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\section{Estatística Bayesiana}
\subsection{Leituras Recomendadas}
\begin{frame}{Estatística Bayesiana - Leituras Recomendadas}
\begin{vfilleditems}
\item \textcite{gelman2013bayesian} - Capítulo 1: Probability and inference
\item \textcite{mcelreath2020statistical} - Capítulo 1: The Golem of Prague
\item \textcite{gelman2020regression} - Capítulo 3: Some basic methods in mathematics and probability
\item \textcite{khanBayesianLearningRule2021}
\item \textcite{storopoli2021estatisticabayesianaR} - O que é Estatística Bayesiana?
\item \textbf{Probabilidade}:
\begin{vfilleditems}
\item Um ótimo livro-texto - \textcite{bertsekasIntroductionProbability2nd2008}
\item Um ótimo livro-texto (pule a parte de estatística frequentista) - \textcite{dekkingModernIntroductionProbability2010}
\item Do ponto de vista Bayesiano e com abordagem filosófica - \textcite{jaynesProbabilityTheoryLogic2003}
\item Do ponto de vista Bayesiano e com abordagem simples e lúdica - \textcite{kurtBayesianStatisticsFun2019}
\item Abordagem filosófica e uma exposição não focada no rigor matemático - \textcite{diaconisTenGreatIdeas2019}
\end{vfilleditems}
\end{vfilleditems}
\end{frame}
\subsection{O que é Estatística Bayesiana}
\begin{frame}{O que é Estatística Bayesiana}
A estatística Bayesiana\footnote{maiúsculo, pois se refere ao teorema de Bayes que é um sobrenome}
é uma abordagem de análise de dados baseada no teorema de Bayes,
onde o conhecimento disponível sobre os parâmetros em um modelo estatístico
é atualizado com as informações dos dados observados
\parencite{gelman2013bayesian}. O conhecimento prévio é expresso como
uma distribuição
\textit{a priori}\footnote{do inglês \foreignlanguage{english}{\textit{prior distribution}}}
e combinado com os dados observados na forma de uma função de
verossimilhança\footnote{do inglês \foreignlanguage{english}{\textit{likelihood function}}}
para determinar a distribuição
posterior\footnote{\foreignlanguage{english}{do inglês \textit{posterior distribution}}}.
A posterior também pode ser usada para fazer previsões sobre eventos futuros.
\end{frame}
\subsubsection{O que muda da Estatística Frequentista?}
\begin{frame}{O que muda da Estatística Frequentista?}
\begin{vfilleditems}
\item \textbf{Flexibilidade} - peças probabilísticas para construir um modelo\footnote{como se fosse LEGO}:
\begin{vfilleditems}
\item Conjecturas probabilísticas sobre os parâmetros:
\begin{vfilleditems}
\item \textit{Priori}
\item Verossimilhança
\end{vfilleditems}
\end{vfilleditems}
\item Melhor tratamento da \textbf{incerteza}:
\begin{vfilleditems}
\item Coerência
\item Propagação
\item Não se usa \textit{"se amostrássemos infinitamente de uma população que não existe..."}
\end{vfilleditems}
\item Sem \textbf{$p$-valores}:
\begin{vfilleditems}
\item Todas as intuições estatísticas fazem \textbf{sentido}
\item 95\% de certeza que o valor do parâmetro $\theta$ está entre $x$ e $y$
\item Quase \textbf{impossível} fazer $p$-hacking.
\end{vfilleditems}
\end{vfilleditems}
\end{frame}
\begin{frame}{Um pouco mais de Formalidade}
\begin{vfilleditems}
\item Estatística Bayesiana usa declarações probabilísticas:
\begin{vfilleditems}
\item um ou mais parâmetros $\theta$
\item dados não-observados $\tilde{y}$
\end{vfilleditems}
\item Essas declarações são condicionadas nos valores observados de $y$:
\begin{vfilleditems}
\item $P(\theta \mid y)$
\item $P(\tilde{y} \mid y)$
\end{vfilleditems}
\item Nós também, de maneira implícita, condicionados nos valores observados de quaisquer co-variáveis $x$
\end{vfilleditems}
\end{frame}
\begin{frame}{Principal Mudança}
\begin{defn}[Estatística Bayesiana]
O uso do Teorema de Bayes\footnote{mais sobre ele já já...} como o procedimento de \textbf{estimativa dos parâmetros de interesse $\theta$ ou dados não-observados $\tilde{y}$}. \parencite{gelman2013bayesian}
\end{defn}
\end{frame}
\subsection{Ferramentas}
\begin{frame}{Ferramentas para Estatística Bayesiana}
\begin{vfilleditems}
\item \LARGE \href{https://mc-stan.org}{\texttt{Stan}}
\item \texttt{PyMC}
\item \small \texttt{JAGS}
\item \footnotesize \texttt{BUGS}
\end{vfilleditems}
