Bu ders notları Prof. Dr. Nalan CİNEMRE'nin Yöneylem Araştırması kitabından (İstanbul: Ekin Yayınları, 2011) yararlanılarak hazırlanmıştır.
Sanayi devrimiyle birlikte sınai işletmelerinin hızla büyümeleri sonucunda bir kişinin bütün yöneticilik fonksiyonlarını tek başına gerçekleştirmesi olanaksız hale gelmiştir. Bunun doğal sonucu olarak yönetim fonksiyonları ayrılmış, böylece işletme bünyesinde üretim, pazarlama, finansman vb. farklı bölümler ortaya çıkmıştır. Yönetim fonksiyonunun gittikçe artan sayıda bölümlere ayrılması, yeni işletme sorunlarını da bereberinde getirmiştir. Bir bölüm için en iyi olan davranış biçiminin bir başka bölüm için, iyi olmak bir yana, genellikle yıkıcı olması bölümleri, birbirlerinin amaç ve faaliyetlerini göz önünde bulundurmak zorunda bırakmıştır. Bu tip sorunlar ve bunlara daha iyi çözüm bulma yaklaşımları da yöneylem araştırmasını doğurmuştur.
Yöneylem araştırmasını anlamak için gelişme sürecinin bilinmesi uygun olur. Günümüz yöneylem araştırmasında kullanılan bazı model ve tekniklerin kullanılmaları çok eskiye dayansa da, yöneylem araştırması adı verilen faaliyetin ilk olarak II. Dünya Savaşı sırasında gerçekleştirildiği kabul edilmektedir. II. Dünya Savaşı sırasında İngiltere askeri yönetimi, düşmanlarının hava akınları karşısında en iyi savunma şeklini belirlemek amacıyla farklı disiplinlerden bilim adamlarıyla bir ekip çalışması başlatmış ve böylece en iyi savunma şeklini bulmuştur. Bu çalışma için bir araya gelen bilim adamlarından "yeni tip bombaların etkinliklerinin belirlenmesi ve radarların etkili biçimde kullanımlarının sağlanması" problemini çözmeleri istenmiştir. Çözüm sonuçlarının uygulamada çok başarılı olması, savunma sisteminin diğer kesimlerinde; "radar denetim politikaları", "uçaksavar yangın kontrolü", "konvoy büyüklüğü", "düşman denizaltılarının yerlerinin saptanması" gibi çeşitli askeri problemlerin çözümünde benzer ekiplerin oluşturulmasını sağlamıştır. 1941 yılından başlayarak benzer ekipler İngiliz Silahlı Kuvvetleri’nin üç kanadında daima aktif rol oynamış ve silahlı kuvvetlerin ayrılmaz bir parçası olmuşlardır.
İngiltere’de alınan başarılı sonuçlar müttefiklerin de dikkatini çekmiş, bu ülkeler de askeri problemlerini farklı disiplinlerden bilim adamlarıyla oluşturdukları ekiplerle çözmeye girişmişlerdir. Yöneylem araştırmasıyla İngiltere’den çok sonra tanışmış olmakla birlikte, ABD’nin bu konudaki yoğun çabaları yöneylem araştırmasında önemli ilerlemeler kaydedilmesini sağlamıştır. ABD Hava Kuvvetlerinde Marshall K. Wood başkanlığında kurulan bir ekip, Leontief tarafından önerilen girdi-çıktı modelini geliştirerek dağıtım problemlerinin çözümünü gerçekleştirmiştir. Bu ekibin üyelerinden B. Dantzig büyük organizasyonların gerçekleştirdikleri faaliyetlerin büyük bir bölümünün dağıtım problemi olarak ele alınabileceğini ve en iyi plan-programa bir amaç fonksiyonunun en küçüklenmesi ile ulaşılabileceğini açıklamış ayrıca, doğrusal programlama problemlerinin klasik çözüm tekniği olan simpleks yöntemini önermiştir. Simpleks çözüm tekniğinin geliştirilmiş olması doğrusal programlamanın yalnızca dağıtım problemlerinde değil, benzer problemlerde de kullanılmasını sağlamıştır. Savaş sırasında, askeri problemlerin çözümü için oluşturulan ekiplerde aktif biçimde çalışan bilim adamları, savaş sonrasında dikkatlerini benzer yaklaşımın sivil yaşam problemlerine uygulanabilirliği üzerinde yoğunlaştırmışlardır. Bu bilim adamlarından bazıları üniversitelerine dönüp çalışmalarını daha önce oldukça acele biçimde geliştirilen bir kısım teknikler için sağlam temel oluşturma konusunda sürdürürlerken, bazı bilim adamları yeni teknikler geliştirme çabalarına girişmişlerdir. Bilim adamlarının büyük bir kısmı ise özel ekonominin değişik kesimlerindeki çalışmalarına dönerek buralarda karşılaşılan problemleri benzer yaklaşımla çözmeye çalışmışlardır. Bütün bu çalışmalar bilimsel bir uğraşı alanının doğuşuna yol açmıştır.
Yöneylem araştırmasını uygulayan ilk sivil kuruluşlar kâr amaçlı büyük kuruluşlar olmuştur. Küçük boyutlu kuruluşlar yöneylem araştırmasının yalnızca büyük işletmeler için değil, kendileri için de yararlı olduğunun farkına biraz geç varmışlar ve araştırmacıların birbirlerinden farklı gibi görünmelerine karşın pek çok problemin belirli bir başlık -stok, dağıtım, sıralama, kuyruk, oyun- altında incelenebileceklerini farketmeleri ve bunlar için standart çözüm teknikleri geliştirmelerinden çok sonra konuya ilgi göstermişlerdir. Birkaç uygulama dışında yöneylem araştırmasının servis ağırlıklı endüstrilerde ve kamu kesiminde kullanılması 1960’lı yılların ortalarında gerçekleşmiştir. Bununla birlikte bugün banka, kütüphane, hastane, otel, okul gibi servis ağırlıklı pek çok kuruluş servis verme etkinliğini artırmada yöneylem araştırmasından büyük yarar sağlamaktadırlar. Bunlara ek olarak federal ve yerel devlet kuruluşları da plan, program ve politika belirleme çalışmalarında yöneylem araştırmasını yaygın biçimde kullanmaktadırlar. Yöneylem araştırmasının çok geniş bir uygulama alanı bulması ve çok hızlı bir gelişme göstermesindeki en önemli faktör bilgisayar teknolojisindeki gelişme olmuştur.
Yöneylem araştırmasının bir bilim olup olmadığı, doğuşunu izleyen günlerde tartışılmaya başlanmıştır. 1950’li yılların başlarında sivil yöneylem araştırması faaliyetlerinin ulaştığı gelişme düzeyi yöneylem araştırması adı altında yeni bir bilim dalının doğmakta olduğu görüşünün benimsenmesine imkan vermiştir. Yöneylem araştırması alanında çalışan bilim adamlarının ihtiyaçlarını karşılamak amacıyla kurulan ilk yöneylem araştırması kuruluşu, 1952 yılında ABD’de kurulan ORSA (The Operational Research Society of America)’dır. Türkiye’de yöneylem araştırması çalışmalarının batıdan çok sonra başladığı bilinmektedir. Ülkemizde de ilk yöneylem araştırması çalışmaları batıda olduğu gibi savunma kesiminde başlamıştır. Savunma kesimi dışında ilk yöneylem araştırması ekibi 1965 yılında Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumu (TÜBİTAK) bünyesinde kurulmuştur.
Yöneylem araştırması ile ilgili birbirlerinden farklı pek çok tanım verilebilir. Sıkça karşılaşılan tanımlardan bazıları şöyledir: Yöneylem araştırması, geçmiş 40 yıl boyunca yöneylem araştırması adı altında tanımlanmış problemler, teknikler ve çözümlerden oluşan bir bütündür. Yöneylem araştırması, gerçekten savaşmadan savaş kazanma sanatıdır. Yöneylem araştırması, karmaşık bir süreç veya bir faaliyettir. Yöneylem araştırmasının ilk bilimsel açıklamalarının yer aldığı bir kaynakta verilen tanım, kazınımızca en kapsamlı ve tatminkar olandır: Yöneylem araştırması, bir sistemde ortaya çıkan problemlere, sistemin denetlenebilir elemanları cinsinden bilimsel yöntem, teknik ve araçların uygulanmasıyla en iyi çözümün bulunmasıdır([1]).
Belirgin yaklaşımı, sistemin şans ve risk faktörleri ölçülerini içeren ve alternatif karar, strateji ve kontrollerin sonuçlarını karşılaştırmaya olanak sağlamak olan yöneylem araştırması insan, makine, malzeme ve paradan oluşan endüstriyel, ticari, resmi ve askeri sistemlerin yönetilmesi ve yönlendirilmesinde karşılaşılan problemlere bilimsel yöntemin uygulanmasıdır. Amacı, yönetime politika ve faaliyetlerini bilimsel olarak belirlemede yardımcı olmaktır. Genellikle kıt kaynakların sınırlayıcı koşullar altında, insan-makine sistemlerinin en iyi biçimde tasarlanması ve çalıştırılması konusunun bilimsel yaklaşımla kararlaştırılmasıdır. Bu yaklaşımda tahmin, kontrol veya en iyiye ulaşma amaçları ile sistemin sayısal modeli geliştirilir.
Yöneylem araştırması belli başlı altı adımdan oluşan bir karar alma sürecidir.
1. Problemin belirlenmesi
2. Sistemin gözlenmesi
3. Problemin matematiksel modelinin geliştirilmesi
4. Modelden çözüm elde edilmesi
5. Modelin ve çözümün kanıtlanması
6. Çözümün uygulanması ve yorumlanması
Bu adımların hepsi yöneylem araştırması çalışmasının başarılı veya başarısız olmasında aynı derecede önemli olmakla birlikte, yöneylem araştırmasını ilgili disiplinlerden farklı kılan nokta; fonksiyonlar, eşitlikler ve eşitsizliklerden oluşan matematiksel modellerin geliştirilmesine imkan sağlaması ve bu modellerin en iyi çözümlerini verecek tekniklere sahip olmasıdır. Bu nedenle bu iki adım kitapta ağırlıklı olarak incelenecektir.
Adım 1: Yöneylem araştırmasının ilk adımı problemin ne olduğunu açıklığa kavuşturmak başka bir deyişle, problemi belirlemektir. Problemin belirlenmesi konusunda değişik kaynaklarda değişik açıklamalara rastlanmaktadır. Bir kaynakta problemin belirlenmesi ve doğru biçimde formüle edilebilmesi için öncelikle problemin saptanması, bunun sağlanabilmesi için her şeyden önce bir problemin bulunması gerekir denilmektedir. Bu nedenle, bir problemin varlığından söz edilebilmesi için gerekli koşulların bilinmesi zorunludur. Bu koşullar aşağıda açıklanmıştır.
1. İhtiyaçları veya ulaşmak istediği hedef ve amaçları bulunan bir birey ya da topluluğun bulunması gerekir. Alınacak karar üzerinde kontrolü olan bu birey ya da topluluğa "karar verici" denir.
2. Karar vericinin amacına ulaşma sürecinde dikkate alması gereken birden fazla eylem biçiminin veya stratejisinin bulunması gerekir.
3. Belirlenen amaç için en uygun stratejinin ne olduğu konusunda bir kuşkunun veya bir belirsizliğin söz konusu olması gerekir.
4. Çözülmek istenen problemin ait olduğu sistemle ilgili olan ve sistemin içinde bulunduğu bir çevre bulunmalıdır.
Kısaca, bir problemin varlığından söz edebilmenin ön koşulu bir karar vericinin bulunmasıdır. Ayrıca, karar vericinin ulaşmak istediği bir amacının olması, bu amaca ulaşmada izlenebilecek alternatif stratejilerin bulunması ve bu stratejilerden hangisinin amacı gerçekleştireceği konusunda kuşku içinde bulunması gerekir. Ancak bu koşullarda bir problem vardır denir. Problemi formüle edebilmek için öncelikle bu elemanlar üzerinde duralım.
Bilindiği gibi karar verici, alternatif stratejiler arasından en uygun olanını seçme konusunda karar verme yetkisine sahip bir birey ya da topluluğa verilen genel bir isimdir.
Karar vericinin genellikle de birbirleriyle çatışan çeşitli amaçları olabilir. Bazı amaçlar belirli parasal büyüklükler ile ilgilidir. Karar vericinin amacı veya amaçları; kâr, kazanç veya çıktı gibi pozitif değerlerin en büyüklenmesi veya maliyet, zarar, girdi gibi negatif sonuçların en küçüklenmesi olabilir. Amaçların bazıları parasal değildir. Pazar payının korunması ve geliştirilmesi, müşteri iyi niyetinin veya güvenliğin belirli bir derecede tutulması gibi. Parasal olmayan amaçlar, gizli amaçlar olarak değerlendirilir.
Alternatif stratejiler veya karar seçimleri, sistemin karar vericinin kontrolü altındaki yüzünü yansıtırlar. Sistemin karar vericinin kontrol edemediği bazı özellikleri de vardır. Sahip olunan parasal kaynaklar, insan gücü, makine kapasitesi, karar seçimleriyle ilgili maliyetler veya kazançlar gibi. Sistemin dışındaki elemanlar; sunum ve istem eğilimi, yasal kurallar, rakiplerin alacağı kararlar da karar vericinin kontrolü dışındadır. Sistemin kontrol edilebilir ve edilemez elemanları arasındaki fark konusunda çok kesin ve açık görüşler yoktur. Bunlar genellikle probleme göre belirlenir. Sözgelimi, ürün veya hizmet istemini kontrol edilemeyen eleman olarak dikkate alan bir karar verici, istemin belirli bir miktarı aşması durumunda fiyat indirimi, muafiyetten yararlanma ve destek alma gibi olası nedenlerden dolayı istemi kontrol edilebilir bir eleman olarak değerlendirebilir.
Yöneylem araştırması yaklaşımında, problem kapsamında değerlendirilmesi gerektiği düşünülen herhangi bir büyüklükle ilgili olarak öncelikle "bununla ilgili bir şey yapılabilir mi?" ve "amaçla ilgili mi?" sorularının yanıtlanması gerekir. Soruların her ikisinin yanıtı da evet ise bu sorunun muhatabı olan büyüklük problemle ilgilidir. Birinci sorunun yanıtı hayır, ikincininki evet ise bu büyüklük problemin çevresi ile ilgilidir. Her iki sorunun yanıtı hayır olduğunda, soruların muhatabı olan büyüklüğün problemle ilgisi yoktur.
Karar problemlerinin çoğu belirsizlik altında karar alma ile ilgilidir. Kararla ilgili sistemin şimdiki ve gelecekteki çevresinin tüm koşulları veya elemanlarının hepsi hakkında kesin bilgiler bulunmayabilir. Belirsizlik derecesi problemlerin üç ana başlık altında incelenmesine imkan verir. Belirsizlik söz konusu değilse veya göz ardı edilebilecek kadar önemsizse "belirlilik durumunda karar alma" dan söz edilir. Belirlilik durumunda, her bir stratejinin bilinen yalnızca bir sonucu vardır. Belirsizlik durumunda ise herhangi bir stratejinin olası sonuçlarının sayısı en az ikidir. Her bir strateji seçimi sonucu gerçekleşecek olan sonuçların olasılık dağılımlarının biliniyor olması durumunda belirsizlik bir ölçüde azalır ve belirsizlik durumunda karar alma problemi risk durumunda karar alma problemine dönüşür.
Adım 2: Yöneylem araştırmasının ikinci adımı sistemin gözlenmesi, yani probleme etki eden parametrelerin alacağı değerlerin tahminlenmesidir. Bu amaçla veri derlenmesi, bu adımın çok önemli bir kısmını oluşturur. Tahmin değerleri sabit sayılar olarak işleme tabi tutulurlar ve matematiksel modelin geliştirilmesinde kullanılırlar. Problem elemanlarının duruma en uygun biçimde belirlenebilmeleri için sistem yaklaşımı kullanılır. Söz konusu yaklaşıma geçmeden önce sistem kavramı üzerinde duralım. Sistem nedir?
Sistem: Her biri belirli bir görevi veya işlevi yerine getiren ve aşağıdaki özelliklere sahip birbirleriyle ilişkili parçalardan veya alt sistemlerden oluşan kümeye sistem denir.
1. Her parça sistemin amaçlarına katkıda bulunur. Bu katkılar bir bütün olarak sistemin amaçları ile ölçülürler.
2. Her bir parçanın etkinliği en azından diğer bir parçanın katkısına bağlıdır. Bir başka deyişle, hiçbir parçanın sistem üzerindeki etkisi diğer bir parçanın etkisinden bağımsız değildir.
3. Sistemi oluşturan alt grupların hepsi yukarıda açıklanan ilk iki özelliğe sahiptir. Bu nedenle parçalar bağımsız alt sistemler şeklinde değerlendirilemezler.
4. Sistemin tamamen dışında kalan her şey sistemin çevresini oluşturur. Çevre, sisteme girdi sağlama ve sistemden çıktı alma özelliğine sahiptir. Herhangi bir analiz sırasında sistem olarak ele alınan bir bütün, başka bir analizde sistemin çevresi veya bir alt sistemi hatta bir parçası olabilir.
Sistem Yaklaşımı: Probleme ilişkin tüm unsurların incelenerek problemin anlaşılması ve belirlenmesine ilişkin bir bakış açısı olarak tanımlanabilir.
Bu tanımda problemin belirlenmesi için, ilgili sistem ve çevresinin tümüyle dikkate alınması gerektiği vurgulanmaktadır.
Adım 3: Problemin tanımlanması ve sistemin incelenmesinden sonra diğer bir önemli aşama problemin kolayca çözümlenebilecek bir yapıya oturtulması, yani modelinin kurulması aşamasıdır.
Bu aşama yöneylem araştırması yaklaşımının özünü oluşturur. Model nedir?
Model: İncelenen bir sistemin veya problemin temel yapısının veya özünün soyutlanmış şekli olarak tanımlanabilir.
Modeller yapılarına, kullanım amaçlarına, zamanla olan ilişkilerine, çözümleme şekillerine, oluşum düzeylerine ve diğer bazı bakış açılarına göre sınıflandırılmaktadır. Sözgelimi, zamanla olan ilişkilerine göre modeller dinamik ve statik modeller olarak iki başlık altında incelenebilir. Yapıları dikkate alındığında ise sınıflandırma, 1. Uyuşum (iconic) modelleri, 2. Benzeşim (analog) modelleri, 3. Sembolik veya matematiksel modeller şeklindedir. Matematiksel model belirlilik durumunda karar alma problemine ilişkinse deterministiktir. Karar alma, belirsizlik veya risk durumunda gerçekleştiriliyorsa model, olasılıksal veya stokastiktir. Modeller amaçlarına göre genel amaçlı ve özel amaçlı modeller olmak üzere iki gruba ayrılırlar. Model, problemin karar değişkenleri ve bu değişkenler arasındaki fonksiyonel ilişkilerin yapısı hakkında yapılan belirli varsayımları gerçekleştiriyorsa genel amaçlı, yapısı bakımından yalnızca incelenen probleme uygunsa özel amaçlıdır. Genel amaçlı modellerin çoğu için özel çözüm teknikleri geliştirilmiştir. Bu nedenle genel amaçlı modellere teknikler de denir. Bu kitapta incelenen konular açısından bizi ilgilendiren modeller başta genel amaçlı sembolik veya matematiksel modeller olmak üzere olasılıksal ve simülasyon modelleridir. Yöneylem araştırmasının karar vermeye en önemli katkısı matematiksel modelleri kullanmasıdır. Diğer modeller gibi matematiksel modeller de süreç, işlem veya sistem gibi bir gerçeğin bazı önemli varlıklarının matematik gösterimle açıklanmasından ibarettir. Bu modeller bir sistemin anlaşılması ve kavranmasında diğer modellerden daha kullanışlıdır. Ayrıca, diğer modellere göre daha çok işleme tabi tutulma ve çözümlenebilme olanağı sağlarlar. İyi bir modelin sahip olması gereken bazı nitelikleri vardır. Bu niteliklerden en önemli olanları aşağıda açıklanmıştır.
1. Basitlik: Bir modelin sahip olması gereken en önemli özelliğidir. Basit modeller derin matematik bilgisi gerektirmedikleri gibi daha kolay anlaşılırlar. Bu nedenle, yalnızca sistemin işleyişi bakımından önemli olduğu düşünülen elemanları kapsayan model kurulmasına özen gösterilmelidir.
2. Güçlülük: Model, modellenen sistem hakkında sorulacak olan sorulara verdiği yanıtların doğruluğu oranında güçlüdür.
3. Uyarlanabilirlik: İyi bir model, girdi değerlerinin değişmesi durumunda önceden elde edilmiş olan çözümün kolayca yenilenmesine imkan verir. Değişen parametre değerleri değil modelin ta kendisi bile olsa, yürürlükteki çözüm bu yeni duruma kolayca uyarlanabilmelidir.
4. Eksiksiz olma: Modellenen sistemin önemli bütün özellikleri modelde bulunmalıdır.
5. Bağlantı kurabilme: Model girdileri kolayca değiştirilebilmeli, bu değişiklikler karşısında sistemde ortaya çıkabilecek değişiklerin neler olduğu konusundaki sorular kolayca yanıtlanabilmelidir.
Basitlik sağlamak için ihmal edilmeleri sakınca yaratabilecek sistem elemanları ihmal edilmemeli, eksiksiz olmayı sağlamak içinse sistemin işleyişi bakımından önemli olmayan elemanların dikkate alınmamaları uygun olur.
Bir matematiksel modelde, modellenen sistemin kontrol edilebilir özelliklerine karar değişkenleri denir. Karar değişkenlerinin değerleri karar verici tarafından belirlenmiş değerler kümesinden seçilir. Sistemin kontrol edilemeyen özellikleri kontrol edilemeyen değişkenler olarak değerlendirilirler. Kontrol edilemeyen bir değişken, rastgele veya bir olasılık dağılımının herhangi bir parametresi ya da teknolojik ve maliyet sabiti olabilir. Her bir karar değişkeninin karar vericinin amaçlarına yaptığı katkı etkinlik ölçüsü adı verilen fonksiyonel bir ilişki ile açıklanır. Değişkenler arasındaki diğer davranışsal ve teknolojik ilişkiler modelin kısıtlayıcılarını da sağlarlar. Kısıtlayıcılar, fonksiyonlar, eşitlikler veya eşitsizlikler şeklinde belirirler.
Etkinlik Ölçüsü: Her bir strateji veya karar değişkenlerinin değerine karşılık gelen bir sonuç vardır. Sonuç değeri karar verici tarafından belirlenen bir ya da daha fazla sayıda özellikle tanımlanır. Karar vericinin ilgilendiği özellikler, karar vericinin amaçları bakımından sistemin işleyişinin açıklanmasında kullanılabilecek özelliklerdir. Özelliklere yalnızca bu konuda değil, karar seçimleri üzerine konan kısıtlayıcıların gerçekleşip gerçekleşmediklerinin belirlenmesi konusunda da ihtiyaç vardır. Böylece alternatif stratejilerin ortaya konulmaları için gerekli olan özelliklerin belirlenmesinde önemli olan faktörler, amaçlar ve kısıtlayıcılardır.
Amaçlar ve özellikler arasında bire-bir bir ilişki vardır. Sözgelimi, A’dan B’ye doğru bir yolculuk yapmak istediğimizi düşünelim. Amaç A’dan B’ye en kısa sürede ulaşmak ise "A’dan B’ye ulaşma zamanı", bu amacın gerçekleşip gerçekleşmediğini kesin olarak ölçer. Bir başka örnek tanımlayalım. Hemen hemen bütün işletmeler faaliyetlerini etkin bir biçimde sürdürebilmek için stok bulundururlar. İşletmenin amacı "stok bulundurma sonucu ortaya çıkan maliyeti en küçüklemek" olabilir. Bu durumda, önceki örnekten farklı olarak tek bir özelliğin değil stok miktarı, stok ikmal zamanı, sipariş miktarı gibi özelliklerin dikkate alınması gerekir.
Sistemin işleyişinin geliştirilmesi amacına yönelik olarak özellik belirleme çabalarının sonuçsuz kalması da mümkündür. Bu durumlarda gerçek özellikler yerine onları temsil ettikleri düşünülen temsili özelliklerin tanımlanması gerekir.
Özellikler etkinlik ölçüsünün girdileridir. Karar vericinin gerçekleşmesini istediği bir amacı (veya amaçları) varsa en iyilenmek durumunda olan etkinlik ölçüsüne "amaç fonksiyonu" denir. Adından anlaşılacağı gibi amaç fonksiyonu amacın sayısal formda bir fonksiyon olarak açıklanmasıdır. Bununla birlikte, amaç fonksiyonunun sayısal formda açıklanması zorunlu değildir.
Alternatif stratejilerin sayısı yeterince küçükse, etkinlik ölçüsünün matris veya tablo şeklinde açıklanması uygun olur. Tablonun (matrisin) giriş elemanları olay ve stratejilerin her bir birleşimi sonucu ortaya çıkan sonuçların sayısal değerlerini gösterir. Ortaya çıkması olası olayların sütunlarda, alternatif stratejilerin satırlarda gösterildiklerini düşünelim. Buna göre her olay için bir sütun, her strateji için bir satır olmak üzere matris aşağıdaki tabloda gösterildiği gibidir. Tablo 1.1’de gösterilen bu matrise "karar matrisi" denir. Belirlilik durumunda bir karar alma problemine ilişkin karar matrisinin tek bir sütunu vardır. Çünkü ortaya çıkması muhtemel tek bir olay vardır veya her bir strateji için tek bir sonuç söz konusudur. Belirsizlik durumunda olay sayısı en az ikidir. Ortaya çıkması olası iki olay varsa, her bir strateji için iki sonuç bulunur. Olayların gerçekleşmesi olasılıkları biliniyorsa problem belirsizlik durumunda karar alma problemi olma özelliğini yitirir ve risk durumunda karar alma problemine dönüşür.
| Olay | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Strateji | O1 | O2 | ... | Oj | ... | On |
| S1 | a11 | a12 | ... | a1j | ... | a1n |
| S2 | a21 | a22 | ... | a2j | ... | a2n |
| .. | .. | .. | ... | .. | ... | .. |
| Si | ai1 | ai2 | ... | aij | ... | ain |
| .. | .. | .. | ... | .. | ... | .. |
| Sm | am1 | am2 | ... | amj | ... | amn |
Karar vericinin aynı anda gerçekleştirmek istediği birden fazla amacı olabilir. Bu durumda etkinlik ölçüsünün her bir strateji için tek bir sayı olarak değil, ölçülen her amaç için bir sayı karşılık gelmek üzere sayılar kümesi veya vektör olarak açıklanması gerekir. Süreklilik durumunda olduğu gibi çok veya sınırsız sayıda strateji varsa etkinlik ölçüsünün, karar değişkenleri arasındaki fonksiyonel ilişkinin analitik olarak açıklanması yoluyla değerlendirilmesi daha uygun olur.
Karar vericinin amaçları cinsinden herhangi bir stratejinin yararı veya değeri sıklıkla parasal olarak açıklanır. Bu nedenle kârlar veya maliyetler etkinlik ölçüsü için son derece doğal seçimler olurlar.
Sonuç değerlerinin parasal olarak açıklanamadığı durumlarla da karşılaşılır. Sözgelimi, güvenliğin, eğlencenin, adaletin veya güzelliğin parasal değeri nedir? Sayısal olmayan sonuçlar veren stratejilerin değerini ölçmek için sayısal olmayan sonuçların sayısallaştırılması yöntemleri kullanılır.
Bir taraftan modelin kolayca işlenebilmesi için basit olması istenirken, diğer taraftan gerçeğin en yakın temsilcisi olabilmesi için dikkatle hazırlanmış ve yeterince kapsamlı olması beklenir. Modellerin basitliği bazı yaklaşıklamalarla gerçekleştirilebilir. Hangi tip yaklaşıklamalar kullanılabilir?
1. Değişkenlerin ihmal edilmesi: Sistemin amacı bakımından çok fazla önem taşımayan veya diğer değişkenler gibi davranma eğiliminde olan değişkenler göz ardı edilebilir. Herhangi bir değişkenin etkinlik ölçüsü üzerindeki etkisinin önemi sezgisel olarak değil, değişik teknikler aracılığıyla belirlenmelidir. Bu amaçla kullanılabilecek tekniklerin başlıcaları; varyans-kovaryans analizi, korelasyon-regresyon analizi ve bazı istatistiksel önemlilik testleridir.
2. Değişkenlerin birleştirilmesi: Sistemin işleyişi bakımından çok önemli olmamakla birlikte ihmal edilmelerinin sakınca yaratacağı düşünülen değişkenlerin tek tek değil birleştirilerek analiz edilmeleri uygun olur.
3. Değişkenlerin yapısının değiştirilmesi: Aslında sürekli olan değişkenler kesikli, kesikli değişkenler ise sürekli değişkenlere dönüştürülebilir. Değişkenler sabitler olarak da işleme tabi tutulabilirler. Sözgelimi, herhangi bir değişken yerine o değişkenin ortalaması kullanılarak çözüm yöntemi basitleştirilebilir.
4. Değişkenler arasındaki ilişkinin yaklaşıklaması: Değişkenler arasındaki gerçek fonksiyonel ilişki yerine, gerçek duruma çok ters düşmeyen ve üzerinde işlem yapmak daha kolay olan bir fonksiyonel ilişkinin kullanılması. Gerçekte doğrusal olmayan bir ilişkinin doğrusal veya kuadratik (kareli) formla açıklanması uygun olabilir.
5. Kısıtlayıcıların ihmal edilmesi: Problemin çözümünü kolaylaştırmak için problem önce kısıtlayıcılar dikkate alınmadan çözülür. Ulaşılan çözüm bazı kısıtlayıcıları gerçeklemiyorsa gerçeklenmeyen kısıtlayıcılar probleme sonradan eklenir.
6. Modellenen varlığın parçalara ayrılması: Tüm sistemi kapsayan bir model çok karmaşık olabileceğinden çözümü zor olabilir. Bu koşullarda problemi küçük alt problemlere ayırarak alt problemleri çözmek, alt problemlerin çözüm sonuçlarını birleştirerek orijinal problemin çözümüne ulaşmaya çalışmak uygun olur.
Adım 4: Problemin matematiksel olarak modellenmesinden sonra sıra modeli çözmeye gelir. Modelin yapısına bağlı olarak en uygun çözüm tekniğinin belirlenmesi önemlidir. Genel anlamda modelin çözümünden karar değişkenlerinin amaç fonksiyonunu en iyileyen (en küçük veya en büyük yapan) değerlerinin bulunması anlaşılır. Modellerin yapılarına göre geliştirilen çözüm teknikleri şöyle sıralanabilir:
- Analitik çözüm,
- Ardışık sayısal çözüm,
- Simülasyon ile çözüm,
- Yordamlama yardımıyla çözüm.
- Analitik çözüm: Problemin Lagrange çarpanları, diferansiyel ve integral hesapları ile koşullu en iyi çözümünün bulunmasıdır. Analitik çözümde yalnızca matemağin değil iktisat kuramının da temel kuralları kullanılır.
- Ardışık sayısal çözüm: Fonksiyonların özelliklerinden dolayı veya modelin geniş kapsamlı olması yüzünden analitik çözüm çok zor hatta olanaksız olabilir. Bu koşullarda problemin en iyi çözümünün adım adım araştırılması uygun olur. Belirli bir sıra içinde gerçekleştirilen matematiksel ve mantıksal işlemler kümesine "algoritma" denir. En güçlü sayısal yöntemler belirli bir algoritma esasında uygulanan yöntemlerdir. Algoritma, problemin uygun bir başlangıç çözümüne uygulanır. Uygulama sonucunda başlangıç çözümünden daha iyi olan yeni bir çözüm elde edilir. Bu kez bu yeni çözüm başlangıç noktası kabul edilerek yeni bir çözüm elde edilmesine geçilir. Bir çözümden hareketle daha iyi olan bir çözüme ulaşmayı sağlayan işlemler dizisine "iterasyon" denir. İterasyonlar belirli koşulların sağlandığı durma noktasına ulaşılana dek sürdürülür. Durma noktasına gelindiğinde problemin en iyi çözümüne ulaşılmış olabileceği gibi, problemin uygun çözümünün bulunmadığı veya çözümün sınırsız olduğu kararlaştırılabilir. Yöneylem araştırmasında kullanılan çözüm tekniklerinin çoğu algoritma başlığı altındadır. Algoritmanın uygulanabilir bir yöntem olabilmesi için şu özellikleri sağlaması gerekir.
1. Her yeni çözüm kendisinden bir önce gelen çözümden daha gelişmiş bir çözüm olmalıdır.
2. Çözümler giderek bir en iyi çözüme yaklaşmalıdır.
3. Belirli sayıda iterasyondan sonra en iyi çözüme ulaşılmasını sağlamalıdır.
4. İterasyonlar az sayıda aritmetik işlem gerektirmelidir.
- Simülasyon ile çözüm: Karar problemlerinin çözümünde kullanılan diğer bir çözüm tekniği simülasyondur. Simülasyon, analitik yaklaşımla çözüme ulaştırılamayan, karmaşık olasılıksal sistemlerin işleyişini açıklamak ve kestirimlerde bulunmak amacıyla kullanılan bir istatistiksel örnekleme tekniğidir. En önemli özelliği kontrol edilebilir olmasıdır.
- Yordamlama yardımıyla çözüm: Yöneylem araştırmasının amacı en iyi çözümün belirlenmesi olmakla birlikte zaman zaman tam sonuca ulaşmayı sağlayacak olan matematiksel formülasyon çok karmaşık olabilir. Sonuçta en iyi çözüm elde edilse bile gerekli işlemler uygulamayı imkansız kılacak kadar çok olabilir. Bu durumda yordamlama yaklaşımıyla çözüm en uygun çözüm yöntemi olarak belirir. Yordamlama yaklaşımı sezgiye veya bazı deneysel kanıtlara dayanan karar kuralları ile belirli sayıda adımdan sonra en iyi olmasa da tatminkar bir çözümü verir.
Adım 5: Modelin kurulması ve çözülmesinden sonra, çözümü uygulamaya koymadan veya rafa kaldırmadan önce gerçeğe uygunluğunun kanıtlanması gerekir. Çözümün geçerliliği belli başlı iki yolla incelenebilir. Birinci yol, eldeki çözümü geçmiş dönem verilerini kullanarak tekrarlamak, bu yolla elde edilen sonuçları sistemin geçmiş dönem sonuçlarıyla karşılaştırmayı öngörmektedir. Eğer çözüm sistemin geçmiş dönem sonuçlarını aynen veya daha olumlu bir biçimde sağlıyorsa, modelin ve çözümün geçerli olduğu kabul edilir. Sistemin kullandığı aynı girdilerle geçmiş sonuçları sağlayamayan model dolayısıyla çözüm geçerli değildir. İkinci yaklaşım, çözümün sistemin gelecekteki davranışının dikkate alınmasıyla test edilmesidir. Ancak burada bir nokta çok önemlidir. Gelecek henüz gerçekleşmediğine göre çözümün test edilmesinde kullanılacak girdi olmayacaktır. Bu tip sistemler için simülasyona baş vurulması uygun olur.
Adım 6: Çözümün geçerliliği kanıtlandıktan sonra hayata geçirilmesi gerekir. Matematiksel çözüme ulaşan ekip, sonuçları uygulayacak olanlara uygulama sürecini açık bir biçimde göstermeli ve uygulamada yardımcı olmalıdır. Uygulamanın nasıl yapılacağı yöneylem araştırmacısı tarafından uygulayıcılara bir rapor halinde sunulur. Uygulama planının açıklandığı rapor anlaşılır ve basit olmalıdır. Özetlemek gerekirse, yöneylem araştırmacısı ile uygulayıcılar arasında çok iyi bir haberleşme sistemi kurulmalıdır. Yöneylem araştırmasının planlanmasında yukarıdaki altı temel aşama, genel anlamıyla yöneylem araştırmasında izlenen bir modeldir. Bu aşamaların yukarıda belirtilen sıra çerçevesinde ve eksiksiz uygulanması gerekir. Ancak yöneylem araştırmasının kalıplaşmış bir dizi işlemlerden oluşmadığını, sürekli yenilendiğini, yeni buluş ve tekniklerle daha da etkin bir yaklaşım olma yönünde hızla geliştiğini belirtmeliyiz.
Doğrusal programlamanın bölünebilirlik varsayımı göz ardı edildiğinde, diğer bütün varsayımlar aynı kalmak koşuluyla, doğrusal programlama tamsayılı doğrusal programlamaya dönüşür. Kısaca tamsayılı programlama, model değişkenlerinden bazılarının veya hepsinin tamsayı değerler alması koşulunu içeren bir programlama türüdür. Problemin farklı fonksiyonları değişkenlerin tamsayı değerleri için tanımlandıklarından, tamsayılı programlama aslında doğrusal olmayan bir programlamadır. Bununla birlikte, değişkenlerin tamsayı olma koşulu ihmal edildiğinde problem doğrusal programlama problemine eşdeğer oluyorsa, tamsayılı programlama doğrusal programlama olarak ele alınabilir. Aksi halde, doğrusal olmayan ilişkiler içeren bir problem söz konusu olur ki, çözüm için doğrusal olmayan programlama çözüm yöntemlerinin uygulanması gerekir. Bu bölümde tamsayı olma koşulu ihmal edildiğinde doğrusal programlamaya dönüşen tamsayılı doğrusal programlama açıklanacaktır.
Bütün değişkenleri tamsayı olan doğrusal programlamaya "tamamen tamsayılı doğrusal programlama" denir. Tamamen tamsayılı programlamaya örnek olmak üzere aşağıdaki modeli göz önünde bulunduralım.
Zenb = 3X1 + 6X2
4X1 + 3X2 ≤ 10
X1, X2 ≥ 0
X1, X2 tamsayı
Yukarıdaki tamsayılı doğrusal programlama modeli ile buna karşılık gelen doğrusal programlama modeli arasındaki tek fark, değişken değerlerinin tamsayı olmasını ifade eden "X1, X2 tamsayı" ek koşuludur.
Değişkenlerden bazılarının tamsayı değerler alması durumunda "karma tamsayılı doğrusal programlama" söz konusu olur. Sözgelimi, aşağıdaki problemde X2 tamsayı olmadığından, problem karma tamsayılı doğrusal programlama problemidir.
Zenb = 3X1 + 2X2 + 4X3
X1 + X2 ≤ 4
X1 + 2X2 + X3 ≤ 6
X1, X2, X3 ≥ 0
X1, X3 tamsayı
Tamsayılı programlama problemlerinin çoğunda değişkenlerin bir kısmı veya hepsi sıfır veya 1 değeri ile sınırlandırılır. Bunun nedeni, tamsayı karar değişkeninin (Xi) genellikle bir faaliyetin yapılması (Xi = 1) veya yapılmaması (Xi = 0) ile ilgili olmasıdır. Bu gibi durumlarda "sıfır-1 programlama" söz konusu olur. Sıfır-1 programlama yalnızca değişkenlerin iki değerli olması durumlarında değil, orijinal değişkenlerin küçük bir bölümünün ikiden çok değere sahip olması durumlarında da kullanılır. Karar değişkenleri için ikiden çok mümkün durum varsa bu değişkenler sıfır-1 sistemi ile tanımlanarak işlemlerde büyük kolaylıklar sağlanabilir. Özellikle X tamsayı değişkenin değeri,
0 ≤ X ≤ U, (2N-1 < U ≤ 2N)
şeklinde kısıtlanmış ise X değişkeninin uygun her bir değeri,
Xi =
olmak üzere tek bir şekilde gösterilebilir. Bağıntıdaki yi, sıfır veya 1 değerini alan çift değerli değişkendir. Bu nedenle, X değişkeni (N + 1) adet çift değerli değişken içeren bu toplamla değiştirilebilir.
Tamsayı olma koşulu göz ardı edildiğinde ortaya çıkan programlamaya, tamsayılı doğrusal programlamanın "doğrusal programlamaya gevşetilmiş biçimi" veya kısaca "gevşek biçim" denir. Özetle, herhangi bir doğrusal tamsayılı programlama, kendisine karşılık gelen gevşek biçimin tamsayı ve/veya sıfır veya 1 olma koşulunu içeren halidir. Gevşek problem kendisine karşılık gelen tamsayılı programlamadan daha az sayıda kısıt içerdiğinden daha esnektir. Bu nedenle, gevşek problemin çözüm bölgesi, kendisine karşılık gelen tamsayılı problemin çözüm bölgesini bütünüyle kapsar. Tamsayılı programlamanın en iyi çözümü ile buna ilişkin gevşek biçimin en iyi çözümü arasındaki ilişki tamsayı problemlerinin çözüm sonuçlarının incelenmesi bakımından çok önemlidir. Bu ilişki, "herhangi bir en büyükleme amaçlı tamsayılı programlamanın amaç fonksiyonunun en iyi değeri, kendisine karşılık gelen doğrusal programlamanın amaç fonksiyonunun en iyi değerine eşit veya küçüktür" şeklinde özetlenebilir. Bir başka deyişle, en büyükleme problemlerinde gevşek problemin en iyi çözümünün Z değeri, tamsayılı programlama probleminin en iyi çözümü için üst sınırdır. Problem en küçükleme amaçlı olduğunda bu ilişki, tamsayılı programlama probleminin en iyi çözüm değeri kendisine karşılık gelen gevşek problemin en iyi çözüm değerine eşit veya ondan büyük olur şeklinde açıklanır. Yani, en küçükleme amaçlı tamsayılı programlama problemlerinde gevşek problemin en iyi çözümünün Z değeri, tamsayılı problemin en iyi çözümü için alt sınırdır.
Tamsayılı programlama problemlerinin diğer özelliklerini açıklayabilmek bakımından aşağıdaki basit problemi ele alalım. Burada amaç fonksiyonu,
Zenb = 10X1 + 8X2
kısıtlayıcı fonksiyon,
6X1 + 4X2 ≤ 15
negatif olmama koşulu,
X1, X2 ≥ 0
tamsayılılık koşulu,
X1, X2 tamsayı olarak verilmiş olsun.
Problemde iki değişken bulunduğundan çözümü grafik yöntemiyle belirleyelim. Problemin grafik çözümü Şekil 5.1’de gösterilmiştir.
Şekil 5.1
Gevşek biçimin uygun çözüm bölgesi Şekil 5.1’deki gri alan olup, en iyi çözüm; X1 = 0, X2 = 3.75, Zenb = 30 olarak belirlenmiştir. Buna göre 30, tamsayılı problemin en iyi çözümü için üst sınırdır. Şekil 5.1’den görüleceği gibi tamsayılı programlamanın çözüm bölgesi doğrusal programlamanın çözüm bölgesinden farklıdır. Doğrusal programlamanın çözüm bölgesi konveks iken, tamsayılı programlamanın çözüm bölgesi bu konveks küme içinde bulunan sınırlı sayıdaki noktadan oluşan bir alt küme durumundadır. Doğrusal programlamanın en iyi çözümü konveks bölgenin uç noktalarından birinde belirirken, tamsayılı programlamanın en iyi çözümü mümkün çözüm noktalarından birinde gerçekleşir. Tamsayılı programlamanın en iyi çözümünün ortaya çıktığı noktayı bulmak için önce bu noktaların belirlenmesi gerekir. Tamsayılı problemin çözüm bölgesinin Şekil 5.1’de () ile gösterilen 8 noktadan oluştuğu görülebilir. Bu noktaların koordinatlarının belirlenmesiyle tamsayılı probleminin uygun çözüm kümesi,
S = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (2, 0), (1, 1), (1, 2)}
olarak düzenlenir. Problemin en iyi çözümüne ulaşmak için her bir noktaya ilişkin koordinatların amaç fonksiyonuna yerleştirilmesi ve fonksiyonun bu noktalarda aldığı değerlerin hesaplanması gerekir. Problemin niteliğine göre, amaç fonksiyonu değerini en büyük veya en küçük yapan nokta en iyi çözüm noktasıdır. Hesaplanan Z değerleri, aşağıda gösterilmiştir.
Z(0, 0) = 10(0) + 8(0) = 0
Z(0, 1) = 10(0) + 8(1) = 8
Z(0, 2) = 10(0) + 8(2) = 16
Z(0, 3) = 10(0) + 8(3) = 24
Z(1, 2) = 10(1) + 8(2) = 26
Z(1, 0) = 10(1) + 8(0) = 10
Z(2, 0) = 10(2) + 8(0) = 20
Z(1, 1) = 10(1) + 8(1) = 18
Yukarıdaki sonuçlar incelendiğinde, tamsayılı programlamanın en iyi çözümüne (1, 2) noktasında ulaşıldığı görülebilir. Burada olduğu gibi, tamamen tamsayılı programlamanın gevşek biçiminin çözüm bölgesi sınırlı ise, buna karşılık gelen tamamen tamsayılı programlamanın uygun çözüm bölgesi sınırlı sayıda nokta içeren bir kümedir. Kuramsal olarak, tamamen tamsayılı doğrusal programlamanın en iyi çözümü, uygun çözüm noktalarının koordinatlarının amaç fonksiyonuna yerleştirilmesiyle belirlenebilir. Ancak, gerçek tamsayılı programlamanın pek çoğunda çok fazla uygun nokta bulunduğundan yerine koyma ile çözümün uygulanabilir bir yaklaşım olduğu söylenemez.
Tamsayılı doğrusal programlamanın çözümünde kullanılan diğer bir yaklaşım şu şekilde özetlenebilir. Önce tamsayılı doğrusal programlamayı gevşetmek, böylelikle normal doğrusal programlama problemi haline gelen problemi çözmek ve değişkenler için elde edilen ondalık sayıları tamsayı olacak şekilde yuvarlamaktır. Yuvarlama ile çözüm bulma işlemini doğrusal programlama gevşeğinin en iyi çözümü olarak belirlenen X1 = 0, X2 = 3.75 çözümüne uygulayalım. X1 zaten tamsayı olduğundan yuvarlanması gerekmez. 3.75 için en uygun tamsayı 4’dür. 3.75’in 4’e yuvarlanması durumunda (0, 4) olarak belirlenecek olan çözümün uygun olmadığı (uygun çözüm bölgesinin dışında) görüleceğinden, 3.75’in aşağıya doğru, yani 3’e yuvarlanması uygun olur. (0, 3) uygun bir nokta olduğundan, buna ilişkin çözüm uygun bir çözümdür. Şimdi (0, 3) çözümünün en iyi olup olmadığı üzerinde duralım. (0, 3) için Z = 24 olarak hesaplanacaktır. Bu çözümün en iyi olmadığı (24 < 26) görülebilir. Özetle gevşek programlamanın tamsayı olmayan en iyi çözüm değerlerini yuvarlayarak tamsayılı problemin en iyi çözümüne ulaşmak, özellikle küçük değerli değişkenlerde, her zaman mümkün olmaz. Ayrıca, sıfır-1 programlamada yuvarlama da söz konusu olamaz. Yuvarlama ile en iyi çözüme ulaşma, değişkenlerin çok büyük değerli olmaları durumunda uygun olabilir. Yapılan açıklamaların ortaya koyduğu gibi tamsayılı doğrusal programlamanın çözüm bölgesi, normal doğrusal programlama çözüm bölgesinin bir alt kümesi olmakla birlikte, tamsayı programlama problemini çözmek genellikle daha zordur.
Bu kesimde tamsayılı programlama problemlerinin nasıl formülleneceği örnek problemlerle açıklanacaktır. Bu amaçla literatürde yaygın biçimde kullanılan ve uygulamada sıkça ortaya çıkan bazı özel problemler ele alınacaktır. Bu problemler; sermaye bütçeleme problemleri, sabit harcama problemleri, kapsayan küme problemleri, sırt çantası problemleri, atama problemleri olarak gruplandırılabilmektedir.
Sermaye Bütçeleme Problemleri: Kuruluşlar veya kişiler çok sık olarak belirli sayıdaki seçenekler arasından bir veya birkaçının seçilmesi problemiyle karşılaşırlar. Bu tip problemlerde genellikle, güvenilirlik, risk, gelir, net bugünkü değer, büyüme vb. faktörler açısından farklılıklar gösteren seçeneklerden hangilerine ne miktarda yatırım yapılırsa gelir en büyük veya risk en düşük ya da güvenilirlik en yüksek olur sorularına yanıt aranır. Bu tip problemlerin tamsayılı programlama problemi olarak değerlendirilmesine örnek olması bakımından aşağıdaki problemi inceleyelim.
Örnek 5.1: Kâryap yatırım kuruluşu yatırım seçeneklerini Tablo 5.1’deki gibi düzenlemiştir. Yatırımların net bugünkü değerleri (milyar TL) ile her bir yatırımın gerektirdiği yatırım miktarları (milyar TL) aynı tabloda gösterilmiştir. Her bir yatırım seçeneği en fazla bir kez değerlendirilmek istenmektedir. Kuruluşun yatırım için ayırdığı parası 28 milyar TL’dir. Kuruluşun amacı yatırımlarla ilgili toplam net bugünkü değeri (NBD) en büyüklemektir. Problemin tamsayılı programlama modelini kurunuz.
Tablo 5.1
| Yat. Seçeneği | NBD | Yat. Miktarı |
|---|---|---|
| 1 | 16 | 5 |
| 2 | 18 | 9 |
| 3 | 20 | 10 |
| 4 | 22 | 11 |
Çözüm 5.1: Doğrusal programlama modellemesinde olduğu gibi öncelikle karar değişkenleri tanımlanmalıdır. Karar değişkenleri, kuruluşun almak zorunda olduğu her bir karar için bir değişken tanımlayarak belirlenebilir. Bir yatırım seçeneği seçilir veya seçilmez. Seçime ilişkin başka alternatif olmadığından,
Xi = 1 i (i = 1, 2, 3, 4) yatırım seçeneği seçilmişse
Xi = 0 i (i = 1, 2, 3, 4) yatırım seçeneği seçilmemişse
yazılabilir. Bu yolla, değeri ya sıfır veya 1 olan karar değişkenleri tanımlanmış olur. Buna göre, problemin modeli sıfır-1 tamsayılı programlama modeli olacaktır. Amaç toplam net bugünkü değeri en büyükleyecek yatırım planını belirlemek olduğundan amaç fonksiyonu,
Z = Toplam Net Bugünkü Değer = 16X1 + 18X2 + 20X3 + 22X4
olmak üzere aşağıdaki gibi olur.
Zenb = 16X1 + 18X2 + 20X3 + 22X4
Xj = 1 ise, toplam net bugünkü değer eşitliği i yatırımının net bugünkü değerini kapsar. Aksi halde, yani Xj = 0 ise, kapsamaz. Bu, hangi yatırım veya yatırımlar seçilmiş olursa olsun eşitliğin yatırım planına ilişkin toplam net bugünkü değeri vereceği anlamındadır. Sözgelimi, 1 ve 3 nolu yatırım seçeneklerinin değerlendirilmesi durumunda, X1 = X3 = 1, X2 = X4 = 0 olacağından toplam net bugünkü değer aşağıdaki gibi hesaplanır.
Toplam Net Bugünkü Değer = 16(1) + 18(0) + 20(1) + 22(0)
= 36 milyar TL
Kuruluşun elindeki nakit miktarı 28 milyar TL’dir. Amaç fonksiyonunun formüllenmesinde olduğu gibi nakit miktarı aşağıdaki gibi yazılabilir.
Toplam yatırım Miktarı = 5X1 + 9X2 + 10X3 + 11X4
Sözgelimi, X1 = X2 = X3 =1 ve X4 = 0 ise kuruluş ilk üç seçeneği seçer ve
Toplam yatırım Miktarı = 5(1) + 9(1) + 10(1) + 11(0)
= 24 milyar TL
değerinde yatırım yapar.
En fazla 28 milyar TL’lik yatırım yapılabileceğinden, nakit kısıtlayıcısı aşağıdaki gibi olur.
5X1 + 9X2 +10X3 + 11X4 ≤ 28
Amaç fonksiyonu, nakit kısıtlayıcısı ve "Xi = 0 veya 1" koşulunun düzenlenmesiyle sıfır-1 programlama modeli, aşağıdaki gibi olur.
Zenb = 16X1 + 18X2 + 20X3 + 22X4
5X1 + 9X2 + 10X3 + 11X4 ≤ 28
Xi = 0 veya 1 (i = 1, 2, 3, 4)
Problemin en iyi çözümü, X1 = 1, X2 = 0, X3 = 1, X4 = 1 ve Zenb = 58 milyar TL olarak belirlenmiştir. Buna göre, 1, 3 ve 4 nolu yatırım seçenekleri değerlendirilecek ve 28 milyar TL bu seçenekler arasında sırasıyla, 5, 10 ve 11 olarak paylaştırılacaktır. Bu yolla toplam net bugünkü değerin en büyük olması sağlanacaktır. En iyi çözüme 26 milyar TL harcayarak (tamsayı olma koşulu yüzünden 2 milyar TL elde kalmıştır) ulaşıldığı görülebilir. Gevşek problemin en iyi çözümü, X1 = 28, X2 = X3 = X4 = 0, Zenb = 89.6 milyar olarak belirlenmiştir. Bu kez eldeki tüm paranın yatırıldığı görülebilir. Tamsayı olma koşulunun problemi nasıl değiştirdiği, çözüm sonuçlarının karşılaştırılmasıyla belirgin biçimde ortaya çıkmaktadır.
Sabit Harcama Problemleri: Sabit harcama problemleri, herhangi bir faaliyet için katlanılan maliyetin, faaliyetin düzeyinden bağımsız olduğu durum problemleridir. Karar vericinin herhangi bir hizmet için yer belirleme durumunda olması halinde beliren problem de, sabit harcama problemi olarak değerlendirilebilir. Burada yer belirlemeye konu olan bina, depo, ofis gibi vasıtaların maliyetleri sabit harcamalar olarak düşünülebilir.
Örnek 5.2: Çeliktaş işletmesi üç farklı rulman üretmeyi planlamaktadır. Rulmanların her birinin üretimi farklı özellikte makine ile gerçekleştirilmektedir. İşletme rulman tipine uygun makineleri kiralamayı düşünmektedir. Rulmanların her biri farklı işçilik zamanı ile farklı miktarda alaşım gerektirmektedir. İşletmenin haftalık işçilik zamanı kapasitesi 40 saattir. Haftada 100 kg çelik alaşımı tedarik edilebilmektedir. Değişken birim maliyet, kaynak gereksinmeleri, makine kiraları ve rulman satış fiyatları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Çözümü, toplam kârın en büyük olmasını sağlayacak değişken değerlerini verecek olan modeli kurunuz.
Tablo 5.2
| Rulman | Makine Kirası (TL) | Satış Fiyatı (TL) | Değişken Maliyet (TL) | Zaman (saat) | Alaşım (kg) |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 20 | 30 | 5 | 2 | 6 |
| B | 40 | 60 | 8 | 3 | 9 |
| C | 55 | 85 | 10 | 4 | 15 |
Çözüm 5.2: Her zamanki gibi öncelikle karar değişkenlerini tanımlayalım. Problemin karar değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlanabilir.
X1 = A tipi rulman üretim miktarı
X2 = B tipi rulman üretim miktarı
X3 = C tipi rulman üretim miktarı
Kiralama maliyeti üretim miktarına değil, yalnızca üretilecek rulman tipine bağlı olduğundan sabit maliyet olarak değerlendirilir. Bu nedenle kiralama maliyetleri aşağıda tanımlanan değişkenlerle açıklanabilir.
y1 = 1 A tipi rulman üretiliyorsa, y1 = 0 A tipi rulman üretilmiyorsa,
y2 = 1 B tipi rulman üretiliyorsa, y2 = 0 B tipi rulman üretilmiyorsa,
y3 = 1 C tipi rulman üretiliyorsa, y3 = 0 C tipi rulman üretilmiyorsa,
Kısaca Xi > 0 ise, yi = 1 ve Xi = 0 ise, yi = 0 olur. Bu tanımlamalardan sonra işletmenin haftalık kârı aşağıdaki gibi açıklanabilir.
Kâr = Satış Geliri - (Değişken Maliyet + Kiralama Maliyeti)
Kârı (hafta bazında )oluşturan elemanlar aşağıdaki gibi formüllenir.
Kiralama Maliyeti = 20y1 + 40y2 + 55y3
Bu denklem, işletmenin ürettiği rulman çeşidinin gerektirdiği makine(lerin) kirasını yansıtır. Sözgelimi, A tipi rulman üretiliyorsa; X1 > 0, dolayısıyla y1 = 1 ve C tipi rulman üretiliyorsa; X3 > 0, dolayısıyla y3 = 1 olur. Bu durumda A ve C tipi rulman üretimi sonucu haftalık kiralama maliyeti aşağıdaki gibi olur.
Haftalık Kiralama Maliyeti = 20(1) + 40(0) + 55(1)
Haftalık Kiralama Maliyeti = 75 TL
Kiralama maliyeti, üretim miktarlarına bağlı olmadığından sabit maliyettir. Sabit maliyetlerin model kurmayı zorlaştırdıkları unutulmamalıdır.
Haftalık Değişken Maliyet = 5X1 + 8X2 +10X3
Haftalık Satış Geliri = 30X1 + 60X2 + 85X3
saptamalarının ardından haftalık kâr (=Z), aşağıdaki eşitlikle ifade edilir.
Haftalık Kâr = (30X1 + 60X2 + 85X3) - (5X1 + 8X2 +10X3) - (20y1 + 40y2 + 55y3)
Hedef bu toplamın en büyüklenmesi olduğundan, amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi olur.
Zenb = 25X1 + 52X2 + 75X3 - 20y1 - 40y2 - 55y3
Bu toplamın en büyüklenmesi, işletmenin üretim zamanı ve alaşım miktarı kısıtlayıcı koşulları ile çevrelenmektedir.
Aşağıda gösterildiği gibi, üretim için ayrılan zaman (2X1 + 3X2 + 4X3) işçilik zamanı kapasitesine (40 saat) eşit veya küçük olabilir.
2X1 + 3X2 + 4X3 ≤ 40
Üretim miktarlarını kısıtlayan diğer bir faktör alaşım miktarı olup, bu faktör için düzenlenen kısıtlayıcı fonksiyon aşağıda gösterilmiştir.
6X1 + 9X2 + 15X3 ≤ 100
X1, X2, X3 değişken değerlerinin tamsayı oldukları ve yi = 0 veya 1 olduğunun göz önünde bulundurulmasıyla, problemin modeli aşağıdaki gibi yazılır.
