4_featureselection.qmd

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title: "Sélection de variables : une introduction"
date: 2023-07-15T13:00:00Z
draft: false
weight: 50
slug: lasso
type: book
tags:
  - scikit
  - machine learning
  - US elections
  - LASSO
  - feature selection
  - Modélisation
  - Exercice
categories:
  - Modélisation
  - Exercice
description: |
  L'accès à des bases de données de plus en plus riches permet
  des modélisations de plus en plus raffinées. Cependant,
  les modèles parcimonieux sont généralement préférables
  aux modèles extrêmement riches pour obtenir de bonnes
  performances sur un nouveau jeu de données (prédictions
  _out-of-sample_). Les méthodes de sélection de variables,
  notamment le [`LASSO`](https://fr.wikipedia.org/wiki/Lasso_(statistiques)),
  permettent de sélectionner le signal le plus
  pertinent dilué au milieu du bruit lorsqu'on a beaucoup d'information à
  traiter.  
image: featured_selection.png
echo: false
---




::: {.cell .markdown}
```{python}
#| echo: false
#| output: 'asis'
#| include: true
#| eval: true

import sys
sys.path.insert(1, '../../') #insert the utils module
from utils import print_badges

#print_badges(__file__)
print_badges("content/modelisation/4_featureselection.qmd")
```
:::




{{< include _import_data_ml.qmd >}}


Jusqu'à présent, nous avons supposé que les variables utiles à la prévision du
vote Républicain étaient connues du modélisateur. Nous n'avons ainsi exploité qu'une partie
limitée des variables disponibles dans nos données. Néanmoins, outre le fléau
computationnel que représenterait la construction d'un modèle avec un grand
nombre de variables, le choix d'un nombre restreint de variables
(modèle parcimonieux) limite le risque de sur-apprentissage.

Comment, dès lors, choisir le bon nombre de variables et la meilleure
combinaison de ces variables ? Il existe de multiples méthodes, parmi lesquelles :

* se fonder sur des critères statistiques de performance qui pénalisent les
modèles non parcimonieux. Par exemple, le BIC.
* techniques de *backward elimination*.
* construire des modèles pour lesquels la statistique d'intérêt pénalise l'absence
de parcimonie (ce que l'on va souhaiter faire ici). 

## Principe du LASSO

### Principe général

La classe des modèles de *feature selection* est ainsi très vaste et regroupe
un ensemble très diverse de modèles. Nous allons nous focaliser sur le LASSO
(*Least Absolute Shrinkage and Selection Operator*)
qui est une extension de la régression linéaire qui vise à sélectionner des
modèles *sparses*. Ce type de modèle est central dans le champ du 
*Compressed sensing* (où on emploie plutôt le terme 
de *L1-regularization* que de LASSO). Le LASSO est un cas particulier des
régressions elastic-net dont un autre cas fameux est la régression *ridge*.
Contrairement à la régression linéaire classique, elles fonctionnent également
dans un cadre où $p>N$, c'est à dire où le nombre de régresseurs est très grand puisque supérieur
au nombre d'observations.

### Pénalisation

En adoptant le principe d'une fonction objectif pénalisée,
le LASSO permet de fixer un certain nombre de coefficients à 0.
Les variables dont la norme est non nulle passent ainsi le test de sélection. 

::: {.cell .markdown}
```{=html}
<div class="alert alert-warning" role="alert">
<h3 class="alert-heading"><i class="fa-solid fa-pencil"></i> Hint</h3>
```
Le LASSO est un programme d'optimisation sous contrainte. On cherche à trouver l'estimateur $\beta$ qui minimise l'erreur quadratique (régression linéaire) sous une contrainte additionnelle régularisant les paramètres:
$$
\min_{\beta} \frac{1}{2}\mathbb{E}\bigg( \big( X\beta - y  \big)^2 \bigg) \\
\text{s.t. } \sum_{j=1}^p |\beta_j| \leq t
$$
Ce programme se reformule grâce au Lagrangien est permet ainsi d'obtenir un programme de minimisation plus maniable : 
$$
\beta^{\text{LASSO}} = \arg \min_{\beta} \frac{1}{2}\mathbb{E}\bigg( \big( X\beta - y  \big)^2 \bigg) + \alpha \sum_{j=1}^p |\beta_j| = \arg \min_{\beta} ||y-X\beta||_{2}^{2} + \lambda ||\beta||_1
$$
où $\lambda$ est une réécriture de la régularisation précédente qui dépend de $alpha$. La force de la pénalité appliquée aux modèles non parcimonieux dépend de ce paramètre. 

```{=html}
</div>
```
:::

