5.2節 非負の実数

[deasuke]

5.2節で、Xは非負整数(なぜなら、ポアソン分布であるSの和だから)だが、WとHは非負の実数(ガンマ分布だから)なので、自然数( https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number )を表わす記号Nではなく、R^+_0などの記号が良いかと思います。

非負実数と正実数の記号による区別はいろいろ流儀がありますが、本書では正の実数にR^+を使っているので、非負実数はR^+_0がいいのかな、と思います。他に正の実数にR^{++}, 非負実数にR^+を使っている論文などもあります。

ついでに質問になりますが、Xが整数行列ではない場合は量子化してからスケールすることで整数にして適用するのでしょうか？フーリエ変換後の周波数など非負実数の想定から、唐突にXが非負整数である仮定になっているので戸惑いました。

[sammy-suyama]

ありがとうございます．ご指摘通り，ＷおよびＨはガンマ分布からのサンプルなので非負の実数値であり，本文のＮ表記は完全に間違いですね．修正いたします．

Xですが，実はポアソン分布の階乗の部分をガンマ関数に取り換えると，そのまま非負実数の値として取り扱えます．これに関しては元論文
https://www.hindawi.com/journals/cin/2009/785152/
でも特に断りもなく使われていますが，ちゃんと説明を入れた方が良かったですね．脚注の追加などを
検討いたします．

よろしくお願いいたします．

[deasuke]

Xですが，実はポアソン分布の階乗の部分をガンマ関数に取り換えると，そのまま非負実数の値として取り扱えます．

説明ありがとうございます。興味深いです。f(x) = exp(-λ)λ^x/Γ(x+1) でいいのでしょうか？これで0から無限大まで積分すると1に近そうではありますが、係数が必要だったりしますか？何か名前ついていますか？連続ポアソン分布とかcontinuous poisson distributionで検索してもめぼしい結果がありませんでした。

[deasuke]

上記f(x)の積分ですが、WolframAlphaによると解析的な解はなさそうです。近似計算させると、λ=2のとき0.947, λ=3のとき0.982, λ=4のとき0.9938, λ=10のとき 0.999987 で少し1より小さいですがλが十分大きいと使えそうですね。f(x)に比例する確率分布の期待値の概算はλ=2で2.12, λ=3で3.05, λ=4で4.02, λ=10で10.0001,自乗の期待値の概算は、λ=2で6.33, λ=3で12.22, λ=4で20.124, λ=10で110.001でやはりλが大きいと普通のポアソン分布と同じですね。
近似計算はすべてWolframAlphaのもの。

[sammy-suyama]

WolframAlpha便利ですね！僕も機会があれば使ってみたいです．
解析計算としては，ガンマ関数の定義
https://ja.wikipedia.org/wiki/ガンマ関数
から，(0,∞)の積分が１になることが確認できると思います．
よろしくお願いいたします．

[deasuke]

f(x)=exp(-λ)λ^x/Γ(x+1)だと、(0,∞)の積分\int_0^\infty f(x)dx < 1 となるようです。λ→∞で1に収束するのでλが大きいところでは1と見做して良さそうですが。λ=2のときの結果です。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=definite+integral+of+2%5Ex%2FGamma(x%2B1)%2Fexp(2)+from+0+to+infinity

[sammy-suyama]

おっと，自分はなぜかガンマ分布の積分をやってましたね．．．失礼しました．
少し自分の方でも調べてみたいと思います．

[deasuke]

これの 8/12 ページにある密度関数f_{π^\tilde}(x)がちゃんと理論的に連続化したもののようです。
[x, x+1)区間での積分がPoi(x|λ)と等しくなるという性質も持っています。

http://www2.math.uni-paderborn.de/fileadmin/Mathematik/AG-Indlekofer/Workshop/Satellite_meeting/ilenko.pdf

[sammy-suyama]

ありがとうございます！内容見てみますね．
本の実装に関しては入力データを離散化したいと思います．