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最大公约数

关于最大公约数有专门的研究。 而在 LeetCode 中虽然没有直接让你求解最大公约数的题目。但是却有一些间接需要你求解最大公约数的题目。

比如:

因此如何求解最大公约数就显得重要了。

定义法

def GCD(a: int, b: int) -> int:
    smaller = min(a, b)
    while smaller:
        if a % smaller == 0 and b % smaller == 0:
            return smaller
        smaller -= 1

复杂度分析

  • 时间复杂度:最好的情况是执行一次循环体,最坏的情况是循环到 smaller 为 1,因此总的时间复杂度为 $O(N)$,其中 N 为 a 和 b 中较小的数。
  • 空间复杂度:$O(1)$。

辗转相除法

如果我们需要计算 a 和 b 的最大公约数,运用辗转相除法的话。首先,我们先计算出 a 除以 b 的余数 c,把问题转化成求出 b 和 c 的最大公约数;然后计算出 b 除以 c 的余数 d,把问题转化成求出 c 和 d 的最大公约数;再然后计算出 c 除以 d 的余数 e,把问题转化成求出 d 和 e 的最大公约数。..... 以此类推,逐渐把两个较大整数之间的运算转化为两个较小整数之间的运算,直到两个数可以整除为止。

def GCD(a: int, b: int) -> int:
    return a if b == 0 else GCD(b, a % b)

复杂度分析

  • 时间复杂度:$O(log(max(a, b)))$
  • 空间复杂度:空间复杂度取决于递归的深度,因此空间复杂度为 $O(log(max(a, b)))$

下面我们对上面的过程进行一个表形象地讲解,实际上这也是教材里面的讲解方式,我只是照搬过来,增加一下自己的理解罢了。我们来通过一个例子来讲解:

假如我们有一块 1680 米 * 640 米 的土地,我们希望讲起分成若干正方形的土地,且我们想让正方形土地的边长尽可能大,我们应该如何设计算法呢?

实际上这正是一个最大公约数的应用场景,我们的目标就是求解 1680 和 640 的最大公约数。

将 1680 米 * 640 米 的土地分割,相当于对将 400 米 * 640 米 的土地进行分割。 为什么呢? 假如 400 米 * 640 米分割的正方形边长为 x,那么有 640 % x == 0,那么肯定也满足剩下的两块 640 米 * 640 米的。

我们不断进行上面的分割:

直到边长为 80,没有必要进行下去了。

辗转相除法如果 a 和 b 都很大的时候,a % b 性能会较低。在中国,《九章算术》中提到了一种类似辗转相减法的 更相减损术。它的原理是:两个正整数 a 和 b(a>b),它们的最大公约数等于 a-b 的差值 c 和较小数 b 的最大公约数。

def GCD(a: int, b: int) -> int:
    if a == b:
        return a
    if a < b:
        return GCD(b - a, a)
    return GCD(a - b, b)

上面的代码会报栈溢出。原因在于如果 a 和 b 相差比较大的话,递归次数会明显增加,要比辗转相除法递归深度增加很多,最坏时间复杂度为 O(max(a, b)))。这个时候我们可以将辗转相除法更相减损术做一个结合,从而在各种情况都可以获得较好的性能。