hilbert.rst

hilbert

概要

应用 Hilbert 变换

语法

HILBERT

说明

一个实序列 f(t) 的 Hilbert 变换定义为

$$H(f(t)) = f(t) * (\frac{1}{\pi t}) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f(t)}{t-\tau} d\tau$$

其中星号表示卷积。

由于 $\frac{1}{\pi t}$ 的 Fourier 变换为  − isgn(ω) =  − e^iπ/2sgn(ω)， 因而对一个信号做 Hilbert 变换可以理解为先将信号做 Fourier 变换，然后乘以  − e^iπ/2sgn(ω)，再做反 Fourier 变换。 即 Hilbert 变换的一个重要性质是对信号产生 $\frac{\pi}{2}$ 的相移¹。

该命令通过将原始信号与一个201点 FIR 滤波器进行时间域卷积以实现 Hilbert 变换。 此 FIR 滤波器是通过对理想 Hilbert 变换的脉冲响应加 Hanning 窗获得的。在频率域， 每个频率处的振幅响应为1，相位为90度。Hilbert 变换后的结果将替代内存中的 原始信号。

需要注意的是，此操作在零频和 Nyquist 频率附近的小区域内是不精确的。若要 对很低频率的数据进行 Hilbert 变换（比如长周期面波），则需要先对信号进行 减采样。由于该变换是在时间域完成的，所以计算时在原地使用重叠储存算法， 其对于文件长度没有限制。

理论上，Hilbert 变换可以从振幅谱的对数中计算最小延迟相位，本质上 Hilbert 变换是一个非带限的低通滤波器，因而本命令中的 Hilbert 变换无法用于计算最小 延迟相位。

SAC 提供了 Hilbert 变换的函数库，可以直接在 C 或 Fortran 程序中调用，详情参考 /libs/libsac 一节。

头段变量

depmin、depmax、depmen

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1. 本段内容不够严谨，正负号可能有误，其中的细节也被省略，因而仅供参考。↩