Statistics/Chapter07_estimation.ipynb

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 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 7장. 추정\n",
    "* 7.1 점추정과 구간추정\n",
    "* 7.2 모평균의 신뢰구간\n",
    "* 7.3 모비율의 신뢰구간\n",
    "* 7.4 표본크기의 결정\n",
    "* 7.5 모평균의 차에 대한 신뢰구간\n",
    "* 7.6 모비율의 차에 대한 신뢰구간\n",
    "* 7.7 모분산에 대한 신뢰구간\n",
    "* 7.8 모분산의 비에 대한 신뢰구간"
   ]
  },
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   "metadata": {},
   "source": [
    "연구의 궁극적 관심 대상은 모집단이고, 모집단의 특성을 나타내주는 것이 모수라고 할 때, 통계적 추론의 대상은 모수가 될 것이다. <br>\n",
    "그 모수의 참값이 무엇인지 자료를 통해 합리적인 추측을 하는 것이 **추정**이고, <br>\n",
    "모수의 참값이 어떤 특정한 값인지 아닌지를 자료를 통해 결정하는 것이 **검정**이다. <br>\n",
    "\n",
    "모수의 추정에 사용되는 통계량을 추정량(estimator)이라고 하고, <br>\n",
    "검정에 사용되는 통계량을 검정통계량(test statistic)이라고 한다. <br>\n",
    "\n",
    "=> 이 장에서는 모평균과 모비율, 모분산을 중심으로 추정에 대해 알아봄"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 7.1 점추정과 구간추정\n",
    "\n",
    "추정 : 연구의 궁극적 관심의 대상은 모집단이고, 모집단의 특성을 나타내주는 것이 모수라고 할 때, 그 모수의 참값이 무엇인지 자료를 통해 합리적인 추측을 하는 것이 '추정' <br>\n",
    "모수의 참값이 어떤 특정한 값인지 아닌지를 자료를 통해 결정하는 것이 '검정'\n",
    "\n",
    "* 점 추정\n",
    "    * 하나의 값으로 모수를 추정하는 것\n",
    "    * 추정값의 정확성에 대한 정보를 제공하지 않는다. <br>\n",
    "    ex) 우리나라 고등학생의 평균키는 170cm 다 <br>\n",
    "    \n",
    "* 구간 추정 \n",
    "    * 적절한 구간을 설정하여 모수를 추정하는 것\n",
    "    * 모수가 어떤 값을 가질 것인지에 대한 정보와 함께 신뢰도와 오차의 한계를 통하여 추정의 불확실성에 대한 정보도 제공\n",
    "    (점 추정과의 차이) <br>\n",
    "    ex) 우리나라 고등학생 평균키는 167cm 에서 173cm 사이다.\n",
    "\n",
    "------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\n",
    "### 7.1.1 점추정\n",
    "모평균을 추정할 때 사용될 수 있는 표본평균, 표본중위수, 표본절사평균 등을 추정량(estimator)이라고 한다. <br>\n",
    "* 실제로 표본을 관측하여 이들의 값을 계산하면 그 값들은 추정값(estimate)이 됨.\n",
    "\n",
    "추정량의 좋고 나쁨을 관측값 하나로 판단하는 것음 무리다. (궁수가 한번 잘쐈다고 훌륭하다고 볼 수 없는것과 동일) <br> \n",
    "표본을 많이 뽑아서 각 표본에 대한 추정값을 계산하여 그 값들의 분포를 보고, 즉 추정량의 분포를 통해 결정해야 한다.  <br>\n",
    "\n",
    "----->  Q : 왜 추정량의 분포를 고려하여 추정해야 하나 ? <br>\n",
    "----->  A : 추정량은 통계량이고 통계량은 확률변수이므로 표본이 달라지면 값이 달라지기 때문<br>\n",
    "\n",
    "#### **[ 편향과 분산 ]**\n",
