极限
对于任意给定的正数 $\epsilon>0$, 存在正数 $\delta>0$, 使得当 $x \in (x_0-\delta, x_0) \cup(x_0,x_0+\delta)$ 时, 总有 $|f(x)-A|<\epsilon$ 成立, 则称函数 $f(x)$ 在 $x \rightarrow x_0$ 时的极限为 $A$, 记为: $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=A$.
上述定义中, 将 $x$ 的范围限制在 $x \in (x_0-\delta, x_0)$, 则得到左极限: $\lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x)=A$; 将$x$ 的范围限制在 $x \in (x_0, x_0+\delta)$, 则得到右极限: $\lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x)=A$.
注意上述定义中, 不需要函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义. 所取的范围为 $x_0$ 的去心邻域.
从以上的定义中可知, 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的极限存在的充要条件是左右极限存在且相等: $\lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x)=\lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x)=A$.
考虑如下命题: $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin\frac{1}{x}}{sin\frac{1}{x}}=1$, 从表面看似乎为真, 但注意到在极限的定义中, 需要函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某个去心邻域内有意义, 而上述函数不能找到这样一个去心邻域, 所以上述命题不成立. 不过, 我们可以对函数做延拓(比如当 $sin\frac{1}{x}=0$ 时, f(x)=1), 使得上述命题成立.
连续
连续的定义是极限等于函数值: $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=f(x_0)$.
这就要求函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限存在, 且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有定义.
一致连续
函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义, 对于任意 $\epsilon > 0$, 总存在 $\delta > 0$, 使得对于任意 $x_1, x_2 \in I$, 当 $|x_1-x_2| < \delta$ 时, 有 $|f(x_1)-f(x_2)| < \epsilon$, 那么称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致连续.
一致连续和连续的区别在于, 连续是局部性质, 即 $\delta$ 的取值与 $\epsilon$ 和 $x_0$ 都相关; 一致连续是全局性质, $\delta$ 的取值只与 $\epsilon$ 相关, 和 $x_0$ 无关.
无穷小
若 $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=0$, 我们就称 $f(x)$ 为 $x \rightarrow x_0$ 时的无穷小. 由此可知, 无穷小是变量.
有限个无穷小的和, 差, 积都是无穷小. 无限个无穷小的和, 差, 积都不一定是无穷小.
若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为 $x \rightarrow x_0$ 时的无穷小, 考察极限: $\lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x)}{g(x)}=C$:
- 若 $C=0$, 则称 $f(x)$ 为 $g(x)$ 的高阶无穷小;
- 若 $C=\infty$, 则称 $f(x)$ 为 $g(x)$ 的低阶无穷小;
- 若 $C \ne 0$ 且 $C \ne \infty$, 则称 $f(x)$ 为 $g(x)$ 的同阶无穷小;
- 若 $C = 1$, 则称 $f(x)$ 为 $g(x)$ 的等价无穷小;
导数
如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内有定义, $\Delta x$ 为自变量 $x$ 在 $x_0$ 处的增量, 如果如下极限存在: $\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}$, 则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导, 极限值即为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数, 记为 $f'(x_0)$.
可导必连续, 连续不必可导.
微分
函数 $f(x)$ 在某区间内有定义, 如果 $x_0$ 和 $x_0 + \Delta x$ 在定义域内, 且函数增量 $\Delta y=f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 可表示为 $\Delta y=A \Delta x + o(\Delta x)$, 其中 $A$ 是不依赖 $\Delta x$ 的常数, 那么称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是可微的, $A \Delta x$ 叫做函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的微分, 记为: $dy=A \Delta x$.
根据以上定义, 自变量 $x$ 的微分为 $dx=1*\Delta x=\Delta x$, 所以 $dy=Adx=f'(x)dx$.
由以上定义可知, 微分的几何意义是在 $x_0$ 的邻域中用切线代替函数 $f(x)$.
对于一元函数来说, 可导与可微等价.
原函数与不定积分
在区间 $I$ 上可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$, 则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的原函数. $\int f(x)dx=F(x)+C$ 为 $f(x)$ 的不定积分.
原函数存在定理: 连续函数一定有原函数.