\end{frame}
\subsubsection{Stan}
\begin{frame}{\href{https://mc-stan.org}{\texttt{Stan}}\footnote{\textcite{carpenterStanProbabilisticProgramming2017}}}
\begin{columns}
\begin{column}{0.8\textwidth}
\begin{vfilleditems}
\small
\item Plataforma para modelagem e computação estatística de alto desempenho
\item Suporte financeiro da \href{https://numfocus.org/}{NUMFocus}:
\begin{vfilleditems}
\footnotesize
\item AWS Amazon
\item Bloomberg
\item Microsoft
\item IBM
\item RStudio
\item Facebook
\item NVIDIA
\item Netflix
\end{vfilleditems}
\small
\item Linguagem própria, similar à \texttt{C++}
\item Amostrador \textit{Markov Chain Monte Carlo} (MCMC) em paralelo
\end{vfilleditems}
\end{column}
\begin{column}{0.2\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{stan_transparent.png}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{\href{https://mc-stan.org}{\texttt{Stan}} na Série Billions\footnote{Se não conseguir assistir \href{https://github.com/storopoli/Estatistica-Bayesiana/blob/master/images/stan_billions_subtitled.mp4?raw=true}{clique aqui} para ver o vídeo no seu navegador} (Temporada 3 Episódio 9)}
\centering
\includemedia[
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height=0.3\linewidth,
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passcontext, %show VPlayer's right-click menu
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&scaleMode=stretch
}
]{\texttt{Stan} na Série Billions}{http://mirrors.ctan.org/macros/latex/contrib/media9/players/VPlayer.swf}
\end{frame}
% \begin{frame}[fragile]{Código \href{https://mc-stan.org}{\texttt{Stan}} versus Fórmulas de \texttt{R}}
% \begin{lstlisting}[basicstyle=\small, language=Stan]
% data {
% int<lower=0> N;
% vector[N] x1;
% vector[N] x2;
% vector[N] y;
% }
% parameters {
% real alpha;
% vector[2] beta;
% real<lower=0> sigma;
% }
% model {
% sigma ~ cauchy(0, 2.5);
% y ~ normal(alpha + beta[1] * x1 + beta[2] * x2, sigma);
% }
% \end{lstlisting}
% \end{frame}
% \begin{frame}[fragile]{Código \href{https://mc-stan.org}{\texttt{Stan}} versus Fórmulas de \texttt{R}}
% \begin{lstlisting}
% stan_glm(y ~ x1 + x2, data = df, family = gaussian())
% \end{lstlisting}
% \end{frame}
% \begin{frame}{\href{https://mc-stan.org}{\texttt{Stan}}\footnote{foi lançado em 2012} na Scopus\footnote{veja as buscas Scopus nos \hyperlink{appendixscopus}{Slides de Backup no final dessa apresentação}}}
% \centering
% \begin{tikzpicture}[ybar]
% \begin{axis}[
% xlabel=Ano,ylabel=Uso,
% x tick label style={rotate=45, /pgf/number format/.cd,
% scaled x ticks = false,
% set thousands separator={},
% fixed}]
% \addplot [draw=blue, fill=blue] coordinates {
% (2012, 6)
% (2013, 19)
% (2014, 62)
% (2015, 113)
% (2016, 189)
% (2017, 387)
% (2018, 671)
% (2019, 1045)
% (2020, 1538)
% };
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
% \end{frame}
% \begin{frame}{\href{https://mc-stan.org}{\texttt{Stan}}\footnote{baseado no \href{https://breckbaldwin.github.io/ScientificSoftwareImpactMetrics/DeepLearningAndBayesianSoftware.html}{reporte anual do Breck Baldwin para a NUMFocus}}\footnote{veja as buscas Scopus nos \hyperlink{appendixscopus}{Slides de Backup no final dessa apresentação}}}
% \centering
% \begin{tikzpicture}[ybar]
% \begin{axis}[
% nodes near coords={\pgfmathprintnumber[fixed,precision=3]{\pgfplotspointmeta}},
% ylabel=Uso, xtick={1,2,3,4},
% ymax=0.85,
% ytick={0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8},
% xticklabels={\texttt{TensorFlow}, \texttt{PyTorch}, \texttt{Stan}, \texttt{PyMC}}]
% \addplot [draw=yellow, fill=yellow] coordinates {
% (1, 0.713)};
% \addplot [draw=green, fill=green] coordinates {
% (2, 0.161)};
% \addplot [draw=blue, fill=blue] coordinates {
% (3, 0.108)};
% \addplot [draw=red, fill=red] coordinates {
% (4, 0.0176)};
% \end{axis}
% \end{tikzpicture}
% \end{frame}
\subsubsection{R}
\begin{frame}{\texttt{R}}
\begin{vfilleditems}
\item R é uma linguagem criada \textbf{por estatísticos para estatísticos}
\item Possui um vasto \textbf{ecossistema de bibliotecas} e é amplamente usado na \textbf{ciência} e em especial nas \textbf{ciências aplicadas}
