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\documentclass[a4paper, 12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[brazilian]{babel}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage[top=1in, bottom=1in]{geometry}
\usepackage{listings}
\usepackage{lmodern}
\lstdefinestyle{mystyle}{
tabsize=4
}
\lstset{style=mystyle}
\title{Análise de complexidade do Algoritmo de Floyd Modificado}
\author{Matheus Silva Pinheiro Bittencourt}
\date{\today}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Algoritmo}
\begin{lstlisting}
FloydModificado ()
inicio
para i = 1 ate n faca
para j = 1 ate n faca
A[i,j] <- D[i,j];
R[i,j] <- 0;
fim para
fim para
para i = 1 ate n faca
A[i,i] <- 0;
fim para
para k = 1 ate n faca
para i = 1 ate n faca
para j = 1 ate n faca
se A[i,k] + A[k,j] < A[i,j] entao
A[i,j] <- A[i,k] + A[k,j];
R[i,j] <- k;
fim para
fim para
fim para
fim
\end{lstlisting}
\section*{Análise}
No primeiro \verb|for|, analisando de dentro para fora:
\begin{itemize}
\item As duas operações de atribuição custarão $2n$, o \verb|for| terá que
fazer $n$ incrementos e $n+1$ testes, e mais $1$ da atribuição
\verb|j = 1|. Logo $T_{interno}(n) = 2n + n + n + 1 + 1 = 4n + 2$
\item No for externo, serão feitos $n$ incrementos, $n+1$ testes, mais $1$
de custo para a atribuição de \verb|i|, isso adicionado a
$n*T_{interno}(n)$. Logo:
\begin{math}
T_{externo}(n) = n + n + 1 + 1 + n*T_{interno}(n) \\
T_{externo}(n) = 2n + 2 + 4n^2 + 2n \\
T_{externo}(n) = \mathbf{T_{for1}(n) = 4n^2 + 4n + 2}
\end{math}
\end{itemize}
No segundo \verb|for|, o custo do \verb|for| será $n$, pois só é feito uma
atribuição dentro do loop, também terá $n+1$ de custo dos testes, $1$ da
atribuição de \verb|i|, e $n$ dos incrementos de \verb|i|. Logo, para esse
\verb|for|, $\mathbf{T_{for2}(n) = 3n + 2}$.
\mbox{}
Para o terceiro \verb|for|, sabemos que cada \verb|for| custa $2n + 2 + n*T(n)$
onde $T(n)$ é o custo de execução da parte interna do \verb|for|. Expandindo
essa ``fórmula'' temos:
\mbox{}
\noindent
\begin{math}
T_{for3}(n) = 2n + 2 + n(2n + 2 + n(2n + 2 + n*5))\\
T_{for3}(n) = 2n + 2 + n(2n + 2 + 2n^2 + 2n + 5n^2)\\
T_{for3}(n) = 2n + 2 + n(7n^2 + 4n + 2)\\
T_{for3}(n) = 2n + 2 + 7n^3 + 4n^2 + 2n\\
\mathbf{T_{for3}(n) = 7n^3 + 4n^2 + 4n + 2}
\end{math}
\mbox{}
No final $T(n) = 5$ pois no \verb|for| interno são feitas duas somas, duas
atribuições, e um teste, logo, para esse \verb|for| temos $T(n) = 2n + 2 + 5n$,
terminando essa espécie de chamada recursiva a $T(n)$.
\section*{Conclusão}
Somando todos os T(n) temos:
\mbox{}
\noindent
\begin{math}
T_{total}(n) = T_{for1}(n) + T_{for2}(n) + T_{for3}(n)\\
T_{total}(n) = 4n^2 + 4n + 2 + 3n + 2 + 7n^3 + 4n^2 + 4n + 2\\
T_{total}(n) = 7n^3 + 8n^2 + 11n + 6
\end{math}
\mbox{}
\noindent
Portanto a complexidade assintótica do algoritmo é $\mathcal{O}(n^3)$.
\end{document}