02_gewoehnliche_dgl.tex

\chapter{%
    Zur Theorie der gewöhnlichen Dif"|ferentialgleichungen%
}

\section{%
    Motivation%
}

\textbf{Gewöhnliche Dif"|ferentialgleichungen}
(\emph{ordinary dif"|ferential equations, ODEs})
beschreiben Probleme, die folgende Eigenschaften besitzen:
\begin{itemize}
    \item
    \textbf{deterministisch}:
    Ist der Zustand eines Systems zum Zeitpunkt $t = t_0$ (Gegenwart) bekannt,
    so kann er für alle Zeitpunkte $t$ bestimmt werden.

    \item
    \textbf{endlich-dimensional}:
    Der Zustand des Systems wird durch endlich viele Größen bestimmt.

    \item
    \textbf{dif"|ferenzierbar}
\end{itemize}

Die Menge aller möglichen Zustände eines Systems heißt \textbf{Phasenraum $M$}.

\linie

\emph{Beispiel}: \textbf{radioaktiver Zerfall} \\
Die Zahl an pro Zeiteinheit zerfallenden Atomen ist proportional
zu deren aktueller Anzahl.
Mathematisch bedeutet dies $\dot{g}(t) = -\kappa g(t)$ mit $\kappa > 0$.
Die Lösung dieser DGL ist $g(t) = g_0 \cdot e^{-\kappa t}$ für $t \in \real$
mit $g_0 = g(0) \ge 0$.
Der Zustand des Systems wird allein durch $g(0)$ bestimmt.
Der Phasenraum ist hier $M = \left[0, +\infty\right[$.

\emph{Beispiel}: \textbf{Auslenkung einer Feder} \\
Sei eine Feder in horizontaler Lage gegeben.
Für die an ihr ziehende Kraft $F$, die Auslenkung $q$ und die Masse $m$ gilt
$F = -k q$ sowie $F = m \ddot{q}$, also $m \cdot \ddot{q}(t) = -k q(t)$
($k, m > 0$).
Eine Lösung ist $q(t) = A \cdot \sin(\mu t) + B \cdot \cos(\mu t)$ mit
$\mu = \sqrt{\frac{k}{m}}$.
Hier bestimmt nicht $g(0) = B$ alleine den Zustand des Systems, sondern nur
zusammen mit $\dot{q}(0) = \mu A$.
Der aktuelle Zustand des Systems wird durch
$\mathbbm{y}(t) = \begin{pmatrix}q(t) \\ p(t)\end{pmatrix}$ mit dem Impuls
$p(t) = \dot{q}(t) \cdot m$ respräsentiert.
Die Ableitung ist $\dot{\mathbbm{y}}(t)
= \begin{pmatrix}1/m \cdot p(t) \\ -k \cdot q(t)\end{pmatrix} =
A \mathbbm{y}(t)$ mit $A = \begin{pmatrix}0 & 1/m \\ -k & 0\end{pmatrix}$.
Damit ist die DGL auf eine Form wie oben gebracht.
Der Phasenraum ist hier $M = \real^2$.

\linie

\textbf{mathematische Beschreibung von "`deterministisch"'}: \\
Ist der Startzustand $x = y(0) \in M$ eines Systems bekannt, so kann
$y(t) \in M$ für alle $t \in \real$ eindeutig bestimmt werden (Determinismus).
$g^t\colon M \rightarrow M$, $g^t x = y(t)$ sei die Abbildung, die einem
Startzustand $x$ den Zustand $g^t x$ zum Zeitpunkt $t$ zuweist.
Die Kurve in $M$, die entsteht, wenn man für einen fixen Startzustand $x$
die angenommenen Zustände $g^t x$, $t \in \real$ einzeichnet, heißt
\textbf{Trajektorie} oder \textbf{Orbit}.
Man fordert, dass $g$ die folgenden Bedingungen erfüllt: \\
1. $g^0 = \id$, \qquad
2. $g^{t+s} = g^t g^s = g^{s+t} = g^s g^t$, \qquad
3. $g^{-t} = (g^t)^{-1}$. \\
Damit wird $\{g^t\}$ zur abelschen Gruppe.
$(M, \{g^t\})$ heißt dann \textbf{Phasenfluss}.