\item Quase toda \textbf{tese maluca} ou \textbf{algoritmo inovador} de Estatística/Probabilidade está no \texttt{CRAN} (Repositório de Pacotes \texttt{R}
\item Como linguagem de programação é \textbf{horrível}\footnote{consegue ser um pouco menos pior que \texttt{Python}}: Recomendo \href{https://julialang.org/}{\texttt{Julia}}
\end{vfilleditems}
\end{frame}
\subsubsection{Python}
\begin{frame}{\texttt{Python} e \href{http://docs.pymc.io/}{\texttt{PyMC}}}
\begin{vfilleditems}
\item \texttt{Python} consegue ser um pouco melhor que \texttt{R}
\item Mas tem a "tara"~dos anos 90 de tudo ser \textbf{Orientado à Objetos}
\item \href{http://docs.pymc.io/}{\texttt{PyMC}} \parencite{pymc3}:
\begin{vfilleditems}
\item Uma Biblioteca de Estatística Bayesiana com o seu próprio amostrador \textit{Markov Chain Monte Carlo} (MCMC)
\item Também com Suporte financeiro da \href{https://numfocus.org/}{NUMFocus}
\item Amarram o cavalo num barco que afundou há algum tempo: \texttt{Theano}
\item \texttt{Theano} \textbf{morreu} mas os desenvolvedores do \texttt{PyMC} fizeram um \textit{fork} no projeto e estão usando-o como \textit{backend}
\end{vfilleditems}
\end{vfilleditems}
\end{frame}
% \begin{frame}[fragile]{Exemplo de Código \href{http://docs.pymc.io/}{\texttt{PyMC}}}
% \begin{lstlisting}[basicstyle=\small, language=Python]
% with Model() as model:
% sigma = HalfCauchy("sigma", beta=10, testval=1.0)
% alpha = Normal("Intercept", 0, sigma=20)
% beta_1 = Normal("beta_1", 0, sigma=2)
% beta_2 = Normal("beta_2", 0, sigma=2)
% likelihood = Normal("y",
% mu=alpha + beta_1 * x1 + beta_2 * x2,
% sigma=sigma, observed=y)
% \end{lstlisting}
% \end{frame}
\subsubsection{Julia}
\begin{frame}{\href{https://julialang.org/}{\texttt{Julia}} e \href{https://turing.ml}{\texttt{Turing}}}
\begin{vfilleditems}
\item \href{https://julialang.org/}{\texttt{Julia}} \parencite{bezanson2017julia} é uma linguagem relativamente nova, lançada pela primeira vez em 2012, que visa ser de \textbf{alto nível} e \textbf{rápida}
\item Linguagem de tipagem \textbf{dinâmica rápida} que compila \textit{just-in-time} (JIT) em código nativo usando \texttt{LLVM}.
\item "Roda como \texttt{C}, mas lê como \texttt{Python}"~\parencite{perkelJuliaComeSyntax2019}, o que significa que é extremamente \textbf{rápida}, fácil \textbf{prototipagem} e \textbf{ler/escrever} código.
\item \textbf{Multi-paradigma}, combinando recursos de programação \textbf{imperativa}, \textbf{funcional} e \textbf{orientada a objetos}.
\end{vfilleditems}
\end{frame}
\begin{frame}{\href{https://turing.ml}{\texttt{Turing}}}
\begin{vfilleditems}
\item \href{https://turing.ml}{\texttt{Turing}} é uma \textbf{Linguagem de Programação Probabilística}\footnote{em inglês \textit{probabilistic programming language} (PPL)} escrita totalmente em \href{https://julialang.org/}{\texttt{Julia}}
\item Usa \textbf{pacotes} de \href{https://julialang.org/}{\texttt{Julia}} para:
\begin{vfilleditems}
\item \textbf{Diferenciação Automática}\footnote{\textit{autodiff}}
\item \textbf{Distribuições Probabilísticas}
\item \textbf{Solucionadores de Equações Ordinais}\footnote{\textit{Ordinary Differential Equation Solvers} (ODE)}
\item \textbf{Redes Neurais} (sendo responsável pela parte "Bayesiana"~da Rede Neural Bayesiana)
\end{vfilleditems}
\end{vfilleditems}
\end{frame}
% \begin{frame}[fragile]{Exemplo de Código \href{https://turing.ml}{\texttt{Turing}}\footnote{eu acredito que há muito potencial em \texttt{Julia} e escrevi um \href{https://storopoli.github.io/Bayesian-Julia}{tutorial de Estatística Bayesiana usando \texttt{Julia} e \texttt{Turing}} \parencite{storopoli2021bayesianjulia}}}
% \begin{lstlisting}[basicstyle=\small, language=Matlab, escapeinside=\{\}]
% @model linreg({$x_1$}, {$x_2$}, y) = begin
% {$\alpha$} ~ Normal(0, 20)
% {$\beta_1$} ~ Normal(0, 2)
% {$\beta_2$} ~ Normal(0, 2)
% {$\sigma$} ~ Exponential(1)
% y .~ Normal({$\alpha$} .+ {$\beta_1$} * {$x_1$} + {$\beta_2$} * {$x_2$}, {$\sigma$})
% end
% \end{lstlisting}
% \end{frame}
\subsection{Probabilidade}
\begin{frame}{PROBABILIDADE NÃO EXISTE!\footnote{\textcite{definettiTheoryProbability1974}}}
\begin{columns}
\begin{column}{0.8\textwidth}
\begin{vfilleditems}
\item Sim, a probabilidade não existe.