Zenb = 25X1 + 52X2 + 75X3 - 25y1 - 50y2 - 65y3
2X1 + 3X2 + 4X3 ≤ 40
6X1 + 9X2 + 15X3 ≤ 100
X1, X2, X3 ≥ 0
X1, X2, X3 tamsayı
y1, y2, y3 = 0 veya 1
Problemin en iyi çözümü, X1 = 0, X2 = 11, X3 = 0, y1 = y2 = y3 = 0 ve Zenb = 572 olarak belirlenmiştir. En iyi olduğu belirlenen bu çözümün uygulanamayacağı açıktır. Çünkü, y1 = y2 = y3 = 0 belirlemesi işletmenin makinesiz üretim yaptığı anlamını taşır ki, bu mümkün değildir. Bu durumdan kurtulmak için yukarıdaki modele, Xi > 0 ise, yi = 1 koşulunun eklenmesi gerekir. Bu koşul basit bir hile ile gerçekleştirilebilir. Şimdi bunu açıklayalım. M1, M2, M3 çok büyük pozitif sayılar olsun. Buna göre,
X1 ≤ M1y1
X2 ≤ M2y2
X3 ≤ M3y3
eşitsizlikleri modele eklendiklerinde modelin çözümü Xi > 0 ise, yi = 1 olmasını sağlayacaktır. Bunu açıklamak için ilk eşitsizliği inceleyelim. X1 > 0 ise, y1 = 0 olamaz. y1 = 0 ise X1 < 0 veya X1 = 0 olabilir. Buna göre X1 > 0 ise, y1 = 1 olması, böylece amaç fonksiyonunun kiralama maliyetini içermesi sağlanır. y1 = 1 olduğunda X1 ≤ M1y1 eşitsizliği X1 ≤ M1 eşitsizliğine dönüşür. M1 çok büyük olduğundan, bu eşitsizlik X1’in değerini etkilemez. Eklenen eşitsizliklerin değişkenlerin değerlerini etkilememesi için Mi değerlerinin Xi’nin en büyük değerinden daha büyük seçilmeleri gerekir. Bunun için, gerek zaman gerekse alaşım kapasitesinin tamamıyla yalnızca A veya yalnızca B ya da yalnızca C tipi rulman üretildiği kabul edilir. Yalnızca A tipi rulman üretildiğini düşünelim. Bu durumda, zaman kısıtı dikkate alındığında, A tipi rulmandan en fazla 20 (= 40/2) adet, alaşım kısıtı dikkate alındığında, en fazla 16 (= 100/6) adet üretilebilir. Kısaca tüm kapasite ile A tipi rulmandan en fazla 16 adet üretilebilecektir. Bu durumda, M1 = 16 seçilmesi, X1 0 ise y1 = 1 olması için yeterlidir. Benzer şekilde, X2 ve X3’ün en büyük değerleri sırasıyla, 11 ve 6 olarak belirlenir. M1 = 16, M2 = 11, M3 = 6 belirlemesiyle yeniden formüllenen problemin en iyi çözümü, X1 = 0, X2 = 11, X3 = 0, y1 = 0, y2 = 1, y3 = 0, Zenb = 532 olarak elde edilmiştir. Görüldüğü gibi, X1 = 0 iken y1 = 0, X3 = 0 iken y3 = 0, X2 > 0 iken y2 = 1’dir.
Kapsayan Küme Problemleri: Kapsayan küme problemlerinde biri diğerini tamamiyle kapsayan iki küme söz konusudur. Bu tür problemlerde amaç, kapsama konumunda olan kümenin eleman sayısının en küçük olmasını sağlamaktır. Kapsayan küme problemleri havayolu uçuş programlaması, bölgelere ayırma, dağıtım planlaması, yer seçimi gibi uygulama problemlerinin çözümünde kullanılmaktadır.
Örnek 5.3: Özel bir sağlık kuruluşu yedi yerleşim merkezinden oluşan bir bölgeye acil servis istasyonları kurmak istemektedir. Kuruluş en az sayıdaki servis istasyonuyla, normal koşullarda her bir yerleşim merkezine en fazla 15 dakikada ulaşmayı istemektedir.
Yerleşim merkezleri arasındaki sürüş zamanı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Kurulması gereken istasyon sayısı ile bunların hangi merkezlere kurulacağının belirlenmesinde kullanılacak tamsayılı programlama modelini kurunuz.
Tablo 5.3
| Yer. Mer. | YM 1 | YM 2 | YM 3 | YM 4 | YM 5 | YM 6 | YM 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| YM 1 | 0 | 18 | 20 | 20 | 10 | 25 | 30 |
| YM 2 | 18 | 0 | 20 | 10 | 20 | 10 | 20 |
| YM 3 | 20 | 20 | 0 | 20 | 15 | 30 | 35 |
| YM 4 | 20 | 10 | 20 | 0 | 20 | 15 | 10 |
| YM 5 | 10 | 20 | 15 | 20 | 0 | 20 | 25 |
| YM 6 | 25 | 10 | 30 | 15 | 20 | 0 | 25 |
| YM 7 | 30 | 20 | 35 | 10 | 25 | 25 | 0 |
Çözüm 5.3: Kuruluş, 7 yerleşim merkezinin her biri için o merkeze istasyon kurulsun mu kurulmasın mı kararı vermek zorundadır. Bu durumu göz önünde bulundurarak aşağıdaki tanımları yapalım.
Xi = 1 i (i = 1, 2, 3, ..., 7) yerleşim merkezine istasyon kurulmuşsa
Xi = 0 i (i = 1, 2, 3, ..., 7) yerleşim merkezine istasyon kurulmamışsa
Bu tanıma göre acil servis istasyon sayısı aşağıdaki gibi elde edilecektir.
Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7
Amacın Z’yi en küçüklemek olduğu bellidir.
Problemle ilgili kısıtlayıcılar servis istasyonları arasındaki sürüş süresi ile ilgilidir. Kısıtlayıcılar, bir yerleşim merkezine en fazla 15 dakikalık uzaklıkta olan en az 1 servis istasyonu bulunmalıdır şeklinde açıklanabilir. 7 yerleşim merkezi bulunduğundan, 7 kısıtlayıcı fonksiyon yazılacaktır. Kısıtlayıcıların yazılabilmesi için öncelikle, her bir yerleşim merkezine 15 dakikalık sürüş uzaklığında olan merkezleri belirleyelim. Birbirlerine 15 dakikalık sürüş uzaklığında bulunan merkezler Tablo 5.5’de gösterilmiştir.
Tablo 5.5
| Merkez | Merkezler |
|---|---|
| 1 | 1, 5 |
| 2 | 2, 4, 6 |
| 3 | 3, 5 |
| 4 | 2, 4, 6, 7 |
| 5 | 1, 3, 5 |
| 6 | 2, 4, 6 |
| 7 | 4, 7 |
Buna göre birinci yerleşim merkezi için,
X1 + X5 ≥ 1
yazılır. Söz konusu eşitsizliğin X1 = X5 = 0 alternatifini ortadan kaldırdığı, X1 veya X5’den en az birinin 1’e eşit olmasına imkan verdiği görülebilir. Bu yolla birinci yerleşim merkezine en fazla 15 dakikalık sürüş uzaklığında olan en az 1 istasyon bulunması sağlanmış olur.
Benzer şekilde ikinci yerleşim merkezi için,
X2 + X4 + X6 ≥ 1
yazılmasıyla, ikinci yerleşim merkezine en fazla 15 dakikalık sürüş uzaklığında en az 1 acil servis istasyonu kurulması sağlanır.
Diğer yerleşim merkezleri için benzer kısıtlayıcıların yazılmasıyla problemin sıfır-1 programlama modeli aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.
Zenk = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7
X1 + X5 ≥ 1 (YM 1 kısıtlayıcısı)
X2 + X4 + X6 ≥ 1 (YM 2 kısıtlayıcısı)
X3 + X5 ≥ 1 (YM 3 kısıtlayıcısı)
X2 + X4 + X6 + X7 ≥ 1 (YM 4 kısıtlayıcısı)
X1 + X3 + X5 ≥ 1 (YM 5 kısıtlayıcısı)
X2 + X4 + X6 ≥ 1 (YM 6 kısıtlayıcısı)
X4 + X7 ≥ 1 (YM 7 kısıtlayıcısı)
Xi = 0 veya 1 (i = 1, 2, ... , 7)
Problemin en iyi çözümü; X4 = X5 = 1, X1 = X2 = X3 = X6 = X7 = 0 ve Zenk = 2 olarak belirlenmiştir. Buna göre biri dördüncü, diğeri beşinci yerleşim merkezine kurulacak iki servis istasyonu ile tüm yerleşim merkezlerinin servis istemi karşılanmış olacaktır. Görüldüğü gibi problemde biri yerleşim merkezlerinden, diğeri acil servis istasyonlarından oluşan iki küme söz konusudur. İki servis istasyonunun bulunduğu küme kapsayan durumunda olup yedi merkezin oluşturduğu kümeyi tamamiyle kapsamaktadır.
Atama Problemleri: Uygulamada karşılaşılan taşıma, aktarmalı taşıma, atama ve benzeri dağıtım problemlerinde de karar değişkenlerinin tamsayı değerler alması zorunludur. 3.8. kesimde açıklanan atama problemleri bu tür problemlerin en önemlilerindendir. Bir atama probleminin sıfır-1 tamsayılı programlama olarak modellenmesiyle ilgili basit bir örnek aşağıda verilmiştir.
Örnek 5.5 : En kısa sürede tamamlanması gereken 4 farklı iş (1, 2, 3, 4) ile bu işleri yapabilecek dört işçi (A, B, C, D) bulunmaktadır. İşçilerin yetenekleri birbirlerinden farklı olup her bir işçinin her bir işi tamamlama süresine ait değerler aşağıda gösterilmiştir. Amaç işlerin en kısa sürede tamamlanmasını sağlayacak iş-işçi eşleşmesini belirlemektir. Atama modelini kurunuz.
Tablo 5.5
| İş | ||||
|---|---|---|---|---|
| İşçi | 1 | 2 | 3 | 4 |
| A | 3 | 8 | 6 | 4 |
| B | 10 | 6 | 7 | 9 |
| C | 16 | 10 | 5 | 9 |
| D | 7 | 8 | 10 | 6 |
Çözüm 5.5: Önce karar değişkenlerini tanımlayalım. Bir işçi dört işten yalnızca birine atanacak, bir iş dört işçiden yalnızca biri tarafından yapılacaktır. Hangi işçinin hangi işe veya hangi işe hangi işçinin atanmasının toplam süreyi en kısa yapacağı belirlenmek istendiğinden karar değişkenleri iş-işçi bire bir eşleşmesini sağlayacak biçimde aşağıdaki gibi tanımlanabilir.
Xij = 1 i (i = A, B, C, D) sembollü işçi j (j = 1, 2, 3, 4) nolu işe atanmışsa
Xij = 0 i (i = A, B, C, D) sembollü işçi j (j = 1, 2, 3, 4) nolu işe atanmamışsa
A sembollü işçiyi ele alalım. A, 1 nolu işi yaparsa XA1 = 1, XA2 = XA3 = XA4 = 0 olur. A, 2 nolu işe atanırsa; XA2 = 1, XA1 = XA3 = XA4 = 0 olur. A’nın 3 veya 4 nolu işlere atanması durumunda 3 nolu iş için; XA3 = 1 diğer değişkenler sıfır, 4 nolu iş için XA4 = 1, XA1 = XA2 = XA3 = 0 olur. A mutlaka bir işe atanmak zorundadır. Bu koşul aşağıdaki eşitlikle açıklanır.
XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1
Benzer şekilde B, dört işten birini yapmak zorundadır. B’nin bir işe atanması gerektiği koşulu aşağıdaki eşitlikle açıklanır.
XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 1
C ve D’nin de birer işe atanmasıyla ilgili olarak,
XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1
XD1 + XD2 + XD3 + XD4 = 1
yazılmasıyla işçilerin atanmaları koşulları sağlanmış olur. Diğer taraftan her iş mutlaka yapılmak zorundadır. 1 nolu işi ele alalım. Bu iş ya A ya B veya C ya da D tarafından yapılacaktır. Buna göre birinci işin yapılması koşulu aşağıdaki denklemle ifade edilir.
XA1 + XB1 + XC1 + XD1 = 1
Benzer şekilde diğer üç işin yapılmaları koşulu, her iş için bir eşitlik yazılmasıyla aşağıdaki gibi elde edilecek, böylece kısıtlayıcıların düzenlenmesi işlemi tamamlanmış olacaktır.
2 nolu iş için; XA2 + XB2 + XC2 + XD2 = 1
3 nolu iş için; XA3+ XB3 + XC3 + XD3 = 1
4 nolu iş için; XA4 + XB4 + XC4 + XD4 = 1
Amaç, işleri en kısa sürede tamamlamak olduğundan amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi formüllenir.
Zenk = 3XA1 + 10XB1 + 16XC1 + 7XD1 + 8XA2 + 6XB2 + 10XC2 + 8XD2 + 6XA3+ 7XB3
+ 5XC3 + 10XD3 + 4XA4 + 9XB4 + 9XC4 + 6XD4
Böylece, problemin tüm değişkenleri yalnızca sıfır veya 1 değerini alan 0-1 tamsayılı programlama modeli kurulmuş olur. Problemin en iyi çözümü, XA1 = XB2 = XC3 = XD4 = 1, Zenk = 20 olarak belirlenmiştir.
Gezgin Satıcı Problemleri: Tamsayılı programlama olarak formüllenen problemlerden bir kısmı gezgin satıcı problemleri başlığı altında incelenir. Bu tip problemlerde amaç, başlangıç yerleşim merkezine geri dönmek ve her merkeze yalnızca bir kez uğramak koşuluyla birinci, ikinci, üçüncü, ... olarak hangi merkezlere gidileceğinin planlanmasıdır. Tüm dikkat, gezi planının katedilen yolun veya toplam gezi masraflarının ya da harcanan zamanın en küçüklenmesini sağlaması üzerine yoğunlaştırılır. Gezi planının düzenlenebilmesi için gezi güzergahı üzerindeki merkezler arasındaki uzaklıkların bilindiği varsayılır. i ve j (i j) herhangi iki merkez olmak üzere bunlar arasındaki uzaklık Cij ile gösterilir. Cij = Cji veya Cij Cji olabilir.
Başlangıç noktası 1 nolu yerleşim merkezi olsun. Satıcının i = 1, 2, ..., (n -
- için seyahatini i’den i + 1’e ve n’den 1’e doğru olmak üzere planladığını düşünelim. Bu plan "1, 2, ..., n; 1." olarak gösterilir. Plan; 1’den 2’ye, 2’den 3’e, ..., n’den 1’e geçildiğini açıklamaktadır. Görüldüğü gibi her bir merkeze yalnızca 1 kez girilmekte, her merkez yalnızca bir ama bir kez terkedilmekte ve tekrar başlangıç noktasına dönülmektedir. Burada olduğu gibi her merkeze bir kere giren ve her merkezi bir kere terkeden sıralamaya "tur" denir. Tur kavramı göz önünde bulundurulduğunda başlangıç yerleşim merkezinin önemsiz olduğu görülecektir. Bununla birlikte anlatımı genelleştirmek amacıyla başlangıç yerleşim merkezini 1 nolu merkez olarak sabitleyelim. 1 nolu merkezden yola çıkan bir kişi kalan (n - 1) merkezden herhangi birine gidebilir. Yani, yola çıkacak birinin gidebileceği (n - 1) sayıda merkez vardır. Bu merkezlerden birine gelindiğinde kalan (n - 2) sayıda merkezden birine gidilebilir. Bu durumda n merkezli gezgin satıcı problemlerinde mümkün turların sayısı (n - 1)(n - 2)...(2)(1) = (n - 1) dir.
Problem (n - 1)! sayıdaki turun listelenmesi yaklaşımıyla çözülebilirse de bu yaklaşımın uygulanabilirliği seyahat güzergahı üzerindeki merkez sayısıyla sınırlıdır. Sözgelimi n = 10 için listelenmesi gerekli tur sayısı 9! yani, 362880’e eşittir. Listelenmesi gereken tur sayısının büyüklüğü problemin listeleme ile çözümünü imkansız kılmaktadır. Gezgin satıcı problemlerinin tamsayılı programlama olarak formüllenmesi ve çözülmesi en uygun yaklaşımdır.
Bu tür problemlere sayısal örnek vermeden önce aşağıdaki genel tanımların incelenmesi doğru olur.
(n - 1) sayıdaki mümkün turdan herhangi biri olsun. Bu tur için tamsayı karar değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlanabilir.
Xij = 1 i şehrinden j şehrine gidiliyorsa
Xij = 0 i şehrinden j şehrine gidilmiyorsa
Her tur bir atamadır. Tur olmayan atamalar da vardır. {(1, 2), (2, 1), (3, 4), (4,3)}’ün bir atama olmakla birlikte tur olmadığı görülebilir. Tüm merkezleri tarayan bu atamalar tek bir devre oluşturmamaktadır. Atama planı içinde {(1, 2), (2, 1)} ve {(3, 4), (4,3)} olmak üzere iki alt tur bulunduğu görülebilir. Bu açıklamalar çerçevesinde gezgin satıcının problemi aşağıdaki gibi formüllenir.
Zenk =
=
1 j = 1, 2, ..., n
=
1 i = 1, 2, ..., n
Xij = 0 veya 1 bütün i, j’ler için
X = (Xij) tur ataması
Örnek 5.5: Bir satış elemanının sorumlu olduğu dört şehir vardır. Satış elemanı her ay bu dört şehre giderek satış işlerini kontrol etmek zorundadır. Satış elemanının yaşadığı şehir (1) dahil 5 şehir arasındaki uzaklıklar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Satış elemanının gidiş faaliyetleri sırasında katedeceği mesafenin en kısa olmasını sağlayacak gezi planını bulunuz.
Tablo 5.6
 j i |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | | 27 | 43 | 16 | 30 |
| 2 | 7 | | 16 | 1 | 30 |
| 3 | 20 | 13 | | 35 | 5 |
| 4 | 21 | 16 | 25 | | 18 |
| 5 | 12 | 46 | 27 | 48 | |
Çözüm 5.5: Önce karar değişkenlerini tanımlayalım. Karar değişkenleri satış elemanının o anda bulunduğu şehirden sonra hangi şehre gideceği ile ilgili olarak aşağıdaki gibi tanımlanabilir.
Xij = 1 i’den hemen sonra j’ye gidilmişse
Xij = 0 i’den hemen sonra j’ye gidilmemişse
Xii = 0 olmak zorundadır. Xii’lerin sıfır olmasını sağlamak için Cii’ler çok büyük pozitif sayılar olarak alınır. Büyük Cii değerleri tabloda ile gösterilmiştir.
Satış elemanının, 1 nolu şehirde bulunduğu herhangi bir turu incelemekte olduğunu düşünelim. Satıcı 1 nolu şehirdeyse; 2, 3, 4 veya 5 nolu şehirlerden birine gidebilir. Aynı anda birden fazla şehre gitmek mümkün olmadığından, 1 nolu şehirden ayrılma kısıtı olarak düzenlenen kısıtlayıcı fonksiyon aşağıda gösterilmiştir.
X12 + X13 + X14 + X15 = 1
Satıcının 1 nolu şehirden ayrıldığını ve başka bir şehre ulaştığını düşünelim. Bu durumda satıcı 2, 3, 4 veya 5 nolu şehirlerden birinde bulunur. Satıcının 2 nolu şehirde bulunduğunu düşünelim. Bu durumda satıcı 1, 3, 4 veya 5 nolu şehirlerden birine doğru yola çıkacaktır. Bu koşul, 2 nolu şehirden ayrılma kısıtı olarak, aşağıdaki eşitlikle açıklanır.
X21 + X23 + X24 + X25 = 1
Benzer şekilde 3, 4 ve 5 nolu şehirlerden yola çıkma kısıtları şöyle olur:
3 nolu şehir için; X31 + X32 + X34 + X35 = 1
4 nolu şehir için; X41 + X42 + X43 + X45 = 1
5 nolu şehir için; X51 + X52 + X53 + X54 = 1
Bu yolla her şehirden yalnızca bir kez ayrılma koşulu sağlanmış olur. Bir şehirden ayrılmak için önce o şehre gitmiş olmak gerektiği açıktır.
Önce 1 nolu şehre dönüşü planlayalım. 1 nolu şehre 2’den, 3’den, 4’den veya 5’den gelinebilir. Bu koşul aşağıdaki eşitlikle açıklanır.
X21 + X31 + X41 + X51 = 1
Şimdi de 2 nolu şehre geliş üzerinde duralım. Bu şehre, 1, 3, 4 veya 5 nolu şehirlerden birinden gelinebilir. Bu koşul aşağıdaki eşitlikle ifade edilir.
X12 + X32 + X42 + X52 = 1
Benzer yaklaşımla 3, 4 ve 5 nolu şehirlere gelişlerle ilgili olarak yazılan eşitlikler aşağıda gösterilmiştir.
3 nolu şehir için; X13 + X23 + X43 + X53 = 1
4 nolu şehir için; X14 + X24 + X34 + X54 = 1
5 nolu şehir için; X15 + X25 + X35 + X45 = 1
Beş tanesi her şehre bir kez gitme, beş tanesi de her şehirden bir kez ayrılma koşuluyla ilgili olarak toplam 10 (= 2n) kısıtlayıcı fonksiyonun yazılması tamamlanmış olur. Şimdi de amaç fonksiyonunu yazalım.
Zenk = MX11 + 27X12 + 43X13 + 16X14 + 30X15 + 7X21 + MX22 + 16X23 + 1X24 + 30X25 + 20X31 + 13X32 + MX33 + 35X34 + 3X35 + 21X41 + 16X42 + 25X43 + MX44
+ 18X45 + 12X51 + 46X52 + 27X53 + 48X54 + MX55
Amaç fonksiyonunun düzenlenmesiyle gezgin satıcı problemi atama problemi olarak modellenmiş olur. Modele Xij’lerin tur oluşturmaları gerektiği koşulunun eklenmesiyle modelleme işlemi son bulur. Problem, 5.4. kesimde açıklanacak olan dal-sınır tekniğiyle çözülmüş ve en iyi çözüm, X14 = X42 = X23 = X35 = X51 = 1, Zenk = 65 olarak belirlenmiştir.
Ya-Veya Kısıtlayıcıları
Matematiksel programlama problemlerinde çok sık olarak değişkenlerin,
f(X1, X2, ..., Xn) ≤ 0 5.1
g(X1, X2, ..., Xn) ≤ 0 5.2
kısıtlarından en az birini sağlayacak değerler alması garantilenmek istenir. Bu durumu sağlamanın yolu problem formülasyonuna, aşağıdaki kısıtları eklemektir.
f(X1, X2, ..., Xn) ≤ My 5.1
g(X1, X2, ..., Xn) ≤ M(1 - y) 5.2
5.1 ve 5.2’de bulunan y, sıfır-1 değişken, M ise problemin diğer kısıtlayıcılarını sağlayan Xi’ler için f(X1, X2, ..., Xn) ≤ M ve g(X1, X2, ..., Xn) ≤ M olmasını garanti edecek büyüklüğe sahip bir sayıdır. Eklenen bu iki kısıtlayıcı f(X1, X2, ..., Xn ) ≤ 0 ve g(X1, X2, ..., Xn) ≤ 0 kısıtlayıcılarından en az birinin gerçekleşmesini sağlayacaktır. 5.1 ve 5.2 ile açıklanan eşitsizliklerin modele dahil edilmesi 5.1 veya 5.2’den en az birinin gerçekleşmesini sağlayacaktır. Çünkü, y = 0 veya y = 1’dir. y = 0 ise,
f(X1, X2, ..., Xn) ≤ 0
g(X1, X2, ..., Xn) ≤ M
olur. Böylece, 5.1 ile açıklanan kısıtlayıcı gerçeklenir. y = 1 ise,
f(X1, X2, ..., Xn) ≤ M
g(X1, X2, ..., Xn) ≤ 0
olur, yani 5.2 eşitsizliği sağlanır. Kısaca y = 0 veya y = 1 olması 5.1 veya 5.2 ile açıklanan kısıtlayıcılardan en az birinin sağlanmasını garanti eder. Aşağıda ya-veya kısıtlayıcılarının kullanıldığı bir örnek problem verilmiştir.
Örnek 5.6: Bir beyaz eşya fabrikası gelecek yıl için üretim planı yapmaktadır. Fabrikada; buzdolabı, fırın ve çamaşır makinası üretilmektedir. Her mamülün bir birim üretimi için gerekli olan zaman ve hammadde miktarları ile birim kârları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Planlama dönemi için eldeki hammadde miktarı 22 ton, üretim zamanı ise 9000 saattir. Üretimin ekonomik olabilmesi için, herhangi bir ürünün üretilmesi durumunda üretim miktarının 350’den az olmaması gerekmektedir. İşletmenin karını en büyükleyecek tamsayılı programlama modelini kurunuz.
Tablo 5.7
| Ürün | Hammadde (kg) | Zaman (saat) | Kâr (milyon TL) |
|---|---|---|---|
| Buzdolabı | 20 | 6 | 5 |
| Fırın | 11 | 3 | 3 |
| Çamaşır Makinesi | 16 | 4,5 | 4 |
Çözüm 5.6: Her mamulden üretilecek miktarlar belirlenmek istendiğine göre, karar değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlanabilir.
X1: Buzdolabı üretim miktarı
X2: Fırın üretim miktarı
X3 : Çamaşır makinesi üretim miktarı
Amaç üç ürün için toplam kârı, yani 5X1 + 3X2 + 4X3 toplamını en büyüklemek olduğundan amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanacaktır.
Zenb = 5X1 + 3X2 + 4X3
Üretimin ekonomik olması, herhangi bir mamulün üretilmesi durumunda, mamul üretim miktarının en az 350 olmasına bağlıdır. O halde, i = 1, 2, 3 için ya Xi ≤ 0 veya Xi ≥ 350 olmalıdır.
Bu koşul her mamul için ayrı ayrı aşağıdaki gibi yazılır.
1. X1 ≤ 0 veya X1 ≥ 350
2. X2 ≤ 0 veya X2 ≥ 350
3. X3 ≤ 0 veya X3 ≥ 350
Hammadde miktarı ve çalışma zamanı kısıtlı olduğundan üretim miktarları aşağıdaki kısıtlayıcı fonksiyonları sağlamalıdır.
4. 20X1 + 11X2 + 16X3 ≤ 22000 (Hammadde kısıtlayıcısı)
5. 6X1 + 3X2 + 4,5X3 ≤ 9000 (Zaman kısıtlayıcısı)
Ya-veya türündeki kısıtlarla ilgili açıklamalar çerçevesinde, yukarıda 1, 2 ve 3 ile numaralandırılmış ya-veya kısıtlayıcılarını oluşturalım. X1’den başlayalım. X1 ≤ 0 veya X1 ≥ 350 olmasını sağlamak için aşağıdaki tanımları yapalım.
f(X1, X2, X3) = X1
g(X1, X2, X3) = 350 - X1
Bu tanımları kullanarak 1 nolu kısıtlayıcı fonksiyonu aşağıdaki kısıtlayıcı fonksiyon çiftiyle değiştirelim. Bu işlemle elde edilen eşitsizlikler aşağıda gösterilmiştir. y1 = 0 veya 1 olduğu unutulmamalıdır.
X1 ≤ M1y1
(350 - X1) ≤ M1(1 - y1)
Hem X1, hem de (350 - X1) değerlerinin M1’den küçük olmasını sağlayacak M1 değeri nedir? Bunun için yalnızca buzdolabı üretildiğini düşünelim. Bu durumda hammadde miktarı 22 ton olduğundan en fazla 1100(= 22000/20) adet buzdolabı üretileceği açıktır. Zaman kısıtı dikkate alındığında, bu rakam 1500 olur. Özetle, M1 = 1100 olarak seçilmesi uygun olur. X1 = 1100 ise, X2 = X3 = 0 olur.
Benzer işlemlerin 2 nolu kısıtlayıcı için gerçekleştirilmesiyle elde edilen eşitsizlikler sistemi aşağıda gösterilmiştir. y1 = 0 veya 1 ve M2 = 2000 olduğu unutulmamalıdır.
X2 ≤ M2y2
(350 - X2) ≤ M2(1 - y2)
Benzer şekilde 3 nolu kısıtlayıcı fonksiyon yerine aşağıdaki eşitsizlikler çifti yazılabilir.
X3 ≤ M3y3
(350 - X3) ≤ M3(1 - y3), y3 = 0 veya 1, M3 = 1375
Sonuçta, problemin tamsayılı programlama modeli aşağıdaki gibi olur.
Zenb = 5X1 + 3X2 + 4X3
X1 ≤ 1100y1
(350 - X1) ≤ 1100(1 - y1)
X2 ≤ 2000y2
(350 - X2) ≤ 2000(1 - y2)
X3 ≤ 1375y3
(350 - X3) ≤ 1375(1 - y3)
20X1 + 11X2 + 16X3 ≤ 22000
6X1 + 3X2 + 4.5X3 ≤ 9000
X1, X2, X3 ≥ 0
X1, X2, X3 tamsayı
y1, y2, y3 = 0 veya 1
Problemin en iyi çözümü, X2 = 2000, y2 = 1, X1 = X3 = y1 = y3 = 0, Zenb = 6 olarak belirlenmiştir.
İse-Olur Kısıtlayıcıları
Uygulamada sıkça karşılaşılan bir durum da, kısıtlayıcılardan birinin gerçekleşmesinin başka bir kısıtlayıcının gerçekleşmesini sağlamasıdır. Bu durum, f(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 ise g(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 eşitsizlikleri ile açıklanır. Bu koşullarda dikkat edilmesi gerekli en önemli nokta, f(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 eşitsizliğinin gerçekleşmemesinin, g(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 koşulunun da gerçekleşmemesine yol açmayacağıdır. f(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 eşitsizliği sağlanmazsa, g(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 veya g(X1, X2, ..., Xn) < 0 olabilir. Burada amaç, f(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 olması durumunda g(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 olmasını sağlayacak koşulların yaratılmasıdır.
Bu koşullar, problemin formülasyonuna 0-1 değerli y değişkeninin kullanıldığı ve aşağıdaki gibi düzenlenen kısıtlayıcıların eklenmesiyle gerçekleştirilir.
-g(X1, X2, ..., Xn) ≤ My 5.3
f(X1, X2, ....,Xn) ≤ M(1 - y) 5.4
Diğer bazı kısıtlayıcılarda olduğu gibi burada da M, problemin diğer kısıtlayıcılarını gerçekleyen tüm X1, X2, ..., Xn değerleri için f ≤ M ve -g ≤ M olmasını sağlayacak büyüklükte bir pozitif sayıdır. Modele eklenen kısıtlayıcıları inceleyelim. f 0 ise 5.4’ün sağlanması için y = 0 olması gerektiği görülebilir. Bu durumda 5.3, -g ≤ 0 veya g ≥ 0 olmak üzere arzulanan sonucu sağlar. O halde f 0 ise, 5.3 ve 5.4, g ≥ 0 olmasını sağlar. Diğer taraftan, f 0 eşitsizliği gerçekleşmiyorsa 5.4, y = 0 veya y = 1 olmasına sebep olur. y = 1 olduğunu düşünelim. Bu durumda, 5.3 kendiliğinden sağlanır. f 0 sağlanmıyorsa, X1, X2, ..., Xn değişkenlerinin değerleri sınırlandırılmamış olduğundan g 0 veya g ≥ 0 durumlarının her ikisi de olabilir.
Bu kısıtlayıcıların uygulamalardaki kullanımını açıklamak için kapsayan küme problemlerine örnek olarak verdiğimiz probleme dönelim.
Örnek 5.7: Örnek 5.4’deki probleme, 3 nolu merkeze istasyon kurulmuşsa 2 ve 5 nolu merkezlere istasyon kurulamaz kısıtını ekleyiniz
Çözüm 5.7: 3 nolu merkeze istasyon kurulmuşsa X3 = 1 olur. 2 ve 5 nolu merkezler için kullanılan değişkenler X2 ve X5 olduğundan, eklenecek kısıtlayıcı matematiksel olarak aşağıdaki gibi açıklanabilir.
X3 = 1 ise X2 = X5 = 0 olur 5.5
Xi sıfır-1 değişken olduğundan 5.5 ile açıklanan kısıt aşağıdaki gibi olur.
X3 0 ise X2 + X5 ≤ 0 veya -X2 - X5 ≥ 0 5.5
İse-olur kısıtlayıcıları ile ilgili açıklamalar doğrultusunda,
-g(X1, X2, X3, X4, X5) = X2 + X5
f(X1, X2, X3, X4, X5) = X3
olarak tanımlandığında, 5.3 ve 5.4 nolu eşitsizliklerin kullanılmasıyla, 5.5 yerine y = 0 veya 1 olmak üzere aşağıdaki eşitsizlikler çifti konulabilir.
X2 + X5 ≤ My
X3 ≤ M(1 - y)
Hem -g hem de f’nin 2’den büyük olamayacağı dikkate alındığında, M = 2 seçiminin uygun olduğu anlaşılır. M = 2 için,
X2 + X5 ≤ 2y
X3 ≤ 2(1 - y)
olarak belirlenen kısıtlayıcı fonksiyonlar modele yerleştirildiklerinde, 1 nolu merkezin seçilmesi durumunda 2 ve 5 nolu merkezlerin seçilmemesi sağlanmış olur.
Tamsayılı doğrusal programlama problemlerinin çözümünde kullanılan belli başlı yöntemler; dal-sınır algoritması ile Gomory kesme düzlemi algoritmasıdır. Yöntemlerin her ikisi de doğrusal programlama için önerilen çözüm yöntemleri üzerine kurulmuştur. Yöntemleri açıklamadan önce tamsayılı programlama problemlerinin çözümü ile ilgili basit ama önemli bir konu üzerinde duralım.
Herhangi bir tamsayılı programlamanın gevşek biçiminin en iyi çözümünde tamsayı olması istenen değişkenlerin hepsi tamsayı ise, bu çözüm tamsayılı programlamanın da en iyi çözümü olur. Bu durumu aşağıdaki basit problemin çözümü üzerinde gösterelim.
Zenb = 8X1 + 12X2
X1 + X2 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0,
X1, X2 tamsayı
Gevşek problemin en iyi çözümü, X1 = 0, X2 = 3, Zenb = 36 şeklinde belirlenmiştir. Gevşek problemin uygun çözüm bölgesi Şekil 5.2’de OAB üçgen alanıyla, tamsayılı problemin çözüm noktaları ise () ile gösterilmiştir. Bu noktaların koordinat değerlerini kullanarak tamsayılı programlamanın en iyi çözümüne ulaşmaya çalışalım.
Şekil 5.2’den görüldüğü gibi, tamsayılı problemin çözümü olabilecek çözüm noktaları şunlardır:
(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1).
Amaç fonksiyonuna en büyük değeri (Zenb = 36) kazandıran A(X1 = 0, X2 = 3), tamsayılı problemin en iyi çözümüdür. Böylece, herhangi bir tamsayılı doğrusal programlamanın gevşek biçiminin en iyi çözümünde tamsayı olması istenen değişkenler tamsayı iseler, bu çözüm tamsayılı doğrusal programlama probleminin de en iyi çözümüdür açıklaması kanıtlanmış olur.
Şekil 5.2
Dal-sınır algoritması hem tamamen tamsayılı hem de karma tamsayılı programlama problemlerinin çözümünde kullanılabilen genel bir yaklaşımdır. Tamsayılı programlama problemlerinin çözümünde kullanılan bilgisayar paket programlarının çoğunda bu yaklaşım esas alınmıştır. Dal-sınır yöntemi, tamsayılı uygun çözümlerin hepsinin sistematik biçimde listelendiği etkin bir yöntemdir.
Bilindiği gibi, tamsayılı problemlerin çözümünde kullanılabilecek pratik bir yaklaşım, problemin doğrusal programlamaya dönüştürülmüş şeklini çözmek, çözüm sonucu tamsayı olmayan değerleri yuvarlamak, yani tamsayıya dönüştürmektir. Bir an için tamsayı olması istenen X1, X2 değişkenleri için, 2.5 ve 5.4 değerlerine ulaştığımızı düşünelim. Bu durumda tamsayı çözüm için (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6) olmak üzere dört seçenek vardır.
X1’in gerçek en iyi tamsayı çözümü bu aday çözümlerden hiçbirine karşılık gelmeyebilir. X1 için 2’den küçük veya 3’den büyük olan tamsayı çözüm elde edilebilir. X1 için tamsayı en iyi çözüm, X1 ≤ 2 veya X1 ≥ 3 koşulunu sağlamalıdır. Benzer şekilde X2’nin gerçek en iyi tamsayı çözümü, X2 ≤ 5 veya X2 ≥ 6 olabilir.
Dal-sınır algoritmasının esaslarını sayısal bir örnek üzerinde açıklayalım.
Örnek 5.8: Aşağıdaki problemi dal-sınır algoritmasıyla çözünüz .
Zenb = 7X1 + 3X2
3X1 + 2X2 ≤ 13
X1, X2 ≥ 0
X1, X2 tamsayı
Çözüm 5.8: Dal-sınır algoritmasının ilk adımı tamsayılı problemi gevşetmek (tamsayı olma koşulunu göz ardı etmek) ve bu problemin en iyi çözümünü bulmaktır. Problemin normal doğrusal programlamaya dönüştürülmüş biçimi alt problem 1 (AP-1) olarak isimlendirilir. AP-1’in en iyi çözümünde tamsayı olması istenen değişkenler tamsayı iseler, bu çözüm tamsayı problemin de en iyi çözümü olur. AP-1 için en iyi çözüm, X1 = 4.33, X2 = 0, Zenb = 30.333 (bkz. Şekil 5.3) olarak elde edilmiştir.
Şekil 5.3
AP-1’in en iyi çözümü tamsayılı olmadığından dal sınır algoritmasıyla orijinal problemin en iyi çözümü bulununcaya kadar çözüm bölgesinin düzenlenmesine devam edilir. Daha önce açıklandığı gibi, en büyükleme amaçlı bir tamsayılı problemin en iyi Z değeri ile gevşek biçiminin en iyi Z değeri arasında,
Tamsayılı programlamanın en iyi Z değeri ≤ Gevşek Biçimin en iyi Z değeri
eşitsizliği ile açıklanan bir ilişki vardır.
Bu ilişki, bu tamsayılı problemin amaç fonksiyonunun en büyük değerinin 30.333’den büyük olamayacağını açıklamaktadır. Bu durumda, 30.333 tamsayılı programlama probleminin en iyi çözümü için üst sınır kabul edilir. Algoritmanın ismindeki sınır sözcüğü buradan gelmektedir.
Yöntemin yeni adımı, gevşek problemin çözüm bölgesini parçalara ayırmaktır. Bu yolla tamsayılı problemin en iyi çözümünün araştırılacağı alan küçültülmüş olur. Parçalama işleminde, tamsayı olması istenen ama tamsayı olmayan değişkenlerin seçilmesi esastır. Gevşek biçimin en iyi çözümünde X2 tamsayı olduğundan, parçalama işlemi için tamsayı olmayan X1’in seçilmesi gerekir. X1’in tamsayı olmayan (4.333) çözüm değerine en yakın iki tamsayı 4 ve 5’dir. Tamsayılı programlamanın çözüm bölgesindeki her nokta X1 ≤ 4 veya X1 ≥ 5 koşulunu sağlamalıdır. Bu ikiye ayırma koşulu dallanma kavramının öne çıkmasına neden olur. X1 ≤ 4 veya X1 ≥ 5 şeklindeki parçalama işlemi 4.333 değerine ikinci kez rastlama şansını ortadan kaldırır. Kısaca, X1 ≤ 4 veya X1 ≥ 5 belirlemesiyle, yani X1’in dallandırılmasıyla gevşek biçimin çözüm bölgesi iki parçaya ayrılmış olur. Parçalar aşağıda tanımlanmış olan farklı alt problemlere karşılık gelir.
AP-2: AP-1 + X1 ≤ 4
AP-3: AP-1 + X1 ≥ 5
Özetle AP-1, biri AP-2 diğeri AP-3 olmak üzere iki problemle yer değiştirmiştir. Ne AP-2 ne de AP-3 X1 = 4.333 değerini içerir. Şekil 5.4’de gösterildiği gibi gevşek biçimin en iyi çözümü bir daha ortaya çıkamaz.
Şekil 5.4
Orijinal problemin en iyi çözümü ya AP-2’de veya AP-3’dedir. Dolayısıyla bu problemler çözülmelidir. Önce hangi alt problemin çözülmesi gerektiği konusunda genel bir kural bulunmamakla birlikte eğilim, en yeni alt problemin seçilmesi yönündedir. Bu nedenle önce AP-3’ü çözelim. Şekilden görüldüğü gibi, AP-3’ün çözüm bölgesi ile AP-1’in çözüm bölgesinin hiçbir ortak noktası olmadığından AP-3’den elde edilecek herhangi bir çözüm uygun olmayacaktır. Bu nedenle, AP-3’den hareketle belirlenecek bir çözüm en iyi olamaz. Bunu ifade etmek için uygun çözümü olmayan alt problemler ile işaretlenir (bkz. Şekil 5.5). AP-3’ün dallandırılması tamsayı çözüm hakkında bilgi sağlamayacağından, bundan sonraki işlemlerde AP-3’ün dikkate alınmasına gerek yoktur. AP-2’ye geçelim. AP-2’nin en iyi çözümü; X1 = 4, X2 = 0.5 ve Zenb = 29.5 olarak belirlenmiştir.
Şu ana kadar yapılanlar Şekil 5.5’de özetlenmiştir. Görüldüğü gibi her bir alt probleme bir düğüm, alt problem yaratmada kullanılan her bir kısıtlayıcıya bir dal karşılık gelmektedir. Bir alt problemi diğerinden ayıran kısıtlayıcı, ilgili alt problemler arasındaki dal üzerine yazılmaktadır. Ayrıca alt problemlerin hangi sırada çözüldükleri düğümlerin yan taraflarına t = sıra no şeklinde belirtilmektedir.
Şekil 5.5
AP-2’nin en iyi çözümünde; X2 tamsayı olmadığından, X2 dallandırma değişkeni olur. Dallandırma ile AP-2’nin uygun çözüm bölgesi, X2 ≤ 0 ve X2 ≥ 1 noktalarını kapsayan iki bölgeye ayrılır.
Bu yolla yaratılan yeni problemler (AP-4 ve AP-5) aşağıda ve bunların çözüm bölgeleri Şekil 5.6’da gösterilmiştir.
AP-4: AP-1 + X1 ≤ 4 + X2 ≤ 0 = AP-2 + X2 ≤ 0
AP-5: AP-1 + X1 ≤ 4 + X2 ≥ 1 = AP-2 + X2 ≥ 1
Çözülmemiş problemler AP-4 ile AP-5’dir. Çözüm için en yeni olan AP-5 seçilecektir.
Şekil 5.6
AP-5’in en iyi çözümü; X1 = 3.667, X2 = 1 ve Zenb = 28.667’dir.
Alt problemler ve çözüm sonuçları Şekil 5.7’de gösterilmiştir.
Şekil 5.7
AP-5’in çözümünde X1 tamsayı olmadığından, (X1 = 3.667) AP-4’ü çözmeden önce X1 dallandırılır. X1 ≤ 3’le belirlenen AP-6 ve X1 ≥ 4’le belirlenen AP-7 aşağıda gösterilmiştir.
AP-6: AP-1 + X1 ≤ 4 + X2 ≥ 1 + X1 ≤ 3 = AP-5 + X1 ≤ 3
AP-7: AP-1 + X1 ≤ 4 + X2 ≥ 1 + X1 ≥ 4 = AP-5 + X1 ≥ 4
AP-6 ve AP-7’nin uygun çözüm bölgeleri Şekil 5.8’de gösterildiği gibidir.
Şekil 5.8
İkisi yeni (AP-6 ve AP-7), diğeri önceden tanımlanmış ve hala çözülmemiş olan (AP-4) üç alt problem vardır. Yukarıda açıklandığı gibi alt problemlerin çözümüne en yeni olandan başlanır. En yeni olanlar arasından seçim rastgele yapılır. Biz AP-6’yı seçelim. AP-6’nın en iyi çözümü X1 = 3, X2 = 2 ve Zenb = 27 olarak belirlenmiştir (bkz. Şekil 5.9). Çözümde değişkenler tamsayı olduklarından AP-6’dan sağlanan çözüm tamsayılı problemin en iyi çözümü olmaya adaydır. Z’nin 27 olarak belirlenen değeri, bundan sonra çözülecek alt problemlerin Z değerleri için bir alt sınır oluşturur. Yani, bu aşamadan sonra elde edilecek bir çözümün en iyi olabilmesi için Z değeri en az 27’ye eşit olmalıdır.
Çözülmemiş iki alt problemin daha bulunduğu bu aşamada, son giren ilk çıkar kuralı doğrultusunda, AP-7 seçilmelidir. AP-7’nin çözümü uygun olmadığından, çözülmemiş tek alt problem olan AP-4’e geçilir. AP-4’ün en iyi çözümü X1 = 4, X2 = 0 ve Zenb = 28 olarak belirlenmiştir. Bu çözüm de (değişkenler tamsayı olduğundan) tamsayılı problemin en iyi çözümü olmaya adaydır. Ayrıca AP-4 için belirlenen Z = 28 değeri AP-6 için belirlenen çözümün en iyi olmadığına işaret etmektedir. İki aday çözümün belirlendiği bu problemde en büyük Z değerini veren çözüm AP-4’ün çözümüdür.
Tüm alt problemler ve çözümleri Şekil 5.9’da özetlenmiştir.
Şekil 5.9
Dal sınır algoritmasını bir kez de bir sıfır-1 programlama problemi üzerinde açıklayalım. Sıfır-1 programlamada her değişken ya sıfır veya 1’e eşit olduğundan, değişken dallandırılması Xi = 1 ve Xi = 0 şeklindedir. Bu özellik, yöntemin uygulanmasında büyük kolaylık sağlar. Öyleki, problemin doğrusal programlama gevşeği dahil tüm alt problemleri ve bu problemlerin çözümleri basit bir incelemeyle belirlenebilirler.
Bu açıklamalar doğrultusunda aşağıdaki sırt çantası problemini çözelim.
Örnek 5.9: Otostopçu bir genç taşıma kapasitesi 5 kg olan bir sırt çantasına ağırlıkları farklı 4 eşyayı yerleştirmek istemektedir. Her eşyanın birim ağırlığı (kg) ve sağladığı kazanç aşağıdaki gibidir. Buna göre 5 kg’lık sırt çantasına hangi eşyalar yerleştirildiğinde toplam kazanç en büyük olur.
Tablo 5.8
| Eşya No | Ağırlık | Kazanç |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 20 |
| 2 | 2 | 16 |
| 3 | 2 | 10 |
| 4 | 1 | 8 |
Çözüm 5.9: Çözüme geçmeden önce problemin sıfır-1 programlama modelini kuralım. Kurulan model aşağıda gösterilmiştir.
Zenb = 20X1 + 16X2 + 10X3 + 8X4
3X1 + 2X2 + 2X3 + X4 ≤ 5
Xi = 0 veya 1 (i = 1, 2, 3, 4)
Ürün kazanç değerleri incelendiğinde akla ilk gelen, çantaya en önce kazanç değeri en büyük olan 1 nolu eşyayı yerleştirilmektir. Ancak, ağırlıkları göz ardı edip yalnızca kazançların dikkate alınmasıyla gerçekleştirilecek bir yerleştirme planı en iyi olmayabilir. Kazanç ile ağırlık arasında bir ilişki kurmak, yerleştirme planını bu ilişki bazında oluşturmak uygun olur. Amaç fonksiyonu katsayıları Ci, kısıtlayıcı fonksiyon katsayıları ai olmak üzere i nolu eşyadan beklenen fayda (Ci / ai) olarak açıklanabilir. Fayda katsayısı en büyük olan eşya çantaya ilk yerleştirilecek olandır. Çantada kalan boş yer kapasitesine bağlı olarak sırasıyla fayda katsayısı ikinci, üçüncü, dördüncü sırada olan eşyalar yerleştirilir. Gevşek problemi bu açıklamaları kullanarak çözelim. Önce fayda katsayılarını hesaplayalım ve eşyaları fayda katsayılarının büyüklüğüne göre sıralayalım. Fayda katsayıları ve eşyaların önem dereceleri Tablo 5.9’da gösterilmiştir. Tablodan görüldüğü gibi 2 ve 4 nolu eşyaların sıralama dereceleri 1.5’dir. Bunun nedeni, bu eşyaların fayda katsayılarının eşit olması sonucu, sıralama derecelerinin 1 ile 2’nin ortalaması olarak alınmasıdır.
Tablo 5.9
| Eşya | Fayda Ci /ai | Sıralama (1 = En iyi, 4 = En kötü) |
|---|---|---|
| 1 | 20/3 | 3 |
| 2 | 16/2 | 1.5 |
| 3 | 10/2 | 4 |
| 4 | 8/1 | 1.5 |
Sıra değerleri incelendiğinde, yerleştirilecek ilk eşyanın eşit sıralama katsayılı, yani faydaları aynı olan 2 veya 4 nolu eşya olduğu görülecektir. Eşya 2 seçilmiş olsun. Bu durumda X2 = 1 olur. Bu eşyanın yerleştirilmesiyle çantada 3 kg’lık boş yer kalır. Bu durumda orijinal problem, 3 kg taşıma kapasiteli çantaya 1, 3 ve 4 nolu eşyaların yerleştirilmesi problemine dönüşmüş olur. Sıralamada 2 nolu eşya ile aynı yeri paylaşan 4 nolu eşyanın ağırlığı 1 kg olduğundan çantaya yerleştirilen ikinci eşya 4 nolu olandır. Bu durumda X4 = 1 olur. 2 ve 4 nolu eşyaların yerleştirilmesinden sonra çantada 2 kg’lık boş yer kalır. Sıralamada 3. sırada bulunan eşya 1’in ağırlığı 3 kg olduğundan X1 = 2/3 olur. 3 nolu eşya için yer kalmamıştır (X3 = 0) . Böylece tamsayı olmayan en iyi çözüm; X1 = 2/3 , X2 = 1, X3 = 0, X4 = 1 ve Zenb = 37.333 olarak belirlenmiş olur. Tamsayı olmayan bu çözümün, gevşek formun en iyi çözümü olduğu unutulmamalıdır. Tamsayılı en iyi çözüme ulaşmak için X1 dallandırılmalıdır. X1 = 0 veya 1 olduğundan, dallandırma X1 = 1 ve X1 = 0 şeklinde yapılır. Dallandırmayla belirlenen problemler ve çözüm sonuçları Şelil 5.10’da gösterilmiştir.
Şekil 5.10
Şekilden görüldüğü gibi, sıfır-1 tamsayılı problemin en iyi çözümü üçüncü sırada çözülen AP-3’den elde edilmiştir.
Bilindiği gibi karma tamsayılı programlama problemlerinde değişkenlerden bazıları tamsayıdır. Bu tip problemler de dal-sınır algoritmasıyla çözülebilir. Bu kez, dallandırma için yalnızca tamsayı olması istenen değişkenlerin dikkate alınması yeterli olur. Tamsayı olması gerekmeyen değişkenler hiçbir zaman dallandırma değişkeni olarak seçilmezler.
Konuyu açıklamak için aşağıdaki karma tamsayılı programlama probleminin çözümünü araştıralım. Bu kez en küçükleme amaçlı bir problem çözülecektir.
Örnek 5.10: Aşağıdaki karma tamsayılı programlama problemini dal-sınır algoritmasıyla çözünüz.
Zenk = 6X1 + 7X2
6X1 + 3X2 ≥ 40
3X1 + 2X2 ≥11
X1, X2 ≥ 0
X1 tamsayı
Çözüm 5.10: Tamamen tamsayılı programlama problemlerinin çözümünde olduğu gibi, öncelikle problem gevşetilmeli ve gevşek problemin en iyi çözümü bulunmalıdır.
Gevşek biçimin en iyi çözümü; X1 = 6.667, X2 = 0 ve Zenk = 40 olarak bulunmuştur. 40 olarak belirlenen Z değerinin tamsayılı problemin en iyi çözümü için bir alt sınır oluşturduğu unutulmamalıdır. Problem en küçükleme amaçlı olduğundan, orijinal problemin en iyi Z değeri en az 40 olacaktır.
Tamsayı olması istenen değişken X1 olduğundan, dallandırma X1 üzerinde gerçekleştirilecektir. X1’in tamsayı olmasını sağlayacak dallandırma, X1 ≤ 6 ve X1 ≥ 7 şeklindedir.
Bu dallandırma ile,
AP-2: AP-1 + X1 ≤ 6
AP-3: AP-1 + X1 ≥ 7
yazılır.
Çözülecek alt problem olarak AP-3’ü seçelim. AP-3’ün çözümünde; X1 = 7, X2 = 0 ve Zenk = 42 olarak belirlenmiştir. Çözümde X1 tamsayı olduğundan AP-3’ün çözümü tamsayılı problemin en iyi çözümü olmaya adaydır. Ayrıca orijinal problemin en iyi (en küçük) değeri konusunda Z = 42’nin bir üst sınır olduğu söylenebilir.
Yeni bir dallandırma gerekmediğinden, AP-2’ye geçilir. AP-2’nin en iyi çözümü; X1 = 6, X2 = 1.333 ve Zenk = 45.333 olarak belirlenmiştir. X1 tamsayı olduğundan, bu çözüm de en iyi olma şansına sahiptir. Bununla birlikte AP-2’den hesaplanan Z değeri (45.333), AP-3’ten hesaplanan Z değerinden (42) büyük olduğundan bir en iyi çözüm olamaz. AP-3 tamsayılı programlamanın en iyi çözümünü sağlamıştır.
Yaratılan alt problemler ve çözümleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Şekil 5.11
5.4.2. Kesme Düzlemi Algoritması
Tamsayılı programlama problemlerinin çözümünde kullanılan diğer bir teknik kesme düzlemi algoritmasıdır. Dal-sınır algoritmasında olduğu gibi, kesme düzlemi algoritması uygulamasına da tamsayılı problemin gevşetilmiş biçiminin en iyi çözümüyle başlanır. Bu en iyi çözümde, tamsayı olması istenen değişkenler tamsayı iseler tamsayılı problem çözülmüş olur. Gevşek problemin en iyi çözümü tamsayılı programlamanın en iyi çözümü olma özelliğini taşımıyorsa, kesme düzlemi algoritması uygulamasına geçilebilir. Kesme düzlemi algoritmasında da, dal-sınır algoritmasında olduğu gibi, tekrarlı bir şekilde özel kısıtlayıcılar ekleyerek çözüm uzayında gerekli düzeltmeler yapılır. Özel kısıtlayıcı ekleme işlemi tamsayı olma koşulunu gerçekleyecek bir en iyi çözüme ulaşılıncaya değin sürdürülür.
Kesme düzlemi algoritmasının nasıl kullanılacağını dal-sınır yöntemi ile çözülen örnek 5.8’deki problem üzerinde açıklayalım.
Örnek 5.11: Aşağıdaki problemi kesme düzlemi algoritmasıyla çözünüz.
Zenb = 7X1 + 3X2
2X1 + X2 ≤ 9
3X1 + 2X2 ≤ 13
X1, X2 ≥ 0
X1, X2 tamsayı
Çözüm 5.11: Kesme düzlemi algoritması klasik doğrusal programlama probleminin simpleks yöntemle elde edilen en iyi çözüm tablosundan işe başlar. Tamsayı olma koşulunun göz ardı edilmesiyle belirlenen gevşek problemin en iyi çözümünün yer aldığı simpleks çözüm tablosu aşağıda gösterilmiştir.
Tablo 5.10
| TDV | X1 | X2 | S1 | S2 | ÇV |
|---|---|---|---|---|---|
| S1 | 0 | -0.333 | 1 | -0.667 | 0.333 |
| X1 | 1 | 0.667 | 0 | 0.333 | 4.333 |
| Zj | 7 | 4.669 | 0 | 2.331 | 30.333 |
| Zj - Cj | 0 | 1.669 | 0 | 2.331 | - |
Elde edilen en iyi çözümde, X2 (= 0) tamsayı olmakla birlikte, X1 (= 4.333) tamsayı olmadığından bu çözüm aranan en iyi çözüm olamaz. Tamsayılı programlamanın en iyi çözümü için ek bir kısıtlayıcı koşul yaratılması gerekir. Bunun için öncelikle tamsayı olması istenen ancak çözüm değeri tamsayı olmayan değişken(ler) belirlenir. Birden fazla değişken arasından seçim yapılacak olması durumunda, kesirli kısmı en büyük olan değişkenin seçilmesi uygun olur. Tamsayı yapılacak değişkenin belirlenmesinden sonra en iyi çözümün bulunduğu simpleks tablosundan o değişkenin bulunduğu satır elemanları işaretlenir. İşaretlenen bu elemanlar kısıtlayıcı koşul yaratmada kullanılır. Burada yalnızca X1 değişkeni temelde bulunduğundan, bu değişkene ilişkin kısıtlayıcı koşul yaratılacağı açıktır. Tablo 5.10’daki sonuç değerlerinden yaratılan denklem aşağıda gösterilmiştir.
(1)X1 + (0.667)X2 + (0)S1 + (0.333)S2 = 4.333 5.6
Kısıtlayıcı koşul yaratmada gerçekleştirilen işlemleri genelleştirmek için şu tanımı yapalım. X, X’e eşit veya daha küçük en büyük tamsayı olsun. Buna göre, sözgelimi 2.25 = 2, -3.16 = -4 olur. Bu durumda herhangi bir kesirli sayı X + f olarak açıklanabilir. Buradaki f, X’in tamsayı olmayan, yani kesirli kısmıdır. Sözgelimi, 2.25 = 2 + 0.25 ve -3.16 = -4 + 0.84 olarak yazılabilir. Kesirli bir sayının bu biçimde ifade edilmesi kısıtlayıcı koşul yaratmanın esasını oluşturur. Bu açıklamalar doğrultusunda 5.6’nın tamsayı olmayan değişken katsayılarını "X + f" formunda yazalım. Buna göre,
(1 + 0)X1 + (0 + 0.667)X2 + (0)S1 + (0 + 0.333)S2 = 4 + 0.333
veya
(1 + 0)X1 + (0)X2 + (0.667)X2 + (0)S1 + (0)S2 + (0.333)S2 = 4 + 0.333
olur.
Katsayıları tamsayı olan bütün terimlerin eşitliğin sol tarafında, diğerlerinin eşitliğin sağ tarafında gösterilmesiyle ulaşılan eşitlik aşağıda gösterilmiştir.
(1)X1 + (0)X2 + (0)S1 + (0)S2 - 4 = 0.333 - (0.667)X2 - (0.333)S2 5.7
5.7’nin sağ tarafı için,
0.333 - (0.667)X2 - (0.333)S2 ≤ 0 5.8
yazılabilir.
