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\cfrac{d}{dx}(\cfrac{u}{v}) = \cfrac{v \cfrac{du}{dx} - u \cfrac{dv}{dx}}{v^2}
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최소 시간 문제
미적분학은 빛이 두 매질 사이의 경계면에서 굴절될 때, 빛이 주어진 두 점 사이의 가장 빠른 경로로 이동한다는 것을 보여준다. 아마도 몇몇 사람은 "도대체 빛은 어떻게 항상 가장 빠른 경로를 알 수 있는 것일까?"라고 궁금해할지도 모른다. 이 질문에 대해 물리학자인 리처드 파인먼Richard Feynman은 장난스럽지만 양자역학 전문가답게 다음과 같이 말했다. "빛이 어떻게 한 번에 알겠어? 모든 길을 다 가보고 가장 빠른 경로를 찾았겠지."
연쇄법칙을 이용하면 복잡한 함수를 손쉽게 미분할 수 있다. 예를 들어 $y = (t^2 + 1)^3$ 을 t로 좀 더 쉽게 미분하려면, 우선 $t^2 + 1$ 을 x로 치환하여 주어진 식을 $y = x^3$ 으로 바꿔 쓴다. 그러면 $\cfrac{dy}{dx} = 3x^2$ 이고 $\cfrac{dx}{dt} = 2t$ 이므로 연쇄법칙에 따라 $\cfrac{dy}{dt} = \cfrac{dy}{dx}\cdot\cfrac{dx}{dt} = 3x^2 \cdot 2t = 3(t^2 + 1)^2 \cdot 2t = 6t(t^2 + 1)^2$ 을 얻을 수 있다.