\item Ou melhor, probabilidade como uma quantidade física,
chance objetiva, \textbf{NÃO existe}
\item se dispensarmos a questão da chance objetiva \textit{nada se perde}
\item A matemática do raciocínio indutivo permanece
\textbf{exatamente a mesma}
\end{vfilleditems}
\end{column}
\begin{column}{0.2\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=0.9\columnwidth]{finetti.jpg}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{PROBABILIDADE NÃO EXISTE!\footnote{\textcite{definettiTheoryProbability1974}}}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\textwidth}
\begin{vfilleditems}
\small
\item Considere jogar uma moeda de enviesada
\item As tentativas são consideradas independentes e, como resultado,
exibem outra propriedade importante: \textbf{a ordem não importa}
\item A frequência é considerada uma \textbf{estatística suficiente}
\item Dizer que a ordem não importa ou dizer que a única coisa que
importa é a frequência são duas maneiras de dizer exatamente a
mesma coisa
\item Dizemos que essa probabilidade é \textbf{invariante sob permutações}
\end{vfilleditems}
\end{column}
\begin{column}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[
scale=0.55,
transform shape, thick,
every node/.style = {draw, circle, minimum size = 10mm},
grow = down, % alignment of characters
level 1/.style = {sibling distance=3cm},
level 2/.style = {sibling distance=1.5cm},
level 3/.style = {sibling distance=3cm},
level distance = 3cm,
head/.style = {fill = orange!90!blue,
label = center:\textsf{\Large C}},
tail/.style = {fill = blue!70!yellow, text = black,
label = center:\textsf{\Large K}}
]
\node[shape = circle split, draw, line width = 1pt,
minimum size = 10mm, inner sep = 0mm, font = \sffamily\large,
rotate=30] (Start)
{ \rotatebox{-30}{H} \nodepart{lower} \rotatebox{-30}{T}}
child { node [head] (A) {}
child { node [head] (B) {}}
child { node [tail] (C) {}}
}
child { node [tail] (D) {}
child { node [head] (E) {}}
child { node [tail] (F) {}}
};
% Filling the root (Start)
\begin{scope}[on background layer, rotate=30]
\fill[head] (Start.base) ([xshift = 0mm]Start.east) arc (0:180:5mm)
-- cycle;
\fill[tail] (Start.base) ([xshift = 0pt]Start.west) arc (180:360:5mm)
-- cycle;
\end{scope}
% Labels
\begin{scope}[nodes = {draw = none}]
\path (Start) -- (A) node [near start, left] {$0.5$};
\path (A) -- (B) node [near start, left] {$0.5$};
\path (A) -- (C) node [near start, right] {$0.5$};
\path (Start) -- (D) node [near start, right] {$0.5$};
\path (D) -- (E) node [near start, left] {$0.5$};
\path (D) -- (F) node [near start, right] {$0.5$};
\begin{scope}[nodes = {below = 11pt}]
\node at (B) {$0.25$};
\node at (C) {$0.25$};
\node at (E) {$0.25$};
\node at (F) {$0.25$};
\end{scope}
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Interpretações da Probabilidade}
\begin{vfilleditems}
\item \textbf{Objetiva} - frequência no longo prazo de um evento específico
\begin{vfilleditems}
\item $P(\text{chuva}) = \frac{\text{dias que choveram}}{\text{dias totais}}$
\item $P(\text{chance de eu ser presidente} = 0)$ (Nunca ocorreu)
\end{vfilleditems}
\item \textbf{Subjetiva} - nível de crença em um evento
\begin{vfilleditems}
\item $P(\text{chuva}) = \text{crença que choverá}$
\item $P(\text{chance de eu ser presidente} = 10^{-10})$ (Muito improvável)
\end{vfilleditems}
\end{vfilleditems}
\end{frame}
\subsubsection{O que é Probabilidade?}
\begin{frame}{O que é Probabilidade?}
\begin{defn}[Probabilidade]
Sobre notação, definimos que $A$ é um evento e $P(A)$ a probabilidade do evento, logo:
$$
\{P(A) \in \mathbb{R} : 0 \leq P(A) \leq 1 \}.
$$
\vfill
Isto quer dizer o "probabilidade do evento $A$ ocorrer é o conjunto de
todos os números reais entre $0$ e $1$; incluindo $0$ e $1$"
\end{defn}
\end{frame}
\begin{frame}{Axiomas da Probabilidade\footnote{\textcite{kolmogorovFoundationsTheoryProbability1933}}}
\begin{columns}
\begin{column}{0.8\textwidth}
\begin{vfilleditems}
\item \textbf{Não-negatividade}: Para todo $A$, $P(A) \geq 0$.