这个定理指出, 连续函数必定可积(不定积分意义上的), 但不一定可导(魏尔施特拉斯函数处处连续, 但处处不可导).
定积分的定义较为繁琐, 这里不写.
偏导数
设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的邻域内有定义, 把 $y$ 固定在 $y_0$, 此时函数 $z=f(x,y_0)$ 相对于 $x$ 在点 $x=x_0$ 处的导数为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数, 记作: $\frac{\partial z}{\partial x}|_{x=x_0 \atop y=y_0}$, 同理可定义函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处对 $y$ 的偏导数.
注意偏导数存在只需要函数 $z=f(x,y)$ 在x轴和y轴方向上连续(并可导), 并不要求函数在其他方向上连续, 而多元函数的连续性要求函数在任何方向上都连续, 所以偏导数在某点上存在并不能推导出函数在该点连续.
给定函数 $z=f(x,y)$, 若 $g(x,y)=\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}$ 和 $h(x,y)=\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ 都连续, 则两者相等.
全微分
设函数 $z=f(x,y)$ 的全微分为 $dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$. 全微分与函数增量 $\Delta z$ 只差一个关于 $\rho = \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$ 的高阶无穷小: $\Delta z = dz + o(\rho)$.
全微分存在的条件: 如果函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x,y)$ 处连续, 则函数在该点可微分.
曲面的切平面和法线
考虑曲面方程 $z=f(x,y)$, 其全微分为:
$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$.
写成向量形式, 有:
$(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},-1) \cdot (dx,dy,dz)=0$.
注意到全微分的含义是在某点的邻域内用切平面近似曲面, 且有点 $(x,y,z)$ 和 点 $(x+dx,y+dy,z+dy)$ 都在切平面上, 所以向量 $(dx,dy,dz)$ 平行于切平面. 又由于 $dx$ 和 $dy$ 在邻域内(以线性关系)可以任意取值, 而上面的式子总是成立, 所以 $(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},-1)$ 为平面的法线.
考虑曲面方程 $F(x,y,z)=0$, 其显式形式为 $z=z(x,y)$, 即有:
$F(x,y,z(x,y))=0$.
对两边求关于x的偏导, 可得:
$\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x} = 0$
解出: $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$.
同理可得: $\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}}$
所以其法线为: $(-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial z}},-\frac{\frac{\partial F}{\partial y}}{\frac{\partial F}{\partial z}},-1)$, 同时乘以 $-\frac{\partial F}{\partial z}$, 可得: $(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},{\frac{\partial F}{\partial z}})$.
方向导数和梯度
给定函数 $z=f(x,y)$, 考虑如下极限:
$$\lim_{(\Delta x,\Delta y) \rightarrow (0,0)} \frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$$
这个极限要求 $(\Delta x, \Delta y)$ 以任意的路径趋向于原点. 通常情况下, 这个极限不存在. 可以设 $f(x,y)=x^2+y^2, \Delta y=k \Delta x$ 即可验证.
我们考虑 $(\Delta x, \Delta y)$ 以直线的方式趋向于原点, 即令:
$\begin{cases} \Delta x=ah \ \Delta y=bh \end{cases}$, 则如下极限存在, 且与$a$和$b$相关:
$$A = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+ah,y+bh)-f(x,y)}{\sqrt{(ah)^2+(bh)^2}}$$
注意到此时 $(\Delta x, \Delta y)$ 是沿着 $(a, b)$ 方向趋近于原点, 则A为函数 $f(x,y)$ 沿 $(a,b)$ 方向的方向导数. 函数 $f(x,y)$ 对$x$的偏导数实际上是其沿着 $(1,0)$ 方向($x$轴正方向)的方向导数, 对 $y$ 的偏导数对应 $y$ 轴正方向的方向导数.
当方向改变的时候, 方向导数的值也发生变化, 所以, 可以将 $A$ 看成是 $a$ 和 $b$ 的函数: $A(a, b)$. 当这个函数取最大值的时候, 即为梯度的大小, 最大值对应的方向即为梯度的方向.