5.8 ile açıklanan fonksiyona "kesme" denir. Kesme düzlemi algoritmasının esasını oluşturan kesmenin iki önemli özelliği aşağıda açıklanmıştır.
1. Tamsayılı programlama için uygun olan bir nokta kesmeyi sağlar
2. Gevşek biçim için en iyi olduğu belirlenen nokta kesmeyi sağlamaz.
Bu iki özelliğinden dolayı bir kesme, gevşek problemin en iyi çözümünü dışta bırakırken, tamsayılı programlamanın uygun çözümlerine dokunmaz. Kesme oluşturmada kullanılan değişkenin tamsayıya ulaştırılabilmesi için kesmenin, gevşek biçimin en iyi çözümünün bulunduğu simpleks tablosuna yeni bir kısıtlayıcı olarak eklenmesi gerekir. Bu eklemeden sonra simpleks yöntemin klasik işlemleriyle tamsayı en iyi çözüm elde edildiğinde, problem çözülmüş olur. Kesme eklenmesiyle düzenlenen problemin en iyi çözümünde hala tamsayı olmayan değişken var ise, yeni bir kesme tanımlanır. Bu işlemler istenen çözüme ulaşıncaya kadar tekrarlanır. Sınırlı sayıda kesme ile tamsayı en iyi çözüme ulaşılır. Gevşek probleme kesme eklenmesi ve sonrasında yapılan işlemlere geçmeden önce kesmenin yukarıda açıklanan iki özelliği gerçekleyip gerçeklemediği konusu üzerinde duralım.
Önce birinci özellik üzerinde duralım. Bu amaçla tamsayılı programlama için uygun olan bir nokta seçelim. Bu noktada X1 ve X2 tamsayı değerler alacaktır. Tamsayılı programlama için uygun olan bu nokta gevşek problem için de uygundur. 5.7 nolu denklem, en iyi çözüm tablosunun X1 değişken satırının amaca uygun olarak düzenlenmiş biçimi olduğundan, tamsayılı programlama için uygun olan nokta 5.7’yi sağlamak zorundadır. Tamsayılı programlamanın uygun bir çözümünde, S1 ≥ 0 ve S2 ≥ 0 olmak zorundadır. 0.333 < 1 olduğundan, tamsayılı programlamanın uygun herhangi bir çözümü için 5.7’nin sağ tarafı ≤ 1olur. Ayrıca böyle bir nokta için 5.7’nin sol tarafı bir tamsayıya eşittir. Sonuç olarak, tamsayılı programlamanın herhangi bir uygun çözümü için, 5.7’nin sağ tarafı 5.6 ile belirlenenden küçük bir tamsayıdır.
Şimdi de gevşek problemin en iyi çözümünün kesmeyi sağlamayacağını gösterelim. Gevşek problemin en iyi çözümünde, X2 = 0, S2 = 0 olarak belirlenen değerleri 5.8 nolu eşitsizlikle açıklanan kesme denklemine yerleştirelim. Bu durumda,
0.333 - (0.667)(0) - (0.333)(0) = 0.333
elde edilir.
0.333 > 0 olduğundan kesme tatmin edilmemiş, yani gevşek biçimin en iyi çözümü kesmeyi sağlamamıştır.
İstenirse kesmenin grafiği çizilebilir. Anılan grafiği çizmek için kesme denkleminin X1, X2 cinsinden yazılması gerekir. İkinci kısıtlayıcıdan S2 için belirlenen 13 - 3X1 - 2X2 bağıntısı, 5.8’le açıklanan kesme denklemine yerleştirildiğinde sırasıyla,
0.333 - (0.667)X2 - (0.333)(13 - 3X1 - 2X2) ≤ 0
0.333 - (0.667)X2 - 4.329 - (0.999)X1 - (0.666)X2 ≤ 0
0.333 - (0.667)X2 - 4.329 + (0.999)X1 + (0.666)X2 ≤ 0
(0.999)X1 ≤ 4
elde edilir. Buna göre kesme Şekil 5.12’deki gibi çizilir.
Şekil 5.12
Kesmenin en iyi çözüm tablosuna yerleştirilmesi için önce sağ tarafında sabit olacak biçimde, yani (-0.667)X2 - (0.333)S2 ≤ -0.333 olarak yazılması, daha sonra sol tarafına bir aylak değişken (S3) ekleyerek eşitlik biçimine dönüştürülmesi gerekir. Açıklanan bu işlemlerin tamamlanmasıyla,
(- 0.667)X2 - (0.333)S2 + (1) S3 = - 0.333
elde edilir.
Kesmenin eklenmesiyle elde edilen simpleks çözüm tablosu aşağıda gösterilmiştir.
Tablo 5.11
| TDV | X1 | X2 | S1 | S2 | S3 | ÇV |
|---|---|---|---|---|---|---|
| S1 | 0 | -0.333 | 1 | -0.667 | 0 | 0.333 |
| X1 | 1 | 0.667 | 0 | 0.333 | 0 | 4.333 |
| S3 | 0 | -0.667 | 0 | -0.333 | 1 | -0.333 |
| Zj | 7 | 4.669 | 0 | 2.331 | 0 | 30.333 |
| Zj - Cj | 0 | 1.669 | 0 | 2.331 | 0 | - |
Tablo 5.11’den görüldüğü gibi eklenen kesme çözümün en iyi olma olma özelliğini (tüm Zj – Cj ≥ 0) etkilememiştir. Ancak, S3’ün negatif olması çözümün uygun olmamasına yol açmıştır. Uygun çözüm için dual simpleks yöntem([2]) uygulanmalıdır. Dual simpleks yöntemin değişken seçimi kuralına göre S3 temeli terkedecek, en küçük oran veren X2 girecektir. Simpleks çözümün ardışık işlemleriyle oluşturulan tablo aşağıda gösterilmiştir.
Tablo 5.12
| TDV | X1 | X2 | S1 | S2 | S3 | ÇV |
|---|---|---|---|---|---|---|
| S1 | 0 | 0 | 1 | -0.501 | -0.499 | 0.499 |
| X1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0.999 | 4.0 |
| X2 | 0 | 1 | 0 | 0.499 | -1.499 | 0.499 |
| Zj | 7 | 3 | 0 | 1.497 | 2.496 | 29.497 |
| Zj - Cj | 0 | 0 | 0 | 1.497 | 2.496 | - |
Tablo 5.12’deki çözüm hem en iyi hem de uygun olmakla birlikte X2 = 0.5 olduğundan, tamsayılı değildir. X2’nin esas alınmasıyla yeni bir kesme tanımlanması zorunludur.
Kesmenin oluşturulması ve çözüm için uygun şekle dönüştürülmesi ile ilgili işlemler aşağıda gösterilmiştir.
(0)X1 + (1)X2 + (0)S1 + (0.499)S2 (- 1.499)S3 = 0.499
(0.499)S2 + (0.501)S3 = 0.499
(0.499) - (0.499)S2 - (0.501)S3 ≤ 0
(-0.499)S2 - (0.501)S3 ≤ -0.499
(-0.499)S2 - (0.501)S3 +(1) S4 = -0.499
Bu kısıtlayıcı koşulun en iyi çözüm tablosuna eklenmesiyle yeni çözüm tablosu aşağıdaki gibi elde edilir.
Tablo 5.13
| TDV | X1 | X2 | S1 | S2 | S3 | S4 | ÇV |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| S1 | 0 | 0 | 1 | -0.501 | -0.499 | 0 | 0.499 |
| X1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0.999 | 0 | 4.0 |
| X2 | 0 | 1 | 0 | 0.499 | -1.499 | 0 | 0.499 |
| S4 | 0 | 0 | 0 | -0.499 | -0.501 | 1 | -0.499 |
| Zj | 7 | 3 | 0 | 1.497 | 2.499 | 0 | 29.497 |
| Zj - Cj | 0 | 0 | 0 | 1.497 | 2.499 | 0 | - |
Tablo 5.13’den görüldüğü gibi çözüm en iyi olmakla birlikte uygun değildir. Negatif çözüm değerli S4’ün temelden çıkması, yerine mutlak değerce en küçük oranı veren S2’nin girmesi gerekir. Gerekli işlemlerden sonra aşağıdaki tabloda gösterilen yeni çözüme ulaşılır.
Tablo 5.14
| TDV | X1 | X2 | S1 | S2 | S3 | S4 | ÇV |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| S1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | -1 | 0.999 |
| X1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0.999 | 0 | 4.0 |
| X2 | 0 | 1 | 0 | 0 | -1.998 | 0.998 | 0 |
| S2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1.0 | -2 | 1.0 |
| Zj | 7 | 3 | 0 | 0 | 0.999 | 2.994 | 28.0 |
| Zj - Cj | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.999 | 2.994 | - |
Tablo 5.14’de sunulan çözümde X1 ve X2 tamsayı bulunmuşlardır. Böylece tamsayı çözüme ulaşılmıştır. Kesme düzlemi algoritması ile ulaşılan çözümde, X1 = 4, X2 = 0, Zenb = 28 dir. Böylece dal-sınır yöntemi ve kesme düzlemi algoritması çözüm sonuçları aynı olmaktadır.
Dal-sınır ve kesme düzlemi algoritmalarının hangisinin tercih edileceği konusunda genel kabul görmüş bir kanı olmadığını belirtmeliyiz. İki yöntemden hiçbiri, sürekli daha iyi (az işlem, kısa zaman) sonuç vermemektedir. Yine de deneyimler, dal-sınır algoritmasının daha başarılı olduğunu göstermektedir.
PROBLEMLER
1. FB basketbol takımı koçu ilk beş oyuncuyu belirlemek istemektedir. Koçun elinde her biri farklı özellikte yedi oyuncu vardır. Oyuncuların her birinin top tutma, şut atma, geri sekme ve savunma yetenekleri gözlenmiş ve yetenekleri derecelendirilmiştir. 1 kötüye, 2 iyiye, 3 mükemmele karşılık gelmek üzere her bir oyuncu için belirlenen dereceler ile oyuncuların takım içindeki pozisyonları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
| Oyuncu | Pozisyon | Top Tutma | Şut Atma | Geri Sekme | Savunma |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Pota Altı | 3 | 3 | 1 | 3 |
| 2 | Orta | 2 | 1 | 3 | 2 |
| 3 | Pota Altı - İleri | 2 | 3 | 2 | 2 |
| 4 | İleri - Orta | 1 | 3 | 3 | 1 |
| 5 | Pota Altı - İleri | 1 | 3 | 1 | 2 |
| 6 | İleri - Orta | 3 | 1 | 2 | 3 |
| 7 | Pota Altı - İleri | 3 | 2 | 2 | 1 |
Oyunu başlatacak ilk 5 oyuncunun aşağıdaki koşulları sağlaması istenmektedir. Takımın savunma yeteneğini en büyüklemekte kullanılacak modeli düzenleyiniz.
a. Pota altı pozisyonuna uygun en az 4 oyuncu olmalıdır. En az 2 oyuncu ileri oynayabilmeli, en az 1 orta oyuncusu bulunmalıdır.
b. Takımın top tutma, şut atma ve geri sekme ortalaması en az 2 olmalıdır.
c. 3 nolu oyuncu ilk 5’de ise, 6 nolu oyuncu ilk 5 arasında bulunmamalıdır.
d. 1 nolu oyuncu ilk 5 arasındaysa, 4 ve 5 nolu oyuncuların her ikisi ilk 5 arasında bulunmalıdır.
e. 2 veya 3 nolu oyuncu ilk 5 arasında bulunmalıdır.
2. Yöneylem Araştırması Bölüm mezunu olabilmek için en az iki matematik, iki yöneylem araştırması, iki de bilgisayar dersi almak gerekmektedir. İsimleri matematik, yöneylem araştırması, bilgisayar olmamakla birlikte bazı dersler bu derslerin yerine geçebilmektedir. Analize giriş, matematik yerine; yöneylem araştırması matematik ve yöneylem araştırması yerine; veri tabanı düzenlemesi, bilgisayar ve matematik yerine; işletme istatistiği, matematik ve yöneylem araştırması yerine; simülasyon, yöneylem ve bilgisayar yerine; bilgisayara giriş, bilgisayar yerine; tahmin yöntemleri, yöneylem araştırması ve matematik yerine geçmektedir.
Bazı dersler ön koşulludur. İşletme istatistiği için analize giriş; simülasyon ve veri tabanı düzenlemesi için bilgisayara giriş; tahmin yöntemleri için işletme istatistiği dersleri önceden alınması gereken derslerdir.
En az sayıda ders alarak mezun olmayı sağlayacak tamsayılı doğrusal programlama modelini kurunuz
3. Çevre halkına içme suyu sağlayan bir baraj gölünde insan sağlığı için tehlikeli iki madde (A ve B) bulunmaktadır. Gölün bu maddelerden temizlenmesi için kontrol istasyonları kurulması kararlaştırılmıştır. Kontrol istasyonu için üç ayrı yer (I, II, III) düşünülmektedir.
Suyun temiz sayılabilmesi için yasa gereği en az 800 ton A, en az 500 ton B’nin sudan çıkarılması gerekmektedir. Problemle ilgili olarak bilinmesi gerekenler aşağıdaki tabloda verilmiştir. Yasa gereğini en düşük maliyetle sağlayacak istasyon yerleşim planını belirleyiniz.
| Maliyetler (TL) | 1 Ton Sudan Çıkarılan Tehlikeli Madde Miktarı (ton) | |||
|---|---|---|---|---|
| Yer | İstasyon Kurma Maliyeti | 1 Ton Su İşleme Maliyeti | A | B |
| I | 100000 | 20 | 0.40 | 0.30 |
| II | 60000 | 30 | 0.25 | 0.20 |
| III | 40000 | 40 | 0.20 | 0.25 |
4. Bir üretici firma birim kârları sırasıyla 2 ve 5 TL olan iki ürün (I, II) üretmeyi planlamaktadır. Bir birim I üretimi için 3 birim, bir birim II üretimi için 6 birim hammadde gerekmektedir. Toplam hammadde miktarı 120 birimdir. I’in hazırlık maliyeti 10 TL, II’nin hazırlık maliyeti 20 TL’dir. Kârın en büyüklenmesine yönelik tamsayılı programlama modelini kurunuz.
5. Büyük bir kuruluş Ege, Marmara ve Batı Karadeniz bölgelerinin istemlerini karşılamak için İstanbul, Bursa, Zonguldak ve İzmir’e depo kurmayı düşünmektedir. Her bir deponun yükleme kapasitesi 100 birimdir. Depo işletme maliyeti bulunduğu şehre bağlı olup, İstanbul için 400 TL, Bursa için 500 TL, Zonguldak için 300 TL, İzmir için 150 TL’dir.
Ege bölgesinin haftalık ürün gereksinimi 80 birim, Marmara bölgesinin 70 birim, Batı Karadeniz bölgesinin 40 birimdir. Taşıma maliyetleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
Aşağıda bir liste halinde verilen kısıtları sağlamak koşuluyla haftalık istemin en küçük ulaştırma maliyetiyle karşılanması istenmektedir. Problemi tamsayılı programlama problemi olarak modelleyiniz.
| Depo Yeri | Ege | Marmara | Batı Karadeniz |
|---|---|---|---|
| İstanbul | 20 | 40 | 50 |
| Bursa | 48 | 15 | 26 |
| Zonguldak | 26 | 35 | 18 |
| İzmir | 24 | 50 | 35 |
a. İstanbul’a depo kurulması durumunda Bursa’ya da bir depo kurulmalıdır.
b. En az iki depo açılmalıdır.
c. Ya İzmir ya da Bursa’da bir depo bulunmalıdır.
6. Farklı iki üretim hattında üç çeşit (A, B, C) yapıştırıcı üretilmektedir. Her bir hatta yedi işçi çalışabilmektedir. Birinci üretim hattında çalışanlara haftada 500 TL, ikinci üretim hattında çalışanlara haftada 900 TL ödenmektedir. Birinci üretim hattının haftalık maliyeti 1000 TL, ikinci üretim hattının haftalık maliyeti 2000 TL’dir. Üretim hatlarının haftalık üretim kapasiteleri aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Her hafta en az 120 adet A, en az 150 adet B ve en az 200 adet C üretilmektedir. Haftalık üretim maliyetlerini en küçükleyecek tamsayılı programlama modelini kurunuz.
| Üretim Hattı | A | B | C |
|---|---|---|---|
| 1 | 20 | 30 | 40 |
| 2 | 50 | 35 | 45 |
7. İki çeşit (A, B) bilgisayar üretilmektedir. Problemle ilgili veriler aşağıda gösterilmiştir. Üreticinin elinde 3000 adet çip ile 1200 saat çalışma zamanı vardır. Kârı en büyükleyecek tamsayılı programlama modelini kurunuz.
| Bilgisayar | Zaman | Çip | Donanım Maliyetleri | Satış Fiyatı |
|---|---|---|---|---|
| A | 1 saat | 2 | 5000 | 400 |
| B | 2 saat | 5 | 7000 | 900 |
8. Müstakil ev ve apartmanlardan oluşan büyük bir site ile ilgili bir proje üzerinde çalışılmaktadır. Siteye 10000’e kadar ikametgah birimi yerleştirmek mümkündür. Projede ya havuz ve tenis sahası ya da marina projesi bulunmak zorundadır. İki proje aynı anda gerçekleştirilememektedir. Marina yapılırsa, müstakil evlerin sayısı apartman dairelerinin sayısının en az üç katı olmak zorundadır. Marinanın maliyeti 1.2 milyon TL, yüzme-tenis kompleksinin maliyeti 2.8 milyon TL’dir. Apartman dairelerinin net bugünkü değerleri 46000 TL, müstakil evlerin ise 48000 TL’dir. Apartman dairesi ve ev inşa etme maliyeti 40000 TL’dir. En büyük kâr amaçlı tamsayılı programlama modelini kurunuz.
9. Yatırım için 10 milyon TL’si bulunan bir yatırımcının yatırım yapabileceği beş seçeneği vardır. Yatırım seçeneklerinin net bugünkü değerleri ile yatırım miktarları aşağıda verilmiştir. S1 ve S2 aynı anda değerlendirilemeyen seçeneklerdir. S3 ve S4 yatırımlarını da aynı değerlendirilmek mümkün değildir. S2’ye yatırım yapabilmek için S4’e yatırım yapılması zorunludur. Buna göre net bugünkü değerin en büyük olmasını sağlayan yatırım planını belirleyiniz.
| Yatırım Seçeneği | Yatırım Miktarı | Net Bugünkü Değer |
|---|---|---|
| S1 | 2 | 16 |
| S2 | 4 | 22 |
| S3 | 3 | 18 |
| S4 | 2 | 14 |
| S5 | 4 | 25 |
10. Tarkan’ın son parçalarından oluşan bir uzun çalar tasarlanmaktadır. Uzun çaların her yüzündeki parçaların toplam uzunluğu 14 ile 16 dakika arasında olmalıdır. Tür ve uzunlukları aşağıda gösterilen parçaların uzun çaların A ve B yüzlerine aşağıdaki koşulları gerçekleyecek biçimde yerleştirilmesini sağlayacak tamsayılı programlama modelini formülleyiniz.
| Parça | Tür | Uzunluk |
|---|---|---|
| 1 | Yavaş | 4 |
| 2 | Hızlı | 5 |
| 3 | Yavaş | 3 |
| 4 | Hızlı | 2 |
| 5 | Yavaş | 4 |
| 6 | Hızlı | 3 |
| 7 | - | 5 |
| 8 | Yavaş, Hızlı | 4 |
a. Her iki tarafta tam 1’er yavaş parça olmalı.
b. A yüzünde en az 3 hızlı parça bulunmalı.
c. 5 veya 6 nolu parça A yüzünde bulunmalı.
d. 2 ve 4 nolu parçalar A yüzündeyse, 5 nolu parça B yüzünde olmalı
e. 8 nolu parça B yüzünde bulunmalıdır.
11. Bir gemiye dört çeşit eşya yüklenecektir. Eşyaların birim ağırlık, hacim ve değerleri aşağıda gösterilmiştir. Yük için maksimum ağırlık 124 ton, hacim ise 120 m3’dür. Tamsayılı doğrusal programlama modelini kurunuz ve çözümü gerçekleştiriniz.
| Eşya | Ağırlık (ton) | Hacim (m3) | Değer (000 TL) |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 3 | 7 |
| 2 | 8 | 6 | 8 |
| 3 | 4 | 1 | 6 |
| 4 | 5 | 2 | 7 |
12. Aşağıdaki tamsayılı programlama problemlerini, dal-sınır yöntemi ve kesme düzlemi algoritmasıyla çözünüz.
a. Zenb = 3X1 + X2
5X1 + 2X2 ≤ 10
4X1 + X2 ≤ 7
X1, X2 ≥ 0
X1, X2 tamsayı
b. Zenk = 3X1 + X2
X1 + 5X2 ≥ 8
X1 + 2X2 ≥ 4
X1, X2 ≥ 0
X1, X2 tamsayı
c. Zenk = 6X1 + 8X2
3X1 + X2 ≥ 4
X1 + 2X2 ≥ 4
X1, X2 ≥ 0
X1, X2 tamsayı
d. Zenk = 3X1 + X2
2X1 - X2 ≤ 6
4X1 + X2 ≤ 4
X1, X2 ≥ 0
X1 tamsayı
1
Yöneylem Araştırması
12. Aşağıdaki problemleri kesme düzlemi algoritmasıyla çözünüz.
a. Zenb = 5X1 - 7X2 + 10X3 + 3X4 - X5
-X1 - 3X2 + 3X3 - X4 - 2X5 ≤ 0
2X1 - 5X2 + 3X3 -2X4 - 2X5 ≤ 3
X2 + X3 + X4 - X5 ≥ 2
X1, X2, X3, X4, X5 = 0 veya 1
b. Zenk = 15X1 + 9X2 + 10X3
8X1 + 13X2 + 8X3 ≤ 10
X1 + 9X2 + X3 ≥ 7
X1, X2, X3 = 0 veya 1
Şimdiye kadar karar ortamının analizi için gerekli tüm bilgilerin bulunduğu, başka bir deyişle alternatif karar seçeneklerine ilişkin sonuç değerleri ile olayın yapısı hakkında bilinmesi gereken her şeyin bilindiği varsayılmış ve karar problemlerinin tamamı bu varsayıma göre modellenmiştir. Bu durum literatürde, "belirlilik durumunda karar alma" başlığı altında incelenir. Açıklamalardan anlaşılacağı gibi, belirlilik durumu deterministik yapıya sahiptir. Oysa, gerçek hayat problemlerinin çoğu olasılıksal yapıdadır.
Karar kuramı, karar vericiye karar alma ve karar sürecini geliştirme konularında yol gösteren bir yaklaşımdır. Söz konusu yaklaşım, karar verilecek duruma ilişkin bilgi miktarına göre üç başlık altında incelenir.
- Belirlilik durumunda karar alma
- Risk durumunda karar alma
- Belirsizlik durumunda karar alma
Yukarıda açıklandığı gibi belirlilik durumunda, karar vericinin aralarından seçim yapacağı karar seçeneklerine ilişkin sonuç değerleri ile olayın yapısı hakkındaki bilgisinin eksiksiz olduğu varsayılır. Doğal olarak en iyi sonucu verecek olan alternatif seçilir. Doğrusal programlama belirlilik durumunda karar alma probleminin bir örneğidir. Konuya açıklık kazandırmak bakımından basit bir doğrusal programlama problemi tanımlayalım. Bunun için beslenme gereksinmemizi en düşük maliyetle karşılayacak besin maddeleri miktarlarını belirlemek istediğimizi düşünelim. Besin maddelerinin birim maliyetleri (Cj) sabit sayılar olsun. j ürünü tüketim miktarı Xj, değeri bilinen bir sabit sayı olarak kabul edildiğinde, j ürününün maliyete olan katkısı CjXj de sabit bir sayı olur.
Risk durumunda problemin seçeneklerine ilişkin değerler ve olayın yapısı olasılıklar ile açıklanırken, belirsizlik durumunda sonuç değerleri bir ölçüde bilinse de olayın yapısına ilişkin olasılıklar hakkında hiçbir bilgi edinilememektedir. Özetle, "belirlilik" ve "belirsizlik" verilerle ilgili bilgi derecesi bakımından iki aşırı ucu temsil ederken, "risk" bu iki uç arasında bulunur. Risk ve belirsizlik durumlarını açıklamak için beslenme problemi örneğine dönelim. Risk durumunda maliyet katsayısı Cj sabit sayı olma özelliğini yitirir ve kesin değeri bilinmeyen ancak, istendiğinde değeri ilgili olasılık yoğunluk fonksiyonu cinsinden açıklanabilen bir rasgele değişken olur. Buna göre Cj, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(Cj) ile gösterilen bir rasgele değişken olarak tanımlanabilir. Bu durumda, kendisine ait bir olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlanmaksızın, Cj hakkında konuşmak fazla anlamlı olmaz. Bunun sonucunda, Xj’nin belirli bir değeri için j’inci değişkenin kâra olan katkısı CjXj’de kesin değeri bilinmeyen bir rasgele değişken olur.
Belirsizlik durumunda ise, f(Cj) olasılık yoğunluk fonksiyonu bilinmez veya
belirlenemez. Ancak, bu konudaki bilgi eksikliği problem hakkında hiçbir bilgi
yoktur şeklinde yorumlanmamalıdır. Sözgelimi, karar verici Cj’nin
değerlerinden
birine eşit olduğunu bilebilir ancak, bu bilgi duruma ilişkin olasılıkların
belirlenmesinde yetersiz kalır. Bu durum belirsizlik ortamında karar alma
durumudur. Karar probleminin nasıl formüle edileceği ve çözüleceği doğrudan
doğruya karar verenin problemin bileşenleri hakkındaki bilgi derecesine
bağlıdır. Bu konuyu açıklamak amacıyla beslenme problemi örneğine dönelim.
Belirlilik varsayımının geçerli olması, yani maliyetlerin (Cj, j = 1, 2, ..., n)
biliniyor olması durumunda, Z = CjXj şeklinde tanımlanan bağıntının karar
ölçütü olarak kullanılması son derece anlamlıdır. Risk durumunda, Cj’ler sabit
değerler olmadıklarından bunlarla ilgili olasılıklar tanımlanmaksızın Z’nin
karar ölçütü olarak kullanılması fazla anlamlı olmayacaktır. Belirsizlik
durumunda ise, ne Cj’ler ne de bunlara ilişkin olasılıklar belirli
olmadıklarından, Z karar ölçütü olarak kullanılamaz. Bu basit incelemeden
anlaşılacağı gibi, yetersiz veri daima daha karmaşık karar modellerinin
kullanılmasını gerektirir. Ayrıca ulaşılan sonuçlar fazla tatminkar
bulunmayabilir. Ancak, gerçek hayat problemlerinin çoğu veri yetersizliği
koşulları altında çözülmek durumunda olduklarından bundan kaçınmak o kadar kolay
değildir.
Belirlilik durumunda evrensel biçimde kabul görmüş karar alma ölçütü, kârın en büyüklenmesi veya maliyetin en küçüklenmesi iken, belirsizlik ve risk durumlarında karar almada değişik ölçütler söz konusu olur. Sözgelimi, risk ortamında karar almada ortalama (beklenen) kârın en büyüklenmesi karar ölçütü olarak kabul edilebilirse de bu ölçüt bütün durumlar için uygun olmayabilir.
Birden fazla olay ve birden fazla karar seçeneğinin (eylem biçimi, strateji) bulunması, sistemin davranış ölçeğinin her bir stratejiye göre farklı değer alması ve bu değerlerin bilinmemesi durumundaki bir probleme "karar problemi" denir. Tanımdaki sistemin davranış ölçeği, strateji, olay ve diğer bazı önemli kavramlar aşağıda açıklanmıştır.
Karar Verici: Sisteme maksadına göre hedefler koyan, bu hedeflere ulaşmak için amaçlar, stratejiler ve taktikler tanımlayan, bu tanımlar uyarınca sistemin davranışlarını planlayan, örgütleyen, denetleyen, sapmalar karşısında gerekli düzenlemeyi yapan birey ya da topluluğa karar verici denir.
Strateji (Eylem Biçimi): Karar vericinin amaç veya amaçlarına ulaşmasını sağlayacak değişik yollar veya hareket tarzlarının her birine strateji veya eylem biçimi denir. Stratejilerin belirlenmesi ve tanımlanması karar vericinin en önemli görevlerindendir. Stratejiler karar vericinin kontrolünde olan faktörlerdir.
Olay (Doğal Durum): Karar vericinin davranışını etkileyen ve alabileceği değerlerde karar vericinin hiçbir etkisi olmayan faktörlerdir. Olaylar, karar vericinin içinde bulunduğu karar ortamını oluştururlar. Sayıları ne olursa olsun gelecekte yalnızca bir olayın gerçekleşeceği unutulmamalıdır.
Sonuç: Her bir strateji ve olay bileşimi sonucu ortaya çıkan değerdir. Sonuç değerlerine ödeme, yarar veya kayıp denir ve bunlar genellikle parasal değer cinsinden açıklanır.
Risk veya belirsizlik ortamındaki bir karar probleminin matris biçiminde gösterilmesi, problemin değerlendirilmesi ve çözülmesinde büyük kolaylıklar sağlar. Alternatif stratejiler, olası olaylar ve sonuç değerlerinden oluşan matrise "karar matrisi" denir. Karar matrisi kavramı son derece genel olup, bunun yerine sonuç, kazanç, ödeme veya kâr-zarar matrisi deyimleri de kullanılmaktadır.
Tablo 8.1
| Olay | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Strateji | O1 | O2 | ... | Oj | ... | On |
| S1 | a11 | a12 | ... | a1j | ... | a1n |
| S2 | a21 | a22 | ... | a2j | ... | a2n |
| .. | .. | .. | ... | .. | ... | .. |
| Si | ai1 | ai2 | ... | aij | ... | ain |
| .. | .. | .. | ... | .. | ... | .. |
| Sm | am1 | am2 | ... | amj | ... | amn |
Tablo 8.1’de gösterildiği gibi, matrisinin satırlarını stratejiler, sütunlarını olaylar oluşturmaktadır. Matrisin aij elemanları ise R(Si, Oj) sonuç değerleridir. Karar matrisini iyi kavrayabilmek için basit bir örnek verilmesi uygun olur.
Örnek 8.1: Bir spor malzemeleri satış mağazası yaz aylarındaki tenis şortu istemini karşılamak amacıyla sipariş miktarını araştırmaktadır. Üretici firma, siparişin bir kerede ve 100’lük kutular halinde verilmesini şart koşmaktadır. Satın alma fiyatı sipariş miktarına göre değişmektedir. Sipariş miktarına göre önerilen birim fiyatlar şöyledir.
Tablo 8.2
| Sipariş Miktarı | Birim Fiyat |
|---|---|
| 100 | 70 |
| 200 | 60 |
| 300 | 50 |
Yaz aylarında 100 TL’ye satılan şortların, bu aylar dışındaki fiyatı 35 TL’dir. Sipariş miktarından fazla satış yapılamayacağı açıktır. İstemin karşılanmamasının işletmeye maliyeti şort başına 5 TL’dir. Mağaza sahibi geçmiş dönem deneyimlerinden yaz aylarındaki şort isteminin 100, 150, 200 veya 250 adet olacağını bilmektedir. Sonuç değerlerinin kâra karşılık geldiği durumdaki karar matrisini düzenleyiniz.
Çözüm 8.1: Mağaza sahibinin; 100, 200 veya 300 adet sipariş vermek gibi üç stratejisi vardır. O1, O2, O3 ve O4 ile simgelenen olaylar sırasıyla, istemin 100, 150, 200 ve 250 adet olduğu karar ortamını açıklar. Karar matrisinin elemanları farklı sipariş ve istem miktarı birleşimlerinin sonucu elde edilecek kâr olarak tanımlanmıştır. Sonuç değerlerinin belirlenmesiyle ilgili olarak sipariş miktarının 100 olduğunu düşünelim. Bu miktarda sipariş için satın alma maliyeti, 70 TL’dir. Sipariş miktarı 100 iken istem düzeyi de 100 olursa, mağaza sahibi şort başına 30 (= 100 - 70) TL kazanarak kârının 3000 TL olmasını sağlar. Sipariş miktarı 100 iken istem 200 olduğunda, 100 birimlik istemin karşılanmayacağı açıktır. Bunun maliyeti, kaçan fırsat değeri olarak 500 (= 5 X 100) TL’dir. Bu değerin, 100 adet şort satışından elde edilen kârdan çıkartılmasıyla net kâr 2500 TL olarak hesaplanır. Bu yaklaşımla hesaplanan değerlerin kullanılmasıyla hazırlanan karar (kâr) matrisi aşağıda gösterilmiştir
Tablo 8.3
| Sipariş | İstem Miktarı | |||
|---|---|---|---|---|
| Miktarı | 100 | 150 | 200 | 250 |
| 100 | 3000 | 2750 | 2500 | 2250 |
| 200 | 1000 | 4750 | 8000 | 7750 |
| 300 | 2000 | 5250 | 8500 | 11750 |
Karar matrisinin oluşturulmasından sonra karar alma işlemine geçilebilir. Hangi miktarda sipariş vermenin uygun olacağı sorusunun yanıtı, karar vericinin olaylar hakkındaki bilgi düzeyine ve seçim yapmada benimseyeceği ölçütlere bağlıdır. Hangi olayın gerçekleşeceği kesinlikle bilindiğinde seçim yapmak son derecede kolaydır. Sözgelimi, mağaza sahibi istemin 250 birim olacağından yüzde yüz emin olsa, 300 adet sipariş vermeyi kararlaştırır. Çünkü bu istem miktarı için 100 adetlik siparişle 2250 TL, 200 adet siparişle 7750 TL net kâr sağlanırken, 300 adetlik siparişle kâr en yüksek değerine ulaşarak 11750 TL olmaktadır.
Hangi olayın gerçekleşeceği önceden bilinmediğinde, yani belirsizlik durumunda karar verme oldukça zordur. Belirsizlik durumunda karar alma konusu izleyen kesimde açıklanmıştır.
Bu kesimde, olayların gerçekleşme olasılıklarının bilinmemesi veya belirlenememesi koşullarında ortaya çıkan belirsizlik durumunda karar alma konusu açıklanacaktır. Belirsizlik durumunda karar vericinin değişik stratejiler arasından seçim yapmasında esas alabileceği belli başlı ölçütler şunlardır:
1. Laplace
2. Minimaks (maksimin)
3. Maksimaks (minimin)
4. Savage
5. Hurwicz
Uygun ölçütün seçilmesi karar ortamının yapısına, karar vericinin deneyim ve eğilimine bağlıdır. Sözgelimi, minimaks ölçütünü seçen karar verici ile karşılaştırıldığında, Laplace ölçütünü benimseyen karar vericinin daha iyimser olduğu söylenebilir. Hurwicz ölçütünü benimseyen karar vericinin ise minimaks ölçütü ile maksimaks ölçütü arasında bir denge bulmaya çalıştığı kabul edilir. Kısaca bu ölçütler arasında seçim yapmada genel kabul görmüş bir kural yoktur. Yukarıdaki ölçütlerden birini kullanacak olan karar vericinin zeki bir rakibinin bulunmadığı, tek rakibinin doğa olduğu kabul edilir. Doğanın karar vericinin kaybına yol açmayı hedefleyen bir rakip olduğunu söylemek için yeterli bilgi olmadığı açıktır. Bununla birlikte, akıllı bir rakibin doğanın yerine geçtiği problemlerle de karşılaşılabilir. Her iki rakibin de akıllı olduğu ve birinin diğerine üstünlük sağlamak istediği durumlar, ileride rekabet ortamında karar alma (oyun kuramı) başlığı altında incelenecektir.
Laplace Ölçütü: Laplace ölçütü muhtemel olayların ortaya çıkması ile ilgili olasılıkların birbirlerine eşit olduğu ilkesine dayanır. Olayların ortaya çıkması olasılıkları belirlenebildiğinden problem belirsizlik durumunda karar alma problemi olmaktan çıkarak, risk durumunda karar alma problemine dönüşür. Laplace ölçütü, olayların gerçekleşmesi olasılıklarının farklı olduğuna ilişkin bir kanıt olmaması durumunda kullanılabilir. Anılan olasılıkların eşit kabul edilmesi ilkesine "yetersiz sebep ilkesi" denir.
Problemde iki olay olduğunu düşünelim. Ölçüt gereği her bir olay eşit olasılıkla gerçekleşeceğinden, her bir olayın ortaya çıkması olasılığı 1/2 olacaktır. Olay sayısı üç olduğunda, eşit olasılıklar 1/3 olarak belirlenir. Olasılıklarla ilgili bu açıklama, olay sayısı n olduğunda, olasılıklar (1/n)’ye eşit olur şeklinde genelleştirilir. Olasılıkların belirlenmesinden sonra, her bir stratejinin beklenen değerinin hesaplanması gerekir. Beklenen değerlerin karşılaştırılarak, duruma göre en büyük veya en küçük değerli beklenen değerin işaret ettiği stratejinin en iyi olduğuna karar verilir.
Örnek 8.2: Karar matrisi aşağıda tekrarlanan Örnek 8.1’deki mağaza sahibi Laplace ölçütüne göre hangi miktarda sipariş verir?
Tablo 8.4
| Sipariş | İstem Miktarı | |||
|---|---|---|---|---|
| Miktarı | 100 | 150 | 200 | 250 |
| 100 | 3000 | 2750 | 2500 | 2250 |
| 200 | 1500 | 4750 | 8000 | 7750 |
| 300 | 2000 | 5250 | 8500 | 11750 |
| Olasılık | 1/4 | 1/4 | 1/4 | 1/4 |
Çözüm 8.2: Karar matrisinin Laplace ölçütü için düzenlenen biçimi yukarıdaki tabloda verilmiştir. Görüldüğü gibi gerçekleşme olasılıkları eşit 4 olay vardır. Bu eşit olasılıkların kullanılmasıyla her bir stratejinin beklenen değeri aşağıdaki gibi hesaplanır.
E(100) = 1/4(3000) + 1/4(2750) + 1/4(2500) + 1/4(2250) = 2625 TL
E(200) = 1/4(1500) + 1/4(4750) + 1/4(8000) + 1/4(7750) = 5500 TL
E(300) = 1/4(2000) + 1/4(5250) + 1/4(8500) + 1/4(11750) = 6875 TL
Kâr söz konusu olduğundan, beklenen değerlerden en büyük (6875 TL) olanının işaret ettiği miktarda, yani 300 birimlik sipariş verilmesi uygun olur. Bir de sonuç değerlerinin kârdan farklı büyüklüklere karşılık gelmesi durumuna örnek olması bakımından aşağıdaki problemi çözelim.
Örnek 8.3: Bir karar probleminin 4 X 4 karar matrisi aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Laplace ölçütünü kullanarak i. Sonuç değerlerinin kazançları, ii. Sonuç değerlerinin kayıpları göstermesi durumundaki en iyi stratejileri belirleyiniz.
| Olay | ||||
|---|---|---|---|---|
| Strateji | O1 | O2 | O3 | O4 |
| S1 | 26 | 26 | 18 | 22 |
| S2 | 22 | 34 | 30 | 18 |
| S3 | 28 | 24 | 34 | 26 |
| S4 | 22 | 30 | 28 | 20 |
Çözüm 8.3: Ortaya çıkması olası 4 olay vardır. Eşit olasılık ilkesine göre, olasılıklar birbirine eşit, yani 1/4 olacaktır. Buna göre, sonuç değerleri ister kazanç ister kayıp göstersin stratejilere karşılık gelen beklenen değerler aşağıdaki gibi hesaplanır.
E(S1) = 1/4(26) + 1/4(26) + 1/4(18) + 1/4(22) = 23
E(S2) = 1/4(22) + 1/4(34) + 1/4(30) + 1/4(18) = 26
E(S3) = 1/4(28) + 1/4(24) + 1/4(34) + 1/4(26) = 28
E(S4) = 1/4(22) + 1/4(30) + 1/4(28) + 1/4(20) = 25
i. Hesaplanan değerlere göre, sonuç değerlerinin kazançlara karşılık gelmesi durumunda en yüksek beklenen kazancı sağlayan S3 seçilecektir. ii. Sonuç değerlerinin kayıpları göstermesi durumunda beklenen değerin en küçük olmasını sağlayan S1’in seçilmesi uygun olur.
Maksimin veya Minimaks Ölçütü: Bu ölçüt yaklaşımlarında tutucu, kötümser karar vericilerin benimsedikleri karar ölçütüdür. Bu yaklaşım, hangi strateji seçilmiş olursa olsun daima o eylem için en kötü olan olayın gerçekleşeceği varsayımına dayanır. Bu nedenle, her bir strateji için öncelikle o eylem için en kötü olan olayın ortaya çıkması nedeniyle oluşan en kötü sonuç belirlenir. Bu yolla bulunan en kötü sonuçlar arasından en iyi olanının işaret ettiği stratejinin seçilmesiyle en iyi hareket tarzı belirlenmiş olur. Karar matrisi elemanları; gelir, kâr, kazanç gibi büyük olması arzulanan değerlere karşılık geliyorsa ölçüt en küçüklerin en büyüğü anlamına gelen maksimin; gider, zarar, kayıp gibi küçük olması arzulanan değerlere karşılık geliyorsa en büyüklerin en küçüğü anlamını ifade eden minimaks ölçütü adını alır.
Örnek 8.4: Maksimin (minimaks) ölçütüyle Örnek 8.3’deki karar matrisini oluşturan sonuç değerlerinin i. Kazançlara, ii. Kayıplara karşılık gelmeleri durumunda en iyi stratejiyi belirleyiniz.
Çözüm 8.4: Sonuç değerlerinin kazançlara karşılık gelmesi durumunda, satır en küçüklerinin belirlenmesi ve bunlardan en büyük olanına karşılık gelen stratejinin uygulamaya konması gerekir. Satır en küçük değerlerinin satır sırasıyla; 18, 18, 24 ve 20 olduğu görülebilir. Buna göre bu değerlerden en büyük olan 24’ün işaret ettiği üçüncü eylem (S3) maksimin ölçütüyle belirlenen en iyi stratejidir.
Sonuç değerlerinin kayıplara karşılık gelmesi durumunda herhangi bir eylem için en kötü olay en büyük sonuç değeri sağlayandır. Bu nedenle satır en büyüklerinin belirlenmesi ve bunlardan en küçük olanına karşılık gelen stratejinin uygulamaya konması gerekir. Satır en büyük değerlerinin sırasıyla; 26, 34, 34 ve 30 olduğu görülebilir. Buna göre bu değerlerden en küçük olan 26’nın işaret ettiği S1, minimaks ölçütüyle belirlenecek en iyi stratejidir.
Maksimaks veya Minimin Ölçütü: Bu ölçüte göre hangi strateji seçilirse seçilsin o strateji için en iyi olan olayın gerçekleşeceği düşünülür. Bu düşüncenin ürünü olarak belirlenen en iyi sonuçlardan en iyi olanının işaret ettiği strateji, karar vericinin en iyi seçimi olur. Karar matrisi elemanlarının büyük olması arzulanan değerlere karşılık gelmesi durumunda ölçüt maksimaks (en büyüklerin en büyüğü) ölçütüdür. Matris elemanlarının küçük olması arzulanan değerlere karşılık gelmesi durumunda ölçüt minimin (en küçüklerin en küçüğü) ölçütü adını alır. Bu ölçütün kullanılmasıyla en iyi stratejinin belirlenmesini aşağıdaki örnek yardımıyla açıklayalım.
Örnek 8.5: Tablo 8.5’deki karar matrisini kullanarak, maksimaks (minimin) ölçütüyle sırasıyla, sonuç değerlerinin kazançlara ve sonuç değerlerinin kayıplara karşılık gelmeleri durumunda en iyi stratejiyi belirleyiniz.
Çözüm 8.5: Bu ölçüte göre hangi eylem uygulanırsa uygulansın çeşitli olaylar arasından en iyi olanı ile karşılaşılacağından; karar matrisi elemanlarının kazanç değerlerine karşılık gelmesi durumunda satır en büyüklerinin, karar matrisi elemanlarının kayıp değerlerine karşılık gelmesi durumunda satır en küçüklerinin bulunması gerekir.
Tablo 8.5’in satır en büyükleri ile satır en küçükleri Tablo 8.6’nın enb ve enk sütun başlıkları altında gösterilmişlerdir. Bu ölçüte göre stratejiler arasından seçim, en iyilerin en iyisinin seçilmesi biçiminde yapılacağından, kazanç durumunda en iyi seçenek karar vericiye 34 birim kazanç sağlayan S2 ve S3 seçenekleridir. En küçüklerin dikkate alınması durumunda en iyi seçenekler en düşük kaybı sağlayacak olan S1 ve S2 seçenekleridir.
Tablo 8.6
| Strateji | Enb | Enk |
|---|---|---|
| S1 | 26 | 18* |
| S2 | 34* | 18* |
| S3 | 34* | 26 |
| S4 | 30 | 22 |
Savage Ölçütü: Bu ölçüt en büyük fırsat kaybının en küçüklenmesi esasına dayanır. Bu nedenle minimaks fırsat kaybı ölçütü olarak da bilinir. Ölçütün uygulanması için öncelikle fırsat kaybı veya pişmanlık matrisinin oluşturulması gerekir. Fırsat kaybı matrisinin oluşturulmasına geçmeden önce fırsat kaybı kavramı üzerinde duralım.
Fırsat kaybı her bir olay için en iyi sonucu sağlayacak stratejibnin uygulanmaması sonucu vazgeçilen kazanç veya katlanılan kayıp miktarıdır. Fırsat kayıpları genellikle pozitif değerler ve rakamlarla açıklanır. Karar tablosu gelirler cinsinden ifade edildiğinde, ele alınan her bir olaya ilişkin fırsat kaybı değerleri; en iyi olan eylemin seçilmesi durumunda sağlanacak olan gelirden diğer seçeneklerin sağlayacağı gelirlerin çıkartılmasıyla hesaplanırlar. Karar matrisinin maliyetleri göstermesi durumunda fırsat kaybı değerleri en iyi seçimin maliyet değerinin diğer eylemlerin maliyet rakamlarından çıkartılması ile belirlenirler. Bu ölçüt ile strateji seçimini aşağıdaki örnek yardımıyla açıklayalım.
Örnek 8.6: Örnek 8.3-8.5’deki 4 X 4 karar matrisi, izleme kolaylığı sağlamak bakımından, aşağıda tekrarlanmıştır. Savage ölçütüyle sırasıyla; sonuç değerlerinin kazançlara ve sonuç değerlerinin kayıplara karşılık gelmeleri durumunda en iyi stratejiyi belirleyiniz.
Tablo 8.7
| Olay | ||||
|---|---|---|---|---|
| Strateji | O1 | O2 | O3 | O4 |
| S1 | 26 | 26 | 18 | 22 |
| S2 | 22 | 34 | 30 | 18 |
| S3 | 28 | 24 | 34 | 26 |
| S4 | 22 | 30 | 28 | 20 |
Çözüm 8.6: Savage ölçütünün kullanılabilmesi için fırsat kaybı matrisi düzenlenmelidir. Önce, karar matrisi elemanlarının kazançları gösterdiğini düşünelim. Buna göre, ortaya çıkan olay O1 ise, en yüksek kazancı sağlayan S3 seçilmelidir. Bu durumda karar verici en yüksek kazancı sağlayacağından hiçbir fırsatı kaçırmayacaktır. Buna göre bu seçimin fırsat kaybı, 28 - 28 = 0 olur. Aynı olay (O1) için en yüksek kazancı sağlayan S3 yerine S1 seçilirse, 28 yerine 26 TL, yani 2 TL daha az kazanılacak böylece karar verici kaçırdığı 2 TL için pişmanlık duyacaktır. S2 seçildiğinde, S3’ün seçilmemiş olması yüzünden, kaçan fırsat 6 TL olacak bu kez karar verici 6 TL daha az kazanmanın pişmanlığını duyacaktır. Bu işlemin karar matrisinin tüm elemanlarına uygulanması sonucu belirlenen fırsat kaybı değerleriyle düzenlenen fırsat kaybı matrisi satır en büyük değerleriyle birlikte aşağıda gösterilmiştir.
Tablo 8.8
| Olay | Satır | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Strateji | O1 | O2 | O3 | O4 | En Büyüğü |
| S1 | 2 | 8 | 16 | 4 | 16 |
| S2 | 6 | 0 | 4 | 8 | 8 |
| S3 | 0 | 10 | 0 | 0 | 10 |
| S4 | 6 | 4 | 6 | 6 | 6* |
Fırsat kaybı matrisinin düzenlenmesinden sonra sıra, her bir stratejiye ilişkin en yüksek fırsat kaybının saptanmasına gelir. En yüksek fırsat kayıpları, fırsat kaybı matrisinin en sağına eklenen sütunda gösterilmişlerdir. Karar vericinin amacı fırsat kaybını en düşük düzeyde tutmak olduğundan en büyük pişmanlıklar arasından en küçük olanının işaret ettiği stratejinin seçilmesiyle en iyi hareket biçimi belirlenmiş olur. Savage ölçütüne göre en küçük değeri veren S4 seçilmelidir.
Sonuç değerlerinin kayıplara karşılık gelmesi durumunda, her bir olay için en iyi strateji en düşük kaybı sağlayandır. Bu durumda her bir olay için kaybın en küçük değeri dikkate alınacak ve fırsat kaybı matrisi elemanları her bir olay için en iyi olan değerin diğer değerlerden çıkartılmasıyla belirlenecektir. Bunu karar matrisinin ilk sütununa uygulayalım. O1 gerçekleştiğinde, en iyi strateji 22 TL’lik kayıp gösteren S2 ve S4 seçenekleridir. Bu seçeneklerin fırsat kayıpları sıfırdır. O1 gerçekleştiğinde S1’in fırsat kaybı 26 - 22 = 4, S3’ün fırsat kaybı 28 - 22 = 6 TL olur. Bu yaklaşımla oluşturulan fırsat kaybı matrisi aşağıda gösterilmiştir.
Tablo 8.9
| Olay | Satır | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Strateji | O1 | O2 | O3 | O4 | En Küçüğü |
| S1 | 4 | 2 | 0 | 4 | 4* |
| S2 | 0 | 10 | 12 | 0 | 12 |
| S3 | 6 | 0 | 16 | 8 | 16 |
| S4 | 0 | 6 | 10 | 2 | 16 |
Pişmanlık matrisinin düzenlenmesinin ardından her bir strateji için en büyük fırsat kaybı belirlenir. En büyük fırsat kayıpları, önceden olduğu gibi, fırsat kayıpları matrisinin en sağına eklenen sütunda gösterilmiştir. Savage kuralına göre en büyük kayıplardan en küçük değerli olanının işaret ettiği S1 stratejisi en iyi hareket biçimidir. Savage ölçütü maliyet verilerinden oluşan orijinal matrise minimaks ölçütünün, kazanç verilerinden oluşan orijinal matrise maksimin ölçütünün uygulanmasına benzer. Bununla birlikte benimsenecek eylemlerin aynı olmak zorunda olmadıkları unutulmamalıdır.
Hurwicz Ölçütü: Hurwicz’e göre, karar vericinin ne aşırı derecede iyimser, ne de aşırı derecede kötümser olmasını gerektiren güçlü gerekçeleri yoktur. Bu nedenle, karar vericinin maksimin ölçütünün aşırı kötümserliği ile maksimaks ölçütünün aşırı iyimserliği arasında bir denge kurması uygun olur. Bu nedenle bu ölçüte "ağırlıklı ortalama" veya "gerçekçilik ölçütü" de denir. Hurwicz ölçütü, seçilen her strateji için iyimserlik koşullarında ortaya çıkan sonuçlar ile kötümserlik koşullarında ortaya çıkan sonuçların ağırlıklandırılması esasına dayanır. Bunun için iyimserlik katsayısı olarak bilinen kullanılır. sıfır ile 1 arasında değişir. Çok kötümser bir karar vericinin için seçeceği değer sıfır, aşırı derecede iyimser bir karar vericinin seçeceği değer 1 olur. ’nın değeri karar vericinin iyimserlik derecesine göre değişir. Karar verici ’nın değeri hakkında kararsızsa, = 0.5 seçmesi akılcı olur. Yukarıdaki açıklamaların ortaya koyduğu gibi, Hurwicz ölçütünün karar verme kuralı olarak kullanılabilmesi için öncelikle ’nın belirlenmesi gerekir. ’nın belirlenmesinden sonra karar matrisindeki her bir strateji için en iyi ve en kötü sonuç değerlerinin sırasıyla ve (1 - ) ile çarpılarak sonuçların toplanması gerekir. Toplama işlemiyle belirlenen değerler stratejilerin beklenen değerleri olarak yorumlanır ve beklenen değerler taranarak; karar matrisi kazanç değerlerinden oluşmuşsa en büyük, maliyet değerlerinden oluşmuşsa en küçük beklenen değere sahip stratejinin uygulanması önerilir.
Değişik ölçütlerle belirlenmiş olan strateji seçimlerinin kararlaştırılmasını sağlamak için önceki örneklerde kullanılan karar matrisini ele alalım.
Örnek 8.7: Tablo 8.7’deki karar (kazanç) matrisine Hurwicz ölçütünü uygulayarak sırasıyla ; = 0, = 1 ve = 0.6 için en iyi stratejiyi belirleyiniz*.*
Çözüm 8.7: = 0 seçildiğinde her strateji için yalnızca en küçük değerli sonuçların dikkate alındığı görülebilir. Kural gereği bu en küçük değerlerden en büyük olanı seçileceğinden, = 0 için Hurwicz ölçütü maksimin ölçütüne eşdeğerdir. Buna göre, = 0 için S3 (bkz. Örnek 8.4) seçilecektir.
= 1 seçildiğinde, her eylem seçeneği için yalnızca en büyük değerli sonuçların dikkate alındığı görülebilir. Kural gereği, en büyük değerlerden en büyük olanının seçilmesi gerektiğinden = 1 için, Hurwicz ölçütü maksimaks ölçütüne eşdeğerdir (bkz. Örnek 8.5). Buna göre, satır en büyük değerlerinden en büyüğünü sağlayan S2 ya da S3 seçilecektir.
= 0.6 seçildiğinde, stratejilerin beklenen değerleri satır en büyüklerinin 0.6, satır en küçüklerinin 0.4 ile çarpımlarının toplamı olarak Tablo 8.10’daki gibi hesaplanacaklardır.
Tablo 8.10
| Kazanç İçin | Beklenen | ||
|---|---|---|---|
| Strateji | Enb | Enk | Kazanç |
| S1 | 26 | 18 | 22.8 |
| S2 | 34 | 18 | 27.6 |
| S3 | 34 | 24 | 30.0* |
| S4 | 30 | 20 | 26.0 |
Karar verici en yüksek beklenen kazancı hedeflediğinden, S3’ü seçecektir. Karar matrisi elemanlarının kayıplara karşılık gelmesi durumunda stratejilerin beklenen değerleri satır en küçüklerinin 0.6, satır en büyüklerinin 0.4 ile çarpımlarının toplamı olarak hesaplanacaklardır.
Hesap sonuçları, Tablo 8.11’de beklenen kayıp başlıklı sütunda gösterilmiştir. Buna göre beklenen kaybın en küçük olmasını sağlayan S1 benimsenecektir.
Tablo 8.11
| Kayıp İçin | Beklenen | ||
|---|---|---|---|
| Strateji | Enb | Enk | Kayıp |
| S1 | 18 | 26 | 21.2* |
| S2 | 18 | 34 | 24.4 |
| S3 | 24 | 34 | 28.0 |
| S4 | 20 | 30 | 24.0 |
Daha önce açıklandığı gibi olayların gerçekleşme olasılıklarının bilinmesi durumundaki karar problemi, risk durumunda karar problemidir. Risk durumunda karar almada kullanılan başlıca ölçütler şunlardır:
1. En yüksek olabilirlik
2. Beklenen değer
3. Beklenen fırsat kaybı veya beklenen pişmanlık
En Yüksek Olabilirlik Ölçütü: Bu ölçüte göre karar verici tüm dikkatini olabilirliği en yüksek olan olay üzerinde yoğunlaştırır. Gerçekleşme olasılığı en büyük olan olayın belirlenmesinden sonra bu olay için en yüksek (en büyükleme durumunda en büyük, en küçükleme durumunda en küçük) sonucu sağlayan stratejinin uygulanmasına karar verilir.
Örnek 8.8: En yüksek olabilirlik ölçütünü Tablo 8.12’deki kazanç matrisine uygulayarak en iyi stratejiyi kararlaştırınız. Olayların gerçekleşmesi olasılıkları aynı tablonun son satırında verilmiştir.
Tablo 8.12
| Olay | ||||
|---|---|---|---|---|
| Strateji | O1 | O2 | O3 | O4 |
| S1 | 26 | 26 | 18 | 22 |
| S2 | 22 | 34 | 30 | 18 |
| S3 | 28 | 24 | 34 | 26 |
| S4 | 22 | 30 | 28 | 20 |
| Olasılık | 0.2 | 0.5 | 0.2 | 0.1 |
Çözüm 8.8: Tablo 8.12’nin son satırında görüldüğü gibi olabilirliği en yüksek olay O2’dir. Karar verici gelecekte O2’nin gerçekleşeceğini düşünerek kendisine en yüksek kazancı sağlayacak olan S2 stratejisini uygulayacaktır.
Bu kural özellikle mümkün olaylardan birine ilişkin olasılık diğer olaylara ilişkin olasılıklardan önemli derecede büyükse uygundur. Diğer olayları ve bunların sonuçlarını göz ardı etmesi ölçütün zayıf tarafıdır.
Beklenen Değer Ölçütü: Beklenen değer ölçütü olayların ortaya çıkması olasılıklarının bilinmesi durumunda, her bir stratejiye ilişkin beklenen değerin hesaplanarak bunlar arasından en iyi olanın işaret ettiği stratejinin seçilmesi esasına dayanır.
Beklenen değer ölçütü kuralını aynı açıklayıcı örnek probleme uygulayalım.
Örnek 8.9: Beklenen değer kuralını Tablo 8.12’deki 4 X 4 kazanç matrisine uygulayınız.
Çözüm 8.9: Olayların gerçekleşmesi olasılıkları sırasıyla; 0.2, 0.5, 0.2, ve 0.1 olarak verildiğinden stratejilerin beklenen değerleri aşağıdaki gibi hesaplanır.
S1 için = 0.2(26) + 0.5(26) + 0.2(18) + 0.1(22) = 24.0
S2 için = 0.2(22) + 0.5(34) + 0.2(30) + 0.1(18) = 29.2
S3 için = 0.2(28) + 0.5(24) + 0.2(34) + 0.1(26) = 27.0
S4 için = 0.2(22) + 0.5(30) + 0.2(28) + 0.1(20) = 27.0
En yüksek beklenen kazancı S2 seçeneği sağladığından, karar vericinin en iyi kararı S2’yi seçmek olacaktır. Sonuç değerleri kayıp değerlerine karşılık gelse idi karar verici en küçük beklenen değerli S1’i seçerdi.