    "* 분산\n",
    "추정값들이 가까이 있으면 추정량의 분산이 작은 것이고, <br>\n",
    "넓게 퍼져 있으면 분산이 큰 것이다. <br>\n",
    "\n",
    "* 편향\n",
    "추정값들이 모수의 참값을 중심으로 분포하면, 즉 추정량의 기댓값이 모수의 참값과 같으면 추정량은 편향이 없는 것이고 <br>\n",
    "그렇지 않으면 추정량은 편향이 있는 것이다.<br>\n",
    "=> 추정량의 편향은 추정량의 기댓값에서 모수의 참값을 뺀 것으로 정의.\n",
    "\n",
    "<img src=\"var .png\" width=\"300\"> <br>\n",
    "\n",
    "=> 분산도 작고 편향의 절댓값도 작은 것이 좋은 추정량 <br>\n",
    "=> 추정의 기준을 평균제곱오차(MSE)로 잡을 수 있다. <br>\n",
    "    평균제곱오차(mean square error) = 분산 + $편향^2$ <br>\n",
    "###    MSE = $\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n (\\hat Y_i - Y_i)^2 $ <br>\n",
    "\n",
    "* 특별히, 편향이 0인 추정량은 비편향추정량이라고 한다. (즉, 치우치지 않음을 의미)\n",
    "    * 추정량의 평균이 실제 모수값과 일치할 때 추정량을 비편향추정량이라고 한다.\n",
    "\n",
    "#### < 예제 7.1 >\n",
    "결론 : 표본평균의 평균은 모평균과 같게되어 표본평균은 모평균의 비편향추정량이 된다. <br>\n",
    "\n",
    "| $\\bar X$ |1|1.5|2|2.5|3|3.5|4|4.5|5|\n",
    "| --- | --- |---|---|---|---|---|---|---|---|\n",
    "| P($\\bar X$)|$\\frac{1}{25}$|$\\frac{2}{25}$| $\\frac{3}{25}$ |$\\frac{4}{25}$|$\\frac{5}{25}$ |$\\frac{4}{25}$|$\\frac{3}{25}$|$\\frac{2}{25}$|$\\frac{1}{25}$| \n",
    "\n",
    "* 특징 : 중간으로 갈수록 확률이 커지고 양 끝으로 갈 수록 확률이 작아짐 \n",
    "    * 정규분포와 흡사\n",
    "\n",
    "#### < 예제 7.2 >\n",
    "결론 : 표본분산의 '평균'은 모분산과 같게 되어 표본분산은 모분산의 비편향추정량이 된다. <br>\n",
    "* 분산은 모분산 $\\sigma^2$ 의 1/n배인 $\\sigma^2$/n 과 같다.\n",
    "    * 여기서 n은 표본의 개수 \n",
    "\n",
    "* 특별히, 편향이 0인 추정량은 비편향추정량이라고 한다.\n",
    "\n",
    "------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\n",
    "### 7.1.2 구간추정\n",
    "구간추정은 점추정과 달리 추정의 불확실성에 대한 정보도 함께 제공한다. <br>\n",
    "표본평균으로 모평균을 점추정할 때, 모평균이 표본평균과 정확히 같다고 볼 수 없다. \n",
    "* why ? 모평균은 하나의 상수값인데 표본평균은 표본에 따라 다른 값을 취할 수 있기 때문.\n",
    "\n",
    "모평균이 $\\mu$ 이고 모분산이 $\\sigma^2$ 인 모집단에서 뽑은 크기 $n$인 표본에 대하여 표본평균 $\\bar X_n$ 의 기댓값은 $\\mu$ 이고 \n",
    "표준편차는 $\\frac{\\sigma}{\\sqrt n}$  이다. <br>\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "즉, 표본의 크기가 커질수록 표준편차가 작아져, 표본평균의 분포가 $\\mu$ 주변으로 집중된다는 것이다.<br>\n",
    "\n",
    "* 그러므로 표본의 크기가 충분히 크면 관측된 표본평균이 모평균에 매우 가까이 있다고 생각 할 수 있다.<br>\n",