设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处沿着 $(a,b)$ 方向的方向导数为 $A$, 则点 $(x_0,y_0)$ 和方向 $(a,b)$ 确定了一条直线 $L:y=h(x)$, 曲面 $z=f(x,y)$ 沿 $L$ 的曲线为 $S: z=f(x,h(x))$, 而 $A$ 即为曲线 $S$ 在点 $x=x_0$ 处的切线的斜率(即导数).
可以看出, 直线 $L$ (在xOy平面上), 曲线 $S$ (在曲面 $z=f(x,y)$ 上), $S$ 的切线 (在切平面上), 三线共面, 记为 $C$. 且切线的斜率为切线与直线 $L$ 的夹角的正切值. 不同方向对应直线 $L$ 在xOy平面上绕点 $(x_0,y_0)$ 转动, 带动了曲线 $S$ 在曲面 $z=f(x,y)$ 上转动, 以及切线在切平面上转动. 导数 $A$ 对应的倾斜角即为平面 $C$ 与平面xOy, 切平面的交线的夹角. 当 $C$ 与其他两个平面垂直的时候, 这个角最大, 此时对应的 $A$ 即为梯度的大小, 对应直线 $L$ 的方向即为梯度的方向.
若方向 $(a,b)$ 为单位向量, 则有: $\begin{cases} a=cos\alpha \ b=cos\beta \end{cases}$, 其中, $\alpha, \beta$ 分别为方向 $(a,b)$ 与对应坐标轴的夹角(即方向角). 在二维情况下, 有: $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$. 则方向 $(a,b)$ 上的方向导数为: $\frac{\partial f}{\partial l}= f_x(x,y)cos\alpha+f_y(x,y)cos\beta$. 这个式子实际上是两个偏导数在 $(a,b)$ 方向上的投影之和, 即梯度在上述方向上的投影.
实际上, 抛开坐标系, 梯度的大小和方向是确定的, 各个方向的方向导数也是确定的, 所以, 可以任选两个正交的方向来表示梯度: $(\frac{\partial f}{\partial l_1}, \frac{\partial f}{\partial l_2})$.
曲线积分
第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):
函数 $y=f(x,y)$ 沿曲线 $L: g(x,y)=0, x \in [a,b]$ 的积分称为第一类曲线积分: $\int_{L} f(x, y)ds$, 其中 $ds$ 为曲线 $L$ 上的微元. 设 $y=\varphi(x)$ 为 $g(x,y)=0$ 的解. 用弧微分公式即得:
$\int_{a}^{b} f(x,y) \sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\int_{a}^{b} f(x, \varphi(x)) \sqrt{1+(\varphi'(x))^2}dx$
第二类曲线积分(对坐标的曲线积分):
矢量 $\textbf{F}=(P(x,y), Q(x,y))$ 沿有向曲线 $\textbf{L}: g(x,y)=0$ 的积分即为第二类曲线积分: $\int_{L} \textbf{F} \cdot d\textbf{L} =\int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$, 其中 $d\textbf{L}$ 为有向弧的微元.
将矢量 $\textbf{F}$ 看成是变力, 将曲线 $\textbf{L}$ 看成是力经过的路径, 上面的积分实际上就是变力做的功.
格林公式:
设闭区域 $D$ 由光滑曲线 $L$ 围成, 函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在区域 $D$ 上具有一阶连续偏导, 则有:
$$\iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}) dxdy=\oint_{L} Pdx+Qdy$$
格林公式说明, 任何二重积分都可以用其边界的曲线积分来表示. 当 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 时, 上式右边的曲线积分与路径无关, 且其积分项为某个函数 $u(x,y)$ 的全微分: $du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$.
椭圆
椭圆方程: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.
参数方程: $\left{\begin{array}{l}{x=a \cos \alpha} \ {y=b \sin \alpha}\end{array}\right.$
整个椭圆的面积为第一象限面积的4倍:
$S = 4\int_{0}^{a} ydx
= 4\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} bsin\alpha \ d(asin\alpha)
= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} absin^2\alpha d\alpha
= 2ab\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1-cos2\alpha)d\alpha
= 2ab\pi$
椭圆的周长为第一象限弧长的4倍:
$L = 4\sum \Delta s
= 4\sum \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}
= 4\sum \sqrt{(x'd\alpha)^2 + (y'd\alpha)^2}
= 4\sum \sqrt{x'^2+y'^2}d\alpha \
= 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2sin^2\alpha + b^2cos^2\alpha} d\alpha$
上式不能用初等函数来表示, 这里列出来仅仅为了展示弧微分的计算方法.