Beklenen Fırsat Kaybı veya Beklenen Pişmanlık Ölçütü: Risk durumunda karar almada kullanılabilecek diğer bir ölçüt beklenen fırsat kaybı veya beklenen pişmanlık ölçütüdür. Bu ölçütün beklenen değer ölçütünden çok farklı olmadığı görülebilir. İki ölçüt arasındaki tek fark, dikkate aldıkları sonuç değerleridir. Fırsat kaybı sonuçlarının dikkate alınması durumunda beklenen değer ölçütü beklenen fırsat kaybı ölçütü adını alır.
Beklenen fırsat kaybı ile beklenen değer ölçütleri arasındaki benzerliği görebilmek için beklenen fırsat kaybı ölçütünü aynı örnek probleme uygulayalım.
Örnek 8.10: Tablo 8.12’deki karar (kazanç) matrisine beklenen fırsat kaybı ölçütünü uygulayarak karar vericinin en iyi stratejisini belirleyiniz.
Çözüm 8.10: Beklenen fırsat kaybı ölçütünde fırsat kayıpları esas alındığından önce fırsat kayıpları matrisinin düzenlenmesi gerekir. Daha önce açıklandığı gibi orijinal karar matrisinin kazanç değerlerinden oluşması durumunda, fırsat kaybı matrisi, orijinal matrisin sütun değerlerinin her birinin, sütun en büyük değerinden çıkartılmasıyla aşağıdaki gibi düzenlenecektir.
Tablo 8.13
| Olay | ||||
|---|---|---|---|---|
| Strateji | O1 | O2 | O3 | O4 |
| S1 | 2 | 8 | 16 | 4 |
| S2 | 6 | 0 | 4 | 8 |
| S3 | 0 | 10 | 0 | 0 |
| S4 | 6 | 4 | 6 | 6 |
| Olasılık | 0.2 | 0.5 | 0.2 | 0.1 |
Fırsat kaybı matrisinin oluşturulmasından sonra olayların gerçekleşmesi olasılıklarından yararlanarak her bir eylem için beklenen fırsat kaybı değerleri hesaplanmalıdır. Söz konusu değerler aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.
S1 için = 0.2(2) + 0.5(8) + 0.2(16) + 0.1(4) = 8.0
S2 için = 0.2(6) + 0.5(0) + 0.2(4) + 0.1(8) = 2.8
S3 için = 0.2(0) + 0.5(14) + 0.2(0) + 0.1(6) = 5.0
S4 için = 0.2(6) + 0.5(4) + 0.2(6) + 0.1(6) = 5.0
Sonuçta, beklenen fırsat kaybı ölçütüne göre en iyi strateji en küçük beklenen fırsat kaybı değerini veren S2 olacaktır. Bu ölçütle en iyi olduğu kararlaştırılan S2’nin daha önce beklenen değer ölçütüyle en iyi olduğu belirlenen strateji olduğuna dikkat edilmelidir.
Tam Bilginin Beklenen Değeri: Karar problemlerinin çoğunda, ön bilgilerle yetinilip yetinilmemesi konusu kararsızlığa neden olmaktadır. Daha fazla bilgiye sahip olunduğunda belirsizlik azalacağından, alınan karara duyulan güven artacaktır. Ancak, daha fazla bilgi sağlamak için yapılan örnekleme, test ve çeşitli deneylerin bir maliyeti olacağı unutulmamalıdır. Bu nedenle ek bilgi sağlamak için katlanılması gereken maliyetin katlanmaya değer olup olmadığının araştırılması gerekir. Bunun için tam bilgiden beklenen gelirle başka bir deyişle, tam bilginin beklenen değeriyle ek bilgiye ulaşmanın yaratacağı maliyetin karşılaştırılması uygun olur. Tam bilgi fayda sağlıyor ise tam bilgiye başvurmak, aksi halde eldeki bilgilerle yetinmek akılcı bir yaklaşım olur. Tam bilginin beklenen değeri kavramını açıklayıcı örnek problem üzerinde gösterelim.
Örnek 8.11: Örnek 8.1’deki mağaza sahibinin tam bilgi durumundaki beklenen kârını hesaplayarak, tam bilgi altında kârdaki artışı bulunuz.
Tablo 8.14
| Sipariş | İstem Miktarı | |||
|---|---|---|---|---|
| Miktarı | 100 | 150 | 200 | 250 |
| 100 | 3000 | 2750 | 2500 | 2250 |
| 200 | 1500 | 4750 | 8000 | 7750 |
| 300 | 2000 | 5250 | 8500 | 11750 |
| Olasılık | 0.2 | 0.3 | 0.3 | 0.2 |
Çözüm 8.11: İstem miktarı kesin olarak bilindiğinde, en iyi sipariş miktarı da aynı kesinlikle kolayca belirlenebilir. Sözgelimi, istemin 100 adet olacağından emin olunsa, 100 adet siparişle kazancın en büyük olması sağlanır. İstemin 100 adet olması olasılığı 0.2 olduğundan, 100 birimlik istem için beklenen kazanç şöyle olur:
0.2 X 3000 = 600 TL
Benzer şekilde istemin 150 olması durumunda en yüksek kâr 300 adet siparişle sağlanır. Bu olay-strateji çifti için en yüksek kazanç 5250 TL olduğundan beklenen kâr bu olayın gerçekleşme olasılığı (0.3) ile 5250’nin çarpılmasıyla 1575 TL olarak hesaplanır. Benzer işlemlerle istemin 200 ve 250 adet olması durumları için beklenen kârlar sırasıyla aşağıdaki gibi hesaplanır.
0.3 X 8500 = 2550 TL
0.2 X 11750 = 2350 TL
Tam bilgi altında beklenen kâr her bir olay için en iyi stratejinin seçilmesi sonucu gerçekleşen beklenen kazançların toplamına eşittir. Buna göre tam bilgi altındaki beklenen kazanç (TBABK) aşağıdaki gibi elde edilir.
TBABK = 0.2(3000) + 0.3(5250) + 0.3(8500) + 0.2(11750)
= 7075 TL
Tam bilgi altında hesaplanan 7075 TL’lik kazanç istemin değeri hakkında kesin bilgiye sahip olunması durumunda kazanılacak en yüksek miktardır. Bu yolla hangi stratejinin uygun olacağı konusunda bir öneride bulunulmadığına dikkat edilmelidir. Burada saptanan yalnızca belirlilik durumunda kârın en fazla 7075 TL olabileceğidir. Kârı bu düzeye çıkarmak için istem miktarlarının olasılıkları hakkında daha fazla bilgi edinmek istendiğini düşünelim. Bu durumda, ek bilginin kârda sağlayacağı artış ile gerçekleştirilmesi düşünülen çalışmanın maliyeti karşılaştırılmalıdır. Ek bilgiyle sağlanacak kâr ek bilgiye ulaşma maliyetinden fazla ise ek bilgiye başvurulacak aksi halde, eldeki veri ile yetinilerek risk ortamında beklenen değer ölçütüyle karar verme benimsenecektir. Ek bilginin beklenen değeri, tam bilgi altındaki beklenen değer ile risk durumundaki beklenen değer arasındaki farka eşittir.
Risk durumunda en yüksek kâr 6875 TL’dir. Tam bilgi altında en yüksek kâr 7075 TL olduğundan ek bilginin beklenen değeri aşağıdaki gibi hesaplanır.
Ek Bilginin Beklenen Değeri = 7075 - 6875 = 200 TL
Bu değer tam bilgi durumunda kârdaki artışı gösterir. Buna göre ek bilgi sağlamak için yapılacak çalışmanın maliyeti 200 TL’den fazlaysa mağaza sahibinin ek bilgi sağlamaktan vazgeçmesi uygun olur. Açıklamalarımız için gerekli olduğundan problemi bir de beklenen fırsat kaybı ölçütünü kullanarak çözelim. Problemin fırsat kaybı tablosu aşağıda gösterilmiştir.
Tablo 8.15
| Olay | Beklenen | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Strateji | O1 | O2 | O3 | O4 | Fırsat Kaybı |
| S1 | 0 | 2500 | 6000 | 9500 | 4450 |
| S2 | 1500 | 500 | 500 | 4000 | 1400 |
| S3 | 1000 | 0 | 0 | 0 | 200 |
| Olasılık | 0.2 | 0.3 | 0.3 | 0.2 | - |
Hesaplanan beklenen fırsat kayıpları, fırsat kayıpları tablosuna eklenen "Beklenen Fırsat Kaybı" başlıklı sütunda gösterilmiştir. Görüldüğü gibi en küçük beklenen fırsat kaybı ek bilginin beklenen değerine eşittir. Bu durum yalnızca bu problem için değil her zaman böyledir. En küçük beklenen fırsat kaybı belirsizliğin maliyeti olarak değerlendirilir. Her bir strateji için beklenen kâr ile beklenen pişmanlık değerleri toplamının, tam bilginin beklenen değerine eşit olduğu gösterilebilir. Bu durumun açıklanmasına örnek olması için S1’i inceleyelim. S1 için beklenen kâr olan 2625 TL ile S1 için beklenen fırsat kaybı 4450 TL’nin toplamı 7075 TL’ye eşittir.
Şimdiye kadar, sonuçların matris veya tablo biçiminde gösterilmesinin mümkün olduğu "bir olaylar kümesi-bir strateji seçimi"olarak özetlenebilecek durumların karar problemleri incelenmiştir. Oysa karar verme genellikle, birden fazla olaylar kümesinin bulunduğu, her küme için bir eylem seçiminin söz konusu olduğu çok aşamalı bir süreçtir. Bu, birden fazla noktada karar verme durumunda olmak demektir. Bu tip problemlerin matris veya tablo yaklaşımıyla çözülmesi doğru değildir. Matris yerine karar ağacı oluşturulması uygun olur.
Karar Ağacı: İlk olay veya stratejiyle son sonuçlara ulaşılma aşamasına kadar ortaya çıkan tüm olay ve eylemlerin tarih sırasına göre düzenlenmesiyle oluşan bir grafiktir. Grafik ağaca benzediğinden "ağaç grafiği" vaya "karar ağacı" denir. Özünde bir grafik olduğundan karar ağacı düğümler ve çizgilerden oluşan bir kümedir.
Karar vericinin karar aldığı her bir nokta karar noktası olup karar noktaları ağaç üzerinde bir kare ile gösterilir. Bu kareden çıkan dallar karar vericinin stratejilerine karşılık gelir. Karar vericinin kontrolü dışında olan olaylar ağaç üzerinde dairelerle gösterilirler. Bu noktalara "olay düğüm noktası" veya "şans noktası" denir. Daire biçimindeki olay düğüm noktalarından çıkan her dal, bir olayı simgeler. Olayı simgeleyen sembol ve olayın ortaya çıkma olasılığı ait olduğu dal üzerinde gösterilir. Şans noktasından çıkan dallar, karar vericiyi bir başka şans noktasına veya bir karar noktasına götürebilir.
Karar probleminin karar ağacı ile çözümünde, dinamik programlamada[3] olduğu gibi, sondan başa doğru hesaplama yaklaşımı uygulanır. Bunun için oluşturulan karar ağacının en son aşamasındaki uç noktalardan başlanır ve ağaç üzerinde başa doğru gidilir. Bu ilerleyiş sırasında karşılaşılan karar noktalarının her birinde o düğümün beklenen değeri hesaplanır. Beklenen değerlerden en iyi olanı o düğümün üzerine yazılır. Başlangıç noktasına ulaşıldığında çözüm işlemi tamamlanmış olur.
Karar ağacı yaklaşımını sipariş miktarının belirlenmesiyle ilgili örnek probleme uygulayalım.
Örnek 8.12: Örnek 8.1’deki problemin karar ağacını düzenleyerek net kârı en büyükleyen sipariş miktarını bulunuz.
Çözüm 8.12: Problemi karar ağacı yaklaşımıyla çözebilmek için öncelikle karar ağacı oluşturulmalıdır. Karar ağacının düzenlenebilmesi için önce karar noktası sayısı belirlenir. Bilindiği gibi mağaza sahibinin sipariş miktarını belirlemek gibi tek bir sorunu, yani almak istediği tek bir karar vardır. Bu nedenle karar noktası tektir. Bu nokta K ile işaretlenecektir. Sipariş miktarı için 100, 200 veya 300 olmak üzere 3 seçenek bulunduğundan bu noktadan 3 dal çıkacaktır. Karar ağacının bu kısmı aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 8.1
Bir an için sipariş miktarının 100 olarak belirlendiğini düşünelim. İstem düzeyi 100, 150, 200 veya 250 olabilir. İstem düzeyindeki bu belirsizlik olay düğüm noktası olarak işaretlenir. Olay düğüm noktasından olay sayısı kadar dal çıkacak ve dalların her biri ayrı bir istem düzeyine karşılık gelecektir. Olaylara ilişkin olasılıkların ait oldukları dallar üzerinde, olaylara ilişkin kârların dalların uç noktalarında gösterilmesiyle karar ağacının 100 birimlik sipariş verilmesi durumunu açıklayan kısmı aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.
Şekil 8.2
Dallardan geriye doğru giderek 1 nolu düğüm noktasındaki beklenen kârı (BK1) hesaplayalım.
BK1 = 3000(0.2) + 2750(0.3) + 2500(0.3) + 2250(0.2)
= 2625 TL
Saptanan 2625 TL tutarındaki beklenen kâr 1 nolu olay düğüm noktasının üzerine yazılır.
Aynı yöntemle 200 ve 300 birimlik sipariş miktarları için 2 ve 3 nolu olay düğüm noktalarındaki beklenen kârlar aşağıdaki gibi hesaplanır.
BK2 = 1500(0.2) + 4750(0.3) + 8000(0.3) + 7750(0.2) = 5675 TL
BK3 = 2000(0.2) + 5250(0.3) + 8500(0.3) + 11750(0.2) = 6875 TL
Beklenen kârların O2 ve O3 noktalarına yazılmasıyla karar ağacı aşağıdaki gibi tamamlanmış olur.
Şekil 8.3
Her bir olay düğüm noktasının beklenen değerleri hesaplandıktan sonra K ile simgelenen karar noktasına ulaşırız. Bu nokta; sipariş miktarının 100, 200 veya 300 olması eylemlerinden birinin seçilmesi durumunu gösterir. 300 dalı 100 ve 200 dallarından daha fazla kâr sağladığından mağaza sahibi 100 ve 200 dallarını değil, 300 dalını seçecektir. Seçilmeyen dallar "//" ile işaretlenir.
Daha önce değindiğimiz gibi karar ağacı yaklaşımı, özellikle birden fazla noktada karar almanın söz konusu olduğu karar problemlerinin çözümünde etkindir. Bu nedenle daha karmaşık bir karar problemi çözelim.
Örnek 8.13: Piyasaya sürülecek yeni bir ürünün tanıtımı için bir reklam kampanyası düzenlenecektir. Reklam için ya TV ya da gazete seçilecektir. TV ile kampanyanın başarılı olması olasılığı 0.6, başarısız olması olasılığı 0.4’dür. Başarılı bir TV kampanyası sonucunda üreticinin kârı 90 TL olmaktadır. Kampanya başarısız olduğunda firmanın, ürünün üretim haklarını 10 TL’ye devretmek veya ürünü yeniden tasarlayarak yeni bir kampanya başlatmak gibi iki stratejisi vardır.
Yeni tasarımlı ürünün başarılı olması şansı 0.7 olup bu durumda beklenen kâr 70 TL, başarısız olması şansı 0.3 olup beklenen kâr -20 TL’dir. Kampanya gazete ile yapıldığında başarılı olma olasılığı 0.8, başarısız olma olasılığı 0.2’dir. Başarılı olunduğunda kâr 60 TL olmaktadır. Başarısız olunması durumunda üretim haklarının devredilmesi veya reklam ajansının değiştirilmesi mümkündür. Üretim haklarının devredilmesi durumunda net kâr 25 TL’dir. Ajansın değiştirilmesi kararlaştırıldığında; yeni kampanyanın başarılı olması olasılığı 0.7, başarısız olması olasılığı 0.3’dür. Başarılı yeni kampanya 40 TL’lık net kâra, başarısız yeni kampanya 15 TL net zarara neden olmaktadır. Firmanın en iyi stratejisini saptayınız.
Çözüm 8.13: Önce karar noktası sayısını belirleyelim. İlk karar TV ile gazete arasından seçim yapılmasına ilişkindir. Bu karar noktası karar ağacında K1 ile gösterilmiştir. Bir an için reklam için TV’nin seçildiğini düşünelim. Bu kampanyanın nasıl sonuçlanacağı belirsizlik içindedir. Bu belirsizlik, E1 olay düğüm noktasında kampanyanın başarılı veya başarısız olması olaylarına karşılık gelen dallarla açıklanmıştır. Bu olaylardan başarısızlık durumunun gerçekleştiğini düşünelim. Bu durumda karar verici K2 ile gösterilen karar alma noktasına gelir.
K2 ikinci aşama karar noktası olup ürünün yeniden tasarlanarak yeni bir kampanya başlatılması veya üretim haklarının devredilmesi seçenekleri arasından seçim yapılması durumunu gösterir. Bu aşamada yeni tasarım-yeni kampanya alternatifi seçilirse E3 olay düğüm noktasından çıkarılan iki dal ile gösterilmiş olan belirsizlikle karşılaşılır.
Başlangıçta reklam kampanyası için gazetenin seçilmiş olduğunu düşünelim. Bu seçimin sonucu da belirsizlik içermektedir. Kampanyanın başarısı ile ilgili bu belirsizlik E2 olay düğüm noktasından çıkan iki dalla açıklanmıştır. Bu olaylardan başarısızlık durumunun ortaya çıkması halinde firma K3 ile gösterilen ikinci aşama karar noktasına gelir. Bu karar noktası reklam ajansının değiştirilmesi veya üretim haklarının satılması seçenekleri arasından bir seçim yapılması durumunu gösterir.
Ajansın değiştirilmesine karar verildiğini düşünelim. Bu kararın uygulanması sonucunda kampanya ya başarılı ya da başarısız olacaktır. Bu belirsizlik E4 olay noktasından çıkarılan iki dalla açıklanmıştır.
Karar ve olay noktaları ile dallarının belirlenmesinden sonra ağacın en sağındaki uç noktalara karşılık geldikleri kârların yazılmasıyla karar ağacı aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.
70 TL’lik kâr; TV seçimi, başarısızlık, yeni tasarı-yeni kampanya, başarılı olma eylem-olay bileşenleri sonucu ortaya çıkar. Şimdi de karar ağacının en sağından başlayıp, ilk karar noktasına doğru dalları izleyerek her bir olay düğüm noktasındaki beklenen kârları hesaplayalım.
Önce E3 olay düğüm noktasını inceleyelim. Bu noktadaki kârın beklenen değeri,
70(0.7) + (-20)(0.3) = 43 TL
olarak hesaplanmıştır.
Hesaplanan bu değer E3 düğümünün üzerinde gösterilmiştir. 43 TL’lik kâr hakların satılması durumunun sağladığı 10 TL’lik kârdan yüksek olduğundan hakların satılması dalı hiçbir zaman seçilmeyecektir. Bu durum bu dal üzerine konulan "//" işaretiyle açıklanmıştır.
E3’den başa doğru gidildiğinde karşılaşılan E1’deki beklenen kârı hesaplayabiliriz. E1’deki kâr,
90(0.6) + 43(0.4) = 71.2 TL
olarak hesaplanmıştır.
Hesaplanan bu değer E1 üzerine yazılmıştır.
Şimdi de E4’den başlayıp başlangıç karar noktasına doğru dallar üzerinde ilerleyerek beklenen kârları hesaplayalım. E4’de beklenen kâr, karar ağacında gösterildiği gibi,
40(0.7) + (-15)(0.3) = 23.5 TL
olarak hesaplanmıştır.
Ajansın değiştirilmesi durumundaki beklenen kâr, hakların satılması durumunda sağlanacak olan kârdan az olduğundan ajansın değiştirilmesi düşünülmeyecek yani, bu dal iptal edilecektir.
E4’den sonra E2’deki beklenen kârı hesaplayalım. E2’deki kâr,
60(0.8) + 25(0.2) = 53 TL
olarak hesaplanmıştır.
Bu değer gazete reklam kampanyasının işletmeye sağlayacağı kârdır. E2’deki kârın hesaplanmasıyla problem çözülmüş olur.
TV seçiminin sağlayacağı kâr (71.2 TL), gazete seçiminin sağlayacağı kârdan (53.0 TL) yüksek olduğundan kampanyanın TV ile sürdürülmesine karar verilir.
Böylece belirlenen karar ağacı Şekil 8.4’de gösterilmiştir.
Şekil 8.4
Şimdiye kadar muhtemel olaylardan hangisinin gerçekleşeceği konusunda kesin bilgiye sahip olunmadan ön (önsel) olasılıklarla karar alma üzerinde durulmuştur. Oysa, kararın olayların önsel olasılıklarının gözden geçirilerek ek bilgilerle gerekli düzeltmelerin yapılması veya önsel olasılık değerlerinin bir kez daha onaylanmasından sonra alınması daha uygun olur. Bu yolla, alınacak karara duyulan güven artacaktır. Çünkü alınan kararın isabetliliği, herşeyden önce belirsizlik derecesinin azaltılmasına bağlıdır. Belirsizlik derecesinin azaltılması ek bilgilerle gerçekleştirilir. Ön olasılıklar ek bilgilerle daha az belirsizlik gösteren sonraki (sonsal) olasılıklara dönüştürülür. Sonsal olasılıkların elde edilmesi veya önsel olasılıkların güncelleştirilmesi için Bayes kuralı veya Bayes yaklaşımından yararlanılır. Bayes yaklaşımı, deneyin mümkün sonuçları ile ilgili olasılıkların gözden geçirilerek gerekli düzeltmelerin yapılmasına olanak sağlayan son derecede faydalı bir yaklaşımdır.
Beklenen değer yaklaşımının bir uzantısı olan Bayes yaklaşımında da beklenen değer kavramı kullanılır. Bayesgil yaklaşımının beklenen değer yaklaşımından farkı olasılıkların sonsal oluşudur. Bayes yaklaşımı aşağıdaki formülle açıklanır.
Burada; H1, H2, ..., Hn birleşimleri S örneklem uzayını veren ayrık olaylar, E örneklem uzayının herhangi bir olayıdır. Bayes formülü için daha açık olarak aşağıdaki gibi yazılır.
i = 1, 2, ..., n
Burada,
P(Hi), i = 1, 2, ..., n ek bilgiye ulaşılmadan önceki (önsel) olasılıklardır.
P(Hj / E), j = 1, 2, ..., n ek bilgiye ulaşıldıktan sonraki (sonsal) olasılıklardır.
Karar verme problemlerinde Bayes formülü kullanımını sipariş miktarının belirlenmesiyle ilgili örnek problemle açıklayalım.
Örnek 8.14: Mağaza sahibinin istem miktarına ilişkin önsel olasılıklara güvenmediğini, daha güvenilir olasılıklara ulaşmak için pazar araştırması kuruluşuyla anlaştığını düşünelim. Araştırma sonucu 4 farklı örnek grubunun ortaya çıkabileceğini ve bu grupların aşağıdaki raporları sunacaklarını düşünelim. Bu raporlar çerçevesinde olayların gerçekleşmesi olasılıklarını gözden geçirerek bunlara ilişkin yeni değerleri elde ediniz
R1: İstem 100 adet olacak.
R2: İstem 150 adet olacak.
R3: İstem 200 adet olacak.
R4: İstem 250 adet olacak.
Çözüm 8.14: Pazar araştırmasıyla elde edilen ek bilgiye "gösterge" veya "örnek bilgi" denir. Buna göre her rapor bir göstergedir. Amaç bu göstergeler çerçevesinde olayların gerçekleşme olasılıklarını gözden geçirmek; ya onların değerlerini onaylamak ya da gereken düzeltmeleri yapıp yeni değerlerini elde etmektir. Araştırma sonucunda ulaşılan bilgiler her zaman yüzde yüz doğru olmayabilirler. Ulaşılan bilgiden gereğince yararlanabilmek için göstergeler (R1, R2, R3, R4) ve olaylar (O1, O2, O3, O4) arasındaki olasılık ilişkileri hakkında bilgi sahibi olunması gerekir. Bunun için pazar araştırması kuruluşunun daha önce buna benzer bir çalışma yaptığını ve geçmiş dönem kayıtlarından pazar araştırması raporlarının gerçekleşmesi olasılıklarını Tablo 8.16’daki gibi belirlediğini varsayalım.
Tablo 8.16
| Araştırma Raporu | ||||
|---|---|---|---|---|
| Olay | R1 | R2 | R3 | R4 |
| O1: 100 | 0.70 | 0.10 | 0.05 | 0.15 |
| O2: 150 | 0.05 | 0.85 | 0.05 | 0.05 |
| O3: 200 | 0.10 | 0.05 | 0.75 | 0.10 |
| O4: 250 | 0.05 | 0.05 | 0.10 | 0.80 |
Tabloda verilenler koşullu olasılıklardır. Sözgelimi, tablonun ilk gözesindeki 0.70, istem 100 adet olarak gerçekleşmişken, araştırma kuruluşunun R1 ile simgelenen raporu sunması olasılığı, yani P(R1/O1)’dir. Aynı şekilde, P(R2/O1) = 0.10, P(R3/O1) = 0.05, P(R4/O1) = 0.15’dir. Diğer olasılıklar; P(R1/O2) = 0.05, P(R2/O2) = 0.85, ..., P(R2/O3) = 0.05, P(R3/O3) = 0.75, ..., P(R1/O4) = 0.05, ... ve P(R4/O4) = 0.80’dir.
Bu olasılık tahminleri ile sunulan rapora daha fazla güven duyulabilir. Çünkü, istem 100 adet olarak gerçekleştiğinde gösterge de %70 olasılıkla bu durumu rapor edecektir. Benzer şekilde istem 150 adet olduğunda, araştırma raporunun "istem 150 adet olacak" şeklinde olması olasılığı %85’dir. Benzer şekilde istem 200 olduğunda raporun bunu destekler nitelikte olma olasığı %75; istem 250 olduğunda raporun bunu destekler nitelikte olma olasığı %80’dir.
Önsel ve koşullu olasılıklarla sunulan raporun Ri (i = 1, 2, 3, 4) olması olasılıkları (P(Ri)) hesaplanabilir. Raporun niteliği ne olursa olsun, istem miktarı mümkün dört değerinden birini alır. Buna göre bu olasılıklar aşağıdaki gibi hesaplanır.
P(R1) = P(R1 O1) + P(R1 O2) + P(R1 O3) + P(R1 O4)
= P(O1)(R1 /O1) + P(O2)(R1 /O2) + P(O3)(R1 /O3) + P(O4)(R1 /O4)
= 0.2(0.70) + 0.3(0.05) + 0.3(0.10) + 0.2(0.05)
= 0.14 + 0.015 + 0.03 + 0.01 = 0.195
P(R2) = P(R2 O1) + P(R2 O2) + P(R2 O3) + P(R2 O4)
= P(O1)(R2 /O1) + P(O2)(R2 /O2) + P(O3)(R2 /O3) + P(O4)(R2 /O4)
= 0.2(0.10) + 0.3(0.85) + 0.3(0.05) + 0.2(0.05)
= 0.02 + 0.255 + 0.015 + 0.01 = 0.30
P(R3) = P(R3 O1) + P(R3 O2) + P(R3 O3) + P(R3 O4)
= P(O1)(R3 /O1) + P(O2)(R3 /O2) + P(O3)(R3 /O3) + P(O4)(R3 /O4)
= 0.2(0.05) + 0.3(0.05) + 0.3(0.75) + 0.2(0.10)
= 0.01 + 0.015 + 0.03 + 0.16 = 0.27
P(R4) = P(R4 O1) + P(R4 O2) + P(R4 O3) + P(R4 O4)
= P(O1)(R4 /O1) + P(O2)(R4 /O2) + P(O3)(R4 /O3) + P(O4)(R4 /O4)
= 0.2(0.15) + 0.3(0.05) + 0.3(0.10) + 0.2(0.80)
= 0.03 + 0.015 + 0.03 + 0.16 = 0.235
Şimdi de raporun R1 raporu olması durumunda; olayların gerçekleşme olasılıklarının yeni değerlerini, yani sonsal olasılıkları hesaplayalım.
a. R1: "İstem 100 adet olacak." raporu verildiğinde O1, O2, O3, O4 olaylarına ilişkin sonsal olasılıklar Tablo 8.17’deki gibi hesaplanır.
Tablo 8.17
| Olasılık | ||||
|---|---|---|---|---|
| Olay Oi | Önsel P(Oi) | Koşullu P(R1 /Oi) | Birleşik P(R1 Oi) | Sonsal P(Oi /R1) |
| O1 | 0.20 | 0.70 | 0.140 | 0.140 / 0.195 = 0.718 |
| O2 | 0.30 | 0.05 | 0.015 | 0.015 / 0.195 = 0.077 |
| O3 | 0.30 | 0.10 | 0.030 | 0.030 / 0.195 = 0.154 |
| O4 | 0.20 | 0.05 | 0.010 | 0.010 / 0.195 = 0.051 |
| Toplam | 1.00 | 0.195 | - |
Tablo 8.17’nin sonsal başlıklı sütun değerleri incelendiğinde; göstergenin R1 olması durumunda; P(O1) için 0.20 yerine 0.718, P(O2) için 0.30 yerine 0.077, P(O3) için 0.30 yerine 0.154 ve P(O4) için 0.20 yerine 0.051 değerlerinin hesaplandığı görülebilir.
Sonsal olasılıklara göre beklenen kârın hesaplanması ile ilgili işlemler Tablo 8.18’de gösterilmiştir.
Tablo 8.18
| Olay | Beklenen | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Strateji | O1 (100) | O2 (150) | O3 (200) | O4 (250) | Kâr |
| 100 | 3000 | 2750 | 2500 | 2250 | 2865.5 |
| 200 | 1500 | 4750 | 8,000 | 7750 | 3070.0 |
| 300 | 2,000 | 5250 | 8500 | 11750 | 3748.5 |
| P(Oi) | 0.718 | 0.077 | 0.154 | 0.051 | - |
Sunulan rapor R1 olduğunda; Tablo 8.18’ün son sütununda gösterildiği gibi en yüksek kârı 300 birimlik sipariş sağladığından bu miktarda sipariş verecektir.
b. Şimdi de göstergenin R2 olması durumu üzerinde duralım.
R2: "İstem 150 adet olacak." raporu verildiğinde olayların (O1, O2, O3, O4) sonsal olasılıkları aşağıdaki gibi hesaplanır.
Tablo 8.19
| Olasılık | ||||
|---|---|---|---|---|
| Olay Oi | Önsel P(Oi) | Koşullu P(R2 /Oi) | Birleşik P(R2 Oi) | Sonsal P(Oi /R2) |
| O1 | 0.20 | 0.10 | 0.020 | 0.020 / 0.300 = 0.0667 |
| O2 | 0.30 | 0.85 | 0.255 | 0.255 / 0.300 = 0.8500 |
| O3 | 0.30 | 0.05 | 0.015 | 0.015 / 0.300 = 0.0500 |
| O4 | 0.20 | 0.05 | 0.010 | 0.010 / 0.300 = 0.0333 |
| Toplam | 1.00 | - | 0.300 | - |
Böylece gösterge R2 olduğunda, O1’in önsel olasılığı 0.20 yerine 0.0666, O2’nin önsel olasılığı 0.30 yerine 0.85, O3’ün önsel olasılığı 0.30 yerine 0.05 ve O4’ün önsel olasılığı 0.20 yerine 0.033 elde edilmiştir.
Olayların gerçekleşme olasılıklarının yeni değerleriyle hesaplanan beklenen değerler Tablo 8.20’de gösterilmiştir.
Tablo 8.20
| Olay | Beklenen | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Strateji | O1 (100) | O2(150) | O3(200) | O4(250) | Kâr |
| 100 | 3000 | 2750 | 2500 | 2250 | 2737.5 |
| 200 | 1500 | 4750 | 8000 | 7750 | 495.5 |
| 300 | 2,000 | 5250 | 8500 | 11750 | 5412.0 |
| P(Oi) | 0.0667 | 0.850 | 0.0500 | 0.0333 | - |
İstem 150 adet olacak raporu gerçekleştiğinde en yüksek beklenen kâr 300 adet siparişle sağlandığından bu miktarda sipariş verilmesi kararlaştıracaktır.
c. Şimdi de göstergenin R3 olması durumu üzerinde duralım.
"İstem 200 adet olacak." raporu verildiğinde O1, O2, O3, O4 olaylarına ilişkin sonsal olasılıklar Tablo 8.21’deki gibi hesaplanır.
Tablo 8.21’in sonsal başlıklı sütunundan görüleceği gibi göstergenin R3 olması durumunda, olayların gerçekleşme olasılıkları; P(O1) = 0.20 yerine 0.037, P(O2) = 0.30 yerine 0.555, P(O3) = 0.30 yerine 0.833 ve P(O4) = 0.20 yerine 0.074 olarak elde edilmiştir.
Tablo 8.21
| Olasılık | ||||
|---|---|---|---|---|
| Olay Oi | Önsel P(Oi) | Koşullu P(R3 /Oi) | Birleşik P(R3 Oi) | Sonsal P(Oi /R3) |
| O1 | 0.20 | 0.05 | 0.010 | 0.010 / 0.27 = 0.037 |
| O2 | 0.30 | 0.05 | 0.015 | 0.015 / 0.27 = 0.055 |
| O3 | 0.30 | 0.75 | 0.225 | 0.225 / 0.27 = 0.833 |
| O4 | 0.20 | 0.10 | 0.020 | 0.020 / 0.27 = 0.074 |
| Toplam | 1.00 | - | 0.270 | - |
Olasılıkların yeni değerleriyle hesaplanan beklenen kârlar Tablo 8.22’nin son sütununda gösterilmiştir. Tablonun beklenen kâr sütunu incelendiğinde en yüksek kârı (8317.93 TL) sağlayan 300 birimlik sipariş verme seçeneği seçilecektir.
Tablo 8.22
| Olay | Beklenen | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Strateji | O1 (100) | O2 (150) | O3 (200) | O4 (250) | Kâr |
| 100 | 3000 | 2750 | 2500 | 2250 | 2512.63 |
| 200 | 1500 | 4750 | 8000 | 7750 | 7556.63 |
| 300 | 2000 | 5250 | 8500 | 11750 | 8317.93 |
| P(Oi) | 0.037 | 0.055 | 0.833 | 0.074 | - |
d. Son olarak göstergenin R4 olması durumu üzerinde duralım.
R4: "İstem 250 adet olacak." raporu verildiğinde O1, O2, O3, O4 olaylarına ilişkin sonsal olasılıklar aşağıdaki gibi hesaplanırlar.
Tablo 8.23
| Olasılık | ||||
|---|---|---|---|---|
| Olay Oi | Önsel P(Oi) | Koşullu P(R4 /Oi) | Birleşik P(R4Oi) | Sonsal P(Oi /R4) |
| O1 | 0.20 | 0.15 | 0.030 | 0.030 / 0.235 = 0.1276 |
| O2 | 0.30 | 0.05 | 0.015 | 0.015 / 0.235 = 0.0638 |
| O3 | 0.30 | 0.10 | 0.030 | 0.030 / 0.235 = 0.1276 |
| O4 | 0.20 | 0.80 | 0.160 | 0.160 / 0.235 = 0.6808 |
| Toplam | 1.00 | - | 0.235 | - |
Olay olasılıklarının yeni değerleriyle hesaplanan beklenen değerler Tablo 8.24’ün son sütununda gösterilmiştir. Söz konusu sütun değerlerinin ortaya koyduğu gibi gösterge R4 olduğunda mağaza sahibi en yüksek kârı veren 300 birimlik sipariş seçeneğini seçecektir.
Tablo 8.24
| Olay | Beklenen | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Strateji | O1 (100) | O2 (150) | O3 (200) | O4 (250) | Kâr |
| 100 | 3000 | 2750 | 2500 | 2250 | 2425.25 |
| 200 | 1500 | 4750 | 8000 | 7750 | 6791.45 |
| 300 | 2000 | 5250 | 8500 | 11750 | 10088.85 |
| P(Oi) | 0.1276 | 0.0638 | 0.1276 | 0.6808 | - |
Özetle araştırma grubu,
R1 ile simgelenen raporu sunduğunda 300 adet,
R2 ile simgelenen raporu sunduğunda 300 adet,
R3 ile simgelenen raporu sunduğunda 300 adet,
R4 ile simgelenen raporu sunduğunda 300 adet,
sipariş verilmesi uygun olacaktır.
Kuşkusuz bu kararların alınabilmesi için raporun türünün biliniyor olması gerekir. Her bir raporun gerçekleşme olasılıklarının yukarıda önsel olasılıklar ile koşullu olasılıkların kullanılmasıyla hesaplanan birleşik olasılıklara eşit yani, P(R1) = 0.195, P(R2) = 0.30, P(R3) = 0.27, P(R4) = 0.235 olsunlar. Buna göre pazar araştırması raporuna dayanarak alınacak kararın sağlayacağı beklenen kâr aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.
Tablo 8.25
| Rapor | Olasılık | En İyi Stratejinin Beklenen Kârı | Beklenen Değer |
|---|---|---|---|
| R1 | 0.195 | 3748.50 | 730.98 |
| R2 | 0.300 | 5412.00 | 1623.60 |
| R3 | 0.270 | 8317.93 | 2245.84 |
| R4 | 0.235 | 10088.85 | 2370.88 |
| - | - | - | 6971.28 |
Görüldüğü gibi örnek bilgi altında beklenen kazanç 6971.28 TL olacaktı. Burada olduğu gibi, örnek bilgi altında beklenen kazanç her zaman tam bilgi altında beklenen kazançtan küçüktür.
PROBLEMLER
1. Ana bayiden 8 TL’ye alınan bir gazete 10 TL’ye satılmakta, gününde satılmayan bir gazete ana bayiye 5 TL’ye iade edilmektedir. Günlük satış miktarını kesin olarak bilmeyen satıcı geçmiş 50 günü gözlemiş, istem miktarının 24 ile 30 arasında değiştiğini belirlemiştir. Bayinin istemle ilgili sahip olduğu diğer bilgiler aşağıda verilmiştir.
Gazete bayinin her gün kaç gazete satın almasının uygun olacağına karar veriniz.
| Günlük İstem: | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Gün Sayısı : | 5 | 6 | 7 | 7 | 10 | 6 | 4 |
2. Geçmiş dönem kayıtlarından günlük ekmek satış miktarları aşağıdaki gibi belirlenmiştir.
| Günlük Satış (Adet): | 0 | 50 | 100 | 200 | 250 |
|---|---|---|---|---|---|
| Gün Sayısı : | 10 | 20 | 20 | 40 | 10 |
a. Beklenen satış miktarını belirleyiniz.
b. Bir adet ekmeğin maliyeti 4 TL, satış fiyatı 6 TL’dir . Üretildiği gün satılmayan ekmekler bir süt üretme çiftliğine tanesi 3 TL’den satılmaktadır. Beklenen değer ölçütüyle en iyi üretim miktarını belirleyiniz.
3. Genç bir çocuk, yaz tatilinde dondurma veya mısır satma arasında seçim yapmak istemektedir. Dondurma satması durumunda; yaz mevsimi çok sıcak olursa 5000 TL, mevsim ılık geçerse 3000 TL kazanmayı ummaktadır. Mısır satması durumunda; yaz mevsimi çok sıcak olursa 2500 TL, ılık geçerse 6,000 TL kâr beklemektedir. Yaz mevsiminin sıcak olması olasılığı %65’dir. Buna göre çocuk dondurma veya mısırdan hangisini satmalıdır?
4. Bir işletme yeni bir ürünün üretimine geçmeyi planlamaktadır. İşletme A ve B ile gösterilen ürünlerin üretimi için gerekli kaynaklara sahiptir. Yöneticiler adı geçen ürünlerden yalnızca birinin üretimini benimsemişlerdir. İki ürünün istemine ilişkin yapılan pazar araştırması sonucu belirlenen olasılıklar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
| İstem Düzeyi | |||
|---|---|---|---|
| Ürün | Yüksek | Orta | Düşük |
| A | 0.70 | 0.20 | 0.10 |
| B | 0.60 | 0.20 | 0.20 |
Ürün çeşidi ve istem düzeyi eşleşmelerine göre hesaplanan kârlarla düzenlenen karar matrisi aşağıda gösterilmiştir.
| İstem Düzeyi | |||
|---|---|---|---|
| Ürün | Yüksek | Orta | Düşük |
| A | 30 | 10 | 5 |
| B | 40 | 15 | -5 |
Problemi beklenen değer yaklaşımıyla çözerek hangi ürünün üretilmesinin uygun olacağını kararlaştırınız.
5. Bir karar verici yatırım seçeneklerini, yatırımlarla ilgili gelirleri ve olasılıkları aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi belirlenmiştir. Beklenen değer ölçütüyle en uygun yatırım seçeneğini belirleyiniz.
| Yatırım Gelirleri Olasılıkları | |||
|---|---|---|---|
| Gelir | A | B | C |
| -50 | 0.4 | 0.2 | 0.2 |
| 0 | 0.0 | 0.0 | 0.1 |
| 60 | 0.4 | 0.2 | 0.1 |
| 100 | 0.2 | 0.4 | 0.6 |
| 150 | 0.0 | 0.2 | 0.0 |
6. Bir alışveriş merkezi için uygun jenaratör büyüklüğüne karar verilecektir. Merkezde tüketilecek elektrik enerjisi miktarı kesinlikle bilinmediğinden jenaratör büyüklüğü de belirsizlik arz etmektedir. Enerji miktarı-jenaratör büyüklüğü eşleşmelerine göre oluşacak masraflar aşağıda gösterilmiştir.
| Enerji | Jenaratör Büyüklüğü | |||
|---|---|---|---|---|
| Miktarı | Küçük | Orta | Büyük | Olasılık |
| Az | 50 | 100 | 150 | 0.2 |
| Orta | 140 | 100 | 150 | 0.7 |
| Çok | 190 | 190 | 150 | 0.1 |
a. Fırsat kaybı tablosunu düzenleyiniz.
b. En uygun jenaratör büyüklüğünü kararlaştırınız.
c. Tam bilginin beklenen değerini hesaplayınız.
7. Saç bakım ürünleri üreticisi bir işletme ürün yelpazesine yeni bir ürün katmayı planlamaktadır. Yeni ürün üretimi 500000 TL ek harcama gerektirmektedir. Üretilmesi durumunda satılan her bir yeni ürün işletmenin kârında 1 TL artış sağlamaktadır. Yeni ürünün istem dağılımı aşağıda gösterildiği gibi tahmin edilmiştir.
| İstem (000) | Olasılık |
|---|---|
| 30 | 0.05 |
| 40 | 0.10 |
| 50 | 0.20 |
| 60 | 0.30 |
| 70 | 0.35 |
a. Yeni ürünün üretilmesi uygun mudur? Beklenen kâr nedir?
b. Tam bilginin beklenen değerini hesaplayınız.
c. İstemin 30000 olması olasılığı 0.10, 70000 olması olasılığı 0.30 olursa tam bilginin değeri ne olur?
8. Şampuan üreticisi bir firma, yeni bir şampuan üretmeyi planlamaktadır. Üretim kapasitesini dikkate alan firma; A, B ve C şampuanlarından birini seçmek durumundadır. A seçildiğinde üretimin başlama zamanı ile ilgili bir belirsizlik söz konusu olmaktadır. Üretimin gecikme olasılığı 0.80’dir. Üretim geciksin veya gecikmesin A’nın fiyatıyla ilgili olarak "yüksek fiyat" ve "düşük fiyat" olmak üzere iki seçenek vardır. Üretimin gecikmesi ve yüksek fiyata karar verilmesi durumunda istemin yüksek olma olasılığı 0.30 olup, birim net kâr 6 TL’dir. Aynı koşulda satışların orta düzeyde gerçekleşme olasılığı 0.70 olarak tahmin edilmiştir. Bu durumda birim net kâr -0.5 TL olmaktadır. A için düşük fiyata karar verilmesi durumunda satışların yüksek düzeyde gerçekleşmesi olasılığı, satışların düşük düzeyde gerçekleşmesi olasılığına eşittir. Yüksek istem düzeyinde birim net kâr 3 TL, düşük istem düzeyinde birim net kâr 1 TL’dir.
B’nin seçilmesi durumunda üretimin gecikmesi söz konusu değildir. Tıpkı A gibi B’nin fiyatıyla ilgili olarak "yüksek fiyat" ve "düşük fiyat" olmak üzere iki seçenek vardır. Yüksek fiyata karar verilmesi durumunda satışların yüksek olması olasılığı 0.30 olup birim net kâr 16 TL, satışların orta düzeyde gerçekleşme olasılığı 0.70, birim net kâr -0.5 TL’dir. B için düşük fiyata karar verilmesi durumunda satışların yüksek düzeyde gerçekleşme olasılığı 0.40, düşük düzeyde gerçekleşme olasılığı 0.60’dır. İstem fazla olduğunda birim net kâr 8 TL, düşük olduğunda birim net kâr 6 TL’dir.
C’ye karar verilmesi durumunda üretimin zamanında başlaması söz konusu değildir. C’nin yüksek fiyatla satışına karar verilmesi durumunda satışların yüksek olması olasılığı 0.25 olup birim net kâr 16 TL’dir. İstemin orta düzeyde gerçekleşmesi olasılığı 0.70 olup bu durumda birim net kâr -0.5 TL’dir. C için düşük fiyata karar verilmesi durumunda satışların yüksek düzeyde gerçekleşme olasılığı, satışların düşük düzeyde gerçekleşmesi olasılığına eşittir. Yüksek satış durumunda birim net kâr 13 TL, düşük satış durumunda birim net kâr 8 TL’dir. Karar ağacını çizerek, beklenen değer yaklaşımıyla hangi şampuanın üretilmesinin uygun olacağına karar veriniz.
9. Fotoğraf makinesi üretiminin gerçekleştirildiği bir işletmede biri standart diğeri otomatik olmak üzere iki tip fotoğraf makinesi üretilmektedir. İşletme, yeni yılın ilk haftasında oluşması muhtemel yüksek istemi karşılamak amacıyla toplam üretim miktarını belirlemek istemektedir. Standart makinenin değişken maliyeti 10 TL, otomatik makinenin değişken maliyeti 20 TL’dir. Standart makinenin satış fiyatı 20 TL, otomatik makinenin satış fiyatı 35 TL’dir. Her bir makinenin istem miktarıyla ilgili olasılık dağılımı aşağıdaki gibi tahminlenmiştir. Yeni yılın ilk haftasında satılmayan fotoğraf makineleri hurda fiyatına elden çıkarılmaktadır. Standart makinenin hurda fiyatı 5 TL, otomatik makinenin hurda fiyatı 10 TL’dir. Satış miktarı olasılıklarının birbirlerinden bağımsız ve üretim miktarının sınırsız olduğu varsayılmaktadır. Buna göre her bir makineden kaçar adet üretilmesi gerektiğini ve üretim miktarlarına göre ortalama beklenen değerleri hesaplayınız.
| Standart | Otomatik | ||
|---|---|---|---|
| İstem | Olasılık | İstem | Olasılık |
| 6000 | 0.30 | 2000 | 0.20 |
| 8000 | 0.70 | 4000 | 0.80 |
10. Yukarıdaki problemde toplam üretim miktarı 10000 ile sınırlandırılmıştır. Bu durumu yansıtan karar ağacını çiziniz ve buna göre üretim miktarlarını hesaplayınız.
11. Büyük bir çiftlik sahibi çiftliğinin su ihtiyacını karşılamak için kuyu açmayı düşünmektedir. Daha önce çiftliğin bulunduğu bölgede açılan kuyuların %70’inde suya 200 metre derinlikte rastlanmıştır. Bu derinlikte suya rastlanmaması durumunda iki seçenek söz konusudur: kuyu açmaktan vazgeçmek veya kuyuyu 50 metre daha derinleştirmek. Kuyunun 50 metre daha derinleştirilmesi durumunda 250 metre derinlikte suya rastlama olasılığı %20’dir. Kuyu açma maliyeti 50 TL/m dir. Kuyu açmak yerine suyu komşu çiftlikten satın almak da mümkündür. Suyun satın alınması durumunda su sahibine 10 yıl için 15000 TL ödenmesi gerekmektedir. Uygun karar ağacını çizerek beklenen değer yaklaşımıyla çiftlik sahibi için en uygun kararı belirleyiniz.
12. Bilgisayar üreticisi bir şirket bilgisayarların üretiminde kullanılacak bir parçayı satın almak istemektedir. Parça için; 1. Elle kontrol (EK), 2. Sayısal kontrol (SK), 3. Otomatik kontrol(OK) olmak üzere üç alternatif vardır. Parçaların sermaye maliyeti 1’den 3’e doğru artmaktadır.
Alınan karara bağlı olarak sonuçta ulaşılacak olan kâr bilgisayarların sunulacağı pazarın büyüklüğüne bağlıdır. Pazarın büyüklüğü konusunda üç durum söz konusudur: küçük, orta, büyük. Pazar büyüklüğü ve parça türüne bağlı olarak beklenen kârlar (negatif değerli olanlar kayıplar olmak üzere) aşağıdaki gösterilmiştir.
| Pazar | |||
|---|---|---|---|
| Parça | Küçük | Orta | Büyük |
| EK | 0.5 | 1.0 | 1.5 |
| SK | 0.0 | 1.5 | 2.5 |
| OK | -1.5 | 0.5 | 3.5 |
Pazarın büyüklüğüne ilişkin olasılıklar küçük için 0.30, orta için %50, büyük için %20 olarak belirlenmiştir. Marketin büyüklüğünün araştırılması için bir araştırma grubuyla anlaşılmıştır. Araştırma grubunun marketin büyüklüğünü doğru tesbit etmeleriyle ilgili koşullu olasılıklar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
| Gerçek | Belirlenen Durum | ||
|---|---|---|---|
| Durum | Küçük | Orta | Büyük |
| Küçük | 0.7 | 0.2 | 0.1 |
| Orta | 0.2 | 0.7 | 0.1 |
| Büyük | 0.0 | 0.2 | 0.8 |
a. Koşullu beklenen olasılık tablosunu düzenleyerek tam bilginin beklenen değerini hesaplayınız.
b. Araştırma grubu tarafından sunulan bilgi doğrultusunda koşullu beklenen şans tablosunu düzenleyiniz.
c. Pazar araştırması grubuna araştırma yetkisinin verilebilmesi için araştırma grubunun istem edebileceği en yüksek fiyat ne olabilir.
13. Bir yatırımcı A ve B seçeneklerinden hangisine yatırım yapmasının uygun olacağını araştırmaktadır. Yatırımcının alternatif stratejileri yatırım yapmamak da dahil olmak üzere şöyledir: A’yı seçmek. A’nın seçilmesi ve başarılı olunması durumunda yatırımcı ya hiçbir şey yapmadan beklemekte ya da elde ettiği kazançla B’ye yatırım yapmaktadır. Bunun tersi de geçerlidir. A’da başarılı olma olasılığı 0.70, B’de başarılı olma olasılığı 0.40’dır. Her iki yatırım seçeneğinin gerektirdiği yatırım miktarı da 2000 TL olup, başarısız olunması durumunda kazanç –2000 TL olmaktadır. A’nın başarılı olması durumunda 3000 TL (yatırım miktarı dahil), B’nin başarılı olması durumunda 5000 TL (yatırım miktarı dahil) elde edilmektedir. Karar ağacını çizerek en uygun stratejiyi belirleyiniz.
14. Bir petrol arama şirketinin petrol haklarını satın almak istediği bir yer için iki alternatif bölge (X ve Y) vardır. İki bölgeden yalnızca biri seçilecektir. Aynı bölgede en fazla iki kez arama yapılabilmektedir. X’e karar verilmiş olsun. İlk aramada X’de petrole rastlama olasılığı 0.40 ve beklenen kâr net 14 milyon TL’dir. İlk aramada petrole rastlanmaması durumunda ya aramadan vazgeçilmekte veya ikinci kez arama yapılmaktadır. Aramadan vazgeçilmesi durumunda beklenen zarar 3 milyon TL’dir. X’deki ikinci aramada petrole rastlama ve rastlamama olasılıkları birbirine eşittir. Bu aramada petrole rastlandığında net kâr 12 milyon, rastlanmadığında net zarar 5 milyon TL olmaktadır. Y’ye karar verilmiş olsun. İlk aramada Y’de petrole rastlama olasılığı ile rastlamama olasılığı 0.50’ye eşittir. İlk aramada petrole rastlanması durumunda net kâr 10 milyon TL’dir. Aramadan vazgeçildiğinde işletme arama masraflarından oluşan 3 milyon TL’lik zarara katlanmak zorundadır. İkinci bir aramada petrole rastlama olasılığı 0.70’dir. İkinci aramada petrole rastlanması durumunda işletmenin kârı net 8 milyon TL, rastlanmaması durumunda net zarar 5 milyon TL olmaktadır. İşletmenin hangi bölgede arama yapmasının uygun olacağını kararlaştırınız.
Şimdiye kadar, tek bir karar vericinin bulunduğu karar problemleri üzerinde durulmuştur. Problemde tek bir karar vericinin bulunduğundan, amaç fonksiyonu bu karar vericinin kararına bağlı kalarak değerlendirilmiştir. Uygulamada iki veya daha çok sayıda karar vericinin bulunduğu karar problemleriyle karşılaşmak daha olağandır. Esas amacı, birbirlerine rakip olan ve çıkarları çatışan taraflara akılcı davranış kurallarının belirlenmesinde yardımcı olmak olan oyun kuramı, bu tür karar ortamlarını açıklayan matematiksel bir yaklaşımdır. Oyun kuramında karar vericilerin her biri bir oyuncudur. Farklı hedef ve amaçlara sahip olan oyuncuların kaderleri birbirlerine bağlıdır. Matematiksel olarak bu, "her oyuncunun kendisine ait bir amaç fonksiyonu vardır ve amaç fonksiyonlarının en iyi değerleri yalnızca ait olduğu karar vericinin benimseyeceği stratejiye değil, diğer karar verici(ler)nin strateji(ler)sine de bağlıdır" şeklinde yorumlanabilir. Bu durum, tam anlamıyla bir çatışma durumudur. Çatışma durumları daha çok oyunlarda, spor karşılaşmalarında, iktisatta ve askeri hareketlerde ortaya çıkar. Rakiplerini dikkate almayan bir oyuncunun başarılı olması beklenmemelidir.
Oyun kuramı ilk kez Fransız matematikçisi Emile Borel tarafından 1921 yılında ortaya atılmış olmakla birlikte, sistematik olarak matematikçi John von Neumann ile iktisatçı Oscar Morgenstern tarafından geliştirilmiştir. Oyun kuramının temel ilkeleri bu iki yazarın 1944 yılında yayınladıkları "The Theory of Games and Economic Behaviour" isimli çalışmalarında açıklanmıştır. O günden bu yana oyun kuramı büyük gelişmeler kaydetmiş, John Nas oyun kuramına yaptığı katkılar için 1994 ekonomi nobel ödülüyle ödüllendirilmiştir. Nash tarafından geliştirilen "Nash dengesi ve Nash pazarlık problemi" modern oyun kuramının köşe taşları kabul edilmektedir.
Bir oyun eksiksiz biçimde tanımlanmış kurallara uygun olarak sürdürülen ve oyuncuların kendileri için uygun olan stratejileri ve bunlardan herhangi birinin seçimi ile ilgili mücadele sonuçlarını bildikleri varsayılan bir sistemdir. Daha basit olarak oyun, birbirleriyle rekabet eden ve her biri kazanmayı isteyen iki veya daha fazla sayıda karar vericinin (oyuncunun) bulunduğu karar ortamı şeklinde tanımlanabilir.
Oyunlar çeşitli özelliklerine göre farklı gruplarda sınıflandırılır. Temelde oyunlar "şans oyunları" ve "strateji oyunları" olmak iki grup altında incelenir. Oyunlar oyuncu sayısına göre de iki grupta sınıflandırılır. Oyuna katılan iki oyuncu varsa "iki kişili", ikiden fazla oyuncu varsa genel olarak "n kişili" oyunlardan söz edilir. Oyunların bir başka sınıflandırılması oyunun sayısal sonucuna göre yapılır. Oyuncuların kazançlarının toplamı sıfır ise yani, oyunculardan biri tam diğer tarafın kaybettiği kadar kazanıyorsa oyun, "sıfır toplamlı" bir oyundur. Sıfır toplamlı oyunlarda oyuncuların çıkarları birbirine tamamiyle zıttır. Sayısal sonucu sıfırdan farklı oyunlara sabit toplamlı oyunlar denir. Sabit toplamlı bir oyunda da tarafların çıkarları tamamiyle birbirine zıttır. Çünkü taraflardan birinin kazancındaki bir birim artış diğer tarafın kazancında bir birim azalış demektir. Oyuncuların yaptığı ödemeler toplamının sıfırdan farklı olması durumunda sıfırdan farklı veya sabit toplamlı oyunlardan söz edilir. Oyuncuların kazançları toplamının sabit bir sayı olmaması durumunda oyun sabit toplamlı olmayan bir oyundur. Bu tür oyunlarda tarafların çıkarları tamamiyle zıt değildir. Taraflar birlikte hareket ederek çıkar sağlayabilirler. Oyunların bir başka sınıflandırılması oyuncuların strateji sayılarının dikkate alınmasıyla yapılabilir. Herhangi bir oyuncunun stratejilerinin sayısı belirsiz ise oyun "sonsuz oyun" olur. Her oyuncunun strateji sayısı sonlu ise oyun "sonlu oyun" dur. Oyunlar her oyuncunun rakibinin hareketleri hakkındaki bilgisinin derecesi ve cinsine göre de sınıflandırılabilir. Eğer bir oyunda her oyuncu her hamleyi yaparken daha önce yapılmış olan bütün kişisel veya talih hareketlerinin sonuçlarını biliyorsa "tam bilgili" oyun söz konusu olur. Sözgelimi satranç ve dama tam bilgili oyunlardır. Tam bilgili olmayan oyunlarda oyuncular böyle bir tam bilgiden yoksundurlar. Örneğin pokerde oyuncular rakiplerinin ellerindeki kağıtları bilmezler. Uygulamada genellikle tam bilgili olmayan oyunlarla karşılaşılır. Çünkü, çatışma durumunun esas bileşeni tarafların birbirlerinin hareketlerini bilmemesidir.