\linie
\pagebreak

\textbf{zum Begriff der Dif"|ferenzierbarkeit}: \\
Für den Fall $M \subset \real^n$ kann man
$g\colon \real \times M \rightarrow M$, $g(t, x) = g^t x$ als Funktion
auf"|fassen.
Sie sei in $t$ dif"|ferenzierbar.
Man definiert nun $v\colon M \rightarrow M$,
$v(x) = \frac{d}{d\tau}\left.(g^\tau x)\right|_{\tau=0}$ als das
\textbf{Geschwindigkeitsfeld}.
Einsetzen von $y(t)$ ergibt $v(y(t)) =
\frac{d}{d\tau}\left.(g^\tau y(t))\right|_{\tau=0} =
\frac{d}{d\tau}\left.(g^\tau g^t x)\right|_{\tau=0} =
\frac{d}{d\tau}\left.(g^{\tau+t} x)\right|_{\tau=0} =
\frac{d}{d\tau}\left.(g^s x)\right|_{s=t} = \dot{y}(t)$, d.\,h.
\textbf{$\dot{y}(t) = v(y(t))$}.

Hier ist $v = v(x)$ zeitunabhängig, d.\,h. das Geschwindigkeitsfeld hängt nicht
von $t$ ab. \\
Solche DGLs nennt man \textbf{autonom}.

\linie

Bei \textbf{nicht-autononomen DGLs} ist $\dot{y}(t) = v(t, y(t))$,
d.\,h. die rechte Seite hängt von $t$ ab.
Ein nicht-autonomes System kann in ein autonomes überführt werden, indem
man eine zusätzliche Gleichung einführt: \\
Ist $y$ Lösung der nicht-autonomen DGL, so definiert man
$\mathbbm{y}(t) := \begin{pmatrix}t \\ y(t)\end{pmatrix}$.
Die Ableitung ist $\dot{\mathbbm{y}}(t) =
\begin{pmatrix}1 \\ v(t, y(t))\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1 \\ v(\mathbbm{y}(t))\end{pmatrix} =:
\mathbbm{v}(\mathbbm{y}(t))$.
Man erhält also ein autonomes System.

Genauso können \textbf{nicht-autonome DGLs $n$-ter Ordnung}
auf eine autonome DGL reduziert werden:
Für $y^{(n)}(t) = v(t, y(t), \dotsc, y^{(n-1)}(t))$ und eine Lösung $y$ setzt
man \\
$\mathbbm{y}(t) :=
\begin{pmatrix}t \\ y(t) \\ \vdots \\ y^{(n-2)}(t) \\
y^{(n-1)}(t)\end{pmatrix}$.
Die Ableitung ist $\dot{\mathbbm{y}}(t) =
\begin{pmatrix}1 \\ \dot{y}(t) \\ \vdots \\ y^{(n-1)}(t) \\
v(t, \dotsc, y^{(n-1)}(t))\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1 \\ \dot{y}(t) \\ \vdots \\ y^{(n-1)}(t) \\
v(\mathbbm{y}(t))\end{pmatrix} =: \mathbbm{v}(\mathbbm{y}(t))$.
Man erhält wieder eine autonome DGL
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = \mathbbm{v}(\mathbbm{y}(t))$.

\linie

Der \textbf{erweiterte Phasenraum} ist $\real \times M$.
Man erweitert also $M$ um eine zusätzliche Zeitachse.
Das Analogon zur Trajektorie ist die \textbf{Integralkurve}.
Sie ermöglicht nicht nur zu sehen, welche Zustände erreicht werden,
sondern auch zu welchem Zeitpunkt.
Im Falle des radioaktiven Zerfalls bzw. der Feder ergibt sich eine
Kurve im $\real^2$ bzw. eine Schraubenlinie im $\real^3$.

\section{%
    Die Methode von \name{Euler}%
}

Im Folgenden sei der Phasenraum eine Teilmenge $M \subset \real^n$.
Die betrachteten Zeitpunkte sollen dabei in $I := [a,b]$ liegen, wobei
$t_0 \in I$ der Anfangszeitpunkt sei.
Man kann sich eine Skizze des erweiterten Phasenraums machen,
in der man die Zeitachse über den Phasenraum aufträgt.
Der erweiterte Phasenraum ist dabei ein Zylinder $\Omega := I \times M$
über dem Phasenraum, die Integralkurve ist eine Kurve in $\Omega$, wobei
dessen Projektion auf $M$ genau die Trajektorie ist.