    "\n",
    "* 여기서 표준편차  $\\frac{\\sigma}{\\sqrt n}$  는 추정량인 표본평균 $\\bar X_n$ 의 흩어진 정도에 대한 측도로서 **\"표준오차\"** 라고도 한다.\n",
    "    * 표준오차 => 표본평균들의 표준오차\n",
    "\n",
    "-----> Q. : '표준편차' 와 '표준오차' 의 차이점은 ? <br>\n",
    "-----> A. : \n",
    "* 표준편차 : 모집단이건 표본집단이건 그 안의 숫자들의 편차를 뜻함. (평균을 중심으로 퍼진 정도)\n",
    "* 표준오차 : 여러개 뽑히는 표본평균들의 편차 (뽑힌 표본집단들이 모집단을 추정하기에 적절한지)\n",
    "    * 즉, 표준오차가 작다면 표본평균들로 모평균을 추정한다는 사실을 의심할 필요가 적어짐.\n",
    "    * 표본에 대해서만 논하지, '모표준오차'와 같은 개념은 잘못된것.\n",
    "\n",
    "\n",
    "#### [ 표본평균의 분포 ]\n",
    "* 모집단이 정규분포를 따르면, 표본평균의 분포는 $N(\\mu, \\frac{\\sigma^2}{n})$\n",
    "###    * $P(\\bar X_n - z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\frac{\\sigma}{\\sqrt n}  <= \\mu <= \\bar X_n + z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\frac{\\sigma}{\\sqrt n} )$ \n",
    "이 성립한다.\n",
    "    * 예를들어 $\\alpha$ = 0.05 일때 위 식은 표본평균의 95% 정도가 모평균으로부터 (1.96 X 표준편차) 이상 떨어져 있지 않다는 뜻이 된다. \n",
    "    * 즉, 매우 많은 표본을 뽑아서 각각에 대해 표본평균을 계산하여 $\\bar X_n \\pm z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\frac{\\sigma}{\\sqrt n}$ 의 구간을 구하면 그 가운데 95% 정도의 구간이 모평균을 포함하게 된다는 것이다.\n",
    "    * $\\bar X_n \\pm z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\frac{\\sigma}{\\sqrt n}$  의 구간은 표본에 따라달라지는 랜덤한 구간으로, 모평균을 포함할 수도 있고 포함하지 않을 수도 있다. \n",
    "    \n",
    "* 모분포가 정규분포가 아니더라도, 표본의 크기가 충분히 커서 중심극한정리를 사용할 수 있다면 표본평균의 분포를  $N(\\mu, \\frac{\\sigma^2}{n})$으로 근사할 수 있음 \n",
    "\n",
    "#### [ 95% 신뢰수준 또는 신뢰도 의미 ]\n",
    "* 동일한 크기의 표본을 매우 많이 뽑아 각 표본에 대해 $\\bar X_n \\pm z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\frac{\\sigma}{\\sqrt n}$ 의 구간들을 구하면 그 중에서 95% 정도가 모평균을 포함한다는 의미\n",
    "* 이 구간을 모평균에 대한 신뢰구간이라고 하며 이것이 모평균의 구간추정이 된다.\n",
    "\n",
    "신뢰도 = 신뢰도 수준 (+/-) 표본오차 <br>\n",
    "\n",
    "표본오차 : $Z_{\\alpha / 2} \\frac{\\sigma}{\\sqrt n}$ <br>\n",
    "표준오차 : $\\frac{\\sigma}{\\sqrt n}$\n",
    "\n",
    "#### [ 신뢰구간의 정확한 의미 ]\n",
    "-----> Q. 다음 중 맞는 의미\n",
    "1. 모평균을 포함할 확률이 95%가 되는 구간\n",
    "2. 같은 방법으로 100번 표본을 추출했을 때, 함께 계산되는 100개의 신뢰구간 중 모평균을 포함한 신뢰구간들의 숫자가 95개정도 된다.\n",