### Première régression LASSO

Avant de se lancer dans les exercices, on va éliminer quelques colonnes redondantes, 
celles qui concernent les votes des partis concurrents (forcément très
corrélés au vote Républicain...)  :

```{python}
#| echo: true
df2 = votes.loc[:,~votes.columns.str.endswith(
  ('_democrat','_green','_other', 'per_point_diff', 'per_dem')
  )]
```

Nous allons utiliser par la suite les fonctions ou
packages suivants :

```{python}
#| echo: true
import numpy as np
from sklearn.svm import LinearSVC
from sklearn.feature_selection import SelectFromModel
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import Lasso
import sklearn.metrics
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import matplotlib.cm as cm
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import lasso_path
import seaborn as sns
```

::: {.cell .markdown}
```{=html}
<div class="alert alert-success" role="alert">
<h3 class="alert-heading"><i class="fa-solid fa-pencil"></i> Exercice 1 : Premier LASSO</h3>
```


On cherche toujours à prédire la variable `per_gop`.

1.  Préparez les variables à utiliser.
  * Ne garder que les colonnes numériques (idéalement on transformerait
      les variables non numériques en numériques)
  * Remplacer les valeurs infinies par des NaN et les valeurs manquantes par 0. 
  * Standardiser les *features* (c'est-à-dire les variables autres que la variable `per_gop`) avec `StandardScaler`
2. On cherche toujours à prédire la variable `per_gop`. Créez un échantillon d'entraînement et un échantillon test. 
3. Estimer un modèle LASSO pénalisé avec $alpha = 0.1$. Afficher les valeurs des coefficients. Quelles variables ont une valeur non nulle ?
4. Montrer que les variables sélectionnées sont parfois très corrélées. 
5. Comparer la performance de ce modèle parcimonieux avec celle d'un modèle avec plus de variables 
6. Utiliser la fonction `lasso_path` pour évaluer le nombre de paramètres sélectionnés par LASSO lorsque $\alpha$
varie (parcourir $\alpha \in [0.001,0.01,0.02,0.025,0.05,0.1,0.25,0.5,0.8,1.0]$ ). 

```{=html}
</div>
```
:::


```{python}
#| output: false

#1. Garder uniquement les variables numériques et standardiser.
df2 = votes.loc[:,~votes.columns.str.endswith(('_democrat','_green','_other', 'per_point_diff', 'per_dem'))]
df2 = df2.select_dtypes(include=np.number)
df2.replace([np.inf, -np.inf], np.nan, inplace=True)
df2 = df2.fillna(0)
col_names = df2.loc[:, df2.columns != 'per_gop'].columns.values
features = df2[col_names]
features = StandardScaler().fit(features.values).transform(features.values)
df2[col_names] = features
#df2.head()
```

```{python}
#| output: false

#2. Echantillon d'entraînement et échantillon test
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
    df2.drop(["per_gop"], axis = 1),
    100*df2[['per_gop']].values.ravel(), test_size=0.2, random_state=0
)
```



A l'issue de la question 3,
les variables sélectionnées sont :

```{python}

#3. Estimer un modèle LASSO et afficher les valeurs des coefficients
lasso1 = Lasso(fit_intercept=True, alpha = 0.1).fit(X_train, y_train)

#np.abs(lasso1.coef_)
features_selec = df2.select_dtypes(include=np.number).drop("per_gop", axis = 1).columns[np.abs(lasso1.coef_)>0].tolist()
features_selec
# Le modèle est assez parcimonieux puisque 
# un sous-échantillon de variables sont sélectionnées 

```

Certaines variables font sens, comme les variables d'éducation par exemple. Notamment, un des meilleurs prédicteurs pour le score des Républicains en 2020 est... le score des Républicains (et mécaniquement des démocrates) en 2016.

Par ailleurs, on sélectionne des variables redondantes. Une phase plus approfondie de nettoyage des données serait en réalité nécessaire.


```{python}
#4. Corrélations entre les variables sélectionnées
corr = df2[features_selec].corr()

plt.figure()
p = corr.style.background_gradient(cmap='coolwarm', axis=None).format('{:.2f}')
p
```


```{python}
#| output: false

#5. Faire une régression linéaire parcimonieuse et non parcimonieuse

## Régression parcimonieuse
y_pred_parci = lasso1.predict(X_test)
rmse_parci = sklearn.metrics.mean_squared_error(y_test, y_pred_parci, squared = False)
print("rmse_parci : ", rmse_parci)
rsq_parci = sklearn.metrics.r2_score(y_test, y_pred_parci) 
print("rsq_parci : ", rsq_parci)

## Régression non parcimonieuse
ols = LinearRegression().fit(X_train, y_train)
y_pred_nonparci = ols.predict(X_test)
rmse_nonparci = sklearn.metrics.mean_squared_error(y_test, y_pred_nonparci, squared = False)
print("rmse_nonparci : ", rmse_nonparci)
rsq_nonparci = sklearn.metrics.r2_score(y_test, y_pred_nonparci) 
print("rsq_nonparci : ", rsq_nonparci)

# Le modèle parcimonieux est (légèrement) plus performant. 