Oyun kuramının temel kavramlarından birisi de strateji kavramıdır. Karar kuramı bölümünde sıkça karşılaştığımız strateji kavramı, oyun söz konusu olduğunda aşağıdaki gibi tanımlanır.
Strateji: Oyunun devamı sırasında ortaya çıkabilecek bütün durumlar için oyuncuların seçişlerini belirten kuralları kapsayan kümeye strateji denir.
Oyuncuların amacı en iyi stratejileri, yani kendilerine en fazla kazanç sağlayacak eylem biçimlerini belirlemektir. Strateji kavramının anlamlı olması için oyunda kişisel hareketler bulunmalıdır. Bir kişisel hareket, verilen durumda mümkün olan hareketlerden birinin oyunculardan biri tarafından bilinçli olarak seçilmesidir. Bir kişisel hareket oyuncuların daha önce yapmış oldukları hareketlere bağlıdır. Barbut veya rulet gibi salt şans oyunlarında hiçbir strateji yoktur. Şans oyunları yalnızca şans hareketlerinden oluşur.
Daha önce açıklandığı gibi bir oyunda iki oyuncu varsa oyun iki kişili bir oyundur. İki kişili bir oyunda oyuncuların kazançları toplamı sıfırsa oyun iki-kişili sıfır-toplamlıdır. Bu bölümde iki-kişili sıfır-toplamlı sonlu oyunlar üzerinde durulacaktır. İki-kişili sıfır-toplamlı sonlu bir oyunda,
1. Biri satır oyuncusu, diğeri sütun oyuncusu olarak isimlendirilen iki oyuncu vardır. Satır oyuncusu yerine bizim taraf, sütun oyuncusu yerine de karşı taraf deyimlerine rastlanabilir.
2. Satır oyuncusu için m, sütun oyuncusu için n tane mümkün strateji vardır. Bu oyun kısaca mXn oyun olarak isimlendirilir.
3. Satır oyuncusunun stratejileri R1, R2, ..., Rm ile sütun oyuncusunun stratejileri C1, C2, ..., Cn ile gösterilsin. Oyuncuların strateji seçimlerinin türlü birleşimlerinden sonuçlanan kazanç veya kayıplarını bildiğimizi varsayalım. Satır başlıkları satır oyuncusunun Ri stratejileri, sütun başlıkları sütun oyuncusunun Cj stratejileri olmak üzere bu değerler bir tablo (matris) şeklinde yazılabilir. Bu tabloya ödül, ödeme, kazanç veya kısaca "oyun matrisi" denir. Bir mXn oyunun kazanç matrisi Tablo 9.1’de gösterildiği gibidir.
Tablo 9.1
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| C1 | C2 | ... | Cj | ... | Cn | |
| R1 | a11 | a12 | ... | a1j | ... | a1n |
| R2 | a21 | a22 | ... | a2j | ... | a2n |
| .. | .. | .. | ... | .. | ... | .. |
| Ri | ai1 | ai2 | ... | aij | ... | ain |
| .. | .. | .. | ... | .. | ... | .. |
| Rm | am1 | am2 | ... | amj | ... | amn |
Sıfır toplamlı bir oyunun matrisi geleneksel olarak yalnızca oyunculardan birisinin kazancı ile açıklanır. Buna göre oyunculardan birinin kazanç matrisi diğer oyuncunun kazanç matrisinden belirlenebilir. Bir oyuncunun kazanç matrisinin tüm elemanlarının ters işaretlilerinden oluşan matris diğer oyuncunun kazanç matrisidir.
Satır oyuncusunun Ri, sütun oyuncusunun Cj gibi belirli bir stratejiyi kabul ettiklerini varsayalım. Oyun matrisi satır oyuncusuna göre düzenlenmiş ise aij satır oyuncusunun kazancını (sütun oyuncusunun kaybını) gösterir.
Örnek 9.1: Satır oyuncusunun iki (R1, R2), sütun oyuncusunun dört (C1, C2, C3, C4) stratejisinin bulunduğu bir oyunun, satır oyuncusunun kazançlarına göre düzenlenen matrisi aşağıda gösterilmiştir. Oyuncuların stratejilerinin değişik birleşimlerinden herhangi iki tanesi için oyuncuların kazanç ve kayıplarını bulunuz.
Tablo 9.2
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | |||
|---|---|---|---|---|
| C1 | C2 | C3 | C4 | |
| R1 | 3 | -2 | 5 | 6 |
| R2 | 2 | 1 | -2 | 4 |
Çözüm 9.1: Satırdaki oyuncunun R2’yi sütundaki oyuncunun C3’ü seçmesi durumunda satır oyuncusunun kazancı a23 olur. a23 = -2 olduğundan satır oyuncusu için negatif kazanç yani kayıp, sütun oyuncusu için negatif kayıp yani, kazanç söz konusudur. Satır oyuncusunun R1, sütun oyuncusunun C4’ü seçmeleri durumunda satır oyuncusunun kazancı a14 kadar, yani 6 birim olacaktır. Bu sütun oyuncusunun 6 birim kaybetmesi demektir.
9.3.1. İki-Kişili Sıfır-Toplamlı Oyunların Temel Varsayımları
İki-kişili sıfır-toplamlı oyunların en önemli varsayımı, her oyuncunun rakibinin kendisinin hangi stratejiyi seçeceği hakkında tam bilgisi olmasına karşın, kendisi için en iyi olan stratejiyi seçme şansına sahip olduğudur.
İki-kişili sıfır-toplamlı oyunları oynama kuralı bu varsayıma dayanır. Söz konusu oyunlar ile ilgili kuram John von Neumann ve Oskar Morgenstern tarafından geliştirilmiştir. Bu varsayımı kullanarak oyuncuların stratejilerini nasıl belirlediklerini sayısal bir örnek üzerinde açıklayalım.
Örnek 9.2: Oyunculardan her birinin üçer stratejisinin bulunduğu bir 3X3 oyunun kazanç matrisi Tablo 9.3’de verildiği gibidir. Söz konusu kazanç matrisini dikkate alarak, oyuncuların oyunu hangi stratejilerle oynayacağını belirleyiniz*.*
Tablo 9.3
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü | ||
|---|---|---|---|---|
| C1 | C2 | C3 | ||
| R1 | 16 | 10 | 7 | 7 |
| R2 | 8 | 9 | 4 | 4 |
| R3 | 9 | 1 | 2 | 1 |
| Sütun En Büyüğü | 16 | 10 | 7 | - |
Çözüm 9.2: Tablo 9.3’den görüleceği gibi her bir oyuncunun üçer stratejisi bulunduğundan oyun bir 3X3 oyundur. İlk önce satır oyuncusunu ele alalım. Bu oyuncu R1 stratejisini seçerse, sütun oyuncusu C3 stratejisini seçerek kendi kaybını, dolayısıyla rakibinin kazancını mümkün olan en düşük düzeyde tutar. Bu değer yukarıdaki oyun matrisine eklenen "satır en küçüğü" başlıklı sütunda gösterildiği gibi 7’dir. Satır oyuncusunun ikinci stratejiyi seçmesi durumunda sütundaki oyuncu yine kendisi için en az (4) kayıp sağlayacak olan stratejiyi yani, üçüncü stratejiyi seçecektir. Satır oyuncusu üçüncü stratejiyi seçerse sütun oyuncusu ikinci stratejiyi seçerek yine kendi kaybını dolayısıyla rakibinin kazancını en düşük kazanç olan 1’de tutmayı başarır. Bu açıklamaların ortaya koyduğu gibi satır oyuncusu dikkatini satır en küçüklerinin en büyüğüne karşılık gelen strateji üzerinde yoğunlaştırmak durumundadır. Böylece, kendisinin her stratejisi için rakibinin seçimi ne olursa olsun rakibinin kendisine garanti ettiği en düşük kazancı en büyüklemiş olur. Kısaca, enb(7, 4,
- = 7 olduğundan satır oyuncusu için en iyi strateji R1’dir.
Satır oyuncusunun strateji seçimiyle ilgili bu açıklamalar, satır oyuncusu için en iyi hareketin satır en küçük değerlerinden en büyük olanının işaret ettiği stratejiyi seçmek olduğunu ortaya koymaktadır. Yukarıda açıklandığı gibi bu, sütundaki oyuncu ne yaparsa yapsın satırdaki oyuncunun kazanacağından emin olduğu miktardır. Bu miktara oyunun "alt değeri" veya "maksimini", ile gösterilen bu değere karşılık gelen stratejiye de "maksimin strateji" denir. Maksimin strateji satır oyuncusunun en iyi stratejisidir. Tek bir stratejiye bağlı kalındığında değeri satır oyuncusunun garantileyeceği en büyük kazançtır.
Problemi bir de sütun oyuncusu açısından ele alalım. Sütundaki oyuncu C1 stratejisini seçerse, satırdaki oyuncu buna kendisine en yüksek kazancı (sütun en büyüğü) garanti eden birinci strateji ile karşılık verir. Sütun oyuncusunun ikinci stratejiyi seçmesi durumunda satır oyuncusu yine birinci stratejiyi seçecek ve kazancının en yüksek olmasını sağlayacaktır. Sütun oyuncusunun üçüncü stratejiyi seçmesi durumunda satır oyuncusu için en iyi strateji yine kendisine en yüksek kazancı garanti eden birinci satırdaki strateji olur. Satır oyuncusunun kazancı sütun oyuncusunun kaybına eşit olduğundan, sütun oyuncusu kaybını en düşük düzeyde tutmak için sütun en büyüklerinin en küçüğünü sağlayan stratejiyi seçmek durumundadır. Sütun en büyükleri Tablo 9.3’ün en alt satırında "sütun en büyüğü" başlığı altında gösterilmiştir. Sütun oyuncusunun strateji seçimiyle ilgili olarak yapılan bu açıklamalardan sütun oyuncusunun sütun en büyük değerlerinden en küçük olanının işaret ettiği stratejiyi seçmesi gerektiği anlaşılır. Bu durumda, satırdaki oyuncu ne yaparsa yapsın sütundaki oyuncunun kaybı en az olur. Bu miktara oyunun "üst değeri" denir ve ile gösterilir. ’ya karşılık gelen stratejiye "minimaks strateji" denir. Minimaks strateji sütun oyuncusunun en iyi stratejisidir.
Stratejilerin kararlı olduğu bazı oyunlar vardır. Bunlar alt ve üst değerleri eşit olan oyunlardır. Bu tür oyunlara "tepe noktalı oyun"lar denir. Tepe noktası aynı zamanda bir denge noktası olup hiç bir oyuncu denge durumunu bozmaz. = ise bunların ortak değerine "oyunun değeri" denir. Oyunun değeri g ile gösterilecektir. Oyun matrisinin satır oyuncusuna göre düzenlendiğini kabul edelim. g pozitif ise oyunun sonunda satır oyuncusu ortalama g birim kazanacağından oyun satır oyuncusu için çekicidir. g negatif ise oyunun sonunda satır oyuncusu g birim kaybedeceğinden oyun sütun oyuncusu için çekicidir. Herhangi bir oyunun birden fazla tepe noktası olabileceği gibi hiçbir tepe noktası bulunmayabilir. Tepe noktasının en önemli özelliği oyuncuların en iyi stratejilerine sadık kalmaları gerektiğine işaret etmesidir. Bir başka deyişle, oyunculardan herhangi biri rakibi en iyi stratejisine sadık iken kendisi en iyi stratejisinden ayrılırsa en iyi koşullarda kazancı aynı kalır genellikle de azalır. Şu halde, satır oyuncusu en iyi stratejisini oynarken, sütun oyuncusu en iyi stratejisini oynamaktan vazgeçmekle satır oyuncusunun kazancını azaltamaz. Rakibinin kazancı en kötü ihtimalle aynı kalır, genellikle de artar. Benzer şekilde, sütun oyuncusu en iyi stratejisini kullanırken, satır oyuncusu kendisinin en iyi stratejisinden vazgeçerse sütun oyuncusunun kaybı, dolayısıyla satır oyuncusunun kazancı asla artmaz genellikle de azalır. Açıklamaların ortaya koyduğu gibi, tepe noktalı bir oyunda oyuncuların en iyi stratejilerinin bir kararlılığı vardır. En iyi stratejiler çifti bu anlamda bir "denge konumu" dur. Bu koşullarda ön bilginin oyunculardan hiçbirine hiçbir yarar sağlamadığını kaydedelim. Tepe noktalı bir oyunda her iki taraf da kendi en iyi stratejilerine bağlanırsa, ortalama kazanç oyunun değeri olan ve hem alt hem de üst değere eşit olan g olacaktır.
Yukarıdaki örnek problem esas alındığında, sözgelimi sütun oyuncusu en iyi stratejisi olan üçüncü stratejisini oynarken, satır oyuncusu kendisi için en iyi olan birinci stratejisinden vazgeçerse kazancı ikinci stratejiyi seçmesi durumunda en fazla 4, üçüncü stratejiyi seçmesi durumunda ise en fazla 2 olur. Benzer şekilde, satır oyuncusu en iyi stratejisini oynarken sütun oyuncusu kendisi için en iyi olan üçüncü stratejiden vazgeçerek birinci stratejiyi oynarsa kaybı 7 yerine 16, ikinci stratejiyi oynarsa 10 birim olur.
Arı (Sade) Strateji: Oyun kaç kez tekrar edilirse edilsin oyunun her bir tekrarında hep seçilen stratejiye sade strateji denir.
Sade stratejiler tepe noktasının belirlediği stratejilerdir.
Bir oyununun tepe noktasını belirleme sürecini sayısal bir örnek üzerinde gösterelim.
Örnek 9.3: Aşağıdaki kazanç matrisine sahip 4X4 oyunun tepe noktasını bulunuz.
Tablo 9.4
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü | |||
|---|---|---|---|---|---|
| C1 | C2 | C3 | C4 | ||
| R1 | -8 | 7 | 2 | 3 | -8 |
| R2 | 1 | -6 | -2 | 5 | -6 |
| R3 | 7 | 5 | 3 | 4 | 3 |
| R4 | 4 | -4 | -8 | 6 | -8 |
| Sütun En Büyüğü | 7 | 7 | 3 | 6 | 3 = 3 |
Çözüm 9.3: Oyunda tepe noktası bulunup bulunmadığını belirleyebilmek için önce her satırın en küçük değeriyle satır en küçüğü başlıklı sütunu, daha sonra her sütunun en büyük değeriyle sütun en büyüğü başlıklı satırı oluşturalım. Oluşturulan sütunu oyun matrisinin sütunlarına, satırı ise satırlarına ekleyelim. Şimdi de sırasıyla oyunun alt değeri () ile üst değerini () bulalım. Oyunun alt ve üst değerleri aşağıda gösterilmiştir.
Oyunun alt değeri = = enb(-8, -6, 3, -8) = 3
Oyunun üst değeri = = enk(7, 6, 3, 6) = 3
3 = 3 olduğundan, oyunun tepe noktası vardır. Bu noktada kesişen iki stratejiden R3 satır oyuncusunun, C3 sütun oyuncusunun en iyi stratejileridir. Oyunun ortalama değeri g = 3 olduğundan oyun satır oyuncusu için çekicidir.
Uygulamada tepe noktalı bir oyunla karşılaşma olasılığı, tepe noktası bulunmayan bir oyunla karşılaşma olasılığından daha küçüktür. Eşit olmayan alt ve üst sınırlarla, yani tepe noktasız oyunlarla karşılaşmak daha geneldir.
Örnek 9.4: Kazanç matrisi aşağıdaki gibi olan oyunun tepe noktasını bulunuz.
Tablo 9.5
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü | |||
|---|---|---|---|---|---|
| C1 | C2 | C3 | C4 | ||
| R1 | 8 | -7 | 12 | 13 | -7 |
| R2 | 1 | 6 | -2 | 5 | -2 |
| R3 | 10 | 5 | -4 | 4 | -4 |
| Sütun En Büyüğü | 10 | 6 | 12 | 13 | 6 -2 |
Çözüm 9.4: Örnek 9.3’deki gibi önce her satırın en küçük değeriyle satır en küçüğü başlıklı sütunu, daha sonra her sütunun en büyük değeriyle sütun en büyüğü başlıklı satırı oluşturalım. Oluşturulan sütunu ödemeler matrisinin sütunlarına, satırı ise ödemeler matrisinin satırlarına ekleyelim. Şimdi de sırasıyla oyunun alt ve üst değerlerini bulalım. Söz konusu değerler aşağıda gösterilmiştir.
Oyunun alt değeri = = enb(-7, -2, -4) = -2
Oyunun üst değeri = = enk(10, 6, 12, 13) = 6
-2 6 olduğundan bu oyunun tepe noktası yoktur. Oyunun tepe noktası bulunmadığından maksimin ve minimaks stratejilerden dolayısıyla sade stratejilerden söz edilemez. Tepe noktası bulunmayan oyunlarda strateji belirleme yöntemi ileride açıklanacaktır.
Örnek 9.5: Satır oyuncusu sütun oyuncusuna göstermeden elindeki kağıda 1 ile 20 arasında bir sayı yazar ve sütun oyuncusuna sayıyla ilgili doğru veya yalan söyler. Sütun oyuncusu ya buna inanır veya rakibinin doğru söylemediğini düşünerek sayıyı kendisine göstermesini ister. Satır oyuncusunu suçsuz yere suçlaması durumunda sütun oyuncusu satır oyuncusuna 15 TL öder. Sütun oyuncusunun satır oyuncusunun kendisine yalan söylediğini doğru tesbit etmesi durumundaki kazancı 20 TL’dir. Sütun oyuncusu satır oyuncusunun doğru söylediğini kabul ederse satır oyuncusu sütun oyuncusuna 5 TL öder. Satır oyuncusu yalan söylediği halde sütun oyuncusu buna inanırsa satır oyuncusu 5 TL kazanır. Oyun matrisini düzenleyiniz ve oyuncuların sade stratejilerini bulunuz.
Çözüm 9.5: Görüldüğü gibi satır oyuncusunun doğru veya yalan söylemek gibi iki stratejisi vardır. Sütun oyuncusunun da satır oyuncusuna inanmak veya inanmamak gibi iki stratejisi vardır. Dolayısıyla oyun 2X2 boyutundadır. Bu belirlemenin ardından düzenlenen ödemeler matrisi Tablo 9.6’da gösterilmiştir. Sütun en büyükleriyle oluşturulan satır ve satır en küçükleriyle oluşturulan sütun da tabloda gösterilmiştir.
| Satır Oyuncusu Strateji | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü | |
|---|---|---|---|
| İnanmak | İnanmamak | ||
| Doğru Söylemek | -5 | 15 | -5 |
| Yalan Söylemek | 5 | -20 | -20 |
| Sütun En Büyüğü | 5 | 15 | -5 5 |
= enb(-5, -20) = -5 = enk(5, 15) = 5 olduğundan oyunun tepe noktası yoktur. Dolayısıyla oyuncuların sade stratejilerinden söz edilemez.
Örnek 9.6: İki oyuncu aynı anda taş, kağıt veya makas demektedirler. Söylenen kelimeler aynı olduğunda beraberlik söz konusu olmaktadır. Aksi halde, diğerinden daha güçlü olan nesnenin adını söyleyen oyuncu rakibinden 1 TL almaktadır. Makas kağıdı kestiğinden makas kağıttan, kağıt taşı sardığından kağıt taştan, taş makası kırdığından taş makastan güçlüdür. Oyunun kazanç matrisini düzenleyerek oyuncuların sade stratejilerini belirleyiniz.
Çözüm 9.6: Her iki oyuncunun taş, kağıt veya makas demek olmak üzere üçer stratejisi vardır. Yani oyun 3X3 boyutundadır. Buna göre ödemeler matrisi aşağıdaki gibi düzenlenecektir.
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü | ||
|---|---|---|---|---|
| Taş | Kağıt | Makas | ||
| Taş | 0 | -1 | 1 | -1 |
| Kağıt | 1 | 0 | -1 | -1 |
| Makas | -1 | 1 | 0 | -1 |
| Sütun En Büyüğü | 1 | 1 | 1 | -1  1 |
= enb(-1, -1, -1) = -1 = enk(1, 1, 1) = 1 olduğundan oyunun tepe noktası yoktur. Dolayısıyla oyuncuların sade stratejilerinden söz edilemez.
9.3.2. Tepe Noktasız Oyunlar ve Karma Stratejiler
Bir m X n oyunun tepe noktası yoksa, özellikle m ve n’nin büyük değerleri için çözüm zor olabilir. Genel olarak bir oyunun tepe noktası yoksa oyunu çözmeden önce mümkünse m ve n değerlerinin küçültülmesi, yani bazı stratejilerin devre dışı bırakılmaları uygun olur. Bu işlem ancak bazı özel stratejilerin belirlenmesiyle gerçekleştirilir. Boyut küçültmede kullanılabilecek iki çeşit strateji vardır: 1. Eş strateji, 2. Üstünlük stratejisi. İlk olarak eş strateji kavramını ele alalım. Biri diğerine tercih edilemeyen stratejilere "eş strateji" ler denir. Genel olarak bir oyun matrisinin bir satır/sütunun tüm elemanları başka bir satır/sütunun karşılıklı elemanlarına eşit ise bu stratejilere eş stratejiler denir. Eş stratejilerden rasgele seçilen biri dışındakiler matristen çıkartılarak oyunun çözümü kolaylaştırılır. Boyut indirgenmesi sonucu ulaşılan çözüm orijinal problemin de çözümüdür.
Boyut indirgenmesine sayısal bir örnek olması bakımından aşağıdaki 4X4 oyunu göz önüne alalım.
Örnek 9.7: Kazanç matrisi aşağıda verilen oyunun eş stratejilerini belirleyiniz.
Tablo 9.8
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | |||
|---|---|---|---|---|
| C1 | C2 | C3 | C4 | |
| R1 | 1 | 2 | 3 | 1 |
| R2 | 3 | 6 | 1 | 3 |
| R3 | 0 | 5 | 4 | 0 |
| R4 | 1 | 2 | 3 | 1 |
Çözüm 9.7: C1 ve C4 stratejileri için kazançların, bire bir olmak üzere eşit oldukları görülebilir. Bunlardan biri diğerine tercih edilemez. Bu yüzden biri, C4 veya C1, göz ardı edilebilir. Bu yolla oyunun boyutu 4X4’den 4X3’e indirgenmiş olur. Benzer şekilde, R1 ve R4 stratejileri de eş stratejiler olduklarından biri dışta bırakılarak oyun 3X3 boyutuna indirgenmiş olur.
Oyunda yeğlenen ve stratejilerden bazılarını devre dışı bırakan stratejilere "üstün stratejiler", bu yolla devre dışı kalan stratejilere ise "mahkum stratejiler" denir. Genel olarak bir oyunun tepe noktası yoksa, oyunu çözmeden önce yapılacak ilk iş varsa bütün eş ve mahkum stratejileri devre dışı bırakmaktır.
Örnek 9.8: Aşağıdaki kazanç matrisine sahip oyunun üstün stratejilerini bulunuz*.*
Tablo 9.9
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü | |||
|---|---|---|---|---|---|
| C1 | C2 | C3 | C4 | ||
| R1 | 1 | 0 | 3 | 1 | 0 |
| R2 | 7 | -1 | 6 | 3 | -1 |
| R3 | -3 | 0 | 5 | 1 | -3 |
| R4 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 |
| Sütun En Büyüğü | 7 | 3 | 6 | 5 | 2 3 |
Çözüm 9.8: Yukarıdaki tablonun son gözesinde gösterildiği gibi oyunun alt ve üst değerleri eşit olmadıklarından oyunun tepe noktası yoktur. Bu açıklamanın ardından oyunun boyutunun indirgenip indirgenemeyeceğini inceleyelim. R1 satırının her elemanı R4 satırının bire bir karşılık gelen her elemanından küçüktür. Başka bir deyişle, R1 her zaman R4’den daha az kârlıdır. Bu nedenle satır oyuncusu R1 stratejisini asla kullanmayacaktır. Bu durumda, R4 stratejisi R1 stratejisine üstündür veya R1 stratejisi R4 stratejisine mahkumdur. Mahkum strateji R1 göz ardı edildiğinde oyun 3X4 boyutuna indirgenmiş ve oyun matrisi aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.
Tablo 9.10
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü | |||
|---|---|---|---|---|---|
| C1 | C2 | C3 | C4 | ||
| R2 | 7 | -1 | 6 | 3 | -1 |
| R3 | -3 | 0 | 5 | 1 | -3 |
| R4 | 2 | 3 | 4 | 5 | 2 |
| Sütun En Büyüğü | 7 | 3 | 6 | 5 | 2 3 |
Diğer taraftan, indirgenmiş matrisin üçüncü sütunun elemanlarının C2 sütununun karşılıklı elemanlarından büyük olduğu görülebilir. C3, C2’den daha az kazanç sağladığından sütun oyuncusu C3 stratejisini asla kullanmayacaktır. Bu nedenle C2 stratejisine mahkum olan C3 devre dışı bırakılmalıdır. Bu yolla bir önceki aşamada 3X4 boyutuna indirgenen oyun bu elemeyle 3X3 boyutuna indirgenmiş olur.
Tablo 9.11
| Satır Oyuncusu | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En | ||
|---|---|---|---|---|
| Stratejisi | C1 | C2 | C4 | Küçüğü |
| R2 | 7 | -1 | 3 | -1 |
| R3 | -3 | 0 | 1 | -3 |
| R4 | 2 | 3 | 5 | 2 |
| Sütun En Büyüğü | 7 | 3 | 5 | 2 3 |
3X3 boyutuna indirgenen oyunun daha da indirgenip indirgenemeyeceği üzerinde duralım. Tablo 9.11 incelendiğinde C4 sütun elemanlarının C2 sütununun karşılıklı elemanlarından büyük olduğu görülebilir. Bu nedenle C4 devre dışı bırakılmalıdır. Bu elemeyle oyun en basit durumu olan ve Tablo 9.12’de gösterilen 3X2 boyutuna indirgenmiş olur.
Tablo 9.12
| Satır Oyuncusu | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En | |
|---|---|---|---|
| Stratejisi | C1 | C2 | Küçüğü |
| R2 | 7 | -1 | -1 |
| R3 | -3 | 0 | -3 |
| R4 | 2 | 3 | 2 |
| Sütun En Büyüğü | 7 | 3 | 2 3 |
Bilindiği gibi 4X4 boyutundaki orijinal oyun matrisinden alt değer 2, üst değer 3 olarak belirlenmiş ve tepe noktasının olmadığı kararlaştırılmıştır. İndirgenmiş matrisin yer aldığı tablonun son gözesinde gösterildiği gibi oyunun alt değeri tekrar 2, üst değerleri yine 3 olarak belirlenmiştir. Özetle indirgeme oyunun alt ve üst değerlerinde herhangi bir değişikliğe yol açmamıştır. Bu bir kuraldır.
Daha önce açıklandığı gibi oyunlar arasında tepe noktasız oyunlarla karşılaşmak daha olağandır. Tepe noktasız bir oyunda, oyuncuların maksimin ve minimaks stratejileri bulunamayacağına göre oyuncular stratejilerini nasıl seçeceklerdir?
Örnek 9.9: Kazanç matrisi aşağıda gösterilen oyunun tepe noktasını belirleyerek oyuncuların en iyi stratejilerini bulunuz.
Tablo 9.13
| Satır Oyuncusu | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Stratejisi | C1 | C2 | C3 | C4 | Küçüğü |
| R1 | 10 | 10 | 8 | 17 | 8 |
| R2 | 17 | -13 | 26 | 23 | -13 |
| R3 | -30 | 30 | 25 | 13 | -30 |
| R4 | 24 | 32 | 14 | 25 | 14 |
| Sütun En Büyüğü | 24 | 32 | 26 | 25 | 14 24 |
Çözüm 9.9: Tablo 9.13’ün son gözesinde gösterildiği gibi oyunun alt değeri (14) ile üst değeri (24) eşit olmadıklarından oyunun tepe noktası yoktur. Bu durumda maksimin ve minimaks stratejilerden dolayısıyla, sade stratejilerden söz edilemez.
Örnek 9.10: Kazanç matrisi aşağıda gösterilen oyunun sade stratejilerini belirleyiniz.
Tablo 9.14
| Satır Oyuncusu | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En | |
|---|---|---|---|
| Stratejisi | C1 | C2 | Küçüğü |
| R1 | 3 | 5 | 3 |
| R2 | 6 | 4 | 4 |
| Sütun En Büyüğü | 6 | 5 | 4 5 |
Çözüm 9.10: Tablo 9.14’ün son gözesinde gösterildiği gibi oyunun tepe noktası yoktur. Bu durumda sade stratejilerden söz edilemez. Bu nedenle, karma strateji kavramının açıklanması gerekir.
Karma Strateji: Belirli bir oranda kullanılmış sade stratejilerin rasgele sıralanışından ibaret birleşik stratejilere karma strateji denir.
Buna göre bir sade strateji, stratejilerden birinin kullanılma olasılığı 1, ötekilerin kullanılma olasılığı sıfır olan bir karma stratejinin özel bir durumu olarak düşünülebilir.
Örnek 9.10’daki oyunu oynayan oyuncuların karma stratejilerini belirleyelim. Soruna önce satır oyuncusu açısından bakalım. Satır oyuncusunun birinci stratejiyi seçmesi olasılığına p dersek, ikinci stratejiyi seçmesi olasılığı (1 - p) olur. Satır oyuncusunun amacı kazancını en büyük yapacak p değerini belirlemektir. p’nin hesaplanmasında izlenen yaklaşım aşağıda açıklanmıştır.
Sütun oyuncusu daima birinci stratejiyi (C1) oynarsa, satır oyuncusunun kazancının beklenen değeri (E1) aşağıdaki gibi olur.
E1 = 3p + 6(1 - p)
= 3p + 6 - 6p
= 6 - 3p
Sütun oyuncusu daima ikinci stratejiyi (C2) oynarsa, satır oyuncusunun kazancının beklenen değeri (E2) aşağıdaki gibi elde edilir.
E2 = 5p + 4(1 - p)
= 5p + 4 - 4p
= p + 4
Oyunun her bir tekrarında sütun oyuncusu E1 ve E2’yi daha düşük düzeyde tutacak stratejiyi seçer. Bu durumda satır oyuncusunun amacı bu en küçük değerleri mümkün olduğunca büyütmektir. Çözüm, E1 ve E2’nin birlikte çözülmesiyle bulunur. E1 ve E2’nin eşitlenmesi ve çözülmesiyle p aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.
E1 = E2
p + 4 = 6 - 3p
p = 1/2 ve 1 - p = 1/2
Buna göre, oyunun n kez tekrarlanması durumunda oyunun değeri (E1 veya E2’den) 4.5 ((E1 = 1/2 + 4 veya E2 = 6 - 3(1/2)) olarak bulunur. Satır oyuncusu ortalama 4.5 birim kazanmayı umar.
Bulgularımızı şekil üzerinde gösterelim. Bunun için yatay eksen p’yi, dikey eksen beklenen kazancı göstermek üzere bir koordinat sistemi oluşturalım. p’nin sıfır ile 1 arasında değiştiği göz önünde bulundurulduğunda ilgilenilen alan p = 0 ve p = 1 dikmeleri (I, II) ile belirlenecektir.
Şekil 9.1
Şekil 9.1’den görüldüğü gibi satır oyuncusu için en iyi durum, E1 ve E2 doğrularının belirlediği alt zarfın K ile gösterilen en üst noktasıdır. Satır oyuncusu E1 = E2 olmasını sağlayan olasılıklardan uzaklaşırsa sütun oyuncusu oyunun değerinin 4.5’den daha düşük olmasını sağlayacak sade bir stratejiye sahip olur.
Oyuna bir de sütun oyuncusu açısından bakalım. Sütun oyuncusunun birinci stratejiyi seçmesi olasılığına q dersek, ikinci stratejiyi seçmesi olasılığı (1 - q) olur. Sütun oyuncusunun amacı kaybını en küçük yapacak q değerini belirlemektir. q’nun belirlenmesinde izlenen yaklaşım aşağıda açıklanmıştır.
Satır oyuncusu daima birinci stratejiyi (R1) oynarsa, sütun oyuncusunun kaybının beklenen değeri (F1) aşağıdaki gibi olur.
F1 = 3q + 5(1 - q)
= 3q + 5 - 5q
= -2q + 5
Satır oyuncusu daima ikinci stratejiyi (R2) oynarsa, sütun oyuncusunun kaybının beklenen değeri aşağıdaki gibi olur.
F2 = 6q + 4(1 - q)
= 6q - 4q + 4
= 2q + 4
Oyunun her bir tekrarında satır oyuncusu F1 ve F2’yi daha yüksek düzeyde tutacak stratejiyi seçer. Bu nedenle sütun oyuncusunun amacı, bu en büyük değerleri mümkün olduğunca küçültmektir. Çözüm, F1 ve F2’nin birlikte çözülmesiyle bulunur. Çözüm aşağıda gösterilmiştir.
F1 = F2
5 - 2q = 2q + 4
q = 1/4, 1 - q = 3/4
Buradan da g, F1 veya F2’den 4.5 (satır oyuncusu için gerçekleştirilen çözümde olduğu gibi) olarak bulunur. Bulgularımızı şekil üzerinde gösterelim. Bunun için yatay eksen q’yu, dikey eksen beklenen kazancı göstermek üzere bir koordinat sistemi oluşturalım. q’nun 0 ile 1 arasında değiştiği dikkate alındığında ilgilenilen alan q = 0 ve q = 1 dikmeleri (I, II) ile belirlenecektir.
Şekil 9.2
Şekil 9.2’den görüldüğü gibi sütun oyuncusu için en iyi durum F1 ve F2 doğrularının belirlediği üst zarfın en alt noktasıdır. Sütun oyuncusu F1 = F2 olmasını sağlayan olasılıklardan uzaklaşırsa satır oyuncusu oyunun değerinin daha büyük olmasını sağlayacak sade bir stratejiye sahip olur. Özetle, sütun oyuncusu grafikte M ile işaretlenen noktadan uzaklaşmamalıdır. Sözgelimi, sütun oyuncusu C1’i 1/4, C2’yi 3/4 yerine eşit olasılıkla oynarsa satır oyuncusu oyunun her bir tekrarında ikinci stratejiyi oynayarak rakibinin kendisine olan ödemesinin 4.5 yerine, F2 = 6(1/2) + 4(1/2) = 10/2 = 5 olmasını sağlar. Özetle, sütun oyuncusunun amacı F1 ve F2’nin en büyüğünün en küçüklenmesi iken, satır oyuncusunun amacı E1 ve E2’nin en küçüğünün en büyüklenmesidir. Her iki oyuncu bunu yaparsa oyunda denge kurulmuş olur.
Örnek 9.11: Kazanç matrisi Tablo 9.15’de verilen 2X2 oyunu çözerek oyuncuların en iyi stratejilerini ve oyunun değerini bulunuz.
Tablo 9.15
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü | |
|---|---|---|---|
| C1 | C2 | ||
| R1 | 1 | -1 | -1 |
| R2 | -1 | 1 | -1 |
| Sütun En Büyüğü | 1 | 1 | -1 1 |
Çözüm 9.11: Tablonun son gözesinde gösterildiği gibi oyunun tepe noktası olmadığından, karma stratejilerin belirlenmesi gerekir. Bu amaçla ilk olarak satır oyuncusunu ele alalım ve satır oyuncusunun kazancının beklenen değerini hesaplayalım. Örnek 9.10’da olduğu gibi satır oyuncusunun birinci stratejiyi kullanması olasılığına p, diğerini seçmesi olasılığına (1 - p) diyelim. Buna göre, sütun oyuncusu daima birinci stratejiyi kullanırsa satır oyuncusu aşağıdaki kadar (E1) kazanmayı bekler.
E1 = 1(p) + (-1)(1 - p)
= 2p -1
Sütun oyuncusu hep ikinci stratejiyi oynarsa, satır oyuncusunun kazancı ortalama,
E2 = -(p) + 1(1 - p)
= -2p + 1
kadar olur. p’nin en iyi değeri E1 = E2’nini çözümünden aşağıdaki gibi hesaplanır.
2p - 1 = -2p + 1 4p = 2 p = 1/2, (1 - p) = 1/2
p = 1/2 değeri E1 veya E2’ye yerleştirildiğinde g = 0 elde edilecektir.
Benzer şekilde sütun oyuncusunun birinci stratejiyi oynaması olasılığına q, diğerini oynaması olasılığına (1 - q) dersek, satır oyuncusunun birinci stratejiyi oynaması durumunda sütun oyuncusunun beklenen kaybı aşağıda gösterildiği gibi 2q - 1 kadar olur.
F1 = q + (-1)(1 - q)
= q - 1 + q
= 2q - 1
Satır oyuncusunun ikinci stratejiyi oynaması durumunda sütun oyuncusunun beklenen kaybı,
F2 = -q + (1)(1 - q)
= -q + 1 - q
= -2q + 1
olarak elde edilecektir. q’nun en iyi değeri için F1 = F2 bağıntısının, yani
2q - 1 = -2q + 1
eşitliğinin çözülmesiyle,
q = 1/2, (1 - q) = 1/2
elde edilir. Bu değerler F1 veya F2’ye yerleştirildiklerinde g = 0 olarak hesaplanacaktır. Şu halde her oyuncu için en iyi strateji sade stratejilerden her ikisini rasgele kullanmaktır. Fakat stratejiler eşit sayıda kullanılmalıdır. Oyunun değeri sıfırdır. Bilindiği gibi böyle bir oyuna "insaflı oyun" denir.
9.3.3. mX2 ve 2Xn Oyunların Çözümü
Önceki kesimde herhangi bir 2X2 oyunun basit bir grafik kullanarak nasıl kolayca çözülebileceğini açıkladık. Aynı yöntem oyunculardan birinin iki, diğerinin ikiden fazla stratejisinin bulunduğu oyun problemlerinin çözümünde de kullanılabilir. Grafik yaklaşımı ile herhangi bir 2Xn veya mX2 oyunun 2X2 oyuna indirgenmesi amaçlanmaktadır. Boyutun 2X2’ye indirgenmesinden sonra problem 2X2 durumunda olduğu gibi çözülebilmektedir. Önce satır oyuncusunun R1 ve R2 olmak üzere iki, sütun oyuncusunun ise C1, C2, ..., Cn olmak üzere n stratejisinin bulunduğu yani, 2Xn boyutundaki bir oyunu çözelim. 2Xn durumunda sütun oyuncusunun n stratejisi n tane doğru tanımlar. 2X2 durumunda olduğu gibi oyunun çözümü bu doğruların belirlediği alt zarfın en üst noktasında ortaya çıkar. Oyunun çözümü bu noktanın ordinat ve absisini kullanarak doğrudan bulunabilir. Çözümün belirlenmesinde kullanılabilecek bir başka yaklaşım şudur: Oyunun çözümünün ortaya çıktığı noktada kesişen Ci ve Ck gibi bir strateji çifti daima vardır. Eğer bu noktada ikiden fazla strateji kesişiyorsa, bunlardan herhangi ikisi rasgele seçilir. Seçilen bu stratejiler sütun oyuncusunun karma stratejisini oluşturur. Satır oyuncusunun iki stratejisi bulunduğundan ve sütun oyuncusunun strateji sayısı ikiye indirgendiğinden oyunun boyutu artık 2Xn değil 2X2 dir. 2X2 oyunun çözümü aynı zamanda orijinal 2Xn oyunun da çözümüdür.
2Xn oyunların çözümüne örnek olması bakımından aşağıdaki 2X4 oyunu çözelim.
Örnek 9.12: Kazanç matrisi aşağıda verilmiş olan 2X3 oyunu çözünüz.
Tablo 9.16
| Satır Oyuncusu | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Stratejisi | C1 | C2 | C3 | C4 | Küçüğü |
| R1 | -6 | 4 | 3 | 5 | -6 |
| R2 | 6 | 5 | 6 | -5 | -5 |
| Sütun En Büyüğü | 6 | 5 | 6 | 5 | -5 5 |
Çözüm 9.12: (= -5) (= 5) olduğundan oyunun tepe noktası yoktur. Bu yüzden çözüm bir karma strateji çifti olacaktır. Şimdi karma strateji çiftini belirleyelim. Oyunun çözümünü strateji sayısı 2 olan satır oyuncusuyla başlatalım. Önceden olduğu gibi R1’in seçilmesi olasılığını p, R2’nin seçilmesi olasılığını (1 - p) ile gösterdiğimizde, sütun oyuncusunun C1 stratejisine karşılık satır oyuncusunun beklenen kazancı aşağıdaki gibi olur.
C1 için, E1 = -6p + 6(1 - p)
= -6p + 6 - 6p
= -12p + 6
Diğer taraftan sütun oyuncusunun C2’yi seçmesi durumunda satır oyuncusunun beklenen kazancı aşağıdaki gibi belirlenecektir.
C2 için, E2 = 4p + 5(1 - p)
= 4p + 5 - 5p
= -p + 5
Benzer şekilde, sütun oyuncusunun C3, C4 strateji seçimlerine karşılık satır oyuncusunun beklenen kazançları aşağıdaki gibi elde edilecektir.
C3 için, E3 = 3p + 6(1 - p) C4 için, E4 = 5p - 5(1 - p)
= 3p + 6 - 6p = 5p -5 + 5p
= -3p + 6 = 10p - 5
Sütun oyuncusunun strateji seçimine bağlı olarak belirlenen kazançların her biri bir doğru tanımlar. Oyunun çözümü için önce bu doğruların çizilmesi gerekir. Doğruların çizilmesinin ardından istenen çözüm kolayca belirlenir. Oyunun grafiği Şekil 9.3’de gösterilmiştir.
Şekil 9.3
C1, C2, C3 ve C4 ile gösterilen doğrular sütun oyuncusunun stratejilerine karşılık gelmektedir. p’nin her bir değeri için doğruların o noktadaki yüksekliği sütun oyuncusunun ödemesini gösterir.
Herhangi bir Cj stratejisi için en küçük kazancın en büyük olacağı bir karma strateji bulmak istediğimize göre, C1, C2, C3, C4 stratejileri için bir alt sınır çizeriz. Şekil 9.3’de bu alt sınır kalın çizilmiş AKB kırık çizgisidir.
Bu durumda sütun oyuncusunun en iyi stratejisi, alt sınırın en üst noktası olan K’da kesişen C1 ve C4 sade stratejilerinin bir karması olur. K’nın yatay eksene olan uzaklığının değeri (burada sıfır) oyunun değerine eşittir.
C2, C3 stratejileri devre dışı kaldığından oyun, 2X2 boyutuna indirgenmiş olur. Şimdi bu 2X2 oyunu çözerek önce satır oyuncusunun karma stratejisini belirleyelim. Mahkum stratejilerin devre dışı bırakılmasıyla elde edilen indirgenmiş oyunun kazanç matrisi aşağıda gösterilmiştir.
Tablo 9.17
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü | |
|---|---|---|---|
| C1 | C4 | ||
| R1 | -6 | 5 | -6 |
| R2 | 6 | -5 | -5 |
| Sütun En Büyüğü | 6 | 5 | -5 5 |
Oyunu satır oyuncusu için çözelim: Satır oyuncusunun R1’i seçme olasılığı p, R2’yi seçme olasılığı (1 - p) olduğuna göre, sütun oyuncusunun C1 ve C4 stratejilerine karşılık satır oyuncusunun beklenen kazancı sırasıyla şöyle olacaktır.
C1 için, E1 = -6p + 6(1 - p)
= -6p + 6 - 6p
= -12p + 6
C4 için, E4 = 5p - 5(1 - p)
= 5p - 5 + 5p
= 10p - 5
E1 = E4 bağıntısından, p = 1/2, (1 - p) = 1/2 bulunur. p = 1/2’nin E1 veya E4’e yerleştirilmesiyle g = 0 olduğu yani, oyunun insaflı olduğu belirlenir.
Oyuncuların karma stratejileri genellikle bir satır vektörle gösterilir. Satır oyuncusunun karma strateji vektörü p = (p1, p2, ..., pm), sütun oyuncusununki q = (q1, q2, ..., qn) şeklindedir. Buna göre, Örnek 9.10’daki satır oyuncusunun karma strateji vektörü, p = (1/2, 1/2) olur.
Şimdi de sütun oyuncusunun C1 ve C4 stratejilerini seçme olasılıklarını bulalım. C1’in seçilme olasılığına q dersek, C4’ün seçilme olasılığı (1 - q) olur. Buna göre satır oyuncusunun strateji seçimine bağlı olarak sütun oyuncusunun beklenen kazancı şöyle olur:
R1 için, F1 = -6q + 5(1 - q) R2 için, F2 = 6q - 5(1 - q)
= -6q + 5 - 5q = 6q - 5 + 5q
= -11q + 5 = 11q - 5
F1 = F2 bağıntısından, -11q + 5 = 11q – 5 elde edilecektir. Eşitliğin çözülmesiyle q = 5/11, (1 - q) = 6/11 olarak elde edilir. q = 5/11 değerinin F1 veya F2’ye yerleştirilmesiyle, g = 0 bulunur. Buna göre, sütun oyuncusunun karma strateji vektörü q = (5/11, 0, 0, 6/11) olur.
Satır oyuncusunun m, sütun oyuncusunun iki stratejisinin bulunduğu bir mX2 oyun için problem tamamen 2Xn oyuna benzer şekilde çözülebilir. Yalnızca bu kez, kazançların alt sınırı yerine üst sınırının çizilmesi gerektiği unutulmamalıdır.
Ayrıca oyunun değerini veren nokta üst sınır üzerinde en aşağıdaki noktadır. mX2 oyunların çözümüne örnek olarak matrisi aşağıda gösterilen 4X2 oyunu göz önüne alalım.
Örnek 9.13: Bir 4X3 oyunun kazanç matrisi aşağıda verilmiştir. Oyunu grafik yöntemiyle çözerek oyuncuların strateji seçimlerini ve oyunun değerini bulunuz.
Tablo 9.18
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü | |
|---|---|---|---|
| C1 | C2 | ||
| R1 | 3 | 4 | 3 |
| R2 | 2 | 4 | 2 |
| R3 | 6 | 2 | 2 |
| R4 | 4 | -2 | -2 |
| Sütun En Büyüğü | 6 | 4 | 3 4 |
Çözüm 9.13: Oyunun alt değeri 3, üst değeri 4 olduğundan, tepe noktası yoktur. Bu yüzden çözüm bir karma strateji çifti olacaktır. Strateji sayısı iki olan oyuncu sütun oyuncusu olduğundan çözüm bu oyuncunun stratejileri ile başlatılır. Sütun oyuncusunun C1’i seçme olasılığına q dersek, C2’yi seçme olasılığı (1 - q) olur. Buna göre satır oyuncusunun R1, R2, R3 ve R4 strateji seçimlerine bağlı olarak sütun oyuncusunun beklenen kazancı şöyledir:
R1 için, F1 = 3q + 4(1 - q) R2 için, F2 = 2q + 4(1 - q)
= 3q + 4 - 4q = 2q + 4 - 4q
= -q + 4 = -2q + 4
R3 için, F3 = 6q + 2(1 - q) R4 için, F4 = 4q - 2(1 - q)
= 6q + 2 - 2q = 4q - 2 + 2q
= 4q + 2 = 6q - 2
Yukarıdaki gibi belirlenen beklenen kazançların temsil ettikleri doğrular Şekil 9.4’deki gibi çizilmiştir. Şekil 9.4’de gösterildiği gibi oyunun çözümü kazançların üst sınırı (kalın çizgiyle çizilmiş) ile belirlenen üst zarfın alt noktasında ortaya çıkar.
Şekil 9.4
K ile gösterilen noktanın yatay eksene olan uzaklığının oyunun değerine eşit olduğu bilinmektedir. K, R3 ve R1 stratejilerine karşı gelen doğrularla belirlendiğinden, satır oyuncusu oyunu R2 ve R4 stratejilerini devre dışı bırakarak oynayacaktır. Bu stratejilerin devre dışı bırakılmasıyla, 4X2oyun 2X2 oyuna dönüştürülmüştür. 2X2 oyunun kazanç matrisi Tablo 9.19’da gösterilmiştir.
Tablo 9.19
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü | |
|---|---|---|---|
| C1 | C2 | ||
| R1 | 3 | 4 | 3 |
| R3 | 6 | 2 | 2 |
| Sütun En Büyüğü | 6 | 4 | 3 4 |
Şimdi bu basit oyunu çözelim. Satır oyuncusunun stratejisine bağlı olarak sütun oyuncusunun beklenen kazancı aşağıdaki gibi elde edilir.
R1 için, F1 = 3q + 4(1 - q) R3 için, F3 = 6q + 2(1 - q)
= -q + 4 = 4q + 2
F1 = F3 bağıntısından q = 2/5, 1 - q = 3/5 olarak hesaplanır. q = 2/5 olduğu göz önünde bulundurulduğunda, g = 18/5 olur.
Benzer şekilde, sütun oyuncusunun strateji seçimine bağlı olarak satır oyuncusunun kazancı aşağıdaki gibi olur.
C1 için, E1 = 3p + 6(1 - p) C2 için, E2 = 4p + 2(1 - p)
= -3p + 6 = 2p + 2
Bu iki kazancın eşit oldukları dikkate alındığında satır oyuncusunun strateji seçimine ilişkin olasılıklar, p = 4/5, (1 - p) = 1/5, g = 18/5 olarak belirlenir.
9.3.4. mXn Oyunların Doğrusal Programlama İle Çözümü
Şimdiye kadar, oyunculardan en az birinin iki stratejisinin bulunduğu oyunların çözümü üzerinde durulmuştur. Genel olarak, oyuncuların strateji sayıları büyüdükçe oyunun çözümü güçleşir. Artan güçlük kesinlikle teoride değil işlem sayısının hızla artmasındadır. Orjinalinde 2Xn veya mX2 olmayan ya da bu boyutlardan birine indirgenemeyen mXn oyunlar doğrusal programlama ile çözülürler. Bilindiği gibi bir mXn oyunda satır oyuncusunun R1, R2, ..., Rm gibi m stratejisi, rakibinin C1, C2, ..., Cn gibi n stratejisi vardır ve oyunun kazanç matrisi aşağıdaki gibi tablolanır.
Tablo 9.20
| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| C1 | C2 | ... | Cj | ... | Cn | |
| R1 | a11 | a12 | ... | a1j | ... | a1n |
| R2 | a21 | a22 | ... | a2j | ... | a2n |
| .. | .. | .. | ... | .. | ... | .. |
| Ri | ai1 | ai2 | ... | aij | ... | ain |
| .. | .. | .. | ... | .. | ... | .. |
| Rm | am1 | am2 | ... | amj | ... | amn |
Oyunun tepe noktasının bulunmadığı kabul edildiğinden her iki oyuncu oyunu karma
stratejileri ile sürdürecektir. Önce satır oyuncusunu dikkate alalım ve problemi
onun bakış açısıyla çözelim. Satır oyuncusunun stratejilerini p1, p2, ..., pm
(
)
olasılıkları ile seçtiğini düşünelim. Buna göre sütun oyuncusunun C1, C2, ...,
Cn strateji seçimlerine bağlı olarak satır oyuncusunun beklenen kazancı
aşağıdaki denklem sistemiyle açıklanır.
C1 için: E1 = a11p1 + a21p2 + ... + am1pm
C2 için: E2 = a12p1 + a22p2 + ... + am2pm
... ... ... ... ... ...
Cn için: Em = a1np1 + a2np2 + ... + amnpm
Satır oyuncusunun hedefi, rakibinin strateji seçimi ne olursa olsun, en küçük kazancını en büyüklemek olduğundan bu oyuncu oyunun en küçük değerini en büyüklemek ister. Çünkü, satır oyuncusu kazancını en az oyunun değerine eşit kılmak ister. Buna göre satır oyuncusu açısından problem aşağıdaki gibi modellenir.
Zenb = g
a11p1 + a21p2 + ... + am1pm ≥ g
a12p1 + a22p2 + ... + am2pm ≥ g
... ... ... ...
a1np1 + a2np2 + ... + amnpm ≥ g
p1 + p2 + ... + pm = 1
pi ≥ 0 (i = 1, 2, ..., m)
Oyunun değeri önceden bilinmemekle birlikte pozitif olduğu kabul edilecektir. Yukarıdaki modelin doğrusal programlama ile çözülebilmesi için kısıtlayıcı fonksiyonların sağ taraf sabitleri bilinen değerlere dönüştürülmelidir. Bunu sağlamanın tek yolu, kısıtlayıcı fonksiyonların her birinin g’ye bölünmesidir. Bölme işlemiyle ortaya çıkan değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlayalım.
X1 = p1/g, X2 = p2/g, ..., Xm = pm/g
Buradaki Xi’ler negatif olmayan sayılardır. p1 + p2 + ... + pm = 1 bağıntısının dikkate alınmasıyla, X1 + X2 + ... + Xm = 1/g elde edilir.
Satır oyuncusunun garanti edilmiş kazancı olan g’nin en büyüklenmesi için, 1/g’nin en küçüklenmesi gerekir.
Buna göre bir m X n oyunun çözümünü bulma problemi, aşağıdaki doğrusal programlama probleminin çözülmesine indirgenmiş olur.
Zenk = 1/g = X1 + X2 + ... + Xm
a11X1 + a21X2 + ... + am1Xm ≥ 1
a12X1 + a22X2 + ... + am2Xm ≥ 1
... ... ... ...
a1nX1 + a2nX2 + ... + amnXm ≥ 1
X1, X2, ..., Xm ≥ 0
Problemin doğrusal programlamanın klasik çözüm yöntemi simpleks tekniğiyle çözümüyle belirlenen Xi (i =1, 2, ..., m) değerlerinin Xi = pi/g’de yerine konulmasıyla satır oyuncusunun en iyi karma stratejisi bulunmuş olur.
Simpleks yöntemle belirlenen Z değerinin (1/g)’ye eşit olduğu unutulmamalıdır. Sütun oyuncusunun problemi, satır oyuncusu için türetilen doğrusal programlama modelinin duali olarak yorumlanabilir. Yani, problem satır oyuncusu için çözüldüğünde primal-dual ilişkileri kullanılarak sütun oyuncusunun karma stratejisi belirlenebilir. Bununla birlikte istenirse, problem sütun oyuncusu bakımından doğrusal programlama modeli olarak formüllenebilir.
Bir m X n oyunun doğrusal programlama ile çözümünü bir de sütun oyuncusu
bakımından ele alalım. Sütun oyuncusunun stratejilerini sırasıyla, q1, q2, ...,
qn
(
)
olasılıkları ile seçtiğini düşünelim.
Buna göre satır oyuncusunun strateji seçimine bağlı olarak sütun oyuncusunun beklenen kazancı,
R1 için: F1 = a11q1 + a12q2 + ... + a1nqn
R2 için: F2 = a21q1 + a22q2 + ... + a2nqn
... ... ... ... ... ...
Rm için: Fn = am1q1 + am2q2 + ... + amnqn
olarak formüllenir.
Sütun oyuncusunun amacı rakibinin strateji seçimi ne olursa olsun en büyük kaybını en küçüklemektir. Bunun için sütun oyuncusu kaybının en fazla oyunun değerine eşit olmasını ister. Buna göre, sütun oyuncusunun problemi aşağıdaki gibi formüllenir.
Zenk = g
a11q1 + a12q2 + ... + a1nqn ≤ g
a21q1 + a22q2 + ... + a2nqn ≤ g
... ... ... ...
am1q1 + am2q2 + ... + amnqn ≤ g
q1 + q2 + ... + qn = 1
qj ≥ 0 j = 1, 2, ..., n
Kısıtlayıcıların sağ taraf sabitlerinin negatif olmamalarını sağlamak için, önceden olduğu gibi, g’nin pozitif bir sayı olduğunu kabul edeceğiz. Kısıtlayıcı fonksiyonları uygun şekle dönüştürmek için g ile böler,
y1 = q1/g, y2 = q2/g, ..., yn = qn/g
tanımlarsak, sütun oyuncusu için doğrusal programlama problemi aşağıdaki gibi olur.
Zenb = 1/g = y1 + y2 + ... + yn
a11y1 + a12y2 + ... + a1nyn ≤ 1
a21y1 + a22y2 + ... + a2nyn ≤ 1
... ... ... ...
am1y1 + am2y2 + ... + amnyn ≤ 1
y1, y2, ..., yn ≥ 0
Dönüştürülmüş problemin çözüm sonuçları olan yj değerleri yj = qn/g bağıntısına yerleştirildiğinde orijinal problem çözülmüş, yani q değerleri belirlenmiş olur.
Problem sütun oyuncusu için çözüldüğünde primal-dual ilişkileri kullanılarak satır oyuncusunun karma stratejisi belirlenebilir.
Konuyla ilgili sayısal bir örnek vermeden önce, oyunun değerinin pozitif kabul edilmesinin doğru olup olmadığı üzerinde duralım.
aij’lerden bazılarının negatif olması durumunda oyunun değeri (g) pozitif olmayabilir. Bu gibi durumlarda oyun matrisinin her elemanına aij’lerin tümünün pozitif olmasını sağlayacak bir L sabiti eklenebilir. Bu durumda oyunun değeri L kadar artar, fakat çözüm aynı kalır. L’nin eklenmesiyle belirlenen oyun değerinden L’nin çıkartılmasıyla da orijinal oyunun değeri belirlenir.
Örnek 9.14: Kazanç matrisi aşağıda verilen 3X3 oyunu doğrusal programlama olarak formülleyerek simpleks yöntemle çözünüz*.*
Tablo 9.21
| Satır Oyuncusu | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En | ||
|---|---|---|---|---|
| Stratejisi | C1 | C2 | C3 | Küçüğü |
| R1 | -2 | 6 | 3 | -2 |
| R2 | 3 | -4 | 7 | -4 |
| R3 | -1 | 2 | 4 | -1 |
| Sütun En Büyüğü | 3 | 6 | 7 | -1 3 |
Çözüm 9.14: Doğrusal programlama ile çözüme geçmeden önce matrisin negatif elemanlarını pozitif değerlere dönüştürmek için kazanç matrisinin her bir elemanına L = 4 ekleyelim. Tablo 9.21’deki kazanç matrisinin her bir değerine 4 eklenmesiyle problemin orijinal kazanç matrisi, Tablo 9.22’deki gibi olur. Bu ekleme oyunun değerini 4 artırır ama çözümü değiştirmez.
Tablo 9.22
| Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü | ||
|---|---|---|---|---|
| C1 | C2 | C3 | ||
| R1 | 2 | 10 | 7 | 2 |
| R2 | 7 | 0 | 11 | 0 |
| R3 | 3 | 6 | 8 | 3 |
| Sütun En Büyüğü | 7 | 10 | 11 | 3 7 |
Oyunu önce satır oyuncusu için çözelim. Bu oyuncunun doğrusal programlama formülasyonu aşağıda gösterilmiştir.