    "\n",
    "-----> A. 5000명중 500명을 같은 방법으로 2번 추출할때, 첫번째 500명과 두번째 500명은 다름. 추출된 표본이 정해진 개념이 아니듯 신뢰구간또한 명확히 정해지는 개념이 아님.\n",
    "\n",
    "------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\n",
    "\n",
    "## 7.2 모평균의 신뢰구간\n",
    "모분산이 알려져 있는 경우 <br>\n",
    "### $\\bar X_n \\pm z_{\\frac{\\alpha}{2}} \\frac{\\sigma}{\\sqrt n}$\n",
    "\n",
    "모분산이 알려져 있지 않은 경우  <br>\n",
    "### $\\bar X_n \\pm t_{\\frac{\\alpha}{2}} \\frac{(n-1)S}{\\sqrt n}$\n",
    "\n",
    "<정리>\n",
    "1. 모분산을 알때 ----> Z분포\n",
    "2. 모분산이 알려져 있지 않을 때 <br> \n",
    "    2-1. 소표본 ---> t분포 <br>\n",
    "    2-2. 대표본 ---> Z분포 <br>\n",
    "\n",
    "\n",
    "평균이 $\\mu$ 이고 분산이  $\\sigma^2$ 인 정규분포에서 크기가 $n$ 인 임의표본을 뽑을 때 $\\frac{\\bar X_n - \\mu}{\\frac{\\sigma}{\\sqrt n}}$ 은 표준정규분포를 따른다. <br>\n",
    "나아가, 표본평균 $\\bar X_n$의 표준오차 $\\sigma / \\sqrt n$ 를 $S / \\sqrt n$ 으로 추정하여 대체한 $\\frac{\\bar X_n - \\mu}{\\frac{S}{\\sqrt n}}$ 는 자유도가 n-1인 t분포를 따른다. <br>\n",
    "이러한 사실에 근거하여 모평균 $\\mu$에 대한 신뢰수준 1-$\\alpha$ 인 신뢰구간 $\\bar X_n \\pm t_{\\frac{\\alpha}{2}} \\frac{(n-1)S}{\\sqrt n}$ 을 구할 수 있다.\n",
    "\n",
    "------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\n",
    "\n",
    "## 7.3 모비율의 신뢰구간\n",
    "* 모비율 : 모집단이 어떤 특성을 가지는 비율\n",
    "* 표본비율 : 모집단에서 임의로 추출한 표본에서 어떤 특징을 가지는 대상의 비율\n",
    "\n",
    "성공할 확률을 모비율 $p$라고 하고, 표본에서의 성공률을 표본비율 $\\hat{p}$ 라고 하자. <br>\n",
    "$\\hat{p}$  = $\\frac{X}{n}$ = (대상수=확률변수 / 표본크기) <br>\n",
    "$\\hat{p}$  = $\\frac{X}{n}$ = (대상수:확률변수 / 표본크기) <br>\n",
    "\n",
    "표본의 크기가 n일때, $n\\hat{p}$ 은 표본에서 '성공'이 관측되는 횟수이므로 <br>\n",
    "성공 확률이 $p$인 베르누이 시행을 $n$번 독립적으로 반복했을 때의 성공횟수로 볼 수 있고, <br>\n",
    "이는 이항분포 $B(n,p)$ 로 모형화할 수 있다.\n",
    "\n",
    "이항분포 $B(n,p)$에 n이 크면 정규분포를 따르므로, <br>\n",
    "$N(p, \\frac{pq}{n})$ \n",
    "\n",
    "이때 $\\hat{p}$ 의 표준오차는 $\\sqrt \\frac{p(1-p)}{n}$ 이 된다.\n",
    "\n",
    "모비율 $p$ 를 표본비율 $\\hat{p}$ 로 추정하여 신뢰수준 $1-\\alpha$인 모비율의 신뢰구간을 <br>\n",
    "### $\\hat{p} \\pm z_\\frac{\\alpha}{2} \\sqrt \\frac{\\hat{p}(1-\\hat{p})}{n}$ <br>\n",
    "\n",
    "\n",
    "#### < 예제 7.6 >\n",