Man geht von einer nicht-autonomen DGL aus, d.\,h.
$\mathbbm{v}\colon I \times M \rightarrow \real^n$
ist das Geschwindigkeitsfeld.
$\mathbbm{v}$ soll dabei folgende Bedingungen erfüllen:
\begin{enumerate}
    \item
    $\mathbbm{v}\colon \Omega \rightarrow \real^n$ ist stetig

    \item
    $\norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x})} \le C$ für
    $t \in I$, $\mathbbm{x} \in M$ \\
    ($\mathbbm{v}$ ist auf $I \times M$ beschränkt)

    \item
    $\norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}') - \mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}'')} \le
    L \norm{\mathbbm{x'} - \mathbbm{x''}}$ für
    $t \in I$, $\mathbbm{x}', \mathbbm{x}'' \in M$ \\
    ($\mathbbm{v}$ ist im zweiten Argument \textbf{\name{Lipschitz}-stetig})
\end{enumerate}
Gesucht ist eine Funktion $\mathbbm{y}\colon I \rightarrow M$
mit $\dot{\mathbbm{y}}(t) = \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t))$
und $\mathbbm{y}(t_0) = \mathbbm{y}_0 \in M$. \\
Dieses Problem bezeichnet man als \textbf{\name{Cauchy}-/Anfangswertproblem}.

\linie
\pagebreak

Integration von $\dot{\mathbbm{y}}(t) = \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t))$
von $t_0$ bis $s$ ergibt
$\mathbbm{y}(s) = \mathbbm{y}(t_0) +
\int_{t_0}^s \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t))\dt$.
Da im Integral allerdings immer noch $\mathbbm{y}(t)$ steckt, kann es ohne
Weiteres nicht berechnet werden.

Man unterteilt nun das zu untersuchende Intervall $[t_0, b]$ in $N$ Intervalle
$[t_{k-1}, t_k]$, $k = 1, \dotsc, N$ mit $t_0 < t_1 < \dotsb < t_N$
(analog kann das mit $[a, t_0]$ durchgeführt werden).

\textbf{1. Schritt}:
Für $s \in [t_0, t_1]$ approximiert man das Integral, indem man
$\mathbbm{y}(t) \approx \mathbbm{y}_0$ für $t \approx t_0$ verwendet, also
$\widetilde{\mathbbm{y}}(s) := \mathbbm{y}_0 +
\int_{t_0}^s \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}_0)\dt$.
Setze nun $\mathbbm{y}_1 := \widetilde{\mathbbm{y}}(t_1)$.

\textbf{$k$-ter Schritt}: \\
Für $s \in [t_{k-1}, t_k]$ setzt man
$\widetilde{\mathbbm{y}}(s) := \mathbbm{y}_{k-1} +
\int_{t_{k-1}}^s \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}_{k-1})\dt$
und berechnet $\mathbbm{y}_k := \widetilde{\mathbbm{y}}(t_k)$.

\textbf{weitere Vereinfachung (vereinfachte \name{Euler}sche Methode)}: \\
Statt $\mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}_{k-1})$ verwendet man
$\mathbbm{v}(t_{k-1}, \mathbbm{y}_{k-1})$, d.\,h. man benutzt
$t \approx t_{k-1}$ für $t \in [t_{k-1}, t_k]$. \\
Dann lässt sich das Integral einfach berechnen:
$\widehat{\mathbbm{y}}(s) =
\mathbbm{y}_{k-1} + (s - t_{k-1}) \cdot
\mathbbm{v}(t_{k-1}, \mathbbm{y}_{k-1})$.

\linie

\textbf{Unter welchen Bedingungen bleibt $\widetilde{\mathbbm{y}}$ bzw.
$\widehat{\mathbbm{y}}$ in $M$?}

Aus der Beschränktheit von $\mathbbm{v}$ und obiger Integral-Gleichung
folgt $\norm{\mathbbm{y}(s) - \mathbbm{y}_0} \le |s - t_0| C$.
Dies soll kleiner/gleich $\dist(\mathbbm{y}_0, \partial M)$ sein. \\
Dabei ist für einen metrischen Raum $(M, d)$, $x \in M$ und $A, B \subset M$ \\
$\dist(x, A) := \inf_{y \in A} d(x, y)$ sowie
$\dist(A, B) := \inf_{x \in A,\; y \in B} d(x, y)$. \\
Also stellt man die zusätzliche Forderung
\textbf{$|s - t_0| \le \frac{1}{C} \dist(\mathbbm{y}_0, \partial M)$}
an $I$. \\
($\widetilde{\mathbbm{y}}$ und $\widehat{\mathbbm{y}}$ erfüllen dann die
gleiche Abschätzung.)