Zenk = 1/g = X1 + X2 + X3
2X1 + 7X2 + 3X3 ≥ 1
10X1 + 0X2 + 6X3 ≥ 1
7X1 + 11X2 + 8X3 ≥ 1
X1, X2, X3 ≥ 0
Burada g oyunun değeri ve Xi = pi/g olarak tanımlanmıştır.
Simpleks çözüm için artık ve yapay değişkenlerin modele sokulması ile,
Zenk = X1 + X2 + X3 + 0X4 + 0X5 + 0X6 + MA1 + MA2 + MA3
2X1 + 7X2 + 3X3 - X4 + A1 = 1
10X1 + 0X2 + 6X3 - X5 + A2 = 1
7X1 + 11X2 + 8X3 - X6 + A3 = 1
X1, X2, X3, X4, X5, X6, A1, A2, A3 ≥ 0
elde edilir.
Problemin başlangıç çözüm tablosu aşağıda gösterilmiştir.
Tablo 9.23
| TDV | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | A1 | A2 | A3 | ÇV |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A1 | 2 | 7 | 3 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| A2 | 10 | 0 | 6 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 |  1 |
| A3 | 7 | 11 | 8 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| Zj | 19M | 18M | 17M | -M | -M | -M | M | M | M | 3M |
| Zj - Cj | 19M-1 | 18M-1 | 17M-1 | -M | -M | -M | 0 | 0 | 0 | - |
Z1 - C1 = 19M-1 > Z2 - C2 = 18M - 1, Z3 - C3 = 17M - 1 olduğundan, X1’in temele alınması, A2 temelden çıkartılması ve bilinen işlemlerin uygulanmasıyla yeni çözüm tablosu aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.
Tablo 9.24
| TDV | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | A1 | A2 | A3 | ÇV |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A1 | 0 | 7 | 9/5 | -1 | 1/5 | 0 | 1 | -1/5 | 0 | 4/5 |
| X1 | 1 | 0 | 3/5 | 0 | -1/10 | 0 | 0 | 1/10 | 0 | 1/10 |
| A3 | 0 | 11 | 19/5 | 0 | 7/10 | -1 | 0 | -7/10 | 1 |  1/3 |
| Zj | 1 | 18M |  |
-M |  |
-M | M |  |
M |  |
| Zj - Cj | 0 | 18M-1 |  |
-M | |
-M | 0 |  |
0 | - |
Z2 - C2 = 18M - 1 > Z3 - C3, Z5 - C5 olduğundan X2’nin temele alınması, A3’ün temelden çıkartılması ve anahtar işlemlerin uygulanmasıyla, aşağıdaki yeni çözüm tablosu elde edilir.
Tablo 9.25
| TDV | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | A1 | A2 | A3 | ÇV |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A1 | 0 | 0 | -34/55 | -1 | -27/110 | 7/11 | 1 | 27/110 | -7/11 | 67/110 |
| X1 | 1 | 0 | 3/5 | 0 | -1/10 | 0 | 0 | 1/10 | 0 | 1/10 |
| X2 | 0 | 1 | 19/55 | 0 | 7/110 | -1/11 | 0 | -7/10 | 1/11 | 3/110 |
| Zj | 1 | 1 |  |
-M |  |
 |
M |  |
 |
 |
 Zj - Cj |
0 | 0 |  |
-M | |
|
0 |  |
 |
- |
Z6 - C6 > 0 olduğundan X6 temele alınır. A1’in temelden çıkartılması ve simpleks yöntemin bilinen işlemleriyle yeni çözüm aşağıdaki gibi elde edilir.
| TDV | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | X6 | A1 | A2 | A3 | ÇV |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| X6 | 0 | 0 | -34/35 | -11/7 | -27/70 | 1 | 11/7 | 27/70 | -1 | 67/70 |
| X1 | 1 | 0 | 3/5 | 0 | -1/10 | 0 | 0 | 1/10 | 0 | 1/10 |
| X2 | 0 | 1 | 9/35 | -1/7 | 1/35 | 0 | 1/7 | -1/35 | 0 | 4/35 |
| Zj | 1 | 1 | 6/7 | -1/7 | -1/14 | 0 | 1/7 | 1/14 | 0 | 3/14 |
| Z j - Cj | 0 | 0 | -1/7 | -1/7 | -1/14 | 0 |  |
 |
-M | - |
Tüm Zj - Cj ≤ 0 olduğundan yürürlükteki çözüm en iyidir. En iyi çözümün yer aldığı tablodan görüldüğü gibi, X1 = 1/10, X2 = 4/35, X3 = 0’dır.
Bu çözüm kümesi, satır oyuncusunun en iyi stratejisinin belirlenmesinde kullanılacaktır. Zenk = 3/14 olduğu dikkate alındığında, 1/g = 3/14 bağıntısından, g = 14/3 = 4.666 bulunur. Bu arada, orijinal oyun matrisinin tüm elemanlarına 4 eklendiği bu yüzden, oyunun asıl değerinin g = 0.666 (= 4.666 - 4) olduğu unutulmamalıdır. Bu çözüm sonuçlarının kullanılmasıyla satır oyuncusunun strateji seçim olasılıkları aşağıdaki gibi hesaplanır.
p1 = X1 g bağıntısından, p1 =
=
=
0.466
p2 = X2g bağıntısından,
p3 = X3g bağıntısından,
Buna göre satır oyuncusu %46.66 oranında R1 stratejisini, %53.33 oranında R2 stratejisini oynarsa, rakibinin kabul edebileceği düzeyde bir oyun değeri belirlemiş olacaktır.
Aynı oyunu bir de sütun oyuncusu için çözelim. Yukarıdaki açıklamalar doğrultusunda sütun oyuncusunun doğrusal programlama formülasyonu aşağıdaki gibi düzenlenecektir.
Zenb = 1/g = y1 + y2 + y3
2y1 + 10y2 + 7y3 ≤ 1
7y1 + 0y2 + 11y3 ≤ 1
3y1 + 6y2 + 8y3 ≤ 1
y1, y2 ,y3 ≥ 0
Burada oyunun değeri (g), yi = qi/g olarak tanımlanmıştır.
Problemin simpleks yöntemin gerektirdiği standart biçimi aşağıdadır.
Zenb = y1 + y2 + y3 + 0y4 + 0y5 + 0y6
2y1 + 10y2 + 7y3 + y4 = 1
7y1 + 11y3 + y5 = 1
3y1 + 6y2 + 8y3 + y6 = 1
y1, y2, y3, y4, y5, y6 ≥ 0
Düzenlenmiş bu modeldeki y4, y5, y6 değişkenleri başlangıç uygun temel çözümdeki değişkenlerdir. Buna göre düzenlenen simpleks başlangıç çözüm tablosu aşağıda gösterilmiştir.
Tablo 9.27
| TDV | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 | ÇV |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y4 | 2 | 10 | 7 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| y5 | 7 | 0 | 11 | 0 | 1 | 0 |  1 |
| y6 | 3 | 6 | 8 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| Zj | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Zj - Cj | -1 | -1 | -1 | 0 | 0 | 0 | - |
Simpleks
yöntemin temel kurallarının uygulanmasıyla elde edilen simpleks çözüm tabloları
aşağıda sırasıyla gösterilmiştir.
Tablo 9.28
| TDV | y1 | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 | ÇV |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y4 | 0 | 10 | 27/7 | 1 | -2/7 | 0 | 5/7 |
| y1 | 1 | 0 | 11/7 | 0 | 1/7 | 0 | 1/7 |
| y6 | 0 | 6 | 23/7 | 0 | -3/7 | 1 | 4/7 |
| Zj | 1 | 0 | 11/7 | 0 | 1/7 | 0 | 1/7 |
| Zj - Cj |  0 |
-1 | 4/7 | 0 | 1/7 | 0 | - |
Tablo 9.29
| TDV | y1 | y2 | Y3 | y4 | y5 | y6 | ÇV |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y2 | 0 | 1 | 27/70 | 1/10 | -1/35 | 0 | 1/14 |
| y1 | 1 | 0 | 11/7 | 0 | 1/7 | 0 | 1/7 |
| y6 | 0 | 0 | 34/35 | -3/5 | -9/35 | 1 | 1/7 |
| Zj | 1 | 1 | 137/70 | 1/10 | 4/35 | 0 | 3/14 |
| Zj - Cj | 0 | 0 | 67/70 | 1/10 | 4/35 | 0 | - |
Tablo 9.29’dan görüldüğü gibi, tüm Zj - Cj ≥ 0 olduğundan çözüm en iyidir. Bu çözümde; y1 = 1/7, y2 = 1/14, y3 = 0’dır. Bu çözüm kümesi sütun oyuncusunun strateji vektörünün belirlenmesinde kullanılacaktır.
Zenb = 3/14 olduğunun dikkate alınmasıyla, 1/g = 3/14 bağıntısından oyunun değeri önceki çözüm sürecindeki gibi g = 14/3 = 4.666 bulunur. Oyunun asıl değerinin 0.666 olduğunu bir kez daha hatırlayalım.
q1 = y1g, q2 = y2g, q3 = y3g bağıntılarından q1, q2, q3 aşağıdaki gibi hesaplanır.
Buna göre, sütun oyuncusu %66.66 oranında birinci, %33.33 oranında ikinci stratejisini oynarsa, rakibinin (satır oyuncusunun) ikna olacağı bir düzeyde oyunun değerini belirlemiş olacaktır. Bu değer g = 0.666 (= 4.666 - 4)’dır.
Görüldüğü gibi problem her iki oyuncu için ayrı ayrı çözülmüştür. Oysa, daha önce açıklandığı gibi, problem oyunculardan biri için çözüldüğünde diğeri için de çözülmüş olur. Çünkü satır oyuncusunun problemi primal kabul edildiğinde sütun oyuncusunun problemi dual olur. Bunun tersi de doğrudur. Primal problemin çözümünden dual problemin çözümünün veya tersi dual problemin çözümünden primal problemin çözümünün elde edilebileceği göz önünde bulundurulduğunda problemin oyunculardan biri için çözülmesinin yeterli olacağı anlaşılır. Buna göre, önce satır oyuncusu için belirlenen çözümden hareketle sütun oyuncusunun çözümünü belirleyelim.
Tablo 9.26’nın artık değişkenlerine ait Zj - Cj değerleri dual değişkenlerin değerlerini (M’nin göz ardı edilmesi koşuluyla) vereceğinden problem sütun oyuncusu için de çözülmüş olur. Buna göre,
Z7 - C7 = 1/7’den y1 = 1/7
Z8 - C8 = 1/14’den y2 = 1/14
Z9 - C9 = 0’dan y3 = 0
olarak belirlenecektir. Bu durumda yapılacak tek şey y1, y2, y3 için belirlenen değerleri , q1 = y1g, q2 = y2g, q3 = y3g bağıntılarına yerleştirip gerekli aritmetik işlemleri gerçekleştirmektir.
Şimdi de sütun oyuncusunun çözümünden hareketle satır oyuncusunun çözümünü elde edelim. Sütun oyuncusunun en iyi çözümünün bulunduğu Tablo 9.29’un aylak değişkenlerine ait Zj - Cj değerleri satır oyuncusunun değişken değerlerini verecektir. Buna göre, X1, X2, X3 aşağıdaki gibi hesaplanır.
Z4 - C4 = 1/10’dan X1 = 1/10
Z5 - C5 = 4/35’den X2 = 4/35
Z6 - C6 = 0’dan X3 = 0
Bu değerlerin p1 = X1g, p2 = X2g, p3 = X3g bağıntılarına yerleştirilip gerekli işlemlerin yapılmasıyla satırdaki oyuncunun karma stratejisi belirlenmiş olur.
Özetle, problem oyunculardan biri için çözüldüğünde diğer oyuncu için de çözülmüş olacağından problemin her iki oyuncu için ayrı ayrı çözülmesine gerek yoktur. Kuşkusuz, kısıtlayıcı fonksiyonları ≤ biçiminde olan en büyükleme amaçlı doğrusal programlama probleminin standartlaştırılmasında daha az değişken kullanıldığından, sütun oyuncusuna öncelik verilmesi uygun olur.
İki-kişili sabit-toplamlı bir oyunda oyuncuların kazançları toplamı c (c 0) sabitine eşittir. Genel olarak iki-kişili sabit-toplamlı oyunlar iki-kişili sıfır-toplamlı oyunların çözümünde kullanılan yöntemlerle çözülür.
Örnek 9.15: Yörede yayın yapan iki TV kanalı vardır. 20:00-21:00 saatleri arasında tam 50 milyon kişi bu iki kanalı izlemektedir. Kanallar 20:00-21:00 saatleri arasında yapacakları yayının türünü önceden aynı anda anons etmek zorundadırlar. Yayın türünün sonradan değiştirilmesi mümkün değildir. Kanalların mümkün seçimleri ve birinci kanalı seyredeceklerin sayısı Tablo 9.30’da verilmiştir. Oyunun tepe noktası bulunup bulunmadığını ve birinci kanal için oyunun değerini bulunuz.
| Kanal 1 Yayın Türü | Kanal 2 Yayın Türü | Satır En Küçüğü | ||
|---|---|---|---|---|
| Yarışma | Arkası Yarın | Komedi | ||
| Yarışma | 25 | 25 | 40 | 25 |
| Arkası Yarın | 25 | 40 | 18 | 18 |
| Komedi | 18 | 24 | 30 | 18 |
| Sütun En Büyüğü | 25 | 40 | 40 | 25 = 25 |
Örnek 9.15: Tablonun satır en küçükleriyle oluşturulan son sütunu incelendiğinde enb (25, 18, 18) = 25 olduğu görülecektir. Bu, birinci kanalı en az 25 milyon kişinin izleyeceği anlamına gelir. Diğer taraftan, sütun en büyükleriyle oluşturulan son satır incelendiğinde enk(25, 40, 40) =25 olduğu görülecektir. Bu ise ikinci kanalı en az 25 milyon kişinin izleyeceği anlamına gelir. Enb(satır en küçükleri) = enk(sütun en büyükleri) olduğundan, oyun tepe noktalı bir oyundur. Buna göre 25 milyon kişi birinci kanaldaki yarışma programını, kalan 25 milyon kişi ikinci kanaldaki yarışma programını izleyecektir. Özetle oyunun satır oyuncusu için değeri 25, sütun oyuncusu için 25 (= 50 – 25) dir.
Uygulamada sabit olmayan toplamlı oyunlarla karşılaşmak daha olağandır. Rakip işletmelerin tam anlamıyla çatışma durumunda olmaları genellikle beklenmez. Bu kesimde oyuncuların işbirliği yapmalarının söz konusu olmadığı iki kişili sabit olmayan toplamlı oyun problemleri üzerinde durulacaktır. Çok bilinen tutuklu ikilemi problemiyle başlayalım.
Örnek 9.16: Soygun yapan iki kişi yakalanmış ve tutukevine konmuştur. Suçlu olduklarının bilinmesine karşın yargının elinde suçu kanıtlayacak yeterli delil yoktur. Bu nedenle savcı sanıkları birbirlerine karşı tanıklık etmeleri konusunda ikna etmeye çalışmaktadır. Savcı sanıkların suçlarını itiraf etmelerini sağlamak için her birine ayrı ayrı şunları söyler: Suçu biriniz itiraf eder diğerine karşı tanıklık ederse itiraf eden serbest kalır, itiraf etmeyen 9 yıl ceza alır. Her ikiniz birden suçlu olduğunuzu kabul ederseniz 6’şar yıl ceza alırsınız. Her ikiniz birden suçu reddederseniz 1’er yıl ceza alırsınız. Sizce sanıklar için en uygun davranış ne olur?
Çözüm 9.16: Sanıkların birbirleriyle haberleşmelerinin mümkün olmadığını varsayalım. Buna göre sanıkların kazanç (ceza almak istenmeyen bir durum olduğu için - değerli) matrisleri aşağıdaki gibi düzenlenir.
Birinci sanık için düzenlenen kazanç (ceza) matrisi aşağıda gösterilmiştir. İkinci sanığın ceza matrisine geçmeden önce birinci sanık için en iyi davranış biçiminin ne olacağını araştıralım. Birinci sanığın, ikinci sanığın itiraf edeceğini umduğunu düşünelim. Bu durumda kendisi için en iyi strateji suçu kabul etmek olur (-6, -9’dan daha iyidir). Birinci sanığın, ikinci sanığın reddedeceğini düşündüğünü varsayalım. Bu durumda birinci sanık için en iyi seçenek suçu kabul etmek olur (0, -1’den iyidir). Özetle ikinci sanığın tavrı ne olursa olsun birinci sanık için en iyi davranış biçimi suçu kabul etmektir. Birinci sanığın ceza matrisi Tablo 9.31’de gösterilmiştir.
| Birinci Sanık | İkinci Sanık | |
|---|---|---|
| İtiraf | Red | |
| İtiraf | -6 | 0 |
| Red | -9 | -1 |
Şimdi de ikinci sanık için en iyi davranış biçiminin ne olacağını araştıralım. İkinci sanığın durumunu özetleyen ceza matrisi Tablo 9.32’de gösterilmiştir.
| Birinci Sanık | İkinci Sanık | |
|---|---|---|
| İtiraf | Red | |
| İtiraf | -6 | -9 |
| Red | 0 | -1 |
İkinci sanığın, birinci sanığın suçu kabul edeceğini umduğunu düşünelim. Tablo 9.32’den görüleceği gibi, bu durumda kendisi için en iyi strateji suçu kabul etmek olur (-6, -9’dan iyidir). İkinci sanığın, birinci sanığın reddedeceğini düşündüğünü varsayalım. Bu durumda kendisi için en iyi seçenek suçu kabul etmek olur (0, -1’den iyidir). Özetle birinci sanığın tavrı ne olursa olsun ikinci sanık için en iyi davranış biçimi suçu kabul etmektir.
Sabit olmayan toplamlı oyunlarda oyuncuların oyun matrisleri yukarıdaki gibi ayrı matrisler olarak değil tek matris halinde gösterilir. Birinci ve ikinci suçluların ceza matrislerinin göz önünde bulundurulmasıyla oluşturulan ceza matrisi aşağıda gösterilmiştir.
| Birinci Suçlu | İkinci Suçlu | |
|---|---|---|
| İtiraf | Red | |
| İtiraf | (-6, -6) | (0, -9) |
| Red | (-9, 0) | (-1, -1) |
Yukarıdaki açıklamaların ortaya koyduğu gibi oyunun tepe noktası (-6, -6) gözesinde ortaya çıkmaktadır. Bunun anlamı her iki sanığın suçu kabul etmesi ve 6’şar yıl ceza almaları (toplam 12 yıl ceza)’dır.
Tablo 9.33 incelendiğinde (-1, -1) gözesinin işaret ettiği stratejilerin diğerlerinden daha iyi olduğu düşünülebilir. Çünkü bu sanıkların 6’şar yıl yerine 1’er yıl ceza almaları demektir. Ancak, (-1, -1) sonucu hiç gerçekleşmeyebilir. Çünkü sanıklardan biri bu gözenin işaret ettiği stratejiyi benimsemişken diğeri bundan vazgeçerse cezasının 1 yıl yerine sıfır yıl olmasını sağlayabilir. Bu yüzden (-1, -1) tepe noktası olamaz. İki-kişili sıfır-toplamlı oyunlarda olduğu gibi, iki-kişili sabit olmayan-toplamlı oyunların tepe noktası oyuncuların strateji seçimlerini tek başına değiştirmelerinin oyunculara hiçbir yarar sağlamadığı noktada ortaya çıkar.
Örnek 9.17: Rakip iki marketin (A ve B) satışları toplamı 240 milyon TL’dir. Rakiplerin bu toplam içindeki payları reklam harcamalarının miktarına bağlıdır. Rakipler reklama 6 veya 10 milyon TL harcamak durumunda olup reklam harcaması fazla olan marketin satış geliri 190 milyon TL olmaktadır. Reklam harcamalarının eşit olması durumunda satış gelirleri de eşit olmaktadır. Bir TL’lik satışdan elde edilen kâr 0.5 TL’dir. Marketlerin amacı"kâr–reklam harcaması" değerini en büyüklemektir. Oyun matrisini kurunuz ve oyunun tepe noktası olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm 9.17: Önce market A ve B’nin strateji seçimlerinin sonucunda ortaya çıkan sonuç değerlerini hesaplayalım. A’nın ve B’nin reklam harcamalarının 10’ar milyon TL olduğunu düşünelim Buna göre hem A’nın hem de B’nin net kazancı aşağıdaki gibi hesaplanır.
(120 milyon X 0.5) – (10 milyon) = 50 milyon
Şimdi de hem A’nın hem de B’nin reklam için 6’şar milyon TL harcadıklarını düşünelim. Buna göre, A ve B’nin birbirine eşit olan kazançları aşağıdaki gibi hesaplanır.
(120 milyon X 0.5) – (6 milyon) = 54 milyon
A’nın 10, B’nin 6 milyon harcadığını düşünelim. Bu durumda,
A’nın kazancı = (190 milyon X 0.5) – (10 milyon) = 85 milyon
B’nin kazancı = (50 milyon X 0.5) – (6 milyon) = 19 milyon
olur.
Son olarak A’nın 6, B’nin 10 milyon harcadığını düşünelim. Bu durumda kazançlar aşağıdaki gibi hesaplanır.
A’nın kazancı = (50 milyon X 0.5) – (6 milyon) = 19 milyon
B’nin kazancı = (190 milyon X 0.5) – (10 milyon) = 85 milyon
Hesaplanan bu değerlerin kullanılmasıyla, oyunu özetleyen kazanç matrisi Tablo 9.34’de gösterildiği gibi elde edilir.
| A’nın Reklam Harcaması | B’nin Reklam Harcaması | |
|---|---|---|
| 6 milyon | 10 milyon | |
| 6 milyon | (54, 54) | (19, 85) |
| 10 milyon | (85, 19) | (50, 50) |
A, B’nin 6 milyon TL harcayacağını düşünüyor olsun. Bu durumda A, 54 milyon yerine 85 milyon kazanmak için 10 milyon harcar. Rakibinin 10 milyon harcaması durumunda A, 19 milyon yerine 50 milyon kazanmak için 10 milyon harcar. Açıklamaların ortaya koyduğu gibi, B’nin tavrı ne olursa olsun A için en iyi seçim reklam için 10 milyon TL harcamaktır.
Aynı analizi B için gerçekleştirelim. A’nın 6 milyon TL harcaması durumunda B, 10 milyon TL harcayarak kazancının 85 milyon TL olmasını sağlar. Rakibinin 10 milyon harcaması durumunda B, 19 milyon yerine 50 milyon kazanmak için 10 milyon harcar. Açıklamaların ortaya koyduğu gibi, A’nin tavrı ne olursa olsun B için en iyi seçim reklam için 10 milyon TL harcamaktır. Özetle, A’nın tavrı ne olursa olsun, B 10 milyon TL harcamayı kararlaştıracaktır. O halde oyunun tepe noktası her bir marketin 10 milyon alternatiflerinin kesiştiği gözede gerçekleşir.
(54, 54) gözesinin işaret ettiği stratejilerin daha iyi olduğu düşünülebilir. Çünkü bu, rakip marketlerin 50’şer milyon yerine 54’er milyon kazanmaları demektir. Ancak bu sonuç hiç gerçekleşmeyebilir. Çünkü, marketlerden biri bu gözenin işaret ettiği stratejiyi benimsemişken diğeri bundan vazgeçerse kazancının 54 yerine 85 milyon olmasını sağlar. Bu yüzden (54, 54) tepe noktası olamaz.
Oyun problemlerinin çözümünde aşağıdaki akış çizelgesinin göz önünde bulundurulmasının uygun olur.
Şekil 9.5
PROBLEMLER
1. İki arkadaştan her biri (A ve B) aynı anda bir kağıt üzerine 1 ile 5 arasında bir sayı yazar ve diğerinin görmemesi için yazdığı sayıyı eliyle kapatır. Yazılan sayılar aynı ise oyuncular arasında ödeme söz konusu olmamaktadır. Yazılan sayıların toplamı tek ise A, çift ise B oyunun galibi olarak diğerinden sayıların toplamı kadar para almaktadır. Oyunun matrisini oluşturunuz.
2. Aynı pazarda rekabet eden iki firmadan A, pazarın %60’ını; B ise %40’ını kontrol etmektedir. Pazar payını artırmak ya da mevcut Pazar payından rakibine kaptırmamak için firmalar reklam vermeyi düşünmektedirler. Firmaların kullanabilecekleri dört alternatif reklam aracı vardır. Bunlar;
R1 : Fuar ve sergilerde ürün tanıtımı
R2 : TV reklamı
R3 : Gazete reklamı
R4 : Radyo reklamı
dır. Müşteriler halihazırda kullandıkları ürün hakkında yapılan reklamlardan etkilenmemele birlikterakip firmanın ürünü ile ilgili reklamlardan etkilenmektedirler. Yapılan araştırmalar R1, R2, R3 ve R4 reklamlarının rakip firma müşterilerinin sırasıyla %40, %25, %20 ve %10’u üzerinde etkili olduğu ve bu müşterilerin reklamını gördüğü ürünü almaya başlayacağını göstermektedir. Oyunun matrisini kurunuz ve firmaların en iyi stratejilerini belirleyiniz.
3. Kazanç matrisleri aşağıdaki gibi olan oyunların tepe noktalarını bulunuz.
4. Kazanç matrisi aşağıda verilmiş olan 4X4 oyunları 2X2 boyutuna indirgeyiniz.
5. Aynı işi yapan ve aynı bölgede faaliyet gösteren A ve B gibi iki işletme vardır. Bölgenin potansiyel müşterileri bu iki işletme arasında eşit biçimde dağılmışlardır. İki işletme müşterilerinin sayısını artırmak amacıyla reklam vermeyi düşünmektedir. Reklam için gazete, radyo ve televizyon kullanılabilmektedir. Pazarın eğilimi gözlenmiş ve sonuç değerleri müşteri sayısına karşılık gelen oyun matrisi aşağıdaki gibi belirlenmiştir. İşletmelerin en iyi stratejilerini ve oyunun değerini bulunuz.
| A’nın | B’nin Stratejileri | ||
|---|---|---|---|
| Stratejileri | Gazete | Radyo | TV |
| Gazete | 40 | -60 | -25 |
| Radyo | 50 | 25 | -10 |
| Televizyon | -100 | 30 | 60 |
6. A oyuncusu B oyuncusuna göstermeden bir kağıt parçası üzerine 1 ile 20 arasında bir sayı yazmaktadır. A rakibine şu sayıyı yazdım diyerek ondan kendisinin doğru mu yanlış mı söylediğini tahmin etmesini istemektedir. B, A’nın yalan söylediğini doğru tahmin ederse A’dan 10 TL almaktadır. B yanılırsa A’ya 5 TL ödemektedir. B, A’nın doğru söylediğini doğru tahmin ederse 1 TL kazanmaktadır. A doğru söylediği halde B inanmazsa A’ya 5 TL ödemektedir. Oyunun değerini ve oyuncuların en iyi stratejilerini bulunuz.
7. Sıfır toplamlı oyunların kazanç matrisleri aşağıda gösterilmiştir. Oyunları ayrı ayrı ele alarak,
a. Tepe noktalarını belirleyiniz.
b. Eş ve üstünlük stratejilerini araştırarak matris üzerinde gerekli indirgeme işlemini gerçekleştiriniz
c. Orijinal oyun ile indirgenmiş oyunun maksimin ve minimaks stratejilerini bularak elde ettiğiniz sonuçları karşılaştırınız.
d. Orijinal oyun ile indirgenmiş oyunları ayrı ayrı çözerek çözüm sonuçlarını karşılaştırınız.
e. İnsaflı oyunları belirleyiniz.
8. Sıfır toplamlı oyunların kazanç matrisleri aşağıda gösterilmiştir. Oyunların her biri için,
a. Maksimin ve minimaks stratejileri bulunuz.
b. Mümkünse matris boyutunu indirgeyiniz.
c. Oyunun değerini hesaplayınız.
d. Oyun insaflı bir oyun mudur açıklayınız.
9. Kazanç matrisleri aşağıda gösterilen oyunları grafik tekniğiyle çözerek oyuncuların en iyi stratejilerini ve oyunların değerlerini bulunuz.
10. Bir asker tabancasında tek bir kurşun kalmış bir düşman tarafından kovalanmaktadır. Kendisine saklanacak yer arayan askerin saklanabileceği 6 delik (1, 2, 3, 4, 5, 6) vardır. Delikler aşağıda gösterildiği gibi yanyana dizilidir.
Düşman deliklerin arasına (A, B, C, D, E) ateş etmeyi planlamıştır. Asker, düşmanın ateş ettiği aralığa bitişik delikteyse ölmektedir. Asker ölürse düşman 1 madalya ile ödüllendirilmektedir. Askerin sağ kalması durumunda düşman hiçbir ödül kazanamamaktadır. Oyunun sıfır toplamlı olduğunu varsayarak ödül matrisini oluşturunuz ve varsa üstünlük stratejilerini bularak mahkum stratejileri devre dışı bırakınız. Oyuncuların en iyi stratejilerini ve oyunun değerini bulunuz.
11. Aşağıdaki kazanç matrislerine sahip oyunları doğrusal programlama ile çözünüz.
12. İki komşu ülke (A, B) yeni tip bir füze geliştirmek veya eski tip füzelerle yetinmek konusunda karar vereceklerdir. A ve B’den sadece birinin yeni tip füze kararı vermesi durumunda yeni tip füze geliştiren ülke diğer ülkenin topraklarını kazanıyor. Bu kazanımda kazanan ülkenin kazancı 20 birim, yenilen ülkenin kaybı 100 birim olmaktadır. Yeni tip füze geliştirme maliyeti 10 birimdir. Oyun matrisini düzenleyerek oyunun tepe noktasını bulunuz.
13. Aşağıdaki sabit olmayan toplamlı oyunların tepe noktalarını bulunuz.
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM
4.1. GİRİŞ
En iyileme problemlerinin önemli bir bölümünün çözümünde grafik veya ağların kullanıldığı yöntemler tercih edilmektedir. Bunun başlıca nedeni, çözüm için kurulan ağ modellerin göze hitap etmesi, böylece sorunun anlaşılması ve çözümün diğer analitik çözüm yöntemleriyle karşılaştırıldığında daha kolay ve çabuk olmasıdır. Bu yüzden, ağ modelleri ile çözüm tekniği veya kısaca ağ analizinin kullanımı giderek yaygınlaşmaktadır. Bu bölümde, her biri kendine has çözüm yöntemine sahip dört özel grup problem üzerinde durulacaktır. Bunlar sırasıyla; "en kısa yol problemleri","en yüksek akış problemleri", "en küçük yayılmalı ağaç problemleri" ile "proje çizelgeleme problemleri" dir.
4.2. TEMEL KAVRAM VE TANIMLAR
Ağ modelleri ile çözüm tekniklerine geçmeden önce konuyla ilgili bazı önemli kavramları tanımlayalım.
Grafik: Grafik kuramı terminolojisine göre, belirli sayıda nokta ve bu noktaları birbirine birleştiren çizgi ve/veya eğrilerden oluşan kümeye grafik denir.
Düğüm: Grafikte bulunan noktaların her birine düğüm denir.
Düğümler, içlerine kendilerini tanımlayan sembollerin (harf veya rakam) yazıldığı küçük dairelerle gösterilirler.
Dal: Herhangi iki düğümü birbirine birleştiren çizgi veya eğriye dal denir.
Bir dal okla gösterildiğinde yönlendirilmiş olur. Okla birleştirilen iki düğüm i ve j olmak üzere, bunları birleştiren dal (i, j) ile gösterilir. Bu sembolde i, (i, j) dalının başlangıç j ise bitiş düğümüdür. Böyle bir dal üzerinde bir akış söz konusuysa, akışın yönü i’den j’ye olmak üzere tektir. Yönlendirilmemiş bir (i, j) dalı, biri (i, j) diğeri (j, i) olmak üzere yönlendirilmiş iki dal yerine geçer. Böyle bir dal üzerinde akış hem i’den j’ye hem de j’den i’ye doğru olmak üzere çift yönlüdür. Yönlendirilmiş bir dal ileriye veya geriye doğrudur. Başlangıç düğümü i olan, yani i düğümünü terkeden bütün dallar i düğümüne göre ileriye doğrudur. Benzer şekilde, bitiş düğümü i olan, yani i düğümüne giren bütün dallar i düğümüne göre geriye doğrudur. Kısaca, bir düğüm için ileriye doğru olan bir dal başka bir düğüm için geriye doğru olabilir.
Ağ: Grafiğin dalları üzerinde bir akış olması durumunda grafik, akış ağı veya kısaca ağ (serim, network, şebeke) ismini alır.
Yukarıda açıklandığı gibi ağ, düğüm ve dallardan oluşan bir sistemdir. Her ağın mutlaka bir başlangıç bir de bitiş düğümü bulunmalı, gerekirse bu düğümler yapay olarak yaratılmalıdır. Bir ağın bir tek başlangıç ile bir tek bitiş düğümünün bulunmasının sağladığı yararlar ileride açıklanacaktır. Basit bir ağ örneği Şekil 4.1’de gösterilmiştir.
Şekilden görüldüğü gibi ağ, sayılarla gösterilen 5 düğümden oluşmuştur. Ağı oluşturan dallar; (1, 2), (1, 4), (2, 3), (3, 4), (2, 5), (3, 5), (4, 5) ve (5, 3) olmak üzere sekiz tanedir. Açıklamalarımız için dallardan birini, sözgelimi (1, 2) dalını ele alalım. Başlangıç düğümü 1, bitiş düğümü 2 ile gösterilen bu dal üzerinde akışın 1’den 2’ye doğru olmak üzere tek yönlü olduğu görülebilir. Akışın iki yönlü olduğu tek bir dal (3 ve 5 nolu düğümler arasında) vardır. İleriye ve geriye doğru dallara örnek olmak üzere 4 nolu düğümü ele alalım. Şekil 4.1’den görüldüğü gibi (1, 4) dalı 4 nolu düğüme göre geriye doğru iken, (4, 5) dalı aynı düğüm için ileriye doğrudur. Diğer taraftan (3, 4) dalı 3 nolu düğüme göre ileriye, 4 nolu düğüme göre geriye doğrudur. Bir dalın incelenen bir düğüme göre ileriye veya geriye doğru olduğunun belirlenmesi özellikle en yüksek akış problemlerinde çok önemlidir. Ağ analizinde, dalların oluşturdukları özel grupların önemi büyüktür. Bu özel gruplardan bazıları aşağıda tanımlanmıştır.
Yol: Başlangıç düğümü, kendisinden önce gelen dalın bitiş düğümü ile aynı olan dallar dizisine yol denir.
Şekil 4.1’deki ağın 1 ve 5 nolu düğümlerini birbirine bağlayan bir yol, Şekil 4.2’de gösterildiği gibi olabilir.
Şekil 4.2
Şekil 4.3’de gösterildiği gibi (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5) dalları da bir yol oluşturmaktadır.
Şekil 4.3
Başlangıç ve bitiş düğümleri aynı olmak üzere aynı ağ için daha başka yollar tanımlanabileceği açıktır. (1, 2), (2, 5) veya (1, 4), (4, 5) dizileri gibi. Kısaca ağ aynı olmak koşuluyla başlangıç ve bitiş düğümleri veya herhangi iki düğüm arasında bağlantı sağlayan birden fazla yol tanımlanabilir.
Zincir: Kendisinden önce gelen dalla tek bir ortak noktası olan dallar dizisine zincir denir.
Şekil 4.4’deki (1, 2), (2, 3), (5, 3) dallar dizisi bir zincirdir. (1, 4), (3, 4), (4, 5) dallar dizisinin de bir zincir olduğu görülebilir. Daha farklı zincirler tanımlanabileceği unutulmamalıdır.
Şekil 4.4
Çevrim: Başlangıç düğümü ile bitiş düğümü aynı olan yola çevrim denir.
(3, 5), (5, 3) dal ikilisi ile tanımlanan çevrim aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 4.5
Yeri geldiğinde açıklanacak bazı kavram ve kuralların bulunduğunu belirttikten sonra en yüksek akış problemlerine geçebiliriz.
4.3. EN YÜKSEK AKIŞ PROBLEMLERİ
Bu bölümde, belirli bir zaman aralığında birbirlerine doğrudan değil ara noktalarla bağlı olan iki nokta arasında taşınan malzeme veya akış miktarının en büyüklenmesi problemi üzerinde durulacaktır.
Herhangi iki nokta arasında en yüksek trafik akışını sağlayacak trafik planının programlanması, bir enerji kaynağından aydınlatma noktalarına en yüksek enerji aktarımının sağlanması vb. işletme problemleri en yüksek akış problemleridir.
İlk bakışta ulaştırma problemi gibi görünen bu tip problemlerin ulaştırma problemlerinden en önemli farkı, kaynak (başlangıç) ile varış (bitiş) arasındaki bağlantının doğrudan değil ara noktalar aracılığı ile sağlanmasıdır. Hatırlanacağı gibi, ulaştırma problemlerinde sunum ile istem merkezleri arasındaki taşıma işlemi tek bir seferde yapılırken, akış problemlerinde bu işlem ara noktalar aracılığı ile adım adım gerçekleştirilir. Herhangi bir malzeme bir ara noktaya geldiğinde hemen diğer bir ara noktaya gider. Bu yönüyle en yüksek akış problemleri aktarmalı ulaştırma problemlerine benzer. Diğer taraftan, ulaştırma problemlerinde sunum merkezlerinin her biri bir kaynak ve istem merkezlerinin her biri bir varış noktası iken, en yüksek akış problemlerinde bu merkezlerin sayıları bire eşittir.
Şekil 4.6’daki akış ağı, ürünün k ile gösterilen kaynaktan v ile gösterilen bitişe hangi dallar üzerinden gönderilebileceğini, daha doğru bir ifadeyle akışın tönünü göstermektedir.
Ara noktalar 1, 2, 3 ile işaretlenmişlerdir. Kaynak ve bitiş dahil ağdaki beş düğüm birbirlerine (k, 1), (k, 2), (k, 3), (1, 2), (1, v), (2, v), (3, 2) ve (3, v) olmak üzere 8 dalla bağlıdır.
Yanıtlanmak istenen k’dan v’ye gönderilmek istenen malzemenin, hangi dallar üzerinden hangi miktarlarda taşınması durumunda, v’ye aktarılan kısmın en büyük olacağıdır.
Şekil 4.6
En yüksek akış problemlerinin çözümünde kullanılan tekniklere geçmeden önce konuyla ilgili bazı sembolleri açıklayalım.
Her dalın kij ile gösterilen belirli bir taşıma kapasitesi vardır. (i, j) dalı üzerinden taşınabilecek en yüksek miktarı ifade eden kij aynı zamanda, akışın i’den j’ye doğru gerçekleştiğini göstermektedir.
Taşınan miktarın en büyük olmasının amaçlandığı bu tip problemlerde, en yüksek akış miktarı f ile gösterilir.
Diğer taraftan, kapasitesi kij ile gösterilen (i, j) dalı üzerinden taşınan miktar fij ile açıklanır. Bu sembol de kij’ye benzer şekilde akışın i’den j’ye doğru olduğunu göstermektedir.
En yüksek akış problemleri doğrusal programlama problemi olarak da formüle edilip çözülebilir. Bunun için öncelikle ağı oluşturan dalların taşıma kapasitelerinin belirlenmesi gerekir.
Böyle bir modeli kurmak için Şekil 4.6’daki ağı, fij’ler ile kij’leri ait oldukları dallar üzerinde göstererek tekrar çizelim.
Açıklamalar doğrultusunda çizilen ağ Şekil 4.7’de gösterilmiştir.
Şeklin ortaya koyduğu gibi ürün akışı kaynaktan 1, 2 ve 3 nolu düğümlere doğrudur. Buna göre,
fk1 + fk2 + fk3 = f
yazılabilir.
Kaynaktan varışa olan akışlar toplamının kaynaktaki akış miktarına eşitliğini gösteren bu denkleme "denge denklemi" denir. Kaynak dikkate alınarak yazılan bu denklem akışın kaynaktaki korunumunu gösterir.
Şekil 4.7
Akışın korunumu yalnızca kaynakta değil, diğer bütün düğümlerde sağlanmalıdır. 1, 2 ve 3 nolu ara noktalardaki akışın korunumunu gösteren denge denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir.
f12 + f1v = fk1
f12 + fk2 + f32 = f2v
f32 + f3v = fk3
Bitişe ulaşan akışın, ara noktalardan bu noktaya olan akışların toplamına eşitliğini göstermek üzere, "f1v + f2v + f3v = f " yazılmasıyla denge denklemlerinin belirlediği kısıtlayıcılar tamamlanır. Bir dal üzerindeki akışın miktarı o dalın kapasitesi ile sınırlıdır ve negatif olamaz. Buna göre negatif olmama koşulu bütün (i, j)’ler için 0 ≤ fij ≤ kij olarak yazılır.
Amaç fonksiyonunun Zenb = f şeklinde formüllenmesiyle, yukarıdaki ağın doğrusal programlama modeli aşağıdaki gibi formüle edilmiş olur.
Zenb
= f "Amaç fonksiyonu "
fk1 + fk2 + fk3 = f
f12 + f1v = fk1
f12 + fk2 + f32 = f2v
f32 + f3v = fk3
f1v + f2v + f3v = f
0 ≤ fk1 ≤ kk1, 0 ≤ fk2 ≤ kk2, 0 ≤ fk3 ≤ kk3, 0 ≤ f12 ≤ k12
0 ≤ f32 ≤ k32, 0 ≤ f1v ≤ k1v, 0 ≤ f2v ≤ k2v, 0 ≤ f3v ≤ k3v
Doğrusal programlama formülasyonunun tamamlanmasından sonra, simpleks yöntem uygulamasına geçilebilir. Ancak, konu en yüksek akışın belirlenmesi olduğunda, simpleks yöntemden çok daha etkin çözüm teknikleri vardır. Bunlardan en yaygın biçimde kullanılanı "en yüksek akış algoritması" dır. Algoritmanın açıklanmasından önce konuyla ilgili bazı önemli kavramlar üzerinde duralım. Kaynak ve bitiş dahil ağdaki düğümlerin oluşturduğu küme N olsun. Bu kümeyi, birinde kaynak diğerinde bitiş düğümünün bulunduğu iki alt kümeye ayıran bölüştürmeye "kesme" denir. Kaynağı kapsayan alt küme S, bitişi kapsayan alt küme S0 ile gösterildiğinde kesme (S, S0) olur. Sözgelimi Şekil 4.8’deki kesmede; S = {k, 1, 2, 3}, S0 = {v} dir.
Şekil 4.8
S S0 = N = {k, 1, 2, 3, v}, S S0 = { }, k S ve v S0 olduğu unutulmamalıdır. k ve v’yi ayıran diğer bir kesme Şekil 4.9’daki gibi olabilir.
Şekil 4.9
Şekil 4.9’daki kesme için S = {k, 1}, S0 = {2, 3, v} olduğu görülebilir. Aynı ağ için bir başka kesme; S = {k, 1, 2} ve S0 = {3, v} olmak üzere Şekil 4.10’da gösterilmiştir. Başka kesmeler de sözgelimi, S = {k}, S0 = {1, 2, 3, v} tanımlanabileceği unutulmamalıdır.
Şekil 4.10
Her kesmenin K(S, S0) ile gösterilen bir kapasitesi vardır. Bu kapasite, S’deki düğümleri S0’daki düğümlere doğrudan bağlayan dalların kapasiteleri toplamına eşittir. Buna göre Şekil 4.8’deki kesmenin kapasitesi k1v + k2v + k3v, Şekil 4.9’dakinin k12 + k1v + kk2 + kk3, Şekil 4.10’daki kesmenin kapasitesi ise k1v + k2v + kk3 toplamına eşittir. ((3, 2) dalı üzerindeki akış S’den S0’a doğru değil S0’dan S’ye doğru olduğundan k32 dikkate alınmamıştır.)
Kapasitesi en küçük olan kesmeye "en küçük kesme" denir. Kesme ile ilgili şekillerden görüleceği gibi, herhangi bir kesmeyi oluşturan dallar ağ dışı bırakıldıklarında kaynakla bitişi birbirlerine bağlayan bir yol bulunamaz. Bu durumda uygun bir akış planı belirleme çabaları sonuçsuz kalır. Kısaca kaynak ile bitiş arasındaki akış kesmedeki dallar üzerinden olur. Buna göre, toplam akış miktarı f’nin kesmenin kapasitesi ile sınırlı olduğu söylenebilir. Akış ve kesme arasındaki bu ilişki aşağıda özetlenmiştir.
Yönlendirilmiş bir ağda bitişe aktarılan ürün miktarı f, (S, S0) de kesme ise f’nin değeri kesmenin kapasitesine eşit veya küçüktür. Bu durum bütün kesmeler için geçerlidir. Yani, kaynaktan bitişe doğru gerçekleşen bir akışın kabul edilebilir olması için akış miktarının herhangi bir kesmenin kapasitesini aşmaması gerekir. Buna göre, en yüksek akış miktarının en küçük kesmenin kapasitesi ile sınırlı olduğu söylenebilir.
Aşağıdaki önemli teorem herhangi bir ağda k’dan v’ye en küçük kesmenin kapasitesine eşit uygun bir akış bulunabileceğini belirtmektedir.
En Yüksek Akış En Küçük Kesme Teoremi: Herhangi bir ağdaki en yüksek akış miktarı en küçük kesmenin kapasitesine eşittir. Bu teoremle bağlantılı olarak bütün kesmelerin ve bunlara ilişkin kapasitelerin listelenmesiyle en küçük kapasiteli kesme ve buna bağlı olarak en yüksek akış miktarı belirlenebilir. Ancak bu yolla yalnızca en yüksek akış miktarı belirlenebilmekte, akışın hangi dallar üzerinden hangi miktarlarda gerçekleştiği sorusu yanıtlanamamaktadır. Bu soru, geçerliliği bu teoreme dayanan, en yüksek akış algoritması ile yanıtlanabilir. Söz konusu algoritma aşağıda açıklanmıştır.
En Yüksek Akış Algoritması: En yüksek akış algoritmasının esası, kaynaktan bitişe pozitif akışın söz konusu olduğu bir yol bulmaktır. Böyle bir yol "akış artırıcı yol" olarak isimlendirilir. Bu yol tüm ağda en yüksek akışı sağlamak amacıyla kullanılır. Akış artırıcı yol bulma çabalarının sonuçsuz kalması durumunda en yüksek akış bulunmuş olur. Akış artırıcı bir yol bulunabilmesi için aşağıda açıklanan rota etiketleme işleminin uygulanması gerekir.
Rota Etiketleme İşlemi: Kaynaktan bitişe akış artırıcı yol bulmada kullanılan etiketleme işlemi kaynağın etiketlenmesiyle başlar. k’dan j’ye pozitif akış söz konusu ise j düğümü etiketlenir.
Genel olarak, aşağıdaki koşullardan birinin sağlanması durumunda j etiketlenir.
1. i ve j düğümlerini birleştiren dal ileri doğrudur ve (i, j) üzerindeki akış miktarı dalın akış kapasitesinden küçüktür (fij < kij).
2. i ve j düğümlerini birleştiren dal (j, i) geriye doğrudur ve (j, i) üzerindeki akış miktarı sıfırdan büyüktür (fji > 0).
Etiketleme işlemi bitiş noktası etiketleninceye değin sürdürülür. Bitiş etiketlendiğinde akışı artırıcı bir yol belirlenmiş olur.
En yüksek akış algoritması, kapasite kısıtları ile birlikte düğümlerdeki akışın korunumunu da sağlayan uygun bir akışla başlar. Başlangıç akış planı (doğrusal programlamanın başlangıç çözümüne benzer) olarak isimlendirilen bu plan, akış miktarının 0 olduğu duruma karşılık gelir. Bu akışın geliştirilebilmesi için öncelikle kaynak (başlangıç düğümü) etiketlenir. Etiketlenen düğüm * ile işaretlenir. Kaynağın etiketlenmesinden sonra yukarıda açıklanan rota etiketleme işlemiyle başka bir düğüm etiketlenir. Bitiş etiketlendiğinde pozitif akışın söz konusu olduğu akış artırıcı bir yol belirlenmiş olur. Belirlenen bu yol üzerindeki düğümlerin etiketleri yardımıyla yol üzerinden aktarılacak en yüksek akış (d) hesaplanır. d’nin hesaplanmasından sonra yolun ileri dallarındaki akışlar d kadar artırılırken, geriye doğru dallardaki akışlar d kadar azaltılır. Bu işlemler yeni akış artırıcı yolların bulunması için tekrarlanır. Akış artırıcı yeni yol belirleme çabaları sonuçsuz kaldığında en yüksek akış planı belirlenmiş olur.
Açıklamaları bir örnek probleme uygulayalım.
Örnek 4.1: Dallarının akış kapasiteleri (fij) oklar üzerinde gösterildiği gibi olan ağda k’dan v’ye taşınacak en yüksek ürün miktarını ve taşıma planını belirleyiniz. Problemin akış ağı Şekil 4.11’de gösterilmiştir.
Şekil 4.11
Çözüm 4.1: Problemin çözümüne herhangi bir akışın olmadığı durumla başlayalım. Başlangıç akış planını yansıtan bu durum için aşağıdaki gibi bir eşitlik yazılabilir.
fk1 = fk2 = fk3 = f12 = f32 = f1v = f2v = f3v = 0
Bu durum orijinal ağ üzerinde aşağıdaki gibi gösterilir. (i, j) dalları üzerindeki sayılar (fij, kij)’leri göstermektedir.
Şekil 4.12
Birinci Adım: Kaynaktan bitişe akış artırıcı bir yol bulmak için önce başlangıç düğümü etiketlenir. k’nın etiketlenmesinden sonra 1, 2 veya 3 nolu düğüme geçilebilir. 1 nolu düğümü seçmiş olalım. (k, 1) dalındaki akış miktarı (0) bu
dalın kapasitesinden az olduğundan, 1 etiketlenir. Buradan 2’ye veya v’ye geçilebilir. 2’ye geçilmiş olsun. (1, 2) dalı üzerinden 2, (2, v) dalı üzerinden de v etiketlenerek yalnızca ileriye doğru dalların bulunduğu (k, 1), (1, 2), (2, v) dallarından oluşan akış arttıcı yol aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.
Şekil 4.13
Dallar üzerindeki sayılar, dalların taşıma kapasitelerinin sınırlarını göstermektedir. Şekil 4.13 ile açıklanan yol üzerindeki en yüksek akış miktarı, (1, 2)’nin taşıma kapasitesi ile sınırlı olup 5(= enk(20, 5, 15)) birimdir. Bu durum, anılan yolu oluşturan ileriye doğru dallar üzerindeki akışları 5’er birim artırır. Sonuçta, halihazırda sıfır birim olan akış miktarı 5 birim artarak; f = 0 + 5 = 5 olur. 5 birim olarak belirlenen miktarın göz önünde bulundurulmasıyla çizilen düzenlenmiş akış değerli ağ, Şekil 4.14’de gösterilmiştir.
Şekil 4.14
Çözümün izleyen adımlarında (k, 1)’in kapasite sınırının 20 değil 15(= 20 - 5), (1, 2) dalının taşıma kapasitesinin 5 değil sıfır(= 5 - 5), (2, v) dalının taşıma kapasitesinin ise 15 değil 10(= 15 - 5) birim olduğu düşünülecektir. Belirlenen her yeni akış artırıcı yolun ardından bu düzenlemenin yapılması ihmal edilmemelidir.
İkinci adım: Kaynaktan başlayarak akış arttırıcı yeni bir yol bulmaya çalışalım. (k, 1) dalı üzerinden taşınan miktar (5 ) ilgili dalın kapasitesinden (20) küçük olduğundan, 1 nolu düğüm k’dan, aynı gerekçeyle v’de 1’den etiketlenir. Böylece (k, 1) ve (1, v) dallarından oluşan akış artırıcı yol Şekil 4.15’deki gibi belirlenmiş olur.
Şekil 4.15
Görüldüğü gibi; (k, 1), (1, v) yolu üzerindeki en yüksek akış 15(= enk(15, 27)) birimdir. Bu yüklemeyle varışa 15 birim daha gönderilerek, f = 5 + 15 = 20’ye çıkarılmış olur. Yeni duruma göre düzenlenen ağ aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 4.16
Üçüncü adım: (k, 1)’deki akış (= 5 + 15) bu dalın kapasitesine eşit olduğundan, etiketleme için 2 veya 3 nolu düğüme geçilir. Önce 2 nolu düğümü inceleyelim. (k, 2) dalındaki akış bu dalın kapasitesinden küçük olduğundan 2 nolu düğüm etiketlenir. Aynı gerekçeyle v, 2’den etiketlenir. Bu yolla belirlenen akış artırıcı yol aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 4.17
(k, 2) ve (2, v)’den oluşan yol üzerindeki mümkün akış miktarları incelendiğinde bu yol üzerindeki en yüksek akış miktarının 10(= enk(30, 10)) birim olduğu görülecektir. İkinci adımda ağ üzerindeki akışın 20 birim olduğu göz önünde bulundurulduğunda, f’nin yeni değeri 30 olarak belirlenir. Buna göre düzenlenmiş akış değerli ağ aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 4.18
Dördüncü adım: Üçüncü adımda açıklanan gerekçeyle etiketleme için 2 veya 3 nolu düğüm seçilebilir. 2 nolu düğüm kaynaktan etiketlenebilirse de, (2, v) dalı üzerindeki akış bu dalın taşıma kapasitesine eşit olduğundan, v etiketlenemez. 3 nolu düğüme geçelim. 3 nolu düğüm k’dan, v’de 3 nolu düğümden etiketlenebilir. Bu yolla belirlenen akış artırıcı yol aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 4.19
Şekil 4.19’daki yolu oluşturan dallardaki mümkün akış miktarları incelendiğinde (k, 3), (3, v) yolundaki en yüksek akış miktarının 10(= enk(10, 19)) birimle sınırlı olduğu görülebilir. Bir önceki adımdaki ağ üzerindeki akış miktarının 30 olduğu göz önünde bulundurulduğunda, f’nin yeni değeri 40(= 30 + 10) olarak belirlenecektir.
Bu belirlemelerin ardından düzenlenen akışı geliştirilmiş ağ Şekil 4.20’de gösterilmiştir. Şeklin çizilmesinden sonra yeni adıma (beşinci adım) geçilebilir.
Beşinci adım: (k, 1) ve (k, 3) dallarındaki akış miktarları bu dalların kapasitelerine eşit olduğundan etiketleme için tek seçenek 2 nolu düğümdür.
Şekil 4.20
Şekilden de görüleceği gibi, 2 nolu düğüm k’dan etiketlenir. (1, 2) dalı 2 nolu düğüme göre geriye doğru olup dal üzerindeki akış miktarı dalın taşıma kapasitesine eşittir. Bu nedenle 1 nolu düğüm, 2’den etiketlenir. (1, v) dalındaki akış bu dalın taşıma kapasitesinden küçük olduğundan v’de 1’den etiketlenir. Bu yol aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 4.21
Şekil 4.21’deki yolu oluşturan dalların yönü ve üzerilerindeki akış miktarlarının dikkate alınmasıyla düzenlenen gelişmiş akışlı ağ aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 4.22’deki gelişmiş akışlı ağ incelendiğinde; (k, 1) ve (k, 3) üzerindeki akışların ilgili dalların kapasitelerine eşit olduğu görülebilir. Bu durum 1 ve 3 nolu düğümlerin etiketlenemeyeceğini gösterir. 2 nolu düğüm k’dan etiketlenebilirse de varış 2’den etiketlenemez. Kısaca yeni bir akış artırıcı yol belirleme çabaları sonuçsuz kaldığından en yüksek akışın gerçekleştiği yol bulunmuş olur. Bu yol üzerinden gönderilecek en yüksek miktar 45 birimdir. Bu miktarın (45 birim) en yüksek akış miktarı olduğunun onaylanabilmesi (en yüksek akış en küçük kesme teoremi) amacıyla son aşamada etiketlenmiş tüm düğümlere S’de, etiketlenmemiş düğümlere S0’da yer vererek (S, S0) kesmesini tanımlayalım. Söz konusu kesme de Şekil 4.22’de gösterilmiştir.
Şekil 4.22
Şekilden görüldüğü gibi, S = (k, 2), S0 = (1, 3, v) ve K(S, S0) = 45 olur. İkilem gereği, f herhangi bir kesmenin kapasitesini aşamayacağından, f = 45’in en yüksek akış miktarı ve en küçük kesmenin de Şekil 4.22’deki olduğu belirlenmiş olur.
Yönlendirilmemiş Dalların Olması Durumu: En yüksek akış algoritması için ağın yönlendirilmiş olması gerekmekle birlikte, ağın yönlendirilmemiş olması en yüksek akışın belirlenmesini engellemez. Söz konusu algoritmanın yönlendirilmemiş bir ya da birkaç dalın bulunduğu ağlarda uygulanabilmesi için öncelikle yönlendirilmemiş dalların bulunduğu orijinal ağın yönlendirilmesi, daha sonra en yüksek akış algoritmasının orijinaline eşdeğer olan bu ağa uygulanmasına geçilir. i ve j düğümlerini birleştiren K kapasiteli yönlendirilmemiş bir dal aşağıdaki gibi yorumlanabilir.
fij ≤ K
fji ≤ K
(fij) (fji) = 0
Yukarıdaki eşitsizlikler (i, j) üzerinden en yüksek K birimlik akışın hem i’den j’ye hem de j’den i’ye doğru olabileceğini göstermektedir. (fij)(fji) = 0 eşitliğiyle akışın tek yönde olması sağlanmaktadır.
Bir örnek problem ile bu durumu açıklayalım.
Örnek 4.2: Aşağıdaki gibi bir yol ağını ele alalım. Dallar üzerindeki sayılar trafik akış kapasitelerini göstermektedir. Problem, en yüksek trafik akışını sağlayabilmek için henüz yönlendirilmemiş dallar üzerine tek yön işaretinin hangi istikamette konulacağının belirlenmesidir.
Şekil 4.23
Çözüm 4.2: Öncelikle yönlendirilmemiş her bir dalın ters yönlü ve eşit kapasiteli iki dalla değiştirilmesi gerekir. Bu düzenlemeyle, Şekil 4.24’de gösterilen yönlendirilmiş ağ elde edilir.
Şekil 4.24
En yüksek akış algoritmasının, orijinaline eşdeğer olan bu ağ üzerinde uygulanmasıyla, k’dan v’ye en yüksek akış miktarı ve en yüksek akışı sağlayan rota belirlenir.