    "**## 표본오차** <br>\n",
    "* 모집단을 대표할 수 있는 전형적인 구성 요소를 선택하지 못함으로써 발생하는 오차 (최대허용오차) <br>\n",
    "    * 모집단 평균과 표본평균간의 차이\n",
    "    * 쉽게말하면, 표본의 평균에 의해 모집단의 평균을 추정할 때의 신뢰구간을 의미.\n",
    "\n",
    "**## 표준오차** <br>\n",
    "* 여러개 뽑히는 표본평균들의 편차 (뽑힌 표본집단들이 모집단을 추정하기에 적절한지)\n",
    "\n",
    "여기서 '표본오차'는 <br>\n",
    "### $Z_\\frac{\\alpha}{2} \\sqrt\\frac{\\hat p (1-\\hat p)}{n}$ 이고, <br>\n",
    "\n",
    "'표준오차' 는 <br>\n",
    "### $ \\sqrt\\frac{\\hat p (1-\\hat p)}{n}$ 이다. <br>\n",
    "=> 통계학에서 '표본오차'는 일정한 신뢰수준을 확보하기 위한 Z값 또는 t값에 표준오차를 곱한다.\n",
    "\n",
    "------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\n",
    "\n",
    "\n",
    "## 7.4 표본크기의 결정\n",
    "===> 요약 : 표본크기를 결정하는 이유는, 적절한 신뢰구간과 신뢰수준을 얻기 위함. \n",
    "\n",
    "신뢰구간을 구할 때, $\\bar X_n$ , $\\sigma$ , $n$ 이 모두 고정된 상태에서 신뢰수준을 높이면, 즉 $\\alpha$를 줄이면 $z_\\frac{\\alpha}{2}$ 의 값이 커져서 구간이 넓어진다. <br>\n",
    "(ex. $\\alpha$ = 0.1 이면 $z_\\frac{\\alpha}{2}$=1.645 이지만 $\\alpha$=0.05이면 $z_\\frac{\\alpha}{2}$=1.96 이 된다. )\n",
    "\n",
    "* 신뢰수준을 높이기 위해 너무 넓은 신뢰구간을 제공하면 그 추정은 별 의미가 없을 수 있다. <br>\n",
    "ex) 성인남자의 키에 대한 추정에서 평균키에 대한 신뢰구간이 150cm 에서 200cm라고 할 때 <br>\n",
    "\n",
    "* 반대로 신뢰수준이 너무 낮아도 의미가 없음\n",
    "ex) 성인남자의 평균키에 대한 신뢰구간이 170cm에서 171cm 라고 할때, 신뢰수준이 50%라면 이 추정을 신뢰하기 어려움. <br>\n",
    "\n",
    "신뢰구간의 길이가 $d$ 라고 했을때, <br>\n",
    "#### $d$ = 2 x $z_\\frac{\\alpha}{2} \\sigma / \\sqrt n$ 으로부터 <br>\n",
    "#### n = $(\\frac{2 z_\\frac{\\alpha}{2} \\sigma}{d})^2$ 을 얻을 수 있다. <br>\n",
    "\n",
    "표본크기를 결정하는 데 있어서 비용이나 다른 제약조건을 고려해야 하므로, 가장 작은 표본크기를 결정하는 것이 좋다. <br>\n",
    "n >= ($\\frac{2 z_\\frac{\\alpha}{2} \\sigma}{d}$)^2  을 만족하는 가장 작은 표본크기를 결정하면 된다. <br>\n",
    "\n",
    "\n",
    "* 모비율에 대한 신뢰구간을 필요로하는 연구에서는  <br>\n",
    "모비율에 대한 신뢰구간을 필요로하는 연구에서는  <br>\n",
    "2 x $z_\\frac{\\alpha}{2} \\sqrt \\frac{p(1-p)}{n}$  로부터 표본의 크기를 결정해야 하는데, p는 모르는 모수이고 표본을 얻기 전이므로 p를 $\\hat{p}$ 로 대체할 수 없는 문제가 있다. <br>\n",
    "p(1-p) = 1/4 로 놓고 $d = \\frac{2 z_\\frac{\\alpha}{2}}{\\sqrt 4 n}$ = $\\frac{z_\\frac{\\alpha}{2}}{\\sqrt n}$ 를 풀어서 <br>\n",
