际上要计算P‘ 我们需要用到矩阵的加法，而不是乘法。 $$ \begin{bmatrix}x'\y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x\y\end{bmatrix} \textcolor{red}{+} \begin{bmatrix}t_x\t_y\end{bmatrix}\ P'=T+P $$
现在我们发现有个问题，就是我们虽然能用矩阵乘积和加法进行基本的变换， 但是由于平移变换的特殊性， 多引入了一个加法运算， 为了消除这个加法运算， 我们对点P增加一个缩放因子w，让顶点 P(x,y) 表示为 P(wX,wY), 这样对于任何缩放因子 w≠0 时，二维笛卡儿坐标可以表示为 $$ P(\frac{X}{w},\frac{Y}{w}) $$ 这个时候如果设 w=1 ，我们可以把一个点(x,y)的矩阵表示为
$$ P = \begin{pmatrix} x \ y \ 1 \end{pmatrix} $$ 那么此时，我们也可以用类似缩放矩阵或者旋转矩阵的方式来进行平移变换了， 这样形式上就统一了：
特别的，我们要注意下，当w=0的时候，我们表示的是一个向量，而不是一个点。也就是说，我们认为：
点 point(x,y) 应当表示为 $$ (x,y,1)^T $$
向量 vector(x,y) 应当表示为
因为这里其实暗示，w更深层次的含义，是暗示了点和向量之间的加减， 因为点不具备方向，向量是具备方向且平移不变的：
-
vector + vector = vector
-
point - point = vector
-
point + vector = point
-
point +point = 两个点的中点
接下来我们在上面讨论的基础上，在齐次坐标的变换公式中，继续加入缩放和旋转，组成一个完整的变换。（证明略，只给出最终形式） $$ \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&T_x \ A_{21}&A_{22}&T_y \ 0&0&1 \end{bmatrix} $$ 这样，我们就可以对任意的线性变换，给出单个变换矩阵的定义， 上面这样的变换矩阵，我们就称之为仿射变换。
也即一个仿射变换，由线性变换(旋转、缩放、斜切) 和 平移变换构成。 $$ S(s_x,s_y) = \begin{pmatrix}s_x&0&0\0&s_y&0\0&0&1\end{pmatrix}\ R(\alpha) = \begin{pmatrix}cos\alpha&-sin\alpha&0\sin\alpha&cos\alpha&0\0&0&1\end{pmatrix}\ T(t_x,t_y) = \begin{pmatrix}1&0&t_x\0&1&t_y\0&0&1\end{pmatrix}\ $$ 仿射变换的代价，就是增加了空间复杂度
现在我们来考虑一个问题，如何把左侧图片，变换到右侧？如和找到这样的一个变换?
此时，我们可以用矩阵的乘法，即可完成变换的叠加操作。
比如，我们可以把物体先 旋转45度， 再平移，则： P'=T(1,0)R(45)P
当然我们也可以向上平移后，再逆时针旋转45度： P'=R(-45)T(0,1)P 。
注意这里的R(-45)矩阵不是上面的 R(45)矩阵， 因为矩阵乘法不满足交换律， 所以 AB ≠ BA
叠加的方式：如果三个矩阵乘法为 CBA , 则应用顺序为 A->B->C , 也即，右乘的都是先应用，左乘的都是后应用 $$ A_n(...A_2(A_1(X))) = A_n...A_2A_1\begin{pmatrix}x\y\1\end{pmatrix} $$
例如这个问题： 我们如何计算绕一个点C旋转的一个变换？
此时我们可以执行下面三个流程：
- 把目标移动到原点
- 旋转
- 再移动回原来位置
于是可以有目标矩阵
$$
T=T(c)R(\alpha)T(-c)
$$
例如，当我们只讨论 xoy 平面的，绕局部坐标系旋转的场景， 令 （Tx,Ty,0 ）为物品局部坐标系原点，那么应当应用的变换T应当为： $$ T = T_2RT_1 \left. = \begin{bmatrix} 1&0&0&-T_x \ 0&1&0&-T_y \ 0&0&1&0 \ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos(\theta)&-sin(\theta)&0&0 \ sin(\theta)&cos(\theta)&0&0 \ 0&0&1&0 \ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1&0&0&T_x \ 0&1&0&T_y \ 0&0&1&0 \ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \right. \
\left. =\begin{bmatrix} cos(\theta)&-sin(\theta)&0&(-T_xcos(\theta))+T_ysin(\theta)+T_x) \ sin(\theta)&cos(\theta)&0&(-T_xsin(\theta))-T_ycos(\theta)+T_y) \ 0&0&1&0 \ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \right. $$
同样的，我们采用"齐次坐标"的坐标系，增加一个缩放因子 w，令 $$ \text{3D point} = (x,y,z,\textcolor{orange}{1})^T\ \text{3D vector} = (x,y,z,\textcolor{orange}{0})^T $$
这样对于任何缩放因子 w≠0 时，一个点在三维笛卡儿坐标可以表示为 $$ V(\frac{X}{w},\frac{Y}{w},\frac{Z}{w}) $$ 那么我们可用一个4x4的矩阵表示3D的仿射变换
这里要注意的是，仿射变换实际上是先执行线性变换，再执行平移变换的。 （记忆方法：因为变换的基础是 P'=MP+T, 故先执行的应该是乘法）