En iyi çözümün bulunmasından sonra her iki yönde akışın söz konusu olduğu dallar belirlenir ve aşağıdaki inceleme gerçekleştirilir.
i ve j düğümlerini birleştiren yönlendirilmemiş bir dal üzerinde,
fij > fji ise, (i, j) dalındaki akış (fij - fji ) olur, yani yönlendirilmemiş (i, j) dalı i’den j’ye doğru yönlendirilir.
fji > fij ise, (j, i) dalındaki akış (fji - fij ) olur, yani yönlendirilmemiş (i, j) dalı j’den i’ye doğru yönlendirilir.
Şekil 4.24’deki ağa en yüksek akış algoritması uygulanmasıyla ulaşılan sonuç Şekil 4.25’de gösterilmiştir.
Şekil 4.25
Çok Kaynak-Çok Bitiş Olması: Ağ üzerinde birden fazla kaynak ve/veya birden fazla bitiş noktası bulunduğunu düşünelim. Bu durumda en yüksek akışın belirlenebilmesi için hayali bir kaynak ile hayali bir bitiş noktasının yaratılması zorunludur. Yaratılan hayali kaynak gerçek kaynaklara, gerçek bitiş noktaları hayali bitiş noktasına birer dalla bağlanır. Ağa eklenen hayali dalların tümü ileriye doğrudur. Hayali dalların akış kapasitelerinin belirlenmesinden sonra problem en yüksek akış problemine dönüşmüş olur.
Konuyu açıklamak için sunum miktarları s1 ve s4 olan iki kaynak ile istem miktarları d5 ve d8 olan iki bitiş noktasının bulunduğu bir ulaştırma problemi düşünelim.
Problemin orijinal ağı ve dalların taşıma kapasiteleri aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 4.26
1 ve 4 nolu düğümler gerçek kaynak, 5 ve 8 nolu düğümler gerçek bitiş noktalarıdır. Yukarıdaki açıklamalar doğrultusunda düzenlenen hayali kaynak ve hayali bitiş noktalı ağ aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 4.27
Görüldüğü gibi k’yı 1 nolu düğüme bağlayan dalın kapasitesi s1’e, 4 nolu düğüme bağlayan dalın kapasitesi ise s4’e eşittir. Gerçek bitiş noktalarını hayali bitiş noktasına bağlayan dalların taşıma kapasiteleri ise çıkış noktalarının istem miktarlarıyla bağlantılı olarak sırasıyla d5 ve d8’dir.
Bu düzenlemenin ardından hayali kaynaktan bitiş noktasına en yüksek akışın sağlanmasına geçilebilir. s1 = 40, s4 = 30, d5 = 35, d8 = 35 olarak verilmiş olsun. Bu durumda en iyi çözüm Şekil 4.28’deki gibi elde edilecektir.
Şekil 4.28
Başlangıç ve bitiş düğümleri arasındaki en kısa yolun belirlenmesi problemi, en kısa yol problemi olarak bilinir. Ağ problemlerinin çoğu doğrusal programlama problemi olarak değerlendirilerek simpleks yöntemle çözülebilir. Bu durum en kısa yol problemleri için de geçerlidir. Bir en kısa yol problemini doğrusal programlama olarak inceleyebilmek için dallar üzerindeki akışların 1 birime, i’den j ’ye malzeme taşıma maliyetinin ise (i, j) dalının uzunluğuna eşit olduğu düşünülür. En kısa yol problemleri matematik bir modelle formüle edilmeksizin de çözülebilir. Bunun için başlangıç ve bitiş düğümlerini birbirine bağlayan alternatif yolların dökümünün yapılması ve listelenen yollara ilişkin toplam uzunluklarının belirlenmesi yeterlidir. Bu yaklaşım yalnızca küçük boyutlu problemler için geçerlidir. Problemin boyutu büyüdükçe tüm yolların dökümünü yapmak yorucu ve zaman alıcı olur. En kısa yol problemleri için geliştirilmiş çok daha etkin yöntemler vardır. Bunlardan en yaygın biçimde kullanılan Dijkstra algoritması aşağıda açıklanmıştır.
Dijkstra Algoritması*:* Dijkstra Algoritması, n düğümlü ağ kapsamındaki tüm dalların negatif olmayan ve bilinen uzunluklara (dij) sahip olduğu varsayımına dayanır. dij,, (i, j) dalının uzunluğu, i’den j’ye gitmenin maliyeti veya (i, j) dalını katetme zamanı olabilir. i ve j düğümleri birbirlerine doğrudan, yani tek bir dalla bağlı değillerse dij = kabul edilir. dij dji olabilir. Ayrıca, bir düğümün kendine uzaklığı sıfır olduğundan, dii = 0’dır. Bu varsayımlar altında, düğümlerin önce geçici, sonra kalıcı olarak etiketlenmesi esasına dayanan Dijkstra algoritması, en kısa yol belirleninceye kadar aşağıdaki adımların tekrarlanmasını gerektirir.
Ön adım: Başlangıç düğümüne sıfır (d11 = 0) kalıcı etiketi verilir. Sıfır ile kalıcı olarak etiketlenen başlangıç düğümü dışındaki bütün düğümlere, birer geçici etiket verilir. Geçici etiketi hesaplanacak düğüm başlangıç düğümüne tek bir dalla bağlı ise geçici etiketin değeri o dalın uzunluğuna, değilse +’a eşittir. Herhangi bir geçici etiketinin değeri, ait olduğu düğümü başka düğüme bağlayan en kısa yol için bir üst sınırdır. Geçici etiketlerin belirlenmesinden sonra en küçük olan araştırılır. Araştırma sonucu belirlenen en küçük değer ait olduğu düğümün kalıcı etiketi olur. En küçük değerli geçici etiket sayısı birden çok ise seçim, düğümlerden yalnızca birinin seçilmesi kaydıyla, rasgele yapılır. Kısaca, her seferinde yalnızca bir düğüm kalıcı olarak etiketlenir.
Birinci Adım: Kalıcı etiketi en yeni olan düğüm belirlenir. Bu düğüm K olsun. Ön adımdaki başlangıç düğümüne karşılık gelen bu düğüme bağlı olarak tüm geçici etiketlerin yeni değerleri aşağıdaki gibi hesaplanır.
Enk
İkinci adım: Birinci adımda hesaplanan geçici etiketlerden en küçük olanı ait olduğu düğümün kalıcı etiketi olur ve * ile işaretlenir. Önceden olduğu gibi, en küçük değerli etiket birden fazla olduğunda düğüm seçimi, her seferinde yalnızca bir düğüm olmak üzere, rasgele yapılır. Son düğüm kalıcı olarak etiketlendiğinde en kısa yol belirlenmiş olur. Son düğümün kalıcı etiketinin değeri en kısa yolun uzunluğuna eşittir.
En kısa yolu oluşturan dalların belirlenmesi için son düğümden başlanarak geriye doğru hareket edilir ve düğümlerin kalıcı etiketleri arasındaki farklar incelenir. Etiketler arasındaki fark iki düğüm arasındaki dalın uzunluğuna eşitse ilgili dal en kısa yol üzerinde, aksi halde değildir.
En kısa yolu oluşturan dalların belirlenmesinde kullanılabilecek diğer bir yaklaşım, en son düğümden geriye dönerek hangi düğümün hangi düğümden etiketlendiğinin belirlenmesidir.
Dijkstra algoritmasını bir örnek problem üzerinde uygulayalım.
Örnek 4.3: İzmir’den Ankara’ya gitmek isteyen bir kişi gidebileceği yolları araştırmış ve iki şehri birbirine bağlayan yolları ve bunların uzaklıklarını Şekil 4.29’daki gibi belirlemiştir. Sürücünün amacı İzmir’den Ankara’ya en kısa yoldan gitmektir. İki şehir arasındaki en kısa yolu bulunuz.
Şekil 4.29
Çözüm 4.3: Ön adım: Başlangıç düğümünün sıfırla kalıcı olarak etiketlenmesinden sonra diğer düğümlerin etiketlenmesine geçilir.
Şekil 4.29’dan görüldüğü gibi başlangıç düğümüne doğrudan bağlı iki düğüm (2 ve 3) vardır. Bu düğümlerin başlangıç düğümüne uzaklıkları sırasıyla 5 ve 7 olduğundan bunların geçici etiketleri sırasıyla, 5 ve 7 olarak belirlenir. Bu iki düğümün dışındaki düğümlerin hepsi başlangıç düğümüne dolaylı olarak bağlı olduklarından etiketleri +’a eşittir. Bu yolla belirlenen etiket değerleri aşağıda, ait oldukları düğüm numaraları altında gösterilmiştir.
| Düğüm No: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Etiket No : | 0* | 5 | 7 | | | | ] |
Geçici etiketlerden en küçük (5) olanı 2 nolu düğüme ait olduğundan, bu düğüm 5 ile kalıcı olarak etiketlenir. Böylece etiketler aşağıdaki gibi belirlenmiş ve ön adım tamamlanmış olur.
| Düğüm No: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Etiket No : | 0* | 5* | 7 | | | | |
Birinci adım: En yeni kalıcı etiket 2 nolu düğüme aittir. Bu düğüme doğrudan bağlı olan 4 ve 5 nolu düğümlerin yeni geçici etiketlerinin hesaplanması gerekir. Yeni etiket değerleri aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.
Dördüncü düğümün geçici etiketi: Enk{, 5 + 3} = 8
Beşinci düğümün geçici etiketi : Enk{, 5 + 6} = 11
Hesaplanan değerlerin dikkate alınmasıyal düğüm etiketlerinin yeni değerleri aşağıdaki gibi olur.
| Düğüm No: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Etiket No : | 0* | 5* | 7 | 8 | 11 | | |
İkinci adım: Birinci adımda belirlenen geçici etiketlerden en küçük olanın 7 olduğu ve bunun üçüncü düğüme ait olduğu görülebilir. Buna göre üçüncü düğüm etiketinin 7 olarak kalıcı kılınmasıyla düğüm etiketleri aşağıdaki gibi belirlenmiş olacaktır.
| Düğüm No: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Etiket No : | 0* | 5* | 7* | 8 | 11 | | |
Henüz tüm etiketler kalıcı olmadığından tekrar birinci adıma dönülür.
Birinci adım: Kalıcı etiketi en yeni olan üçüncü düğüme doğrudan bağlı 4 ve 5 nolu düğümlerin yeni geçici etiketleri,
Dördüncü düğümün geçici etiketi: Enk{ 8, 7 + 4} = 8
Beşinci düğümün geçici etiketi : Enk{11, 7 + 5} = 11
olarak hesaplanacak böylece düğüm etiketleri, aşağıdaki gibi belirlenecektir.
| Düğüm No: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Etiket No : | 0* | 5* | 7* | 8 | 11 | | |
İkinci adım: Geçici etiketlerden en küçüğü dördüncü düğüme ait olduğundan, anılan düğüm 8 ile kalıcı biçimde etiketlenir. Buna göre,
| Düğüm No: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Etiket No : | 0* | 5* | 7* | 8* | 11 | | |
olur. Henüz tüm etiketler kalıcı olmadığından tekrar birinci adıma dönelim.
Birinci adım: En yeni kalıcı etiket 4 nolu düğüme aittir. Bu düğüme doğrudan bağlı tek düğüm olan 6 nolu düğümün yeni geçici etiketinin hesaplanması gerekir. Bu işlem aşağıda gösterilmiştir.
Altıncı düğümün geçici etiketi: Enk{, 8 + 2} = 10
Bu sonucun kullanılmasıyla belirlenen düğüm etiketleri aşağıda gösterilmiştir.
| Düğüm No: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Etiket No : | 0* | 5* | 7* | 8* | 11 | 10 | |
İkinci adım: Geçici etiketlerden en küçüğü altıncı düğüme ait olduğundan anılan düğümün kalıcı etiketi 10 olur. Buna göre etiketler,
| Düğüm No: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Etiket No : | 0* | 5* | 7* | 8* | 11 | 10* | |
olur. Etiketleme işlemi henüz tamamlanmadığından birinci adım tekrarlanır.
Birinci adım: Altıncı düğüme bağlı tek düğüm yedinci düğüm olduğundan anılan düğümün geçici etiketi,
Yedinci düğümün geçici etiketi: Enk{, 10 + 2} = 12
olarak hesaplanır ve düğüm etiketleri aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.
| Düğüm No: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Etiket No : | 0* | 5* | 7* | 8* | 11 | 10* | 12 |
İkinci adım: En küçük değerli (11) geçici etiket beşinci düğüme aittir. Bu nedenle 11, beşinci düğümün kalıcı etiketi olur ve sonuçta düğüm etiketleri aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.
| Düğüm No: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Etiket No : | 0* | 5* | 7* | 8* | 11* | 10* | 12 |
Bu noktada etiketi geçici olan bir düğüm bulunduğundan birinci adıma dönülür.
Birinci adım: Kalıcı etiketi en yeni olan beşinci düğüme doğrudan bağlı tek düğüm olan yedinci düğümün geçici etiketinin yeni değeri,
Yedinci düğümün geçici etiketi: Enk{12, 11 + 4} = 12
olarak hesaplanmıştır.
Sonuçta etiketleme işlemi aşağıdaki gibi tamamlanmıştır.
| Düğüm No : | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Etiket No : | 0* | 5* | 7* | 8* | 11* | 10* | 12* |
Etiketlerin hepsi kalıcı olduğundan en kısa yol bulunmuştur. Şimdi de toplam uzunluğu 12 birim olan en kısa yol üzerindeki dalları belirleyelim. Bunun için son düğümden başlayarak geriye doğru düğüm düğüm gidelim. 7 ve 6 nolu düğümlerin kalıcı etiketleri arasındaki fark (2) anılan düğümleri birbirine birleştiren dalın uzunluğuna eşit olduğundan (6, 7) dalı en kısa yol üzerindedir. 6 nolu düğümden 5 nolu düğüme gidilemez. 6 ve 4 nolu düğümlerin kalıcı etiketleri arasındaki fark (2), (4, 6)’nın uzunluğuna eşit olduğundan, bu dal en kısa yol üzerindedir. (4, 3) dalının uzunluğu bu düğümlerin etiketleri arasındaki farka eşit olmadığından, (4, 3) dalı en kısa yol üzerinde değildir. 4 ve 2 nolu düğümlerin kalıcı etiketleri arasındaki fark (2, 4)’ün uzunluğuna eşit olduğundan bu dal en kısa yol üzerindedir. Son olarak (2, 1)’in uzunluğu bu dalı tanımlayan düğümlerin etiketleri arasındaki farka eşittir. Dolayısıyla bu dal en kısa yol üzerindedir. Buna göre İzmir’den yola çıkan sürücü sırasıyla, 2, 4, 6 nolu düğümlere uğrayarak İzmir’den Ankara’ya en kısa yoldan ulaşmış olur.
En kısa yolu bir de hangi düğümün hangi düğümden etiketlendiğinin belirlenmesi yaklaşımıyla bulalım. 7 nolu düğüm 6, 6 nolu düğüm 4, 4 nolu düğüm 2, 2 nolu düğüm de 1 nolu düğümden etiketlendiklerinden sırasıyla, 1, 2, 4, 6 ve 7 nolu düğümler en kısa yol üzerindedir.
Görünürde en kısa yol problemlerinden oldukça farklı olan pek çok işletme problemi en kısa yol problemi olarak çözülebilir. Konunun daha iyi anlaşılabilmesi bakımından farklı işletme problemlerine yer verilmesi uygun olur.
Araç Yenileme Problemi: Gerek işletmelerin gerekse kişilerin kullandıkları araçların çoğu ilerleyen yaşlarına bağlı olarak sürekli artan bakım-onarım harcamalarına yol açarlar. Eskiyen araçların belirli aralıklarla yenilenmesi, araçların her bir yenilenişinde katlanılması gereken yüksek satın alma maliyetine rağmen toplam maliyeti düşürebilir. Yöneticilerin karşılaştığı en önemli problemlerden birisi de satın alma ve bakım-onarım harcamalarından oluşan toplam maliyeti en küçükleyecek araç yenileme politikasını belirlemektir. Bu problem, en kısa yol problemi olarak formüle edilebilir.
Konuya örnek olması bakımından aşağıdaki problemi çözelim.
Örnek 4.4: Tek araca sahip bir işletme gelecek beş yıl için araç yenileme planını geliştirmek istemektedir. Aracın yıllık bakım-onarım masrafı (TL), aracın incelenen yılın başındaki yaşına bağlı olup aşağıdaki gibi tahmin edilmiştir. Aracın yaşına bağlı olarak her yıl biraz daha artan bakım-onarım masraflarından kurtulmak için eskiyen aracı satıp yerine yenisini almak da mümkündür. Eskiyen aracın satış fiyatı (TL), satıldığı yıldaki yaşına bağlı olup aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
Hesaplamalarda basitlik sağlamak için araç satın alma maliyetinin değişmediği ve 15 TL olduğu kabul edilmiştir. Buna göre 5 yıllık planlama dönemi için en iyi araç yenileme programını oluşturunuz.
| Aracın Yaşı | Bakım Masrafı | Satış Fiyatı |
|---|---|---|
| 0 | 2 | - |
| 1 | 3 | 10 |
| 2 | 5 | 9 |
| 3 | 8 | 5 |
| 4 | 12 | 3 |
| 5 | - | 1 |
Çözüm 4.4: Önce, aracın satın alındığı yıl başlangıç, planlama döneminin sonu bitiş olmak üzere 6 düğümlü ağı oluşturalım. Ara noktalar (j = 1, 2, 3, 4, 5) araç yenilemenin mümkün olduğu yılın başına karşılık gelmektedir.
Şekil 4.30
i < j için (i, j) dalı, i yılı başında satın alınan aracın j yılı başında satılarak yerine yenisinin alınmasına karşılık gelir. (i, j) dalının uzunluğu (dij) ise, i yılı başında satın alınan aracın j yılı başında satılmasına kadar geçen süre içinde bakım ve onarımını yapmak, j yılının başında aracı satmak ve yerine yenisini almanın net maliyetine eşittir.
Buna göre i ≥ j için dij = ve i < j için,
dij = (i, i + 1, ..., j - 1 yıllarında araç bakım-onarım harcaması) + (i yılı başında araç satın
alma maliyeti) - (j yılı başında eski araç satışından elde edilen gelir)
olarak tanımlandığında, her bir (i, j) dalının uzunluğu (net maliyet olarak) aşağıdaki gibi hesaplanır.
d12 = d23 = d34 = d45 = d56 = 15 + 2 - 10 = 7
d13 = d24 = d35 = d46 = 15 + 2 + 3 - 9 = 11
d14 = d25 = d36 = 15 + 2 + 3 + 5 - 5 = 20
d15 = d26 = 15 + 2 + 3 + 5 + 8 - 3 = 30
d16 = 15 + 2 + 3 + 5 + 8 + 12 - 1 = 44
Hesaplama sonuçları Şekil 4.30’da gösterilmiştir. Artık Dijkstra Algoritmasını uygulayabiliriz. Algoritmanın uygulanmasıyla elde edilen hesaplama sonuçları aşağıda arka arkaya verilmiştir.
Ön
adım:
Düğüm No: [1 2 3 4 5 6]
Etiket
: [0* 7 11 20 30 44]
Düğüm No: [1 2 3 4 5 6]
Etiket : [0* 7* 11 20 30 44]
Birinci adım:
Düğüm
No: [1 2 3 4 5 6]
Etiket
: [0* 7* 11 18 27 37]
İkinci adım:
Düğüm No: [1 2 3 4 5 6]
Etiket : [0* 7* 11* 18 27 37]
Birinci adım:
Düğüm
No: [1 2 3 4 5 6]
Etiket
: [0* 7* 11* 18 22 31]
İkinci adım:
Düğüm No: [1 2 3 4 5 6]
Etiket : [0* 7* 11* 18* 22 31]
Birinci adım:
Düğüm
No: [1 2 3 4 5 6]
Etiket
: [0* 7* 11* 18* 22 29]
İkinci adım:
Düğüm No: [1 2 3 4 5 6]
Etiket : [0* 7* 11* 18* 22* 29]
Birinci adım:
Düğüm
No: [1 2 3 4 5 6]
Etiket
: [0* 7* 11* 18* 22* 29]
İkinci adım:
Düğüm No: [1 2 3 4 5 6]
Etiket : [0* 7* 11* 18* 22* 29*]
Etiketlerin hepsi kalıcı olduğundan en kısa yol daha doğrusu, en düşük maliyetli araç yenileme planı belirlenmiş olur. En düşük net maliyet 29 TL’dir. Şimdi de işletmenin hangi yıllarda araç yenileyeceğini belirleyelim. 5 ve 6 nolu düğümlerin etiketleri arasındaki fark (5, 6) dalının uzunluğuna eşit olduğundan bu dal en kısa yol üzerindedir. 5 ve 4 nolu düğümlerin kalıcı etiketleri arasındaki fark, bu iki düğümü birleştiren dalın uzunluğuna eşit olmadığından, bu dal en kısa yol üzerinde değildir. 5 ve 3 nolu düğümlerin etiketleri arasındaki fark (3, 5) dalının uzunluğuna eşit olduğundan, bu dal en kısa yol üzerindedir. 3 ve 2 nolu düğümlerin etiketleri arasındaki fark bu düğümleri birleştiren dalın uzunluğuna eşit değildir. Dolayısıyla, (2, 3) dalı en kısa yol üzerinde değildir. 3 ve 1 nolu düğümlerin etiketleri arasındaki fark (1, 3) dalının uzunluğuna eşit olduğundan, bu dal da en kısa yol üzerindedir. Buna göre çözüm, (1, 3), (3, 5), (5, 6) dallar dizisi olarak belirlenmiş olur. En kısa yolu oluşturan dalları inceleyelim. Dalların ortaya koyduğu gibi, planlama dönemi başında satın alınan araç 2 yıl kullanıldıktan sonra satılarak yerine yenisi alınacaktır. Yeni araç iki yıl kullanıldıktan sonra satılacak, yerine yenisi alınacak ve yeni araç 1 yıl kullanıldıktan sonra satılacak ve planlama dönemi tamamlanacaktır.
Kitap Yerleştirme Problemi: Kütüphanelerin en önemli sorunlarından bir tanesi de boyları ve kalınlıkları birbirlerinden farklı çok sayıdaki kitabın yerleştirileceği raf sisteminin en düşük harcamayla kurulmasını sağlamaktır. Bütün kitapların boylarının ve kalınlıklarının bilindiğini ve yerleştirmeye kısa kitaplardan başlanacağını varsayalım. Bu varsayıma göre, yerleştirme Hi kitap boyu olmak üzere H1, H2, ..., Hn için, H1 < H2 < ... < Hn eşitsizliğini sağlayacak şekilde gerçekleştirilecektir. Yüksekliği Hi olan bir kitabın yerleştirileceği rafın yüksekliği en az Hi olmalıdır. Kitapların kalınlıkları bilindiğinden, boyu Hi olan tüm kitapların yerleştirileceği rafın uzunluğu hesaplanabilir. Söz konusu rafın uzunluğunu Li ile gösterelim. Kitapların tamamı tek bir rafa yerleştirilmek istendiğinde kurulacak rafın toplam alanı, rafın uzunluğu ile en uzun kitap boyunun çarpımına eşittir. Tek bir raf yerine, kitapları boyları bakımından iki veya daha fazla sayıda gruba ayırarak aynı sayıda raf kurulması durumunda toplam raf alanı daha az olur.
Farklı yükseklik ve uzunlukta raf kurma maliyeti aşağıda açıklanmıştır. Yüksekliği Hi olan her bir raf için aşağıdaki tanımları verelim.
Ki = Raf alanından bağımsız sabit maliyet
Ci = Birim alan değişken maliyeti
Kitapların, yükseklikleri Hm ve Hn olan iki rafa dizilmek istendiğini düşünelim. Hm < Hn olsun. Yani, boyu Hm veya daha kısa olan kitaplar yüksekliği Hm olan rafa, diğer bütün kitaplar yüksekliği Hn olan rafa yerleştirilsinler. Buna göre, toplam maliyet aşağıdaki gibi tanımlanır.
Anlaşılacağı gibi problem, tüm kitapların yerleştirilmesi maliyetini en küçük yapacak raf sayısı ile bunların uzunluk ve yüksekliklerinin belirlenmesidir. Şimdi bu problemin bir en kısa yol problemi olarak çözümü üzerinde duralım. Bunun için, düğümlerin kitap boylarını gösterdiği (n + 1) düğümlü bir ağ oluşturalım. Ağın başlangıç düğümü sıfır boya, son düğümü en uzun kitap boyuna karşılık gelsin.
Probleme uygun düşen ağ modelinin gerektirdiği varsayımlar şunlardır:
1. 0 = Ho < H1 < H2 < ... < Hn
2. j > i ise, i ve j düğümleri birbirlerine doğrudan bağlıdır. Bu varsayım ile Hi yüksekliğinde bir raftan sonra daha yüksek bir raf kurulması sağlanır. Bu varsayımın doğal sonucu olarak ağdaki dal sayısı, (n(n + 1))/2) olur.
3. dij = i ve j arasındaki uzaklık fonksiyonu,
j i için
j ≤ i için
olarak tanımlanmıştır.
Bu varsayımların kullanılmasıyla çizilen ağ aşağıda gösterilmiştir.
Şekil
4.31
Yapılan varsayımların doğal bir sonucu olarak yukarıdaki ağın başlangıç ve bitiş düğümleri arasındaki en kısa yol, toplam maliyetin en küçük olmasını sağlayan raf sayısı ile bunların yükseklik ve uzunluklarını verir. i ve j arasındaki uzaklık fonksiyonu, sabit maliyet Kj’ye ek olarak boyu ≤ Hj olan kitaplar için yüksekliği Hj olan raf kurma maliyetini gösterir. Önceden açıklandığı gibi +, iki düğümü birleştiren dal bulunmaması anlamındadır. Bir an için problemin çözüldüğünü ve en kısa yol üzerindeki düğümlerin (0, 5, 10, n) olarak belirlendiğini varsayalım. Buna göre, boyu H5 veya daha az olan kitaplar H5 yüksekliğindeki rafa, boyu H10 veya daha kısa (H5’den uzun) olan tüm kitaplar H10 yüksekliğindeki rafa, diğer bütün kitaplar yüksekliği Hn olan rafa yerleştirileceklerdir. Bu yolla toplam maliyet, (0, 5), (5, 10) ve (10, n) dallarının uzunlukları toplamına eşit olur.
Örnek 4.5: Boy (cm), kalınlık (cm) ve sayıları aşağıda verilen toplam 320 kitabın yerleştirileceği uygun raf sistemi belirlenmek istenmektedir.
Tablo 4.2
| Boy | Kalınlık | Sayı |
|---|---|---|
| 21 | 1 | 120 |
| 23 | 3 | 150 |
| 34 | 6 | 50 |
Çözüm 4.5: Yukarıdaki açıklamalar doğrultusunda ilk düğümü sıfır, son düğümü en uzun kitap boyuna karşılık gelmek üzere dört düğüm ve altı daldan oluşan ağ aşağıda gösterilmiştir. Ayrıca, dalların uzunluklarının hesaplanması ile ilgili işlemler aşağıda özetlenmiş, hesaplama sonuçları ait oldukları dallar üzerinde gösterilmiştir.
d0,1 = 80 + (1 X 21) X (1 X 120) = 2600
d1,2 = 80 + (1 X 23) X (3 X 150) = 10430
d2,3 = 80 + (1 X 34) X (6 X 50) = 10280
d0,2 = 80 + (1 X 23) X ( 1 X 120 + 3 X 150) = 13190
d1,3 = 80 + (1 X 34) X ( 3 X 150 + 6 X 50) = 25580
d0,3 = 80 + 1 X 34 X (1 X 120 + 3 X 150 + 6 X 50) = 29660
Şimdi de Dijkstra Algoritması ile en düşük maliyetli raf kurma planını belirleyelim. Algoritmayla ilgili hesaplama sonuçları aşağıda toplu halde verilmiştir.
Ön adım:
Düğüm
No : [0 1 2 3 ]
Etiket
: [0* 2600 13190 29660 ]
İkinci adım:
Düğüm No : [0 1 2 3 ]
Etiket : [0* 2600* 13190 29660 ]
Birinci
adım:
Düğüm No : [0 1 2 3 ]
Etiket
: [0* 2600* 13030 28180 ]
İkinci adım:
Düğüm No : [0 1 2 3 ]
Etiket : [0* 2600* 13030* 28180 ]
Birinci
adım :
Düğüm No : [0 1 2 3 ]
Etiket
: [0* 2600* 13030* 23310 ]
İkinci adım:
Düğüm No : [0 1 2 3 ]
Etiket : [0* 2600* 13030* 23310*]
Tüm etiketler kalıcı olduğundan problem çözülmüştür. Şimdi de en kısa yolu, yani en küçük maliyetli raf planını belirleyelim. Son iki düğüm arasındaki fark, (2, 3) dalının uzunluğuna eşit olduğundan, (2, 3) en kısa yol üzerindedir. 2 ve 1 nolu düğümlerin etiketleri arasındaki fark (1, 2)’nin uzunluğuna eşit olduğundan (1, 2), 0 ve 1 nolu düğümlerin etiketleri arasındaki fark (0, 1) dalının uzunluğuna eşit olduğundan (0, 1) en kısa yol üzerindedir. Kısaca en kısa yol, (0, 1), (1, 2), (2, 3) dallar dizisi olarak belirlenmiş olur. Bu yolu oluşturmanın maliyeti 23310 TL olup en küçüktür. Kısaca yükseklik ve uzunlukları sırasıyla, 21, 120; 23, 450; 34, 300 cm olan üç ayrı raf kurulacaktır.
En küçük yayılmalı ağaç problemleri, en kısa yol problemlerinin özel bir biçimidir. En kısa yol problemlerinde olduğu gibi, en küçük yayılmalı ağaç problemlerinde de dal uzunluklarının bilindiği varsayılır. İki problem arasındaki en önemli fark en küçük yayılmalı ağaç probleminde düğümlerin tümünü, en kısa yol probleminde düğümlerin bazılarını birleştiren dallar dizisinin bulunmasıdır. Ayrıca en kısa yol probleminde ağın yönlendirilmiş olması şart iken, yayılmalı ağaç probleminde ağın yönlendirilmemiş olması gerekir. Uygulamada çok sık karşılaşılan bu tür problemlere örnek olması bakımından belirli bir yerdeki bilgisayarlar topluluğunun birbirlerine bağlanmak istendiklerini düşünelim. Burada, bilgisayarların her biri bir düğüm ve bunları birbirlerine bağlayan yeraltı kabloları dal olarak ele alınabilir. Bilgisayarlar arasındaki bağlantıyı sağlayan yeraltı kablolarının toplam uzunluğunun en kısa olması amaçlanabilir. Bu amaca ulaşmak için belirlenen dallar topluluğunun herhangi bir çevrim kapsamaması gerekir.
**Yayılan Ağaç: n düğümlü bir ağda tüm düğümler arasında bağlantı kuran ve (n -
- sayıda daldan oluşan çevrim içermeyen dallar dizisidir.**
Dört düğümlü bir ağ ile bu ağa ait yayılan ağaçların listesi aşağıda verilmiştir.
Şekil 4.33
(1, 2), (1, 3), (1, 4) - (1, 2), (1, 4), (2, 3) - (1, 2), (1, 3), (3, 4)
(1, 2), (1, 4), (3, 4) - (1, 2), (2, 3), (3, 4) - (1, 3), (1, 4), (2, 3)
(1, 3), (2, 3), (3, 4) - (1, 4), (2, 3), (3, 4)
En Küçük Yayılmalı Ağaç: Kapsadığı dalların uzunlukları toplamı en küçük olan yayılan ağaca en küçük yayılmalı ağaç denir.
Yukarıda listelenen yayılan ağaçlardan, (1, 4), (2, 3), (3, 4) ve (1, 2), (1, 4), (3,4) olmak üzere ikisinin en küçük uzunluğa (4 birim) sahip olduğu görülebilir. Anlaşılacağı gibi, bu tip problemler tüm yayılan ağaçların listelenmesi ve bunların uzunlukların hesaplanmasıyla çözülebilir. Ancak, küçük ağlar için bile etkin olmayan bu yaklaşım, büyük ağlar için hiç etkin değildir. En küçük yayılmalı ağaç problemlerinin çözümü için etkin hesaplama teknikleri geliştirilmiştir. Bunlardan en yaygın biçimde kullanılan "en küçük yayılmalı ağaç algoritması" aşağıda açıklanmıştır.
En Küçük Yayılmalı Ağaç Algoritması**: En küçük yayılmalı ağaç, aşağıda açıklanan üç adımlık bir algoritmanın tekrarı ile saptanabilir.**
1. adım: Ağ kapsamındaki düğümlerin oluşturduğu küme N olsun. Bu kümeden
rastgele bir düğüm (i) seçilerek bu düğüme en yakın olan düğüm (j) belirlenir.
Bu iki düğümü birleştiren (i, j) dalı en küçük yayılmalı ağacın bir dalı olur.
Bu yolla ağın düğümleri, birinde birleştirilmiş (i ve j), diğerinde
birleştirilmemiş (i ve j dışındakiler) düğümlerin bulunduğu iki alt kümeye
ayrılmış olur. Birleştirilmiş düğümlerin oluşturduğu küme C, birleştirilmemiş
düğümlerin oluşturduğu küme
ile
gösterilir. Aloritmanın tüm adımlarında N = C U
,
dolayısıyla C
=
{ } olduğu unutulmamalıdır.
2. adım:
’daki
düğümlerden (n), C’deki düğümlerden (m) herhangi birine en yakın olan düğüm
belirlenir. Bu kez, bu iki düğümü birleştiren (m, n) dalı en küçük yayılmalı
ağaca eklenir. Bu durumda C = {i, j, n} olacağından, C’ye eklenen düğüm (n)
kümesinden
çıkarılır.
3. adım: İkinci adımdaki işlemler tüm düğümler birleştirilinceye değin
tekrarlanır. Birleştirilecek düğüm kalmadığında, yani
={
} olduğunda en küçük yayılmalı ağaç belirlenmiş olur.
Örnek 4.6**: Bir işletmenin, çalışanlarının hizmetine sunduğu 7 adet bilgisayarı vardır. Bilgisayarlar arasındaki uzaklıklar aşağıda gösterilmiştir.**
Şekil 4.34
Bilgisayarlar yeraltı kabloları ile birbirlerine bağlanmak istenmektedir. Bu amacı gerçekleştirecek en kısa kablo uzunluğu nedir?
Çözüm 4.6**: 1. adım: Rastgele seçilen ilk düğüm A olsun. A’ya en yakın düğüm B
olduğundan C = {A, B},**
=
{C, D, E, F, G} olur. Böylece A’dan sonra B ağaca eklenir. Eklenen (A, B)
dalının dolu çizgiyle gösterilmesiyle ağ aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.
Şekil 4.35
2. adım: Birleştirilmemiş düğümlerin (C, D, E, F, G) A ve B’ye olan uzaklıklarını inceleyelim.
Uzunlukları karşılaştırılacak dallar şunlardır: (A, C), (A, D), (B, C), (B, E).
En kısa uzunluk (4) (A, D)’ye ait olduğundan, en küçük yayılmalı ağaca
eklenir. Bu durumda C = {A, B, D},
=
{C, E, F, G} olur. Eklenen (A, D) dalının dolu çizgiyle gösterilmesiyle şimdilik
iki daldan oluşan tamamlanmamış ağaç aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.
Şekil 4.36
3. adım: Birleştirilen düğümler kümesi C’yi oluşturan A, B ve D’ye uzaklık
bakımından en yakın olan düğümleri belirleyelim. Halihazırda
kapsamında
bulunan C, E ve F düğümlerinin birleştirilmiş A, B ve Ddüğümlerine olan
uzaklıkları incelendiğinde, en kısa mesafenin (C, D)’ye ait olduğu görülecektir.
Buna göre, C = {A, B, C, D} olur ve (C, D) ağaca eklenir. Eklenen (C, D) dalının
dolu çizgiyle gösterilmesiyle, şimdilik üç daldan oluşan tamamlanmamış ağaç
aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.
Şekil 4.37
4. adım: Ağaca eklenmemiş üç düğüm (E, F, G) vardır. Yani,
=
{E, F, G}’dir.
içeriğindeki
her bir noktanın halihazırda birleştirilmiş olan A, B, C ve D’ye olan
uzaklıkları uzaklıkları incelendiğinde, en kısa mesafenin (C, F)’ye ait olduğu
görülebilir. Bu durumda C = {A, B, C, D, F},
=
{E, G} olduğu ve (C, F)’nin en küçük yayılmalı ağaca ait olduğu kararlaştırılır.
Bu dalın eklenmesiyle, Şekil 4.37’deki ağaçtan daha gelişmiş (üç yerine dört dalı olan) ancak, henüz tamam olmayan ağaç Şekil 4.38’deki gibi belirlenmiş olur.
Şekil 4.38
5. adım: 4. adımda bağlanan 5 noktaya en yakın bilgisayar E’dir. Bu nedenle bu bilgisayar C’nin yeni elemanı olur.
Bu noktada, C = {A, B, C, D, E, F},
=
{G} ve yeni dal Şekil 4.39’da gösterildiği gibi (E, F) olur.
Şekil 4.39
6. adım: Ağaca eklenmeyen tek düğüm G’dir. G’yi ağaca bağlayan en kısa dal (E, G) olduğundan G, E ile birleştirilir.
Bu durumda C = {A, B, C, D, E, F, G},
=
{ } olur.
=
{ } olduğundan problem çözülmüştür.
Şekil 4.40’da koyu renkle çizilmiş ve beklendiği gibi sayıları ağdaki düğüm sayısının 1 eksiğine (6) eşit olan (A, B), (A, D), (C, D), (C, F), (F, E), (F, G) dallarından oluşan en küçük yayılmalı ağacın uzunluğu 16 birimdir.
Şekil 4.40
Başlangıçta rastgele seçilen düğümün en iyi çözümü değiştirip değiştirmeyeceği sorulabilir. Soruyu yanıtlamak için ilk düğüm olarak E’yi seçelim. Bu kez işlemler ayrıntılarıyla değil aşağıdaki gibi küme gösterimiyle açıklanacaktır.
Birinci adım: C = {E, F},
=
{A, B, C, D, G}; (E, F) ağaçta.
İkinci adım: C = {E, F, C},
=
{A, B, D, G}; (F, C) ağaçta.
Üçüncü adım: C = {E, F, C, D},
=
{A, B, G}; (C, D) ağaçta.
Dördüncü adım: C = {E, F, C, D, A},
=
{B, G}; (D, A) ağaçta.
Beşinci adım: C = {E, F, C, D, A, B},
=
{G}; (A, B) ağaçta.
Altıncı adım: C = {E, F, C, D, A, B, G},
=
{ }; (E, G) ağaçta.
Rasgele seçilen ilk düğüm E iken, anılan ağaç {(E, F), (F, C), (C, D), (D, A), (A, B), (E, G)} olarak belirlenmiştir. E seçimiyle belirlenen en küçük yayılmalı ağaç ile A seçimiyle belirlenen ağacın aynı olduğuna dikkat edilmelidir.
Konu ne olursa olsun, eldeki kaynakların etkin biçimde kullanılmasında; planlama, programlama ve kontrolün önemi büyüktür. Konu proje yönetimi olduğunda planlama, programlama ve kontrolün önemi daha da belirginleşmektedir. Proje yönetiminde, planlama tekniklerinden kritik yol yöntemi (CPM[4]) ile proje değerlendirme ve gözden geçirme tekniği (PERT[5]) gelişmiş ülkelerde çok geniş bir uygulama alanı olan proje çizelgeleme teknikleridir. Anılan yöntemler eldeki sınırlı kaynaklar ölçüsünde projenin tamamlanma süresinin belirlenmesi, toplam maliyeti en düşük yapacak proje süresinin saptanması, sürenin kısaltılması amacıyla kaynak aktarımı yapılması vb. konularda yöneticiler için hayati önem taşıyan sorunlara etkili çözüm yolları ararlar ve bulurlar. Anılan yöntemler ülkemizde de birçok büyük projede kullanılmıştır. II. Fatih Sultan Mehmet Köprüsü ve Güney Doğu Anadolu Projesi CPM, Keban Barajı ve İstanbul Boğaz Köprüsü PERT’in uygulandığı projelere örnek gösterilebilir.
CPM ve PERT, birbirine bağlı çok sayıda faaliyetten oluşan büyük ve projelerin programlanmasında kullanılan yöntemlerdir. Birbirlerinden bağımsız geliştirilmelerine karşın birbirlerine çok benzeyen bu iki yöntem arasındaki en önemli fark faaliyet sürelerine ilişkindir. PERT’de faaliyetlere ilişkin süreler belirsiz olup bir takım olasılık hesaplamaları ile tanımlandığı halde, CPM’de bu sürelerin kesinlikle bilindiği varsayılmaktadır. Yöntemleri açıklamadan önce konuyla ilgili temel kavramların açıklanması uygun olur.
Faaliyet: Bir iş ya da projenin tamamlanması için gerçekleştirilen eylemlerin her birine faaliyet denir.
Her faaliyetin bir süresi vardır ve gerçekleşmesi genellikle belirli kaynakların kullanılmasını gerektirir. Örneğin, bir ürünün bir yerden başka bir yere taşınması, temel atılması, duvarın sıvanması, bahçenin sulanması vb. birer faaliyettir. Projedeki faaliyetler ağ üzerinde oklarla gösterilir. Okların yönü faaliyetlerin akışını, yeri ise faaliyetlerin proje içindeki sırasını gösterir.
Olay: Bir iş veya projenin zaman akışı içindeki belirli noktalarda varılması gereken aşamalarına olay denir.
Süreleri olmamakla birlikte her olayın birer tarih ya da saati vardır. Örneğin duvarın sıvanmaya başlanması tarihi, kamyonun depoya varış saati gibi. Olaylar okların birleştikleri yerlerde birer daire ile gösterilirler.
Olay ve faaliyetlerin ağda nasıl gösterildikleri Şekil 4.41’de açıklanmıştır.
Şekil 4.41
Kukla Faaliyet: Zaman ve kaynak kullanımı gerektirmeyen, yalnızca iki veya daha fazla sayıdaki gerçek faaliyet arasındaki ilişkileri göstermek amacıyla kullanılan faaliyetlere kukla faaliyet denir.
Kukla faaliyetler kesik çizgili oklarla gösterilirler ve paralel (aynı noktada başlayıp aynı noktada biten) faaliyetlerin ayırt edilmesinde kullanılırlar.
Şekil 4.42
Süreli Kukla Faaliyet: Belirli bir süresi olmakla birlikte kaynak kullanımı gerektirmeyen faaliyete, süreli kukla faaliyet denir.
Örneğin, sulanan veya boyanan bir yerin kuruması için bekletilmesi. Süreli kuklalar bazan kukla faaliyetler gibi kesik çizgi ile bazan gerçek faaliyetler gibi dolu çizgi ile gösterilirler.
Konuyla ilgili bu önemli kavramların ardından, önce CPM ardından PERT ile ilgili açıklamalara geçebiliriz. Ancak daha önce, 1955 yılına kadar proje yönetiminde en yaygın biçimde kullanılan planlama tekniklerinden Gantt çizelgesi üzerinde kısaca duralım.
Faaliyetler arasındaki zaman ve maliyet faktörlerini de dikkate alarak gösterme fikri yeni değildir. Özellikle Henry Gantt bu konuda daha 1900’lü yılların başlarında önemli çalışmalar yapmış, planlama ve kontrol faaliyetleri için kendi adıyla anılan çizelgeyi (Gantt çizelgesi) geliştirmiştir. 1960’lara kadar, planlama ve kontrol sorunlarında çözüm aracı olarak yaygın biçimde kullanılan Gantt çizelgesi günümüzde sanayi mühendisleri tarafından sıkça kullanılmaktadır. Proje adımlarını sistematik olarak tanımlamaya yarayan Gantt çizelgesi istatistiksel grafikler içerisinde okunması ve izlenmesi en kolay çizelgelerden biridir. Faaliyetlerin başlama ve bitiş zamanlarının yatay bir zaman ekseni üzerinde belirtilmesi esasına dayanan bu çizelgenin bir başka özelliği dinamik olması yani, programlanan işle belirli bir anda yapılmış olan iş miktarını karşılaştırma olanağı sağlamasıdır. Gantt çizelgesinde, faaliyetlerin sırası yukarıdan aşağıya doğru dikey eksen üzerinde, zaman akışı ise yatay eksen üzerinde gösterilir. Zaman birimi olarak ay, hafta, gün veya saat seçilebilir. Bu seçim yapılan işin özelliğine göre değişir. Proje planlama yöntemlerinden olan Gantt çizelgesinde faaliyetler, süreleriyle orantılı olarak şerit halinde ve yatay çizgi ile gösterilir.
A, B, C ve D olmak üzere dört faaliyetten oluşan bir projenin uygulama programı (Gantt Çizelgesi) Tablo 4.3’de verilmiştır.
Tablo 4.3
| H A F T A | |||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Faaliyet | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
 A |
|||||||||||||||
 B |
|||||||||||||||
 C |
|||||||||||||||
 D |
Tablo 4.3 incelendiğinde, A’nın 4, B’nin 3, C’nin 6 ve D’nin 2 haftada tamamlandıkları görülecektir. Buna göre örneğin, 10. haftanın sonunda A ve B faaliyetlerinin bitmiş, C faaliyetinin yarısının tamamlanmış ve D faaliyetine hiç başlanmamış olması gerekmektedir. Gantt çizelgesi üzerinde tamamlanan faaliyetlerin kalın bir şerit ile gösterilmesi sonucunda hangi faaliyetlerin gerçekleştirildiği belirlenerek programın kontrolü sağlanmış olur. Bu amaçla oluşturulan Tablo 4.4 incelendiğinde 10. hafta sonunda A ve B faaliyetlerinin programa uygun olarak tamamlanmış, D faaliyetinin henüz başlamamış olduğu, C faaliyetinin ise programın 2 hafta gerisinde olduğu görülür.
Tablo 4.4
| H A F T A | |||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Faaliyet | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
 A |
|||||||||||||||
 B |
|||||||||||||||
 C |
 |
||||||||||||||
 D |
Basit ve küçük çapta projeler için kullanışlı olmasına karşın, büyük projeler için kullanışlı olmayan Gantt çizelgesi, faaliyetler arasındaki bağımlılıkları da tam olarak açıklayamamaktadır. Hangi faaliyetlerin geciktirilebileceği, hangilerinin geciktirilemeyeceği hakkında bilgi de vermemektedir. Zaman-maliyet analizi yapabilmek için gerekli bilgi Gantt çizelgesinde yoktur. Söz konusu çizelgenin bu olumsuz özellikleri ağ yaklaşımını ortaya çıkarmıştır.
Projelerin plan ve programlanması ile ilgili işletme problemleri bir çizelgeyle gösterilebilir. Bu çizelge şeklindeki gösterim ağ olabilir. Bilindiği gibi ağ sözcüğü ok şeklinde çizilen ve ağ planlama tekniklerinin esas kısmını oluşturan birbirlerine bağlı faaliyetlerin şekil ya da çizelge olarak gösterilmesinden doğmaktadır. Proje söz konusu olduğunda ağ şu şekilde tanımlanmaktadır. "Program amacına ulaşabilmek için gerçekleşmesi gereken faaliyetlerden ve olaylardan meydana gelen, faaliyet ve olayların birbirleriyle olan bağlantı ve ilişkilerini gösteren şemaya ağ" denir. Ağ yaklaşımının sağladığı yararlar aşağıdaki gibi özetlenebilir.
- Bir ya da daha fazla sayıda projenin aynı anda ve istenen ayrıntıda planlama ve denetiminin yapılmasına olanak sağlar.
- Faaliyetler arasındaki karmaşık ilişkiler oldukça basit ve açık biçimde gösterilir. Böylece proje, planlamayı yapanların dışındaki kimselere de kolayca açıklanabilir.
- İşlemler oldukça basit olup, bilgisayarda kolayca programlanabilir.
- Kritik faaliyetlerin saptanması sonucunda önemli olan bir grup faalliyete dikkat çekilir. Böylece, daha etkin bir planlama ve denetime olanak sağlanır.
- Bazı faaliyetlerin gecikme ve/veya hızlandırılmalarının etkileri ve bunlara bağlı olarak oluşacak darboğazların kolayca saptanabileceği bir ortam oluşturulur.
- Değişik proje tarihlerine ilişkin toplam proje maliyetleri hesaplanarak en düşük toplam maliyetli proje planı seçilebilir.
- Çok değişik konu ve kapsamda proje kolayca planlanabilir.
- Kaynaklar, aynı kaynağı kullanan faaliyetler arasında en düşük toplam maliyete neden olacak şekilde bölüştürülebilir. Burada, problemin güçlüğü nedeniyle en düşük maliyete neden olacak bölüşüm sağlanamasa da buna yakın bir sonuç elde edilebilir.
- Projenin uygulanması sırasında güncelleştirmeye önem verilerek projenin günü gününe izlenmesi sağlanır. Böylece proje yönetiminden sorumlu kimselerin aksayan noktaları görebilmeleri ve gerektiğinde süratle müdahale edebilmelerini sağlayan bir alet oluşturulmuş olur.
Araştırmalar ağ yaklaşımının kullanıldığı uygun işlerde projenin tamamlanma süresinin en az %10 azaltılabileceğini, kaynak kullanımındaki faydanın ise en azından %5 artırılabileceğini göstermiştir.
Kritik yol yöntemi (CPM), bir projenin gerçekleştirilmesinde insan gücü, makina ve zamandan en yüksek düzeyde yararlanmayı sağlayan ağ tekniklerini kullanma bilimidir. CPM formülasyon, planlama, gözlem ve kontrol olmak üzere başlıca üç bölüm içerir.
a. Formülasyon: Bu bölüm aşağıdaki adımları kapsar.
1. Belirli olay ve faaliyetlere ayırım işleminin yapılması.
2. Olay ve faaliyetler arasındaki ilişkilerin belirlenmesi.
3. Proje ağının kurulması.
4. Tüm faaliyetlerin sürelerinin belirlenmesi.
b. Planlama: Bu bölüm esas olarak boşlukları ve kritik yolu bulmayı içerir ve aşağıdaki adımları kapsar.
1. Kritik olay ve faaliyetlerin belirlenmesi.
2. Kritik yolun belirlenmesi.
3. Tüm olay ve faaliyetlerin boşluklarının hesaplanması.
4. Tamamlanmış proje planının kurulması.
c. Gözlem ve Kontrol: CPM kullanımının bu bölümü aşağıdaki adımları kapsar.
1. Tüm faaliyetlerin belirlenmiş zamanlarının gözlenerek, hazırlanan planla karşılaştırılması.
2. Esas plandan olan sapmaların belirlenmesi.
3. Gecikmeler belirlendiğinde, yeniden planlama ile orijinal ağda değişiklik yapılması.
4. Eğer mümkünse boşluklara göre kaynakların faaliyetlere transfer edilmesi.
Yukarıda açıklandığı gibi, formülasyon sürecinde, projenin belirli faaliyet ve olaylara ayrılmasından sonra bunlar (faaliyetler ve olaylar) arasındaki öncelik ilişkilerinin belirlenmesi gerekir. Bir faaliyetin kendisinden önce bitirilmesi gereken faaliyete "önceki faaliyet", kendisinin tamamlanması ile başlayan faaliyete de "sonraki faaliyet" denir.
Faaliyetlerin öncelik ilişkilerinde istenen önemli bilgiler aşağıdaki üç sorunun yanıtlanması ile gerçekleştirilebilir.
1. Herhangi bir faaliyet başlamadan önce hangi faaliyet(ler) tamamlanmalıdır?
2. Hangi faaliyetler paralel yürütülmelidir?
3. Bu faaliyetleri hangi faaliyetler izlemelidir?
A. Proje Ağının Oluşturulması
Proje ağının çizilmesinde uyulması gereken kurallar şöyledir.
1. Her ağda tek bir başlama olayı ile tek bir bitiş olayı olmalıdır. Gerekirse bu olaylar yapay olarak yaratılırlar.
2. Bir faaliyet, kendisinden önceki faaliyet(ler) bitmeden başlayamaz.
3. Bir okun uzunluğu önemli olmayıp oklar yalnızca öncelikleri belirtir.
4. İki olay en fazla bir faaliyet ile doğrudan bağlanabilir.
5. Her olayın bir numarası olmalıdır. Olaylar okların küçük numaralı bir noktadan daha büyük numaralı bir noktaya gitmesini sağlayacak biçimde numaralandırılır. Böylece ağ üzerinde çevrim oluşması engellenmiş olur.
Şekil 4.43’deki faaliyetlerin bir çevrim meydana getirdiği görülmektedir.
Şekil 4.43
Yukarıda açıklanan kurallardan bazılarını inceleyelim. Dördüncü kurala göre iki olay en fazla bir faaliyetle doğrudan bağlanabilir. Bunun nedeni, faaliyetleri ayırt edebilme zorunluluğudur. Şekil 4.44’de 1 ve 2 numaralı olaylar birden fazla faaliyetle doğrudan bağlanmış olup bu yasaktır.
Şekil 4.44
Kural 4’e ters düşen bu durumdan kurtulmak için kukla faaliyet kullanılır. Bu duruma uygun alternatif kukla faaliyetler Şekil 4.45’de gösterilmiştir.
Şekil 4.45
Kukla faaliyetler yalnızca paralel faaliyetlerin ayırt edilmesinde değil, faaliyetler arasındaki öncelik ilişkilerinin belirtilmesinde de kullanılırlar. Kukla faaliyet kullanımına örnek olmak üzere Tablo 4.5’deki verileri alalım.
| Faaliyet | Önceki Faaliyet |
|---|---|
| A | - |
| B | - |
| C | A, B |
| D | B |
Faaliyetlerin öncelik ilişkilerinin dikkate alınmasıyla çizilen ağ Şekil 4.46’da gösterilmiştir. Ağın faaliyetler arasındaki öncelik ilişkileri bakımından doğru olduğu görülebilir. Ancak şekil dikkatle incelendiğinde D faaliyetinin başlayabilmesi için A ve B faaliyetlerinin tamamlanması gerektiği görülebilir. Oysa tabloda verildiği gibi D faaliyeti ile A faaliyeti arasında herhangi bir bağımlılık bulunmamaktadır. Ağın aşağıdaki gibi çizilmesiyle D ve A faaliyetleri arasında yapay bir bağımlılık yaratılmıştır.
Şekil 4.46
Bu durumdan kurtulabilmek için kukla faaliyetler kullanılır. Tablo 4.5’deki faaliyetlerin öncelik ilişkilerini yansıtan ve kurallara uygun olarak çizilen ağ Şekil 4.47’de gösterilmiştir. Buna göre D, B’den sonra, C faaliyeti de A ve B faaliyetlerinin tamamlanmasından sonra başlayabilmektedir.
Şekil 4.47
Faaliyetlerin öncelik ilişkileri aşağıda bir dizi örnekle açıklanmıştır.
B, A tamamlandıktan sonra başlar veya A, B’den önce gelir (bkz. Şekil 4.48).
Şekil 4.48
C, A ve B tamamlandıktan sonra başlar veya A ve B, C’den önce gelir (bkz. Şekil 4.49).
Şekil 4.49
B ve C, A tamamlandıktan sonra başlar veya A, B ve C’den önce gelir (bkz. Şekil 4.50).
Şekil 4.50
Proje ağı iki farklı yaklaşımla çizilebilir. Yaklaşımlardan birisinde faaliyetler oklarla, diğerinde noktalarla gösterililir. Her iki yaklaşımın da olumlu ve olumsuz yönleri vardır. Sözgelimi, faaliyetlerin noktalara atandığı durumdaki proje ağının çizimi kolay olmakla birlikte faaliyetlere ilişkin bilgiler net olarak gözükmemektedir. Yüzlerce faaliyetten oluşan büyük projelerde bu durum karışıklık yaratabilir. Faaliyetlerin oklara atandığı durumda ağın oluşturulması daha zordur ve kukla faaliyetlere gerek duyulabilir. Ancak, faaliyetlere ilişkin bilgiler ağdan kolayca izlenebilir. Ayrıca, günümüz ticari bilgisayar programlarının çoğunda faaliyetlerin oklarla gösterilmesi yaklaşımı benimsendiğinden, biz de faaliyetlerin oklarla gösterilmesi esasını benimseyeceğiz. Bu yaklaşım örnek problemlerle açıklanacaktır.
Örnek 4.7: Süre ve öncelik ilişkileri aşağıda verilen A, B, ..., G, H faaliyetlerinden oluşan projenin ağını çiziniz.
Tablo 4.6
| Faaliyet | Süre (gün) | Önceki Faaliyet |
|---|---|---|
| A | 4 | - |
| B | 8 | - |
| C | 2 | A |
| D | 3 | A |
| E | 8 | B, C |
| F | 5 | B, C |
| G | 5 | D, E |
| H | 10 | D, E, F |
Çözüm 4.7: Tablodaki verilerden hareketle kurulan proje ağı Şekil 4.51’de gösterilmiştir.
Süreler parantez içerisinde olmak üzere, faaliyet isimleri okların üzerinde belirtilmiştir. Tabloda belirtildiği gibi D ve E faaliyetleri hem G hem de H’dan önce gelen faaliyetlerdir. H’dan önce gelen D, E, F faaliyetlerini ağda doğru olarak gösterebilmek için kukla faaliyete gerek duyulmuştur. Kukla faaliyet kesikli çizgi ile gösterilmiş ve K ile isimlendirilmiştir. Olaylar projede ilerleme yönünü belirleyecek sırada numaralanmıştır.
Şekil 4.51
Örnek 4.8: Bir işletme A, B ve C parçalarından oluşan yeni bir ürün üretmeyi planlamaktadır. Ürünün mamul hale gelmesi için öncelikle bu üç parçanın tasarımının tamamlanması gerekmekte olup bu işlem 5 hafta sürmektedir. Tasarımdan sonra üretime geçilmektedir. A’nın üretimi 4, B’nin üretimi 5, C’nin üretimi 3 haftada tamamlanmaktadır. Üretilen parçaların birleştirilmesinden önce A test edilmekte, bu işlem 2 hafta sürmektedir. Testten sonra montaja geçilmektedir. Montaj için önce A ile B birleştirilmekte (2 hafta) sonra C eklenmektedir (1 hafta). C’nin eklenmesiyle tamamlanan ürünün test edilmesi 1 hafta sürmektedir.
Faaliyetleri ve faaliyetler arasındaki ilişkileri belirleyerek üretim projesinin ağını kurunuz.
Çözüm 4.8: Açıklamalar doğrultusunda belirlenen faaliyetler, faaliyetlerin öncelik ilişkileri ve süreler (gün) aşağıdaki tabloda topluca gösterilmiştir.