    "$n = (\\frac{z_\\frac{\\alpha}{2}}{d})^2$ 으로 표본의 크기를 결정할 수 있다. \n",
    "\n",
    "* $p(1-p)$ = 1/4로 놓는 것은 p = 1/2 에서 최댓값을 가지며, 최댓값을 쓰게 되면 실제로 필요한 표본의 크기보다 더 큰 표본을 쓰게 되어 보수적인 신뢰구간을 얻기 때문이다.\n",
    "\n",
    "------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\n",
    "## 7.5 모평균의 차에 대한 신뢰구간\n",
    "참고자료 : http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=lchry&logNo=220509297420 \n",
    "\n",
    "두 평균의 차이에 대한 추정이나 검정에 있어서 표본평균의 차이뿐만 아니라, 표본 내의 산포 또한 고려해야 함. <br>\n",
    "즉, 표본 내의 산포에 비하여 표본평균의 차이가 클 때 두 모평균에 차이가 있다고 말한다. <br>\n",
    "\n",
    "두 모평균의 차이 $\\mu_X - \\mu_Y$ 에 해당하는 표본평균의 차이 $\\bar X_n - \\bar Y_n$ 는  <br>\n",
    "#### $N(\\mu_X - \\mu_Y , \\frac{\\sigma^2_X}{n} +\\frac{\\sigma^2_Y}{n} )$ \n",
    "분포를 따른다.<br>\n",
    "\n",
    "* **두 모분산이 알려져 있는 경우**\n",
    "    * 신뢰구간을 $\\bar X_n - \\bar Y_m \\pm Z\\frac{\\alpha}{2} (\\frac{\\sigma^2_X}{n} + \\frac{\\sigma^2_Y}{m})^\\frac{1}{2}$ 와 같이 얻을 수 있다.\n",
    "    * 이때의 검정통계량은\n",
    "###    $Z = \\frac{\\bar X_n - \\bar Y_m -(\\mu_X - \\mu_Y)}{(\\frac{\\sigma^2_X}{n}+\\frac{\\sigma^2_Y}{m})^\\frac{1}{2}}$ <br>\n",
    "\n",
    "\n",
    "* **두 모분산이 알려져 있지 않은 경우**\n",
    "    * 1) 두 모분산이 같다고 가정할 수 있는 경우 (등분산 가정 충족, F검정)\n",
    "        * 모분산을 모르더라도 두 모분산 $\\sigma^2_X$ 과 $\\sigma^2_Y$ 이 같다고 가정할 수 있는 경우에는 '합동이표본분석'을 할 수 있다. \n",
    "            * 이때의 자유도는 n+m-2 이고, 합동분산추정량 $S_p$ 는 \n",
    "####            $S^2_p = \\frac{(n-1)S^2_X + (m-1)S^2_Y}{n+m-2}$\n",
    "### t = $\\frac{(\\bar X_n - \\bar Y_n) - (\\mu_X - \\mu_Y)}{S_p (\\frac{1}{n} + \\frac{1}{m})^\\frac{1}{2}}$\n",
    "   \n",
    "\n",
    "   * 2) 두 모분산이 같다고 가정할 수 없는 경우\n",
    "        * Z-확률변량에서 모분산을 표본분산으로 바꾸어 다음과 같은 확률변량을 만들 수 있다.\n",
    "            * 이때의 자유도는 간단하게는 n-1과 m-1중 작은것을 사용하고, 더 정확하게는 등가자유도 df 값 사용\n",
    "### t = $\\frac{(\\bar X_n - \\bar Y_n) - (\\mu_X - \\mu_Y)}{(\\frac{S^2_X}{n} + \\frac{S^2_Y}{m})^\\frac{1}{2}}$\n",
    "\n",
    "이 구간추정은 정규분포에 바탕을 두고 있으므로, 모집단의 분포가 정규분포가 아닌 경우에는 표본의 크기가 커야 하는데, <br>\n",
    "두 표본의 크기의 합이 약 40을 넘으면 정규성 가정에는 큰 무리가 없고, <br>\n",