Toda probabilidade é positiva (maior ou igual a zero), independente do
evento
\item \textbf{Aditividade}: Para dois \textit{mutuamente exclusivos}
$A$ e $B$ (não podem ocorrer ao mesmo tempo):
$P(A) = 1 - P(B)$ e $P(B) = 1 - P(A)$
\item \textbf{Normalização}: A probabilidade de todos os eventos
possíveis $A_1, A_2, \dots$ devem somar $1$:
$\sum_{n \in \mathbb{N}} A_n = 1$
\end{vfilleditems}
\end{column}
\begin{column}{0.2\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=0.9\columnwidth]{kolmogorov.jpg}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Espaços Amostrais}
\begin{vfilleditems}
\item Discretos $$\Theta = \left\{1, 2, \ldots, \right\}$$
\item Contínuos $$\Theta \in \left(-\infty, \infty \right)$$
\end{vfilleditems}
\end{frame}
\begin{frame}{Espaços Amostrais Discretos}
8 Planetas do Nosso Sistema Solar
\begin{vfilleditems}
\item Mercúrio - $\mercury$
\item Vênus - $\venus$
\item Terra - $\earth$
\item Marte $\mars$
\item Júpiter - $\jupiter$
\item Saturno $\saturn$
\item Urano - $\uranus$
\item Netuno $\neptune$
\end{vfilleditems}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile]{Espaços Amostrais Discretos\footnote{figuras adaptadas de \href{https://github.com/betanalpha/stan_intro}{Michael Betancourt (CC-BY-SA-4.0)}}}
\footnotesize
\begin{figure}
\centering
\subfigure{
\begin{tikzpicture}[scale=0.25, thick]
\draw[color=black] (-25, 0) to (10, 0);
\node[] at (-15, 0) {O planeta possui campo magnético};
\node[] at (7, 2) {$\theta \in E_{1}$};
\fill[color=gray60] (0, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\mercury$};
\fill[color=blue] (2, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\venus$};
\fill[color=blue] (4, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\earth$};
\fill[color=gray60] (6, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\mars$};
\fill[color=blue] (8, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\jupiter$};
\fill[color=blue] (10, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\saturn$};
\fill[color=blue] (12, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\uranus$};
\fill[color=blue] (14, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\neptune$};
\end{tikzpicture}
}
%
\subfigure{
\begin{tikzpicture}[scale=0.25, thick]
\draw[color=black] (-25, 0) to (10, 0);
\node[] at (-15, 0) {O planeta possui luas};
\node[] at (7, 2) {$\theta \in E_{2}$};
\fill[color=gray60] (0, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\mercury$};
\fill[color=gray60] (2, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\venus$};
\fill[color=blue] (4, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\earth$};
\fill[color=blue] (6, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\mars$};
\fill[color=blue] (8, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\jupiter$};
\fill[color=blue] (10, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\saturn$};
\fill[color=blue] (12, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\uranus$};
\fill[color=blue] (14, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\neptune$};
\end{tikzpicture}
}
%
\subfigure{
\begin{tikzpicture}[scale=0.25, thick]
\draw[color=black] (-25, 0) to (10, 0);
\node[] at (-15, 0) {O planeta possui campo magnético e luas};
\node[] at (7, 2) {$\theta \in E_{1} \cap E_{2}$};
\fill[color=gray60] (0, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\mercury$};
\fill[color=gray60] (2, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\venus$};
\fill[color=blue] (4, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\earth$};
\fill[color=gray60] (6, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\mars$};
\fill[color=blue] (8, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\jupiter$};
\fill[color=blue] (10, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\saturn$};
\fill[color=blue] (12, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\uranus$};
\fill[color=blue] (14, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\neptune$};
\end{tikzpicture}
}
%
\subfigure{
\begin{tikzpicture}[scale=0.25, thick]
\node[] at (-15, 0) {O planeta possui campo magnético ou luas};
\node[] at (7, 2) {$\theta \in E_{1} \cup E_{2}$};
\fill[color=gray60] (0, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\mercury$};
\fill[color=blue] (2, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\venus$};
\fill[color=blue] (4, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\earth$};
\fill[color=blue] (6, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\mars$};
\fill[color=blue] (8, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\jupiter$};
\fill[color=blue] (10, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\saturn$};
\fill[color=blue] (12, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\uranus$};
\fill[color=blue] (14, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\neptune$};
\end{tikzpicture}
}
%
\subfigure{
\begin{tikzpicture}[scale=0.25, thick]
\node[] at (-15, 0) {O planeta não possui um campo magnético};
\node[] at (7, 2) {$\theta \in \neg E_{1}$};
\fill[color=blue] (0, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\mercury$};
\fill[color=gray60] (2, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\venus$};
\fill[color=gray60] (4, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\earth$};
\fill[color=blue] (6, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\mars$};
\fill[color=gray60] (8, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\jupiter$};
\fill[color=gray60] (10, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\saturn$};
\fill[color=gray60] (12, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\uranus$};
\fill[color=gray60] (14, 0) circle (25pt) node[color=black] {$\neptune$};
\end{tikzpicture}
}
%
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Espaços Amostrais Contínuos\footnote{figuras adaptadas de \href{https://github.com/betanalpha/stan_intro}{Michael Betancourt (CC-BY-SA-4.0)}}}
\footnotesize
\begin{figure}
\centering
\subfigure{
\begin{tikzpicture}[scale=0.25, thick]
\draw[color=black] (-27, 0) to (17, 0);
\node[align=center] at (-15, 0) {A distância é menos que cinco centímetros};
\node[] at (7.5, 2) {$\theta \in E_{1}$};
\draw[|->] (0, 0) -- (14,0) node[right] {$x$};
\draw[line width=1mm, color=blue] (0, 0) node[] {$\,($} -- (5, 0) node[] {$\!)$};
\end{tikzpicture}
}
%
\subfigure{
\begin{tikzpicture}[scale=0.25, thick]
\draw[color=black] (-27, 0) to (17, 0);
\node[align=center] at (-15, 0) {A distância é entre três e sete centímetros};
\node[] at (7.5, 2) {$\theta \in E_{2}$};
\draw[|->] (0, 0) -- (14,0) node[right] {$x$};
\draw[line width=1mm, color=blue] (3, 0) node[] {$\,($} -- (7,0) node[] {$\!)$};
\end{tikzpicture}
}
%
\subfigure{
\begin{tikzpicture}[scale=0.25, thick]
\draw[color=black] (-27, 0) to (17, 0);
\node[align=center] at (-15, 0) {A distância é menos que cinco centímetros \\ e entre três e sete centímetros};
\node[] at (7.5, 2) {$\theta \in E_{1} \cap E_{2}$};
\draw[|->] (0, 0) -- (14,0) node[right] {$x$};
\draw[line width=1mm, color=blue] (3, 0) node[] {$\,($} -- (5, 0) node[] {$\!)$};
\end{tikzpicture}
}
%
\subfigure{
\begin{tikzpicture}[scale=0.25, thick]
\draw[color=black] (-27, 0) to (17, 0);
\node[align=center] at (-15, 0) {A distância é menos que cinco centímetros \\ ou entre três e sete centímetros};
\node[] at (7.5, 2) {$\theta \in E_{1} \cup E_{2}$};
\draw[|->] (0, 0) -- (14, 0) node[right] {$x$};
\draw[line width=1mm, color=blue] (0, 0) node[] {$\,($} -- (7, 0) node[] {$\!)$};
\end{tikzpicture}
}
%
\subfigure{
\begin{tikzpicture}[scale=0.25, thick]
\draw[color=black] (-27, 0) to (17, 0);
\node[align=center] at (-15, 0) {A distância não é menos que cinco centímetros};
\node[] at (7.5, 2) {$\theta \in \neg E_{1}$};
\draw[|->] (0, 0) -- (14, 0) node[right] {$x$};
\draw[line width=1mm, color=blue] (5, 0) node[] {$\,($} -- (13, 0);
\end{tikzpicture}
}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Parâmetros Discretos versus Contínuos}
Tudo o que foi exposto até agora partiu do pressuposto que os parâmetros
são discretos. Isto foi feito com o intuito de prover uma melhor intuição
do que é probabilidade. Nem sempre trabalhamos com parâmetros discretos.