Tablo 4.7
| Faaliyet Adı | Faaliyet Tanımı | Önceki Faaliyet | Süre |
|---|---|---|---|
| T | Tasarım | - | 5 |
| A | A’nın Üretimi | T | 4 |
| B | B’nin Üretimi | T | 5 |
| C | C’nin Üretimi | T | 3 |
| D | A’nın Testi | A | 2 |
| E | A ve B’nin Birleştirilmesi | B, D | 2 |
| F | C’nin Birleştirilmesi | E, C | 1 |
| S | Ürün Testi | F | 1 |
Tablodaki verilerle çizilen proje ağı aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 4.52
Örnek 4.9: Yeni bir otomobil satın almak için gerekli 15 faaliyet aşağıdaki tabloda, kısa tanım ve süreleriyle birlikte verilmiştir. Faaliyetler arasındaki öncelik ilişkileri, aynı tablonun son sütununda gösterildiği gibidir. Proje ağını çiziniz.
Tablo 4.8
| Faaliyet | Kısa Tanım | Önceki Faaliyet(ler) | Süre |
|---|---|---|---|
| A | Fizibilite Çalışmasını Sonlandırma | - | 3 |
| B | Şimdiki otomobil için alıcı bulma | A | 14 |
| C | Olası modelleri listeleme | A | 1 |
| D | Olası modelleri araştırma | C | 3 |
| E | Servisler hakkında bilgi alma | C | 1 |
| F | Bayilerin kampanya broşürlerini toplama | C | 2 |
| G | Uygun veriyi derleme | D, E, F | 1 |
| H | En iyi üç modeli seçme | G | 1 |
| I | Bu üç modelin test sürüşünü yapma | H | 3 |
| J | Garanti ve finans verisini toplama | H | 2 |
| K | Modellerden birini seçme | I, J | 2 |
| L | Bayii seçme | K | 2 |
| M | İstenilen renk ve opsiyonları belirleme | L | 4 |
| N | Seçilen model ile bir kez daha test sürüşü yapma | L | 1 |
| O | Yeni otomobil satın alma | B, M, N | 3 |
Çözüm 4.9: A ilk, O son faaliyet olmak üzere tablodaki verilerle çizilen proje ağı Şekil 4.53’de gösterilmiştir. Ağ çiziminde biri D ve E’nin diğeri E ve F’nin (dolayısıyla D, E ve F’nin), üçüncüsü I ve J’nin, dördüncüsü M ve N’nin aynı düğümde tamamlanmasını sağlamak için, 4 kukla faaliyet (K0, K1, K2,K3) kullanıldığı görülebilir.
Kritik olmayan faaliyetler ise belirli zaman aralıklarında tamamlandıklarında proje süresini değiştirmeyen esnek faaliyetlerdir. Kritik olmayan faaliyetlerin esnekliğine ya da geciktirilebilme rahatlığına "boşluk" denir. Boşluk değerleri kritik yol hesaplamalarında doğrudan kullanılmamakla birlikte, zaman-maliyet analizinde ve kaynak tahsisinde kullanılmaktadır.
1. Toplam boşluk, 2. Serbest boşluk, 3. Bağımsız boşluk, 4. Emniyet boşluğu olmak üzere dört çeşit boşluk hesaplanmaktadır. En çok bilinen boşluklar toplam boşluk ile serbest boşluktur.
Sözü edilen boşluk çeşitlerini kısaca açıklayalım.
Toplam Boşluk: Bir faaliyetin, proje süresini uzatmadan ertelenebileceği en uzun süreye toplam boşluk (TB) denir.
Toplam boşluk hesaplanırken (i, j) faaliyetinden önce gelen bütün faaliyetlerin en erken başlama zamanında başladığı kabul edilir. Buna göre toplam boşluk, Lj ve Ei terimleriyle açıklanabilir. (i, j) faaliyetinin i düğümünde başladığı dikkate alındığında, i’nin ortaya çıkışı veya (i, j) faaliyetinin tamamlanma süresi k birim zaman geciktirilirse, (i, j) faaliyeti, Ei + k + Dij zamanında tamamlanacaktır. Bu durumda,
Ei + k + Dij ≤ Lj veya k ≤ Lj - Ei - Dij
ise projenin en erken tamamlanma süresi gecikmeyecektir.
Buna göre, (i, j) faaliyetinin toplam boşluğu şöyledir:
TBij = Lj - Ei - Dij
Bu açıklamalar çerçevesinde Şekil 4.59’daki D faaliyetine ilişkin toplam boşluğu hesaplayalım.
Şekil 4.59
TB24 = TBD = 16 - (4 + 3) = 9 gün olacaktır.
Buna göre D, en erken başlama zamanı olan 4. günde başlatıldığında, izin verilen en geç zamandan 9 gün önce biter. Faaliyetin 3 gün olan normal süresi (3 + 9) güne kadar uzatılabilir. Bu gecikmeye karşın programda bir değişiklik olmaz. Herhangi bir faaliyetin toplam boşluğu kendisine ait süredeki esnekliğin ölçüsüdür. Kritik faaliyetlerin toplam boşlukları sıfıra eşittir.
Faaliyet süresinin esnekliğiyle ilgili bir başka ölçü serbest boşluktur.
Serbest Boşluk: Bir faaliyetin, kendisinden sonra gelen faaliyetlerin başlamasını etkilemeden ertelenebileceği en uzun süreye serbest boşluk (SB) denir.
Serbest boşluk bir faaliyetin yalnızca kendisini ilgilendiren bir boşluk türüdür. Serbest boşluk, toplam boşluğa eşit ya da küçüktür. Serbest boşluk için de (i, j) faaliyetini etkileyen önceki faaliyetlerin en erken başlama zamanında başladıkları varsayılır. Olay i’nin ortaya çıkışının veya (i, j)’nin süresinin k birim uzadığını düşünelim. Bu durumda j’nin en erken ortaya çıkacağı zaman (Ei + Dij + k)’ya eşit olur. Buna göre,
Ei + Dij + k ≤ Eij veya k ≤ Ej - Ei - Dij
ise j düğümü gecikmez.
Bu durumda, (i, j) faaliyetinin serbest boşluğu,
SBij = Ej - Ei - Dij
olur.
D faaliyetinin serbest boşluğu aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.
SB24 = SBD = 16 - 4 - 3 = 9 gün
D’nin serbest boşluğunun 9 gün olması, bu faaliyetin başlamasının veya tamamlanmasının 9 gün veya daha fazla uzaması durumunda, bu faaliyeti izleyen E ve G faaliyetlerinin başlamalarının gecikeceği anlamını taşır.
Toplam boşluk ve serbest boşluk tanımlarında yapılan varsayım, faaliyetlerin zamanlanmasında sınırlayıcı olabilmektedir. Buna bir çare olarak bağımsız ve emniyet boşlukları tanımlanmıştır.
Bağımsız Boşluk: Bir faaliyetin kendisini izleyen faaliyetlerin başlamalarını etkilemeden ertelenebileceği en uzun süreye bağımsız boşluk (BB) denir.
Bağımsız boşluk da tıpkı serbest boşluk gibi, yalnızca ait olduğu faaliyeti ilgilendiren bir boşluk türüdür. (i, j) faaliyetinin bağımsız boşluğu aşağıdaki bağıntıdan hesaplanır.
BBij = Ej - Li - Dij
Buna göre aynı faaliyetin bağımsız boşluğu aşağıdaki gibi hesaplanır.
BB46 = BBD = 16 - 6 - 3 = 7 gün
Emniyet Boşluğu: Bir faaliyetin proje süresini uzatmadan ertelenebileceği en uzun süreye emniyet boşluğu (EB) denir.
Emniyet boşluğunun toplam boşluktan farkı, (i, j) faaliyetinden önce gelen tüm faaliyetlerin en geç bitirilme zamanlarında tamamlandıklarının varsayılmasıdır. Aşağıdaki bağıntının kullanılmasıyla hesaplanır.
EBij = Lj - Li - Dij
Buna göre, diğer boşlukların hesaplanmasında dikkate alınan D faaliyetinin emniyet boşluğu aşağıdaki gibi hesaplanır.
EB46 = 16 - 6 - 3 = 7 gün
Kritik yol yöntemi kullanımının son aşaması projenin kontrol edilmesidir. Bu aşamada tüm faaliyetler ve faaliyetlerin belirlenmiş zamanlarının gözlenmesi ve hazırlanan planla karşılaştırılması gerekir. Projenin programa göre ilerlemediğinin ve bazı faaliyetlerin geciktiğinin belirlenmesi durumunda yeni bir program geliştirmeye gerek duyulabilir. Bu durumda projenin o ana kadar gerçekleştirilmiş faaliyetlerine sıfır süre konularak projenin güncelleştirilmesi gerekir. Güncelleştirilme yardımıyla faaliyetlerin yeni süreleri belirlenir. Yalnızca projenin ilerleyişindeki aksamalarda değil, gelecekte projeye herhangi bir faaliyetin eklenmesi/çıkarılması gerektiğinde de tüm değişikliklerin ağa yansıtılması gerekir. Proje kontrolü, kaynakların kullanımı ve transferlerini de içerir. Mümkünse, hesaplanan boşluk değerlerine göre faaliyetlere gerekli kaynak transferlerinin yapılması sağlanır.
CPM’de faaliyet sürelerinin faaliyetlerde kullanılan kaynak miktarıyla orantılı olduğu kabul edilir. Genel olarak, herhangi bir faaliyete ayrılan kaynağın (para, emek, malzeme, makine vb.) artırılması durumunda, faaliyetin süresi kısaltılabilir. CPM terminolojisinde faaliyet süresinin kısaltılması veya hızlandırılmasına "hızlandırma" denir. Faaliyetin hızlandırılması için katlanılan yoğun kaynak kullanımının bir maliyeti vardır. Bu maliyete "hızlandırma maliyeti" denir.
Bilindiği gibi, projenin tamamlanma süresi kritik yolun uzunluğuna eşittir ve projenin tamamlanma süresi kritik faaliyetlerle belirlenir. Bu yüzden, projenin tamamlanma süresi doğrudan doğruya kritik faaliyetlerin süreleri ile ilgilidir. Bu nedenle, izlenmesi gereken faaliyetler kritik faaliyetlerdir. Kritik faaliyetlerin hızlandırılması durumunda proje daha erken tamamlanır. Ancak yukarıda açıklandığı gibi, faaliyetin hızlandırılması yönünde yapılacak çalışmalar ek bir harcamayla gerçekleştirilir ki, her şeyden önce bu maliyetin katlanmaya değer olup olmadığı belirlenmelidir. Bunun için, projenin daha kısa sürede tamamlanmasının sağlayacağı avantajlar ile bu avantajları yakalayabilmek için yapılan ek harcamalar arasında bir denge oluşturulması gerekir.
Bu denge noktasının bulunması, zaman-maliyet analizi ile gerçekleştirilir. Zaman-maliyet analizinde amaç, daha yoğun kaynak kullanımının proje süresini azaltıcı, süre azaltmanın bazı maliyet kalemlerini artırıcı etkilerini dengeleyerek en düşük maliyete sahip proje planını gerçekleştirmektir.
Proje maliyeti, dolaylı ve dolaysız maliyetlerden oluşur. Dolaysız maliyetler, faaliyetlerin gerçekleştirilmesindeki işçilik harcamaları, makine kiraları ve malzeme maliyetlerinden oluşur. Dolaylı maliyetler ise, projenin idaresi ve kontrolü, danışmanlık hizmetleri, seyahat, mukavele harcamaları gibi dolaylı maliyetleri kapsar.
Projenin özelliğine göre başka maliyetler de tanımlanabilir. Sözgelimi proje, belirli bir tip mamul üretmeye yönelik bir fabrikanın kurulması olsun. Fabrika üretime geçmedikçe bu ürünün pazarlanması söz konusu olmayacaktır. Bu durumda, her geçen zaman satılmayan birimden kaybedilen kâr cinsinden bir maliyet söz konusu olacaktır.
Bazı tip projeler belirli protokollere dayalı olabilir. Bu tip projelerde projenin protokolde belirtilen süreden daha geç bitirilmesi durumunda, geciken her zaman birimi için bir ceza ödenmesi gerekebilir. Aynı şekilde, projenin protokolde belirtilen süreden önce tamamlanması durumunda erken bitirme primi verilebilir. Bu ve benzeri durumlar proje maliyetinin belirlenmesinde mutlaka dikkate alınmalıdır.
Buna göre, projenin toplam maliyeti, faaliyet süreleri ile orantılı olan dolaysız maliyetler ile proje süresi ile orantılı olan dolaylı maliyetlerin toplamına eşittir. CPM esas olarak projenin toplam maliyeti ile onun tamamlanma süresi arasında denge sağlanmasına yöneliktir. Kısaca, yöntemin esas amacı projenin en kısa sürede ve en düşük maliyetle tamamlanmasını sağlamaktır.
Bir faaliyetin fazladan kaynak tahsis edilmeksizin tamamlanma süresine "normal süre" denir. Normal süre aynı zamanda faaliyet için tanınan en uzun süredir.
Faaliyetin maksimum kaynak tahsisiyle tamamlanma süresine "hızlandırılmış süre" denir. Hızlandırılmış süre, ilgili faaliyet için mümkün olan en kısa süredir.
Tanımlanan bu iki süre ve bunlara karşılık gelen maliyetler arasındaki ilişki Şekil 4.60’da açıklanmıştır.
Söz konusu şekil incelendiğinde (i, j) faaliyeti için çizilen zaman-maliyet eğrisinin (dolu çizgi ile çizilmiş), (i, j) faaliyetinin dolaysız maliyeti için ayrılan bütçe ile bu bütçe sonucu ortaya çıkan faaliyet süresi arasındaki ilişkiyi yansıttığı görülebilir.
Şekil 4.60
Eğrinin çizimi, biri normal diğeri hızlandırılmış olarak adlandırılan iki noktaya dayanır. Normal nokta, faaliyetin normal koşullar altında herhangi bir ek harcama yapılmaksızın tamamlanma süresi ile normal maliyeti verir. Hızlandırılmış nokta, faaliyetin en fazla kaynak kullanımı ile tamamlanma süresi ile hızlandırılmış maliyetini verir.
Genel bir yaklaşım olarak, bütün ara noktaların bu doğru parçası üzerinde bulundukları kabul edilir. Bu nedenle her bir faaliyet için sadece bu iki noktanın belirlenmesi yeterlidir. Projenin hızlandırılması ile ilgili çalışmaları gerçekleştirebilmek için, her bir faaliyetin süre-maliyet ilişkisinin saptanması gerekir.
Faaliyetlerin gerçek süre-maliyet ilişkisini hesaplamak çoğu zaman yorucu ve zaman alıcı olabilmektedir. Süre maliyet ilişkisi duruma göre değişiklik gösterir. İlişki, Şekil 4.60’da gösterildiği gibi doğrusal veya Şekil 4.61’de gösterildiği gibi iç bükey ya da dış bükey olabilir.
İlişkinin iç bükey veya dış bükey olması durumunun açıklandığı Şekil 4.61 incelendiğinde, iç bükey bir ilişkide faaliyet süresindeki bir birimlik azalışın K’ya kadar maliyette artan oranda artış, K’dan sonra azalan oranda artış yarattığı görülecektir. Bunun tam tersi durum dış bükey ilişki için geçerlidir. Dış bükey bir ilişkide faaliyet süresindeki bir birim azalış K noktasına kadar toplam maliyette küçük bir artış meydana getirirken, K noktasından sonra artan bir oranda artış gösterir.
Hesaplamalarda basitlik sağlamak için genellikle ilişkinin Şekil 4.60’da açıklandığı gibi doğrusal ve sürekli olduğu varsayılır.
Şekil 4.61
Hangi faaliyetlerin ne kadar hızlandırılacağının belirlenmesinde, projenin büyüklüğüne bağlı olarak;
1. Sayma yöntemi
2. Matematiksel programlama
olmak üzere iki yaklaşım söz konusu olur.
Projenin bu yaklaşımlarla süre-maliyet ilişkisini hesaplamak için her faaliyetin zaman-maliyet eğrisinin hesaplanması, yani maliyet birim artışının elde edilmesi gerekir. Normal ve hızlandırılmış noktalardaki maliyetler arasındaki farkın, süreler arasındaki farka oranına "maliyet birim artışı" veya "maliyet eğimi" denir. Maliyet birim artışı aşağıdaki formülle açıklanır.
Formüldeki semboller aşağıdaki gibi tanımlanır.
Dij = (i, j) faaliyetinin normal süresi
=
(i, j) faaliyetinin normal (dolaysız) maliyeti
dij = (i, j) faaliyetinin hızlandırılmış süresi
=
(i, j) faaliyetini hızlandırma (dolaysız) maliyeti
Sayma Yöntemi: Projeyi daha erken sürede tamamlamak için kritik faaliyetlerin hızlandırılması esasına dayanan sayma yöntemi yalnızca küçük projelere uygulanabilir. Yöntemin ilk aşamasında faaliyetlerin normal sürelerine göre kritik yol hesaplanır ve projenin toplam maliyeti kaydedilir. Projenin tamamlanma süresi kritik faaliyetlerin sürelerine bağlı olduğundan kritik faaliyetlerin hızlandırılmasına geçilir.
Hızlandırma işlemine, maliyet artışı en küçük olan kritik faaliyetle başlanır. Seçilen kritik faaliyet hızlandırılabildiği kadar hızlandırılmalı, yani mümkün olan en kısa sürede tamamlanmalıdır. Kritik faaliyetler hızlandırıldıkça kritik olmayan faaliyetlerin boşlukları azalır ve sonuçta yok olur. Böylece kritik olmayan faaliyetler kritik hale gelirler ki bu, paralel kritik yolların doğmasına neden olur. Bu nedenle, proje en erken tamamlanma süresinden daha kısa sürede tamamlanmak istendiğinde paralel kritik yollardaki kritik faaliyetlerin sayısı azalabilir. Herhangi bir kritik faaliyet veya faaliyetlerin hızlandırılabilmeleri için, hızlandırma sonucu dolaysız maliyetlerde ortaya çıkan artışın dolaylı maliyetlerdeki azalıştan küçük olması gerekir. Başlangıçta olduğu gibi her seferinde dolaysız maliyetlerde en düşük artışa sebep olan kritik faaliyet veya kritik faaliyetler seçilir. Paralel yol üzerindeki kritik faaliyetler kritik olmadıkça, her adımda en az bir kritik faaliyet en kısa süresinde tamamlanır.
Bu yöntemin uygulanmasındaki en büyük zorluk, kritik faaliyetlerin hızlandırılması sonucunda kritik yolun değişmesi veya alternatif kritik yolların ortaya çıkmasıdır.
Yöntemi bir örnekle açıklayalım.
Örnek 4.10: A, B, C, D, E faaliyetlerinin öncelik ilişkileri, her bir faaliyetin normal ve hızlandırılmış süreleri ile bunlara karşılık gelen dolaysız maliyetler aşağıdaki tabloda verilmiştir. Günlük dolaylı maliyet 100 TL’dir. Bu veriler çerçevesinde zaman-maliyet analizini gerçekleştiriniz.
Tablo 4.11
| Faaliyet | Önce Gelen Faaliyet | Normal Süre | Hızlandırılmış Süre | Normal Maliyet | Hızlandırılmış Maliyet | Maliyet Artışı |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | - | 3 | 2 | 300 | 350 | 50 |
| B | A | 4 | 2 | 400 | 520 | 60 |
| C | A | 5 | 2 | 500 | 650 | 50 |
| D | C | 1 | 1 | 100 | 100 | 0 |
| E | B,D | 4 | 2 | 400 | 530 | 65 |
Çözüm 4.10: Yöntemin ilk aşaması faaliyetlerin normal sürelerinin dikkate alınmasıyla kritik yolun belirlenmesidir. Kritik yolun belirlenebilmesi için çizilen ağ ve kritik yol Şekil 4.62’de gösterilmiştir.
Şekil 4.62
Kritik yolun belirlenmesi için yapılan hesaplama sonuçları aşağıdaki tabloda topluca gösterilmiştir.
| Faaliyet | EBij | GBij | ETij | GTij | Fikir |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 0 | 0 | 3 | 3 | Kritik |
| B | 3 | 5 | 7 | 9 | Kritik Değil |
| C | 3 | 3 | 8 | 8 | Kritik |
| D | 8 | 8 | 9 | 9 | Kritik |
| E | 9 | 9 | 13 | 13 | Kritik |
Hesaplamalar projenin 13 günde tamamlanacağını göstermektedir. Tablonun son sütununda açıklandığı gibi A, C, D ve E kritik faaliyetler olup, bütün faaliyetler normal süreleri içinde tamamlandıklarında proje, en erken 13 günde biter. Projeye ilişkin toplam maliyet aşağıdaki bağıntıdan hesaplanır.
Toplam Maliyet = Dolaylı Maliyet + Dolaysız Maliyet
Toplam Maliyet = 13 X 100 + 1700
= 3000 TL
Bütün faaliyetlerin mümkün olan en kısa süreye sıkıştırılmaları durumunda proje en erken 7 günde tamamlanır. Bu durumun toplam maliyeti aynı bağıntının dikkate alınmasıyla aşağıdaki gibi hesaplanır.
Toplam Maliyet = 7 X 100 + 2150
= 2850 TL
Proje yönetiminin amacı bu maliyeti en küçük yapacak proje programını geliştirmektir. Normal süreli kritik yolun belirlenmesinden sonra, en küçük maliyet eğimli kritik faaliyetin seçimi yapılır. Faaliyetlerin maliyet birim artışları Tablo 4.11’un son sütununda gösterilmiştir.
Dolaysız maliyette en düşük artış sağlayan kritik faaliyet D olduğundan hızlandırma işlemine bu faaliyetle başlanır. Ancak, D’nin normal süresi ile en kısa süresi eşit olduklarından bu faaliyetin hızlandırılması söz konusu olamaz.
A’yı inceleyelim. Bu faaliyet hızlandırılarak 3 yerine 2 günde bitirilmek istenirse proje 13 değil 12 günde tamamlanır. Projenin 1 gün erken tamamlanmasıyla dolaylı maliyet 100 TL azalırken, dolaysız maliyet 50 TL artar. Dolaylı maliyetteki azalış, dolaysız maliyetteki artıştan büyük olduğundan A’nın sıkıştırılması kararlaştırılır. A’nın 1 gün hızlandırılmasıyla toplam maliyet 2950 TL olur. A’nın daha fazla sıkıştırılması söz konusu olmadığından diğer faaliyetlere geçilir.
C’ye geçelim. C, 5 gün yerine 4 günde bitirilirse, dolaysız maliyet 50 TL artarken dolaylı maliyet 100 TL azalır. Bu durumda toplam maliyetten 50 TL tasarruf edileceğinden C 1 gün hızlandırılır. C’nin biraz daha hızlandırılarak 4 yerine 3 günde bitirilmek istendiğini düşünelim. C, 3 günde bitirildiğinde, toplam maliyet 50 TL azalacağından C’nin 3 günde bitirilmesi uygun olur. C’nin 1 gün daha hızlandırılmasıyla toplam maliyet 50 TL azalarak 2850 TL olur. C, 3 günde bitirildiğinde orijinal kritik yola paralel başka bir kritik yol (A, B, E) ortaya çıkar. Bu durumda, paralel kritik faaliyetlerin aynı anda sıkıştırılmaları gerekir. B ve C aynı anda birer gün hızlandırılacak paralel kritik faaliyetlerdir. B ve C’nin birer gün hızlandırılmasıyla dolaylı maliyette sağlanan azalış, dolaysız maliyetteki artıştan büyük (110 > 100) olduğundan C ve B’nin sıkıştırılması uygun olmaz.
E’yi sıkıştıralım. E’nin 1 gün önce tamamlanması sonucunda toplam maliyetten 35 (100 - 65) TL tasarruf edileceğinden, E’nin 4 yerine 3 günde bitirilmesine karar verilir. Projenin iki kritik yolu; A, C, D, E ve A, B, E yollarıdır. Bu durumda projenin 9 günde toplam 2815 TL maliyetle tamamlanacağı kararlaştırılır. E’nin 1 gün daha hızlandırılıp hızlandırılamayacağını inceleyelim. E’nin 3 yerine 2 günde tamamlanması toplam maliyette 35 TL’lik bir azalış sağlayacağından bu faaliyetin 1 gün daha sıkıştırılması uygun olur.
Daha fazla hızlandırma mümkün olmadığından, hızlandırma işlemlerine son verilir. Hızlandırma sonucunda proje 2780 TL toplam maliyetle 8 günde tamamlanacaktır. Sonuçta, A(2), B(4), C(3), D(1), E(2) olarak uygulanacaktır.
Büyük projelerde kritik yol sayısı genellikle birden fazladır ve kritik faaliyetler çok sayıdadır. Bu gibi durumlarda paralel kritik yollardaki, kritik faaliyetlerin sıkıştırılmasıyla ilgili tüm alternatiflerin göz önünde bulundurulmaları çok zaman alıcı ve zor olabilmektedir. Sözgelimi, her biri 10 kritik faaliyet içeren iki kritik yol bulunduğunda mümkün hızlandırmalar için 100 farklı kombinasyonun dikkate alınması gerekir. Bu sayma yönteminin uygulama alanını fazlasıyla sınırlandırılan bir durumdur.
Matematiksel Programlama: Yukarıda açıklandığı gibi, projenin boyutu büyüdükçe sayma yönteminin etkinliği azalır. Bu gibi durumlarda matematiksel programlama yöntemlerinden birinin uygulanması akılcı olur. Bu bölümde, CPM için önerilen bazı matematiksel programlama yöntemleri açıklanacaktır. Açıklanacak yöntemlerin hepsi faaliyetlerin her birinin süre-maliyet ilişkisinin bilinmesini gerektiren yöntemlerdir.
Doğrusal programlama modellemesi için öncelikle karar değişkenleri tanımlanmalıdır. Amaç, en düşük maliyetli proje süresinin belirlenmesi olduğuna göre, her bir faaliyet için bir karar değişkeni tanımlanması gerekir. (i, j) projenin herhangi bir faaliyeti olsun. (i, j)’ye karşılık gelen karar değişkeni, bu faaliyetin en iyi süresi olmak üzere yij ile gösterilir.
Modelin geliştirilebilmesi için olayların bilinmeyen gerçekleşme zamanları da tanımlanmalıdır. Projenin ilk olayı 1, son olayı n olmak üzere olayların gerçekleşme zamanları; ti (i = 1, 2, ..., n) olarak açıklanır. Şimdi modelleri açıklamaya başlayabiliriz.
Model I: T zaman birimi içerisinde tamamlanması gereken bir projede hızlandırma sonucu ortaya çıkan toplam maliyetin en küçük olmasını sağlayacak hızlandırma planı belirlenmek istendiğinde, aşağıda gösterilen doğrusal programlama modeli kullanılabilir. Bu model simpleks yöntemle çözülebilir. Çözüm sonucu, en büyük hızlandırmayı sağlayan en düşük hızlandırma maliyeti (Z) elde edilir. yij’lerin en iyi çözüm değerleri en düşük maliyeti sağlayan hızlandırma planında beliren faaliyet süreleridir.
Zenk =
tj - ti ≥ yij bütün (i, j) faaliyetleri için
dij ≤ yij ≤ Dij bütün (i, j) faaliyetleri için
tn - t1 ≤ T
ti ≥ 0 i = 1, 2, ..., n için
Bu yaklaşımla belirlenen en iyi çözümün geçerli olması için T’nin, faaliyetlerin en kısa süreleriyle belirlenecek olan kritik yolun uzunluğuna eşit veya daha büyük olması gerekir.
Model II: Faaliyetlerin hızlandırılmaları için B birim ek bütçe ayrıldığını düşünelim. Bu ek bütçe ile yaratılan ek kaynakların faaliyetler arasında proje süresini en küçükleyecek biçimde paylaştırılması istenebilir.
Bu duruma uygun düşen doğrusal programlama modeli aşağıda gösterilmiştir.
Zenk = tn - t1
tj - ti ≥ yij bütün (i, j) faaliyetleri için
dij ≤ yij ≤ Dij bütün (i, j) faaliyetleri için
≤
B
ti ≥ 0 i = 1, 2, 3, ..., n
Bu modelin simpleks yöntemle çözülmesi sonucunda, ek bütçe kullanılmasıyla projenin tamamlanabileceği en kısa süre, bu bütçe ile sıkıştırılan faaliyetler ve faaliyetlerin en kısa süreleri belirlenir.
Model I ve Model II’nin kullanılmasıyla proje süresi ve toplam hızlandırma maliyeti arasındaki ilişkinin şekli belirlenebilir. Proje süresi ile dolaysız maliyetler arasındaki ilişki Şekil 4.63’de gösterilmiştir. Yatay eksendeki Tenk bütün faaliyetlerin en kısa sürelerinde tamamlanmaları durumunda projenin tamamlanma süresini, Tenb ise bütün faaliyetlerin normal sürelerinde bitirilmeleri durumunda projenin tamamlanma süresini göstermektedir.
Şekil 4.63’deki eğri yardımıyla yönetici, 1. Projenin planlanan zamanda tamamlanması için gerekli ek kaynakların en küçük maliyetini, 2. Kıt kaynakların, proje süresinde en büyük hızlandırılmayı sağlayacak biçimde paylaştırılmasını sağlayabilir. Şekil 4.63’de açıklandığı gibi Tenk’de toplam dolaysız maliyet en büyüktür. Proje süresi uzadıkça bu maliyet önce hızlı sonra yavaş bir biçimde azalmaktadır.
Şekil 4.63
Daha önce açıklandığı gibi proje süresinin kısalması, dolaylı maliyetlerin azalması demektir. Bu nedenle, proje süresine bağlı olarak toplam proje maliyetinin (dolaylı + dolaysız) nasıl değiştiğinin incelenmesi istenebilir. Değişik proje süreleri için dolaylı ve dolaysız maliyetlerin eklenmesiyle Şekil 4.64’deki gibi bir görüntü elde edilir.
Şekil 4.64
Şekil 4.64’deki U biçimli eğriye "proje maliyet eğrisi" denir. Bu eğri yardımıyla toplam maliyeti en küçükleyen proje süresinin (T*) belirlenmesi çok kolaydır. T’nin en iyi değeriyle bütün faaliyetlerin en iyi süreleri, hızlandırma maliyeti ve kritik yol belirlenir. Bu bilgilerle en iyi proje programı düzenlenir.
Model III: Dolaylı maliyetler ile proje süresi arasındaki ilişkinin doğrusal
olması durumunda doğrusal programlama ile proje için en iyi süre (T*) ile en
iyi proje programı belirlenebilir. Proje süresi ile orantılı dolaylı maliyetler,
birim zamanda F olsun. Bu durumda dolaylı maliyet toplamı F(tn - t1 ) olur.
Burada; (tn - t1) projenin bilinmeyen uzunluğudur. (i, j) faaliyetinin
bilinmeyen tamamlanma süresi yij olmak üzere toplam dolaysız maliyet,
olarak
açıklanır. Amaç dolaylı ve dolaysız maliyetler toplamı olarak belirlenen toplam
maliyetin en küçüklenmesidir. Bu amaçla kullanılacak doğrusal programlama modeli
aşağıda gösterilmiştir.
Zenk = F(tn - t1) +
tj - ti ≥ yij bütün (i, j) faaliyetleri için
dij ≤ yij ≤ Dij bütün (i, j) faaliyetleri için
ti ≥ 0 i = 1, 2, ..., n için
Model III’ü, sayma yöntemiyle çözdüğümüz örnek probleme uygulayalım.
Örnek 4.11: Örnek 4.10’daki problemi doğrusal programlamayla çözünüz.
Çözüm 4.11: (i, j) faaliyetinin tamamlanma süresi yij, i olayının ortaya çıkma zamanı ti olsun. Bu durumda, 5 olaylı bu projenin tamamlanma süresi (t5 - t1) olur.
Dolaylı maliyetin 100 TL olduğu göz önünde bulundurulduğunda, toplam dolaylı maliyet 100(t5 - t1) olarak hesaplanır.
Buna göre yöneticinin problemi aşağıdaki gibi formüllenir.
Zenk = 100(t5 - t1) + 50(3 - y12) + 50(5 - y23) + 60(4 - y24) + 0(1 - y34) + 65(4 - y45)
t2 - t1 ≥ y12 t3 - t2 ≥ y23 t4 - t2 ≥ y24 t4 - t3 ≥ y34 t5 - t4 ≥ y45
2 ≤ y12 ≤ 3 2 ≤ y23 ≤ 5 2 ≤ y24 ≤ 4 1 ≤ y34 ≤ 1 2 ≤ y45 ≤ 4
t1, t2, t3, t4, t5 ≥ 0
Problemin simpleks yöntemle belirlenen en iyi çözümü şöyledir:
t1 = 0, t2 = 2, t3 = 5, t4 = 6, t5 = 8; y12 = 2, y23 = 3, y24 = 4, y34 = 1, y45 = 2; Zenk = 2780
Özetle, en iyi süre (t5) 8 gün, projenin en düşük maliyeti 2780 TL’dir. Sayma yöntemiyle de aynı sonuca ulaşıldığı hatırlanabilir.
CPM’de sürelerin kesin olarak bilindiği, ayrıca faaliyetlere ayrılan kaynak miktarlarının değişmesi durumunda faaliyet sürelerinin de değişebileceği kabul edilmektedir. Oysa, araştırma ve geliştirme projelerinin her biri özel projeler olup bu projelerdeki faaliyetlerin pek çoğu yalnızca bir kez gerçekleştirildiğinden, benzer faaliyetlerden süre ile ilgili önsel bilgiler elde edilemez. Bu tür projelerin yönetimi faaliyetlerin tamamlanma sürelerindeki belirsizlikleri dikkate alan PERT tekniği ile gerçekleştirilir.
PERT’de faaliyetlerin tamamlanma süreleri ile değil, bunların beklenen değerleri (E(Dij)) ile işlem yapılır. Bir başka deyişle, faaliyet sürelerinin rasgele değişkenler oldukları ve bir olasılık dağılımına göre ortaya çıktıkları varsayılır. Herhangi bir faaliyetin beklenen tamamlanma süresi, faaliyetin %50 olasılıkla tamamlanacağı süre demektir. Bu sürenin belirlenebilmesi için her bir faaliyete ilişkin üç ayrı tamamlanma süresinin tahmin edilmesi gerekir. Bu süreler aşağıda açıklanmışlardır.
1. İyimser Süre (a): Faaliyetin en erken tamamlanacağı süredir. Bu sürenin tahmininde bütün herşeyin planlandığı gibi gideceği, bütün etmenlerin faaliyeti iyi yönde etkileyecekleri kabul edilir. İyimser tahminin gerçekleşmesi olasılığı %1’dir.
2. Kötümser Süre (b): Faaliyetin en geç tamamlanma süresidir. Bu sürenin tahmininde hiçbir şeyin planlandığı gibi gitmeyeceği, beklenmedik olayların(mekanik arıza, kaynak temininde aksama, kötü hava koşulları gibi) faaliyete kötü yönde etki edeceği varsayılır.
3. Olabilir Süre (m): Varsa daha önceki uygulamalardan elde edilen önsel bilgilerin veya tahmin çalışmaları sonuçlarının kullanılmasıyla normal koşullar altında faaliyetin tamamlanacağı süreye en yüksek olasılıkla tamamlanma süresi veya olabilir süre denir. Olabilir süre en gerçekçi süredir.
Faaliyetin tamamlanma süresinin iyimser tahmin ile kötümser tahmin tarafından belirlenen aralığın dışında olabileceği gözden uzak tutulmamalıdır. Olabilir süre kesinlikle a ile b aralığında bulunacak olmakla birlikte, (a + b)/2 ile çakışmak zorunda değildir. m, (a + b)/2 ile belirlenen değerin solunda veya sağında olabileceği gibi (a + b)/2 ile çakışabilir. Bu özellikten dolayı, (i, j) faaliyetinin tamamlanma süresi Dij rasgele değişkeninin modu m, alt uç noktası a, üst uç noktası b olan beta dağılımı gösterdiği varsayılır. a, b ve m değerlerinin tahmin edilmesinden sonra bu üç sürenin tek bir değer olarak ifade edilmesi gerekir. (a + b)/2’nin ağırlığı m’nin ağırlığının yarısına eşittir.
Şekil 4.65
Bu varsayım altında Dij’nin ortalaması aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.
Faaliyetin tamamlanma süresi, ortalama tamamlanma süresinden farklı
olabileceğinden, bu süreye ilişkin varyansın da hesaplanması gerekir. Tek modlu
dağılımların pek çoğunda, uç değerler dağılımın ortalamasından yaklaşık 3
standart sapma uzaklıkta bulunurlar. Bu durumda, 6 = b - a veya =
yazılabilir. Bu bağıntıdan hareketle (i, j) faaliyetinin süresine ilişkin
varyans aşağıdaki gibi elde edilir.
Faaliyet sürelerinin beta dağıldıkları varsayımına ek olarak, anılan sürelerin birbirinden bağımsız rasgele değişken oldukları kabul edildiğinden, proje ağındaki herhangi bir yolun tamamlanma süresi de rasgele değişken olur ve bu değişkenin ortalaması aşağıdaki gibi hesaplanır.
Herhangi bir yoldaki faaliyetlerin beklenen tamamlanma süresi =
Benzer yaklaşımla herhangi bir yolun varyansı da şu şekilde hesaplanır:
Herhangi bir yoldaki faaliyet sürelerinin varyansı
=
Her faaliyetin ortalama süresi ile varyansının hesaplanmasından sonra, CPM uygulamasına geçilir ve kritik yol belirlenir.
İstenirse projenin herhangi bir zaman süresinden önce veya bu süre içinde tamamlanma olasılığı hesaplanabilir. Bunun için, kritik yolu oluşturan faaliyetlerin sayısının kritik yolun normal dağılımlı olmasını sağlayacak büyüklükte olduğu kabul edilir. Bunun sonucunda; projenin belirli veya öngörülen zamanda tamamlanma olasılığı ile ilgili sorular kolayca yanıtlanabilir. Bu amaçla, öngörülen veya dikkate alınan süre T olmak üzere standart normal olarak adlandırılan bir değişken tanımlanır. Standart normal değişken, genel olarak aşağıdaki gibi açıklanır.
Z =
Z ile gösterilen bu değişken; ortalaması sıfır, varyansı 1 olan standart normal değişkendir. Hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla, çeşitli Z değerleri için normal eğri alanları tablolarından yararlanılmaktadır.
Birden fazla kritik yol olduğunda olasılık hesaplamalarında varyansı büyük olan kritik yolu dikkate almak gibi bir eğilim vardır. Bu konuda benimsenen diğer bir yaklaşım ise, projenin beklenenden geç tamamlanması ile ilgili olasılıkların hesaplanmasında en büyük varyansı, beklenenden daha kısa sürede tamamlanmasıyla ilgili olasılıklarda en küçük varyansı dikkate almaktır. Böylece ulaşılan sonuçların daha güvenilir olması sağlanır.
Örnek 4.12: Faaliyetlerin öncelik ilişkileri ve tahmini süreleri (a, m, b) aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre,
a. Projenin ağını çiziniz.
b. Kritik yolu belirleyiniz ve kritik yolun varyansını hesaplayınız.
c. Projenin 39 günden önce tamamlanma olasılığını bulunuz.
d. Projenin 42 günden önce tamamlanma olasılığını hesaplayınız.
Tablo 4.13
| Faaliyet | Önceki Faaliyet | İyimser Süre (a) | Olabilir Süre (m) | Kötümser Süre (b) |
|---|---|---|---|---|
| A | - | 5 | 6 | 9 |
| B | A | 8 | 10 | 14 |
| C | A | 4 | 5 | 7 |
| D | A | 6 | 8 | 10 |
| E | B, C | 10 | 12 | 14 |
| F | B, C | 4 | 6 | 8 |
| G | B | 3 | 5 | 7 |
| H | B | 6 | 8 | 10 |
| I | G, D, E | 5 | 7 | 8 |
| J | H, I, F | 3 | 5 | 7 |
Çözüm 4.12: a. Verilere göre çizilen proje ağı aşağıda gösterilmiştir.
Şekil 4.66
b. Kritik yolun belirlenmesi için her faaliyetin ortalama süresinin hesaplanması gerekir.
Faaliyetlerin ortalama süreleri,
E(Dij) =
bağıntısından hesaplanmış ve Tablo 4.14’ün beşinci sütununda gösterilmiştir.
Olasılık hesaplamalarında kullanılacak varyans değerleri ise,
bağıntısından hesaplanmış ve aynı tablonun son sütununda verilmiştir.
Tablo 4.14
| Faaliyet | a | m | b | Ortalama | Varyans |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 5 | 6 | 9 | 6.333 | 0.444 |
| B | 8 | 10 | 14 | 10.333 | 1.000 |
| C | 4 | 5 | 7 | 5.167 | 0.250 |
| D | 6 | 8 | 10 | 8.000 | 0.444 |
| E | 10 | 12 | 14 | 12.000 | 0.444 |
| F | 4 | 6 | 8 | 6.000 | 0.444 |
| G | 3 | 5 | 7 | 5.000 | 0.444 |
| H | 6 | 8 | 10 | 8.000 | 0.444 |
| I | 5 | 7 | 8 | 6.833 | 0.250 |
| J | 3 | 5 | 7 | 5.000 | 0.444 |
| K (Kukla) | 0 | 0 | 0 | 0.000 | 0.000 |
Kritik yolun belirlenmesi için yapılan işlem sonuçları Tablo 4.15’de gösterilmiştir.
Tablo 4.15
| Faaliyet | EBij | GBij | ETij | GTij | Boşluk GBij - EBij |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 0 | 0 | 6.333 | 6.333 | Kritik |
| B | 6.333 | 6.333 | 16.667 | 16.667 | Kritik |
| C | 6.333 | 11.500 | 11.500 | 16.667 | 5.167 |
| D | 6.333 | 20.667 | 14.333 | 28.667 | 14.333 |
| E | 16.667 | 16.667 | 28.667 | 28.667 | Kritik |
| F | 16.667 | 29.500 | 22.667 | 35.500 | 12.833 |
| G | 16.667 | 23.667 | 21.667 | 28.667 | 7.000 |
| H | 16.667 | 27.500 | 24.667 | 35.500 | 10.833 |
| I | 28.667 | 28.667 | 35.500 | 35.500 | Kritik |
| J | 35.500 | 35.500 | 40.500 | 40.500 | Kritik |
| K (Kukla) | 16.667 | 16.667 | 16.667 | 16.667 | Kritik |
Hesaplamalar kritik yolun; A, B, E, I, J ve K faaliyetlerinden oluştuğunu ve projenin 40.5 günde tamamlanacağını göstermektedir. Kritik yolun varyansı kritik faaliyetlerin varyanslarının dikkate alınmasıyla,
V(KY) = 0.444 + 1.000 + 0.444 + 0.250 + 0.444 + 0.000 = 2.582
olarak hesaplanmıştır.
c. Kritik yolun uzunluğunun standartlaştırılmasıyla istenilen olasılık değeri aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.
P(KY ≤ 39) =
Şekil 4.67’de gösterildiği gibi Z = - 0.933, normal eğri altında ortalamanın sol tarafındadır. Normal dağılım tablosundan aranılan olasılık değeri 0.1762 olarak saptanır. Buna göre projenin 39 gün içerisinde tamamlanma olasılığı yaklaşık %18 olarak belirlenmiş olur.
d. Şekil 4.68’de gösterildiği gibi Z = 0.933’ün solundaki alan sorulmaktadır.
Buna göre, aranılan olasılık değeri aşağıdaki gibi elde edilir.
P(KY ≤ 42) =
= 0.8238
Buna göre, projenin en geç 42 günde tamamlanma olasılığı yaklaşık %82’dir.
PROBLEMLER
1. k ile v’yi birbirine bağlayan yolların taşıma kapasiteleri (otomobil/saat) aşağıda gösterilmiştir.
a. k ve v’yi birleştiren alternatif yolları listeleyiniz.
b. Alternatif kesmeleri ve kapasitelerini bulunuz.
c. Etiketleme yöntemiyle en yüksek akış planını belirleyiniz.
2. k ile v’yi birleştiren yollar ve yolların trafik kapasiteleri aşağıda gösterilmiştir. Şekilden görüldüğü gibi yönü belirsiz üç yol vardır. Bu yollardaki trafik akış yönünü, en yüksek akışı sağlayacak biçimde belirleyiniz.
3. Bir işletme üç fabrikasında üretim yapmakta ve üretimini 4 ayrı deposuna göndermektedir. Fabrikaların üretimi ile depoların istem miktarları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Bu problemin aynı zamanda bir en yüksek akış problemi olduğunu gösteriniz ve en yüksek akışı bularak sonucu yorumlayınız.
| Depo | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Fabrika | D1 | D2 | D3 | D4 | Toplam |
| F1 | 130 | 110 | 0 | 140 | 120 |
| F2 | 0 | 0 | 110 | 50 | 120 |
| F3 | 120 | 110 | 140 | 5 | 200 |
| Toplam | 120 | 120 | 160 | 40 | - |
4. 5 kadın, 5 erkek bir dansta buluşmuşlardır. Dansı düzenleyenlerin amacı bu kadın ve erkeklerden en fazla sayıda alternatif uygun çift yaratmaktır. Uygun çiftler tabloda U ile gösterilmiştir. Tabloya uyan ağı çizerek uygun çift sayısını ve uygun çiftleri belirleyiniz.
| Tarkan | Ozan | Cihan | Emre | Ali | |
|---|---|---|---|---|---|
| Deniz | - | U | - | - | - |
| Demet | U | - | - | U | - |
| Yıldız | U | U | - | - | - |
| Esin | U | U | - | - | U |
| Zeynep | - | - | U | - | U |
5. Küçük bir tamirhane sahibi işi için gerekli yontma makinesinin gelecek beş yıl içindeki yenileme planını çıkarmak istemektedir. Makinenin yıllık bakım-onarım masrafı makinenin incelenen yılın başındaki yaşına bağlı olup aşağıdaki gibidir. Yaşa bağlı olarak her yıl biraz daha artan bakım-onarım masraflarından kurtulmak için eskiyen makinenin satılarak yerine yenisinin alınması mümkündür. Eskimiş makinenin satış fiyatı satıldığı yılın başındaki yaşına bağlı olup aşağıda gösterildiği gibidir. Hesaplamalarda basitlik sağlamak için makine yenileme maliyetinin planlama dönemi boyunca sabit kaldığı ve 25 TL olduğu kabul edilmiştir. Buna göre 5 yıllık planlama dönemi için en iyi araç yenileme programını oluşturunuz.
| Makinenin Yaşı | Bakım Masrafı | Satış Fiyatı |
|---|---|---|
| 0 | 3 | - |
| 1 | 4 | 20 |
| 2 | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 10 |
| 4 | 12 | 7 |
| 5 | - | 2 |
6. Bir makine atölyesinde gelecek yedi yıl için bir araca gereksinim vardır. Araç satın alma maliyeti 28 TL’dir. Bu maliyetin yedi yıllık planlama dönemi boyunca değişmediği kabul edilmektedir. Aracın ömrü 3 yıl olup üçüncü yılın sonunda kullanılmaz hale gelmektedir. Aracın yıllık bakım-onarım masrafı aracın incelenen yılın başındaki yaşına bağlı olup aşağıdaki tabloda gösterildiği gibidir. Makinenin yaşına bağlı olarak her yıl biraz daha artan bakım-onarım masraflarından kurtulmak için eskiyen aracın satılarak yerine yenisinin alınması da mümkündür. Eskiyen aracın hurda fiyatı satıldığı yıldaki yaşına bağlı olup aşağıda gösterildiği gibidir. Buna göre 7 yıllık planlama dönemi için en iyi araç yenileme programını oluşturunuz.
| Makinenin Yaşı | Bakım Masrafı | Hurda Fiyatı |
|---|---|---|
| 0 | 3 | - |
| 1 | 4 | 20 |
| 2 | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 10 |
7. Boy, kalınlık ve sayıları aşağıdaki tabloda verilen 450 kitabın yerleştirileceği raf sistemi planlanmaktadır. Tek bir kitabın yerleştirilmesi için gerekli raf alanı, kitabın boyu ile kalınlığının çarpımına eşittir. Raf yapımında kullanılacak olan çelik levhanın 1 cm2’sinin maliyeti 3 TL’dir. Sabit maliyet 46 TL’dir. En düşük maliyetli raf planını belirleyiniz.
| Boy | Kalınlık | Sayı |
|---|---|---|
| 20 | 1 | 100 |
| 23 | 3 | 150 |
| 30 | 6 | 125 |
| 34 | 5 | 75 |
8. Aşağıdaki ağın 1 ve 5 nolu düğümler arasındaki en kısa yolu bulunuz.
9. Dallarının uzunlukları; d12 = 5, d13 = 3, d14 = 7, d23 = 4, d34 = 2, d35 = 10, d36 = 9, d46 = 3, d56 = 3, d57 = 4, d67 = 9, d68 = 8 ve d78 = 6 olan bir ağda 1 ve 8 nolu düğümler arasındaki en kısa yolu bulunuz.
10. 5 ayrı yerleşim merkezi arasındaki uzaklıklar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Tüm merkezleri birbirine bağlayan otoyol planını oluşturunuz.
| Y. M. | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | - | 232 | 150 | 46 | 155 |
| 2 | 232 | - | 310 | 290 | 201 |
| 3 | 150 | 310 | - | 101 | 213 |
| 4 | 46 | 290 | 101 | - | 79 |
| 5 | 155 | 201 | 213 | 79 | - |
11. Aşağıdaki ağı göz önünde bulundurarak en küçük yayılmalı ağacı önce 2 sonra 4 nolu düğümden başlayarak belirleyiniz.
12. Aşağıdaki faaliyetlerden oluşan projenin ağını çiziniz.
| Faaliyet | Önceki Faaliyet |
|---|---|
| A | - |
| B | A |
| C | A |
| D | B, C |
| E | C |
| F | D |
| G | E, F |
Öncelik ilişkileri tabloda verilen faaliyetlerin süreleri A(8), B(10), C(10), D(5), E(7), F(13), G(2) olarak verilmiştir. Kritik yolu bulunuz ve tüm boşlukları hesaplayınız.
13. Aşağıdaki öncelik kurallarını sağlayan faaliyetlerin oluşturduğu projeye ilişkin ağı çiziniz.
- A projenin ilk faaliyetidir.
- B ve C, A’dan sonra gelir.
- D, B’yi izler.
- E ve F, C’den sonra gelirler.
- G, D ve E faaliyetlerinden sonra gelir.
- H, F’yi izler.
- I, G ve H’dan sonra gelir.
- J, G ve H’ı izler.
- K, I’dan sonra gelir.
- L, J’den sonra gelir. K ve L projenin son faaliyetleridir.
14. Verileri aşağıdaki tabloda verilen projeye ilişkin ağı çiziniz.
| Faaliyet | Önceki Faaliyet |
|---|---|
| A | - |
| B | A |
| C | A |
| D | B |
| E | B |
| F | B |
| G | E |
| H | D, E |
| I | G |
| J | G |
| K | F, J |
| L | H, I |
| M | L, K |
| N | M, C |
15. Aşağıdaki 11 faaliyetten oluşan proje ağını çiziniz.
| Faaliyet Tanımı | Önc. Faaliyet |
|---|---|
| A: Reklam planının geliştirilmesi | - |
| B: Promosyon ve eğitim malzemelerinin geliştirilmesi | - |
| C: Eğitim planının geliştirlmesi | - |
| D: Radyo, TV, gazete reklamlarının programlanması | A |
| E: Reklam kampanyasının geliştirilmesi | A |
| F: Promosyon materyallerinin hazırlanması | B |
| G: Eğitim materyallerinin hazırlanması | B |
| H: Reklam koordinatörleriyle ön görüşme | D, K |
| I: Eğitime katılacak yöneticilerin araştırılması ve seçimi | C |
| K: Eğitim programını harekete geçirme | G, I |
| L: 1000 kişi üzerinde görüşme | F, H |
16. Projeyi oluşturan 8 faaliyetin öncelik ilişkileri, tanımları ve tamamlanma süreleri aşağıda gösterilmiştir.
Buna göre,
a. Proje ağını çiziniz.
b. Kritik yolu bulunuz.
c. Boşlukları hesaplayınız
d. Boşluk değerlerini yorumlayınız.
| Faaliyet | Kısa Tanım | Önceki Faaliyet | Süre |
|---|---|---|---|
| A | Ürün Tasarımı | - | 6 |
| B | Pazar Araştırması | - | 5 |
| C | Hammade Siparişi | A | 3 |
| D | Hammadde Tedariki | C | 2 |
| E | Örnek Ürün Üretimi | A, D | 3 |
| F | Reklam Kampanyası | B | 2 |
| G | Üretimin Başlaması | E | 4 |
| H | Ürünün Satışa Sunulması | G, F | 2 |
17. Aşağıdaki ağın hatalarını bularak nedenleriyle açıklayınız.
18. Bir projenin faaliyetleri ve bunlar arasındaki öncelik ilişkileri ile faaliyet süreleri aşağıda gösterilmiştir. Kritik yolu bulunuz.
| Faaliyet | Önceki Faaliyet | Süre |
|---|---|---|
| A | - | 8 |
| B | - | 2 |
| C | A | 1 |
| D | B | 9 |
| E | B | 4 |
| F | C, D | 5 |
| G | E | 6 |
| H | E | 3 |
| I | G | 3 |
| J | H | 5 |
| K | I, J | 2 |
19. Projeyi oluşturan faaliyetler arasındaki öncelik kuralları ve faaliyet süresi tahminleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| Faaliyet | Önceki Faaliyet | İyimser Süre (a) | Olabilir Süre (m) | Kötümser Süre (b) |
|---|---|---|---|---|
| A | - | 2 | 4 | 6 |
| B | A | 2 | 5 | 8 |
| C | A | 2 | 4 | 6 |
| D | B | 12 | 13 | 16 |
| E | B | 10 | 13 | 17 |
| F | C | 4 | 6 | 8 |
| G | E | 10 | 15 | 20 |
| H | D, F | 3 | 5 | 10 |
| I | G, H | 2 | 4 | 7 |
a. Kritik yolu bulunuz ve standart sapmasını hesaplayınız.
b. Projenin 20 günde tamamlanma olasılığını hesaplayınız.
c. Kritik olmayan herhangi bir yol tanımlayarak bu yolun standart sapmasını hesaplayınız.
d. Standart sapmasını hesapladığınız kritik olmayan yolun 13 günde tamamlanması olasılığını bulunuz.
20. Faaliyetlerin öncelik ilişkileri ve tahmini süreler aşağıda verilmiştir. Projenin en geç 30 gün içerisinde tamamlanması olasılığını bulunuz.
| Faaliyet | Önceki Faaliyet | a | m | b |
|---|---|---|---|---|
| A | - | 0.5 | 1 | 2 |
| B | A | 1 | 2 | 3 |
| C | A | 1 | 3 | 5 |
| D | B | 3 | 4 | 5 |
| E | C | 2 | 3 | 4 |
| F | C | 3 | 5 | 7 |
| G | D, E | 4 | 5 | 6 |
| H | F | 6 | 7 | 8 |
| I | G, H | 2 | 4 | 6 |
| J | G, H | 5 | 6 | 8 |
| K | I | 1 | 2 | 3 |
| L | J | 3 | 5 | 7 |
| M | I, J | 7 | 9 | 10 |
| N | I, J | 2 | 3 | 4 |
21. Projeyi oluşturan 11 faaliyet arasındaki öncelik kuralları ve faaliyet süresi tahminleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.
| Faaliyet | Önce Gelen Faaliyet | İyimser Süre (a) | Olabilir Süre (m) | Kötümser Süre (b) |
|---|---|---|---|---|
| A | - | 3 | 6 | 9 |
| B | - | 2 | 5 | 8 |
| C | A | 2 | 4 | 6 |
| D | B | 2 | 3 | 10 |
| E | B | 1 | 3 | 11 |
| F | C, D | 4 | 6 | 8 |
| G | E, C | 1 | 5 | 15 |
| H | E | 3 | 5 | 7 |
| I | G | 2 | 6 | 10 |
| J | I, H | 4 | 5 | 6 |
| L | J | 5 | 7 | 9 |
a. Kritik yolu bulunuz ve boşlukları hesaplayınız.
b. Projenin 18 günde tamamlanması olasılığını hesaplayınız.
c. B-E-H-J-L yolunun 18 günde tamamlanması olasılığını bulunuz.
22. 14 faaliyetin normal ve sıkıştırılmış süreleri ile bu sürelere ilişkin dolaysız maliyetler aşağıda gösterilmiştir. Haftalık dolaylı maliyet 40 TL olduğuna göre en düşük maliyetli proje programını oluşturunuz.
| Faaliyet | Önceki Faaliyet | Normal Süre | Hızlandırılmış Süre | Normal Maliyet | Hızlandırılmış Maliyet |
|---|---|---|---|---|---|
| A | - | 10 | 8 | 120 | 180 |
| B | A | 5 | 3 | 50 | 80 |
| C | A | 8 | 7 | 110 | 135 |
| D | B | 14 | 12 | 120 | 140 |
| E | D | 8 | 5 | 70 | 110 |
| F | D | 10 | 2 | 100 | 180 |
| G | D | 9 | 6 | 120 | 180 |
| H | B | 4 | 1 | 100 | 400 |
| I | C, E | 7 | 3 | 40 | 60 |
| J | G, H | 8 | 1 | 400 | 640 |
| K | F, I, J | 3 | 2 | 75 | 100 |
| L | K | 9 | 7 | 900 | 960 |
| M | H, G | 5 | 2 | 60 | 120 |
| N | M | 12 | 8 | 500 | 1800 |
23. Faaliyetlerin normal ve hızlandırılmış süreleri ile dolaysız maliyetleri aşağıda gösterilmiştir. Günlük dolaylı maliyet 4 TL olduğuna göre en düşük maliyetli proje programını oluşturunuz.
| Faaliyet | Önceki Faaliyet | Normal Süre | Hızlandırılmış Süre | Normal Maliyet | Hızlandırılmış Maliyet |
|---|---|---|---|---|---|
| A | - | 3 | 1 | 11 | 17 |
| B | - | 6 | 3 | 6 | 9 |
| C | - | 5 | 4 | 3 | 5 |
| D | A, B | 11 | 3 | 13 | 17 |
| E | B | 10 | 7 | 9 | 12 |
| F | B | 5 | 1 | 4 | 14 |
| G | F, C | 3 | 2 | 5 | 8 |
| H | B | 9 | 4 | 3 | 5 |
| I | E, H | 4 | 2 | 8 | 17 |
| J | E, H | 3 | 3 | 9 | 16 |
| K | I, J | 8 | 4 | 15 | 23 |
| L | K,G | 11 | 7 | 20 | 28 |