    "특별히 두 표본의 크기가 같을 때는 모집단의 분포에 많은 영향을 받지 않는다. <br>\n",
    "\n",
    "[ 대응짝 표본 ]\n",
    "예제 7.9 처럼 A브랜드 차량, B브랜드 차량과 같이 독립적인 경우가 아닌 동질적인 실험단위들을 짝지어 비교하는 경우, <br>\n",
    "예를들어 한 사람의 다이어트 프로그램 시작 전 측정결과와 끝난 후 측정결과, 두 개의 관측값이 짝지어질 경우. 이때의 신뢰구간은 아래와 같다.<br>\n",
    "### $\\bar Y \\pm t_{\\frac{\\alpha}{2}} (n-1) \\frac{S_Y}{\\sqrt n}$\n",
    "------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\n",
    "## 7.6 모비율의 차에 대한 신뢰구간\n",
    "\n",
    "=> 일반적으로 모비율의 차에 대한 정규근사에 있어서는, 일표본의 경우보다 작은 표본크기가 요구된다.\n",
    "\n",
    "**예제) 유입경로별 기사박스 연속소비** <br>\n",
    "전체 사용자 400명 중 기사박스(텍스트) 에서 유입된 사용자는 49%, 기사박스(이미지)에서 유입된 사용자는 44%, 핫토픽에서 유입된 사용자는 26%라고 할때 ,<br>\n",
    "각 유입경로별 사용자 비율에 차이가 있다고 할 수 있는지 95% 신뢰구간을 구하라. <br>\n",
    "(두 그룹씩 묶어서 비교)\n",
    "\n",
    "### $\\hat P_X$ - $\\hat P_Y$ $\\pm Z_\\frac{\\alpha}{2} \\sqrt {(\\frac{\\hat P_X(1-\\hat P_X)}{n} + \\frac{\\hat P_Y(1-\\hat P_Y)}{m})}$\n",
    "\n",
    "#### [1] 기사박스(텍스트) 와 기사박스(이미지) 비교\n",
    "$\\hat P_X$ = 0.49 이고,$\\hat P_Y$ = 0.44, $Z_\\frac{\\alpha}{2}$ = 1.96 , n = 400 이라고 했을 때 <br>\n",
    "위 공식에 대입하면, <br>\n",
    "\n",
    "#### 0.49-0.44 $\\pm$ 1.96 $\\sqrt{\\frac{0.49*0.51}{400}+\\frac{0.44*0.56}{400}}$ = (-0.019,0.119) \n",
    "따라서, 95%신뢰수준이 -1.9% 에서 11.9% 로 신뢰구간이 0을 포함하므로, 기사박스(텍스트) 사용자 비율이(49%) 기사박스(이미지)(44%) 보다 크다고 할 수 없다.\n",
    "\n",
    "#### [2] 기사박스(이미지) 와 핫토픽 비교\n",
    "$\\hat P_Y$ = 0.44 이고, $\\hat P_Z$ = 0.26 , $Z_\\frac{\\alpha}{2}$ = 1.96 , n = 400 이라고 했을 때 <br>\n",
    "\n",
    "#### 0.44-0.26 $\\pm$ 1.96 $\\sqrt{\\frac{0.44*0.56}{400}+\\frac{0.26*0.74}{400}}$ = (0.115,0.245)\n",
    "따라서, 95%신뢰수준에서 11.5% 에서 24.5%로 기사박스(이미지)의 사용자 비율이(44%) 핫토픽(26%) 보다  더 크다."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 18,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "import numpy as np\n",
    "def conf(p1, p2, n):\n",
    "    min_conf = round(p1-p2 - 1.96*np.sqrt( (p1*(1-p1))/n + (p2*(1-p2))/n ),3)\n",
    "    max_conf = round(p1-p2 + 1.96*np.sqrt( (p1*(1-p1))/n + (p2*(1-p2))/n ),3)\n",
    "    \n",