\linie

\textbf{Wie gut ist diese Approximation?}

Im Folgenden werden äquidistante Punkte angenommen, also
$b = t_N$ und $t_k - t_{k-1} = \frac{b}{N}$ \\
(d.\,h. $t_0 = 0$ und $|b - 0| \le \frac{1}{C} \dist(y_0, \partial M)$).

Zunächst schätzt man den Fehler für $s \in [t_0, t_1]$ ab: \\
$\norm{\mathbbm{y}(s) - \widetilde{\mathbbm{y}}(s)} =
\norm{\int_{t_0}^s (\mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t)) -
\mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}_0)) \dt} \le
L \cdot \int_{t_0}^s \norm{\mathbbm{y}(t) - \mathbbm{y}_0} \dt \le
L \cdot \int_{t_0}^s (t - t_0) C \dt$ \\
$= \frac{LC}{2} (s - t_0)^2$, d.\,h.
insbesondere
$\Delta_1 := \norm{\mathbbm{y}(t_1) - \widetilde{\mathbbm{y}}(t_1)} \le
\frac{LC}{2} \left(\frac{b}{N}\right)^2$.

Dann schätzt man den Fehler
$\Delta_{k} := \norm{\mathbbm{y}(t_k) - \widetilde{\mathbbm{y}}(t_k)}$
im $k$-ten Schritt (also für $s \in [t_{k-1}, t_k]$) ab:
$\norm{\mathbbm{y}(s) - \widetilde{\mathbbm{y}}(s)} =
\norm{\mathbbm{y}(t_{k-1}) - \mathbbm{y}_{k-1} +
\int_{t_{k-1}}^s \left(\mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t)) -
\mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}_{k-1})\right) \dt}$ \\
$\le \Delta_{k-1} +
\int_{t_{k-1}}^s \norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t)) -
\mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t_{k-1}))} \dt +
\int_{t_{k-1}}^s \norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t_{k-1})) -
\mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}_{k-1})} \dt$ \\
$\le \Delta_{k-1} +
L \cdot \int_{t_{k-1}}^s \norm{\mathbbm{y}(t) - \mathbbm{y}(t_{k-1})} \dt +
L \cdot \int_{t_{k-1}}^s \norm{\mathbbm{y}(t_{k-1}) -
\mathbbm{y}_{k-1}} \dt$ \\
$\le \Delta_{k-1} + \frac{LC}{2} (s - t_{k-1})^2 +
L (s - t_{k-1}) \Delta_{k-1}$.
Für $s = t_k$ ergibt sich \\
$\Delta_k = \norm{\mathbbm{y}(t_k) - \widetilde{\mathbbm{y}}(t_k)} \le
\Delta_{k-1} \left(1 + L \frac{b}{N}\right) +
\frac{LC}{2} \left(\frac{b}{N}\right)^2$.

\textbf{Entwicklung des Fehlers}:
Es gilt \\
$\Delta_1 \le \frac{LC}{2} \left(\frac{b}{N}\right)^2 \cdot 1$, \\
$\Delta_2 \le \frac{LC}{2} \left(\frac{b}{N}\right)^2 \cdot
\left(1 + L \frac{b}{N}\right) + \frac{LC}{2} \left(\frac{b}{N}\right)^2 \le
\frac{LC}{2} \left(\frac{b}{N}\right)^2 \cdot
\left(1 + \left(1 + L \frac{b}{N}\right)\right)$, \\
$\Delta_3 \le \frac{LC}{2} \left(\frac{b}{N}\right)^2 \cdot
\left(1 + \left(1 + L \frac{b}{N}\right) +
\left(1 + L \frac{b}{N}\right)^2\right)$ usw. \\
Daher ist $\Delta_k \le \frac{LC}{2} \left(\frac{b}{N}\right)^2 \cdot
\sum_{\ell=0}^{k-1} \left(1 + L \frac{b}{N}\right)^\ell =
\frac{LC}{2} \left(\frac{b}{N}\right)^2 \cdot
\frac{\left(1 + L \frac{b}{N}\right)^k - 1}
{\left(1 + L \frac{b}{N}\right) - 1} =
\frac{C}{2} \left(\frac{b}{N}\right)
\left(\left(1 + L \frac{b}{N}\right)^k - 1\right)$.