Os parâmetros podem ser contínuos, como por exemplo: idade, altura, peso etc.
Mas não se desespere, todas as regras e axiomas da probabilidade são válidos
também para parâmetros contínuos. A única coisa que temos que fazer é trocar
todas as somas $\sum$ por integrais $\int$. Por exemplo o terceiro axioma de
\textbf{Normalização} para variáveis aleatórias contínuas se torna:
$$
\int_{x \in X} p(x) dx = 1.
$$
\end{frame}
\begin{frame}{Probabilidade Condicional}
\begin{defn}[Probabilidade Condicional]
Probabilidade de um evento ocorrer caso outro tenha ocorrido ou não. \newline \newline
A notação que usamos é $P( A \mid B )$, que lê-se como "a probabilidade
de observamos $A$ dado que já observamos $B$". \newline \newline
\vfill \vfill
$$
\begin{aligned}
P(A \mid B) & = \frac{\text{número de elementos em $A$ e $B$}}{\text{número de elemementos em $B$}} \\
P(A \mid B) & = \frac{P(A \cap B)}{(B)}
\end{aligned}
$$
\newline \newline \hspace{0.7\textwidth}
{\footnotesize assumimos que $P(B) > 0$}.
\end{defn}
\end{frame}
\begin{frame}{Exemplo de Probabilidade Condicional}
\begin{exemplo}[Poker Texas Hold'em]
\begin{vfilleditems}
\item \textbf{Espaço Amostral}: $52$ cartas no baralho, $13$ tipos de cartas e $4$ tipos de naipes.
\item $P(A)$: Chance de receber um Ás $\left( \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\right)$
\item $P(K)$: Chance de receber um Rei (K) $\left( \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \right)$
\item $P(A \mid K)$: Chance de receber um Ás, dado que você recebeu um Rei (K) $\left( \frac{4}{51} \approx 0.078 \right)$
\item $P(K \mid A)$: Chance de receber um Rei (K), dado que você recebeu um Ás $\left( \frac{4}{51} \approx 0.078 \right)$
\end{vfilleditems}
\end{exemplo}
\end{frame}
\begin{frame}{Cuidado! Nem sempre $P(A \mid B) = P(B \mid A)$}
No exemplo anterior temos a simetria $P(A \mid K) = P(K \mid A)$, \textbf{mas nem sempre isso é verdade}\footnote{Mais especificamente, se as taxas basais $P(A)$ e $P(B)$ não são iguais, a simetria é quebrada $P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$!}
\begin{exemplo}[O Papa é católico]
\begin{vfilleditems}
\small{
\item $P(\text{papa})$: Chance alguém aleatório ser papa, algo bem pequeno, 1 em 8 bilhões $\left( \frac{1}{8 \cdot 10^9} \right)$
\item $P(\text{católico})$: Chance alguém aleatório ser católico, 1.34 de 8 bilhões $\left( \frac{1.34}{8} \approx 0.17 \right)$
\item $P(\text{católico} \mid \text{papa})$: Chance do Papa ser católico $\left( \frac{999}{1000} = 0.999 \right)$
\item $P(\text{papa} \mid \text{católico})$: Chance de alguém católico ser o papa $\left( \frac{1}{1.34 \cdot 10^9} \cdot 0.999 \approx 7.46 \cdot 10^{-10} \right)$
}
\item \large{\textbf{Logo}: $P(\text{católico} \mid \text{papa}) \neq P(\text{papa} \mid \text{católico})$}
\end{vfilleditems}
\end{exemplo}
\end{frame}
\begin{frame}{Um clássico da Probabilidade}
\begin{columns}
\begin{column}{0.6\textwidth}
\begin{exemplo}[Monty Hall]
\begin{vfilleditems}
\small
\item Um apresentador de TV lhe apresenta 3 portas
\item Uma delas tem um prêmio: um carro! As outras tem um bode
\item Você deve escolher uma porta (que não é aberta)
\item Nesse momento Monty abre uma das outras duas portas que você
não escolheu, revelando que o carro não se encontra nessa porta e revelando um dos bodes
\item Monty então lhe pergunta "Você quer manter sua escolha de porta ou trocar?"