球
球的方程: $x_2+y_2+z^2=R^2$.
参数方程: $\left{\begin{array}{l}{x=R \sin \varphi \cos \theta} \ {y=R \sin \varphi \sin \theta} \ {z=R \cos \varphi}\end{array}\right.$
面积计算方法一: 取沿纬线的切片, 设 $\theta$ 为仰角, 则该切片的半径为 $Rcos\theta$, 周长为 $2\pi Rcos\theta$, 切片侧面的高为弧微分 $d\sigma=Rd\theta$.
$S = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\pi Rcos\theta \ Rd\theta = 4 \pi R^2$
面积计算方法二: 考虑半球面 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$, 其在xOy平面上的投影为 $x^2+y^2 \leq R^2$, 可以用标准的曲面积分来算.
$\frac{\partial z}{\partial x} = -x(R^2-x^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = -y(R^2-x^2-y^2)^{-\frac{1}{2}}$
$S = 2\iint_{D} \sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x})^{2}+(\frac{\partial z}{\partial y})^{2}} dxdy
= 2\iint_{D} \sqrt{\frac{R^2}{R^2-x^2-y^2}}dxdy \
= 2\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{R} \sqrt{\frac{R^2}{R^2-\rho^2}}\rho d\rho
= 2\int_{0}^{2\pi} R^2 d\theta
= 4\pi R^2$
这里内层积分为反常积分, 应该首先判断其收敛性, 这里为了简便略去.
体积计算方法一: 取沿纬线的切片, 设 $x$ 为切片的圆心离球心的距离, $dx$ 为切片的厚度, 则切片的半径为 $r = \sqrt{R^2-x^2}$, 切片的体积为 $\Delta V = \pi r^2dx = \pi (R^2-x^2)dx$.
$V = 2\int_{0}^{R} \pi (R^2-x^2)dx = \frac{4}{3} \pi R^3$
体积计算方法二: 考虑半球面 $z=\sqrt{R^2-x^2-y^2}$, 其在xOy平面上的投影为 $x^2+y^2 \leq R^2$, 这是一个标准的曲顶柱体, 可以用标准的二重积分.
$V = 2\iint_{D} \sqrt{R^2-x^2-y^2}dxdy
= 2\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R} \sqrt{R^2-\rho^2} \rho d \rho
= 2\int_{0}^{2\pi} \frac{R^3}{3} d\theta
= \frac{4}{3} \pi R^3$
这里第二步用了二重积分的极坐标变换.
设物体的密度为 $\rho(x,y,z)$, 所占空间区域为 $\Omega$, 取物体中的一个小体积元 $dv$, 其位置为 $P=(x,y,z)$, 质量为 $\rho dv$. 设一质量为 $m$ 质点位于 $Q=(x_0,y_0,z_0)$, 根据牛顿的万有引力定律, 体积元与质点之间的引力为:
$dF= G \frac{m\rho(x,y,z)}{r^2}dv$, 方向为 $\vec{PQ}=(x_0-x,y_0-y,z_0-z)$.
其中, $r=|\vec{PQ}|=\sqrt{(x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2}$.
将体积元在 $\Omega$ 上积分, 然后投影到各个坐标轴上, 即得到物体对质点的引力:
$(\iiint_{\Omega}G \frac{m\rho(x,y,z)(x_0-x)}{r^3}dv, \iiint_{\Omega}G \frac{m\rho(x,y,z)(y_0-y)}{r^3}dv, \iiint_{\Omega}G \frac{m\rho(x,y,z)(z_0-z)}{r^3}dv)$
实心球对质点的引力
设匀质实心球密度为 $\rho_0$, 所占空间方程为 $x_2+y^2+z^2 \leq R^2$, 质点质量为 $m_0$, 位于 $(0,0,z_0)$, 由于球的对称性, 沿着 $x$ 和 $y$ 方向的引力都为0, 下面只求沿着 $z$ 方向的引力.