```

```{python}
#| output: false
#| eval: false

### Autres exemples Lino : 
import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf
print(smf.ols("per_gop ~ share_2016_republican", data = df2).fit().summary())

# Performance du modèle déjà bonne avec une variable explicative
# Par la suite : se contenter de variables moins bonnes mais qui
# présentent un intérêt pour la sélection
df2 = votes.loc[:,~votes.columns.str.endswith(("_republican",'_democrat','_green','_other', 'per_point_diff', 'per_dem'))]
df2 = df[[c for c in df.columns if c not in cols_to_exclude] + ['rep16_frac']]
```



```{python}
#| output: false

#6. Utilisation de lasso_path
my_alphas = np.array([0.001,0.01,0.02,0.025,0.05,0.1,0.25,0.5,0.8,1.0])
alpha_for_path, coefs_lasso, _ = lasso_path(X_train,y_train,alphas=my_alphas)
#print(coefs_lasso)
nb_non_zero = np.apply_along_axis(func1d=np.count_nonzero,arr=coefs_lasso,axis=0)
print(nb_non_zero)

## graphique

sns.set_style("whitegrid")
plt.figure()
p = sns.lineplot(y=nb_non_zero, x=alpha_for_path)
p.set(title = r"Number variables and regularization parameter ($\alpha$)", xlabel=r'$\alpha$', ylabel='Nb. de variables')
```

```{python}
#| echo: false
p.figure.get_figure()
```

On voit que plus $\alpha$ est élevé, moins le modèle sélectionne de variables.




```{python}
#| output: false
p.figure.get_figure().savefig("featured_selection.png")
```

## Validation croisée pour sélectionner le modèle

Quel $\alpha$ faut-il privilégier ? Pour cela, 
il convient d'effectuer une validation croisée afin de choisir le modèle pour
lequel les variables qui passent la phase de sélection permettent de mieux
prédire le résultat Républicain :

```{python}
#| echo: true
#| output: false
from sklearn.linear_model import LassoCV

df3 = df2.select_dtypes(include=np.number)
df3.replace([np.inf, -np.inf], np.nan, inplace=True)
df3 = df3.fillna(0)
scaler = StandardScaler()
yindex = df3.columns.get_loc("per_gop")
df3_scale = scaler.fit(df3).transform(df3)
# X_train, X_test , y_train, y_test = train_test_split(np.delete(data, yindex, axis = 1),data[:,yindex], test_size=0.2, random_state=0)

lcv = LassoCV(alphas=my_alphas, fit_intercept=False,random_state=0,cv=5).fit(np.delete(df3_scale, yindex, axis = 1), df3_scale[:,yindex])
```

```{python}
print("alpha optimal :", lcv.alpha_)
```

```{python}
lasso2 = Lasso(fit_intercept=True, alpha = lcv.alpha_).fit(X_train,y_train)
features_selec2 = df2.select_dtypes(include=np.number).drop("per_gop", axis = 1).columns[np.abs(lasso2.coef_)>0].tolist()
```


Les variables sélectionnées sont : 

```{python}
print(features_selec2)
```


```{python}
df2.select_dtypes(include=np.number).drop("per_gop", axis = 1).columns[np.abs(lasso2.coef_)>0]
nlasso = sum(np.abs(lasso2.coef_)>0)
```

```{python}
#| echo: false
#| output: asis
print("Cela correspond à un modèle avec {} variables sélectionnées.".format(int(nlasso)))
```


::: {.cell .markdown}
```{=html}
<div class="alert alert-warning" role="alert">
<h3 class="alert-heading"><i class="fa-solid fa-pencil"></i> Hint</h3>
```

Dans le cas où le modèle paraîtrait trop peu parcimonieux, il faudrait revoir la phase de définition des variables pertinentes pour comprendre si des échelles différentes de certaines variables ne seraient pas plus appropriées (par exemple du `log`). 

```{=html}
</div>
```
:::