\end{vfilleditems}
\end{exemplo}
\end{column}
\begin{column}{0.4\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\def\svgwidth{\columnwidth}
\input{../images/monty_hall.pdf_tex}
\end{figure}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Solução do Problema de Monty Hall}
\begin{idea}[Probabilidade de ganhar o carro]
$$
\begin{aligned}
P(\text{carro} \mid C_i) & = \frac{1}{3} \\
P(\text{carro}) & = \frac{1}{3} \cdot P(\text{carro} \mid C_1) + \frac{1}{3} \cdot P(\text{carro} \mid C_2) + \frac{1}{3} \cdot P(\text{carro} \mid C_3) \\
P(\text{carro}) & = \frac{\sum^3_{i=1}P(\text{carro} \mid C_i)}{3} \\
P(\text{carro}) & = \frac{1}{3}
\end{aligned}
$$
\end{idea}
\vfill \vfill
$C_i$ é o evento no qual o carro está atrás da porta $i$, $i=1,2,3$
\end{frame}
\begin{frame}[t]{Solução do Problema de Monty Hall\footnote{se você não acredita nesse resultado veja como simular o problema de Monty Hall nos \hyperlink{appendixmontyhall}{Slides de Backup no final dessa apresentação}}}
\begin{columns}[t]
\begin{column}{0.5\textwidth}
{\Large \textbf{Cenário 1}: Não trocar de porta} \newline \newline
Simples: $$\frac{1}{3}$$
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
{\Large \textbf{Cenário 2}: Trocar de porta} \newline \newline
Escolha qualquer porta $i$ para ser $C_i = 0$
\vfill
$$
\begin{aligned}
P(\text{carro}) & = 0 \cdot P(\text{carro} \mid C_i) + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \\
P(\text{carro}) & = \frac{2}{3}
\end{aligned}
$$
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Visualização do Problema de Monty Hall}
\begin{figure}
\centering
\subfigure{
\begin{tikzpicture}[
scale=0.55,
header/.style = {draw, rectangle, fill = blue!50!black, minimum size = 10mm},
level distance = 3.5cm,
transform shape, thick,
grow = right, sloped,
]
\node[header] {Sua Escolha}
child{
node[header] {Carro está}
edge from parent[draw=none]
child{
node[header] {Monty abre}
edge from parent[draw=none]
child{
node[header] {resultado}
edge from parent[draw=none]
}
}
};
\end{tikzpicture}
}
%
\subfigure{
\begin{tikzpicture}[
scale=0.55,
door/.style = {draw, circle, minimum size = 10mm},
car/.style = {circle, fill = green!50!black, minimum size = 10mm},
goat/.style = {circle, fill = red!50!black, minimum size = 10mm},
level distance = 3.5cm,
transform shape, thick,
grow = right, sloped,
level 1/.style = {sibling distance=3.5cm},
level 2/.style = {sibling distance=2cm},
level 3/.style = {sibling distance=3cm}
]
\node[door] {Porta 1}
child {
node[door] {Porta 3}
child {
node[door] {Porta 2}
child {
node[car, label=right:{\Large$\frac{1}{3}$}] {Carro}
}
edge from parent
node[above] {\Large$1$}
}
edge from parent
node[below] {\Large$\frac{1}{3}$}
}
child {
node[door] {Porta 2}
child {
node[door] {Porta 3}
child {
node[car, label=right:{\Large$\frac{1}{3}$}] {Carro}
}
edge from parent
node[above] {\Large$1$}
}
edge from parent
node[above] {\Large$\frac{1}{3}$}
}
child {
node[door] {Porta 1}
child {
node[door] {Porta 2}
child {
node[goat, label=right:{\Large$\frac{1}{6}$}] {Bode}
}
edge from parent
node[above] {\Large$\frac{1}{2}$}
}
child {
node[door] {Porta 3}
child {
node[goat, label=right:{\Large$\frac{1}{6}$}] {Bode}
}
edge from parent
node[above] {\Large$\frac{1}{2}$}
}
edge from parent
node[above] {\Large$\frac{1}{3}$}
};
\end{tikzpicture}
}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}{Probabilidade Conjunta}
\begin{defn}[Probabilidade Conjunta]
Probabilidade de observados dois ou mais eventos ocorrem. \newline \newline
A notação que usamos é $P(A, B)$, que lê-se como
"a probabilidade de observamos $A$ e também observamos $B$". \newline \newline
$$
\begin{aligned}
P(A,B) & = \text{número de elementos em $A$ ou $B$} \\
P(A,B) & = P(A \cup B)
\end{aligned}
$$
\end{defn}
\end{frame}
\begin{frame}{Exemplo de Probabilidade Conjunta}
\begin{exemplo}[Revisitando Poker Texas Hold'em]
\begin{vfilleditems}
{\footnotesize
\item \textbf{Espaço Amostral}: $52$ cartas no baralho, $13$ tipos de cartas e $4$ tipos de naipes.