Setzt man $k = N$, so gilt \\
$\Delta_N = \norm{\mathbbm{y}(b) - \widetilde{\mathbbm{y}}(b)} \le
\frac{1}{N} \frac{Cb}{2}
\left(\left(1 + \frac{Lb}{N}\right)^N - 1\right) \le
\frac{1}{N} \frac{Cb}{2} \left(e^{Lb} - 1\right) \xrightarrow{N \to \infty} 0$.

Das Euler-Verfahren konvergiert also.

\section{%
    Lokale Existenz und Eindeutigkeit der Lösung des \name{Cauchy}-Problems%
}

Wie eben sei das Cauchy-Problem (CP) gegeben mit
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t))$ und
$\mathbbm{y}(t_0) = \mathbbm{y}_0$. \\
Dabei seien wieder $I = [a, b]$, $t_0 \in I$, $\Omega = I \times M$ und
$M \subset \real^n$.

\textbf{Satz von \name{Picard}-\name{Lindelöf}}: \\
$\mathbbm{v}\colon \Omega \rightarrow \real^n$ erfülle folgende
Voraussetzungen:
\begin{enumerate}
    \item
    $\mathbbm{v}\colon \Omega \rightarrow \real^n$ ist stetig

    \item
    $\norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x})} \le C$ für
    $t \in I$, $\mathbbm{x} \in M$

    \item
    $\norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}') - \mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}'')} \le
    L \norm{\mathbbm{x'} - \mathbbm{x''}}$ für
    $t \in I$, $\mathbbm{x}', \mathbbm{x}'' \in M$
\end{enumerate}
Dann besitzt das Problem (CP) für $t \in I_\varepsilon(t_0)$
genau eine Lösung mit \\
$I_\varepsilon(t_0) := \{t \in I \;|\;
|t - t_0| \le (1 - \varepsilon) \alpha\}$, wobei $\varepsilon > 0$ und
$\alpha := \min\left\{\frac{1}{C} \dist(\mathbbm{y}_0, \partial M),
\frac{1}{L}\right\}$.

Im Beweis zeigt man:
$(F, d_\C)$ ist ein vollständiger metrischer Raum, wobei \\
$F := \overline{U_{r_\varepsilon}(\mathbbm{y}_0)} =
\{f \in \C(I_\varepsilon(t_0), \real^n) \;|\;
\forall_{t \in I_\varepsilon(t_0)}\;
\norm{f(t) - \mathbbm{y}_0} \le r_\varepsilon\}$ mit $r_\varepsilon > 0$.

\linie

Durch wiederholtes Anwenden des Satzes von Picard-Lindelöf kann man die Lösung
eindeutig fortsetzen (auch rückwärts), bis man entweder das ganze Zeitintervall
gelöst hat oder die Lösung an den Rand des Phasenraums stößt.

Ist $M = \overline{M}$ abgeschlossen und konvex (d.\,h. für $x, y \in M$
ist immer auch $\overline{xy} \subset M$),
$\mathbbm{v}$ auf $\inneres(M)$ Frechet-dif"|ferenzierbar und
$\mathbbm{v}'$ stetig auf $\overline{M}$ fortsetzbar, so gilt nach dem
Hauptsatz der Dif"|ferentialrechnung
$\norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}) - \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y})} \le
\sup_{\widetilde{\mathbbm{x}} \in \overline{\mathbbm{x}\mathbbm{y}}}
\norm{D_\mathbbm{x} \mathbbm{v}(t, \widetilde{\mathbbm{x}})} \cdot
\norm{\mathbbm{x} - \mathbbm{y}}$. \\
Als stetige Funktion ist die Ableitung beschränkt, d.\,h.
$\mathbbm{v}$ erfüllt obige Lipschitz-Bedingung
$\norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}) - \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y})} \le
L \norm{\mathbbm{x} - \mathbbm{y}}$
für $L \ge \sup_{\widetilde{\mathbbm{x}} \in \overline{\mathbbm{x}\mathbbm{y}}}
\norm{D_\mathbbm{x} \mathbbm{v}(t, \widetilde{\mathbbm{x}})}$.