    "    print('interval:',min_conf, max_conf)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 19,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "interval: -0.019 0.119\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "# 기사박스(텍스트)= 0.49 , 기사박스(이미지)= 0.44 비교\n",
    "conf(0.49,0.44,400)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 21,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "interval: 0.115 0.245\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "# 기사박스(이미지)= 0.44, 핫토픽 = 0.26 비교\n",
    "conf(0.44,0.26,400)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 7.7 모분산에 대한 신뢰구간\n",
    "모분산이 중요하게 작용하는 예\n",
    "* 제조업 현장에서 생산되는 제품의 품질이 중량에 의해 좌우된다고 할 때, 중량의 모평균 외에도 분포의 흐트러진 정도를 측정하는 모분산이 품질관리에 중요함. \n",
    "\n",
    "모평균 $\\mu$가 알려진 경우에는 $\\sum_{i=1}^n (X_i - \\mu)^2 / \\sigma^2$ 이 자유도가 n인 카이제곱분포를 따른다는 점에 근거함. <br>\n",
    "확률변량 $\\frac{(n-1)S^2}{\\sigma^2}$ =$\\sum_{i=1}^n (X_i - \\bar X_n)^2 / \\sigma^2$  는 자유도가 n-1인 카이제곱분포를 따른다. <br>\n",
    "* (참고) 카이제곱은 분산의 제곱값에 대한 분포.\n",
    "\n",
    "1) 모평균 $\\mu$가 알려진 경우 신뢰구간 <br>\n",
    "### $P$ = $[\\frac{\\sum_{i=1}^n (X_i - \\mu)^2}{\\chi^2_\\frac{\\alpha}{2}(n)} ,\\frac{\\sum_{i=1}^n (X_i - \\mu)^2}{\\chi^2_{1-\\frac{\\alpha}{2}}(n)}]$\n",
    "\n",
    "2) 모평균 $\\mu$가 알려지지 않은 경우 신뢰구간 <br>\n",
    "### $P$ = $[\\frac{\\sum_{i=1}^n (X_i - \\bar X_n)^2}{\\chi^2_\\frac{\\alpha}{2}(n)} ,\\frac{\\sum_{i=1}^n (X_i - \\bar X_n)^2}{\\chi^2_{1-\\frac{\\alpha}{2}}(n)}]$\n",
    "\n",
    "-----------------------------------------------------------------\n",
    "## 7.8 모분산의 비에 대한 신뢰구간\n",
    "\n",
    "* 모평균 $\\mu_X$ 와 $\\mu_Y$를 아는 경우\n",
    "### $[ (\\frac{(n-1)S^2_X / n}{(m-1)S^2_Y / m}) F_{1-\\alpha/2}(m,n)  ,  (\\frac{(n-1)S^2_X / n}{(m-1)S^2_Y / m}) F_{\\alpha/2}(m,n) ]$\n",
    "\n",
    "* 모평균 $\\mu_X$ 와 $\\mu_Y$를 모르는 경우\n",
    "### $[ (\\frac{S^2_X}{S^2_Y}) F_{1-\\alpha/2}(m-1,n-1)  ,  (\\frac{S^2_X}{S^2_Y}) F_{\\alpha/2}(m-1,n-1) ]$\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.7.3"
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 "nbformat_minor": 2
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