\item $P(A)$: Chance de receber um Ás $\left( \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\right)$
\item $P(K)$: Chance de receber um Rei (K) $\left( \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \right)$
\item $P(A \mid K)$: Chance de receber um Ás, dado que você recebeu um Rei (K) $\left( \frac{4}{51} \approx 0.078 \right)$
\item $P(K \mid A)$: Chance de receber um Rei (K), dado que você recebeu um Ás $\left( \frac{4}{51} \approx 0.078 \right)$
}
\item $P(A, K)$: Chance de receber um Ás e um Rei (K)
$$
\begin{aligned}
P(A, K) & = P(K, A) \\
P(A) \cdot P(K \mid A) & = P(K) \cdot P(A \mid K) \\
\frac{1}{13} \cdot \frac{4}{51} & = \frac{1}{13} \cdot \frac{4}{51} \\
& \approx 0.006
\end{aligned}
$$
\end{vfilleditems}
\end{exemplo}
\end{frame}
% Exemplo do Poker com pacote pst-poker
% Exemplo do Papa e Católico
% Bivariate Normal inspirada aqui: https://github.com/walmes/Tikz/blob/master/src/bivariate-normal.pgf
\begin{frame}{Visualização de Probabilidade Conjunta vs Probabilidade Condicional}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
\begin{axis}[
domain = -3.5:3.5,
domain y = -3.5:3.5,
view = {-70}{20},
title={$P(X,Y)$ versus $P(X \mid Y=-0.75)$},
xlabel={$X$},
ylabel={$Y$},
% zlabel={$SSE(\beta_0, \beta_1)$},
zmin = -0,
%xticklabels=\empty,
%yticklabels=\empty,
zticklabels=\empty,
xtick=\empty,
ytick={-0.75},
ztick=\empty,
axis z line*=none,
axis y line*=left,
axis x line*= bottom]
\addplot3 [
domain = -3.5:3.5,
samples = 50, samples y = 0,
thick, smooth, color = red, fill = orange, opacity = 0.75]
(x, -0.75, {conditionalbinormal(-0.75, 0, 1, 0, 1, 0.75)});
\draw (-3.5, -0.75, 0) -- (3.5, -0.75, 0);
\addplot3 [
surf,
domain = -3.5:3.5,
samples = 50,
opacity = 0.15,
faceted color = colorB,
colormap = {blueblack}{
color = (colorB)
color = (colorA!50!white)
color = (colorA)}]
{binormal(0, 1, 0, 1, 0.7)};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{frame}
% Countour plot inspirado daqui: https://tex.stackexchange.com/a/31713/200209
\begin{frame}{Visualização de Probabilidade Conjunta vs Probabilidade Condicional}
\begin{columns}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\begin{axis}[
view={0}{90},
axis equal,
enlarge y limits=true,
title={$P(X,Y)$},
xlabel={$X$},
ylabel={$Y$},
xtick=\empty,
ytick={-0.75}
]
\draw[red, line width=2pt] (-3.5, -0.75) -- (3.5, -0.75);
\addplot3[contour gnuplot={labels=false},domain=-3.5:3.5,domain y=-3.5:3.5]
{exp(-( x^2 + y^2)/3 )};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{column}
\begin{column}{0.5\textwidth}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
\begin{axis}[every axis plot, line width=2pt,
title={$P(X \mid Y=-0.75)$},
xlabel={$X$},
ylabel={$Y$},
xtick=\empty,
ytick=\empty,
domain=-3.5:3.5,samples=200,
axis x line*=bottom, % no box around the plot, only x and y axis
axis y line*=left, % the * suppresses the arrow tips
enlarge x limits=true
] % extend the axes a bit
\addplot [red, fill = red, fill opacity = 0.5] {exp(-( x^2 + -0.75^2)/3 )};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\subsubsection{Teorema de Bayes}
\begin{frame}{Quem foi Thomas Bayes?}
\begin{columns}
\begin{column}{0.8\textwidth}
\begin{vfilleditems}
\item \small Thomas Bayes (1701 - 1761) foi um estatístico, filósofo
e ministro presbiteriano inglês conhecido por formular um caso
específico do teorema que leva seu nome
\item \small Bayes nunca publicou o que se tornaria sua realização mais famosa;
suas notas foram editadas e publicadas após sua morte pelo seu amigo
Richard Price
\item \small O nome formal do teorema é Bayes-Price-Laplace, pois Thomas
Bayes foi o primeiro a descobrir, Richard Price pegou seus rascunhos,
formalizou em notação matemática e apresentou para a Royal Society of London,
e Pierre Laplace redescobriu o teorema sem ter tido contato prévio no final
do século XVIII na França ao usar probabilidade para inferência estatística
com dados do Censo na era Napoleônica
\end{vfilleditems}
\end{column}
\begin{column}{0.2\textwidth}
\centering
\includegraphics[width=0.9\columnwidth]{thomas_bayes.png}
\end{column}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}{Teorema de Bayes}
\begin{theo}[Bayes]
Nos diz como "inverter" a probabilidade condicional: \newline \newline
$$P(A \mid B) = \frac{P(A) \cdot P(B \mid A)}{P(B)}$$
\end{theo}
\end{frame}
\begin{frame}{Prova do Teorema de Bayes}
Lembra que temos a seguinte identidade na probabilidade:
$$
\begin{aligned}
P(A,B) & = P(B,A) \\
P(A) \cdot P(B \mid A) & = P(B) \cdot P(A \mid B)
\end{aligned}
$$
Pois bem, agora passe o $P(B)$ do lado direito para o lado esquerdo dividindo:
$$
\begin{aligned}
P(A) \cdot P(B \mid A) & = \overbrace{P(B)}^{\text{isso vai para $\leftarrow$}} \cdot \quad P(A \mid B) \\
& \\