情况一: 质点位于实心球外部, 此时 $0<R \leq z_0$
$F_z = \iiint_{\Omega}G \frac{m_0\rho_0(z_0-z)}{\sqrt{(x^2+y^2+(z-z_0)^2)}^3}dv \
= m_0\rho_0\int_{-R}^{R}dz \ \iint_{x^2+y^2\leq R^2-z^2}(z_0-z)(x^2+y^2+(z-z_0)^2)^{-\frac{3}{2}}dxdy$
考虑内层的二重积分, 用极坐标系来表示, 为:
$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}(z_0-z)(\rho^2+(z-z_0)^2)^{-\frac{3}{2}}\rho d\rho = 2\pi (1-\frac{z_0-z}{\sqrt{-2z_0z+R^2+z_0^2}})$
将其代入原式子, 得:
$F_z = 2\pi m_0\rho_0 G \int_{R}^{-R}(1-\frac{z_0-z}{\sqrt{-2z_0z+R^2+z_0^2}})dz
= 2\pi m_0 \rho_0 G \frac{2R^3}{3z_0^2}
= \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_0 \cdot \frac{Gm_0}{z_0^2}$
最后这个积分可以直接查积分表, 但是相当难算.
从结果可知, 均匀的实心球对质点的引力相当于将实心球的质量集中于球心是两质点的引力.
情况二: 质点位于实心球内部, 此时 $0<z_0 \leq R$
基本表达式和情况一一致, 内层二重积分的结果为:
$\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\sqrt{R^2-z^2}}(z_0-z)(\rho^2+(z-z_0)^2)^{-\frac{3}{2}}\rho d\rho = 2\pi (\frac{z_0-z}{|z_0-z|}-\frac{z_0-z}{\sqrt{-2z_0z+R^2+z_0^2}})$
注意上式和情况一的不同: 在 $z \in [-R, R]$ 时, $z_0-z$ 符号不定.
外层积分的结果为:
$F_z = 2\pi m_0\rho_0 G \int_{-R}^{R}(\frac{z_0-z}{|z_0-z|}-\frac{z_0-z}{\sqrt{-2z_0z+R^2+z_0^2}})dz \
= 2\pi m_0\rho_0 G (\int_{-R}^{R}\frac{z_0-z}{|z_0-z|}dz-\int_{-R}^{R}\frac{z_0-z}{\sqrt{-2z_0z+R^2+z_0^2}}dz)$
$\int_{-R}^{R}\frac{z_0-z}{|z_0-z|}dz = \int_{-R}^{z_0}dz-\int_{z_0}^{R}dz = 2z_0$
$\int_{-R}^{R}\frac{z_0-z}{\sqrt{-2z_0z+R^2+z_0^2}}dz=\frac{4z_0}{3}$ (这里的结果和情况一不一致, 是因为 $z_0$ 和 $R$ 的大小关系变了)
$F_z = 2\pi m_0\rho_0 G (2z_0-\frac{4z_0}{3})
= \frac{4}{3} \pi \rho_0 Gm_0z_0
= \frac{4}{3} \pi z_0^3 \rho_0 \cdot \frac{Gm_0}{z_0}$
从结果可知, 当质点在球内部时, 比质点距离球心远的部分对引力的贡献为0.
空心球壳对质点的引力
设球壳的内表面方程 $x^2+y^2+z^2=R_0^2$, 外表面方程 $x^2+y^2+z^2=R_1^2$, 质点质量 $m_0$, 位置 $(0,0,z_0)$, 球壳的密度为 $\rho_0$, 与位置无关. 且有: $0 \leq z_0 \leq R_0 < R_1$. 由于球的对称性, 沿着 $x$ 和 $y$ 方向的引力都为0, 下面只求沿着 $z$ 方向的引力.
在直角坐标系中, 由于积分区域非凸, 无法用标准的三重积分的方法. 这里采用迂回的方法: 把空心球壳填实, 计算整个的实心球的引力 $F_o$, 然后减去填充部分的引力 $F_i$ 贡献即可.
注意到在计算 $F_o$ 和 $F_i$ 的过程中, 质点都位于对应球的内部, 根据上一节讨论的结果, $F_o=F_i$, 所以 $F_z=0$.