問題を言い換えると
制約条件 x^2+y^2+z^2=1 の下で f(x,y,z)=xyz を最大化する
問題になる．そこで次のようなLagrange関数を考える．
L(x,y,z,r) = xyz + r(x^2+y^2+z^2-1)
ここからx,y,z,rについて偏微分して以下のような連立方程式を導く．
- yz + 2rx = 0
- zx + 2ry = 0
- xy + 2rz = 0
- x^2 + y^2 + z^2 = 1
今求めているのは直方体の体積なので，x > 0, y > 0, z > 0に注意して解くと
x = y = z = 1/sqrt(3)
という解が得られる(この結果自体は直感的に理解できると思う)．したがって直方体の体積の最大値は
f(1/sqrt(3), 1/sqrt(3), 1/sqrt(3)) = sqrt(3)/9
となる．