\linie

Der Fixpunktsatz von Banach, der zum Beweis des Satzes verwendet wird,
gibt auch eine Lösungsmethode:
Wähle zunächst $\mathbbm{h}_0 \in \C(I_\varepsilon(t_0), \real^n)$ mit
$\mathbbm{h}_0(t) \equiv \mathbbm{y}_0$ konstant.
Dann definiere für $j \in \natural$ die Funktion
$\mathbbm{h}_j(t) = (T \mathbbm{h}_{j-1})(t) :=
\mathbbm{y}_0 + \int_{t_0}^t
\mathbbm{v}(\tau, \mathbbm{h}_{j-1}(\tau))\d\tau$. \\
Nach dem Beweis des Satzes gilt $\mathbbm{h}_j \xrightarrow{d_\C} \mathbbm{y}$,
d.\,h. $\mathbbm{h}_j \rightrightarrows \mathbbm{y}$, da
$T\colon F \rightarrow F$ eine Kontraktion ist.

Eine Fehlerabschätzung kann mit der Fehlerformel des Banachschen
Fixpunktsatzes erfolgen.

Die Schnelligkeit der Konvergenz kann auch direkt abgeschätzt werden:
Dazu betrachtet man
$\norm{\mathbbm{y}(t) - \mathbbm{h}_0(t)} \le
\norm{\int_{t_0}^t \mathbbm{v}(\tau, \mathbbm{y}(\tau))\d\tau} \le
C |t - t_0|$, \\
$\norm{\mathbbm{y}(t) - \mathbbm{h}_1(t)} \le
\norm{\int_{t_0}^t \left(\mathbbm{v}(\tau, \mathbbm{y}(\tau)) -
\mathbbm{v}(\tau, \mathbbm{h}_0(\tau))\right)\d\tau} \le
\left|\int_{t_0}^t L \norm{\mathbbm{y}(\tau) -
\mathbbm{h}_0(\tau)}\d\tau\right|$ \\
$\le CL \cdot \left|\int_{t_0}^t |\tau - t_0| \d\tau\right| \le
\frac{CL}{2} |t - t_0|^2$, usw., also \\
$\norm{\mathbbm{y}(t) - \mathbbm{h}_j(t)} \le
\frac{CL^j}{(j + 1)!} |t - t_0|^{j+1}$ für $t \in I_\varepsilon(t_0)$.

\pagebreak

\section{%
    Der Satz von \name{Peano}%
}

Eine wichtige Voraussetzung beim Satz von Picard-Lindelöf ist die
Lipschitz-Stetigkeit in der zweiten Komponente, also
$\norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}') - \mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}'')} \le
L\norm{\mathbbm{x}' - \mathbbm{x}''}$.

Es gibt aber viele Funktionen, die nicht Lipschitz-stetig sind.
Ein Beispiel dafür ist $v(t, y) = y^{2/3}$
(z.\,B. mit zugehörigem Cauchy-Problem
$\dot{y}(t) = \sqrt[3]{y^2(t)}$ für $t \in \real$ und $y(0) = 0$). \
$y^{2/3}$ ist in $0$ nicht Lipschitz-stetig, da
$\frac{|h^{2/3}|}{|h|} \to \infty$ für $h \to 0$. \\
Eine of"|fensichtliche Lösung ist $y(t) \equiv 0$ für $t \in \real$. \\
Eine zweite Lösung erhält man durch Separation:
Integriert man $\frac{\dot{y}(t)}{\sqrt[3]{y^2(t)}} = 1$, so erhält man
$\int_{t_0}^t \frac{\dot{y}(\tau)}{\sqrt[3]{y^2(\tau)}} \d\tau =
\int_{y(t_0)}^{y(t)} \frac{1}{y^{2/3}} \dy =
\left.3y^{1/3}\right|_{y(t_0)}^{y(t)} = t - t_0$,
also $3(y^{1/3}(t) - y^{1/3}(t_0)) = t - t_0$.
Mit $t_0 = 0$ und $y(t_0) = 0$ folgt, dass
$y(t) = \left(\frac{t}{3}\right)^3$ die Gleichung und die Anfangsbedingung
erfüllt. \\
Es kann also zwei verschiedene Lösungen geben, wenn man die Forderung der
Lipschitz-Stetig\-keit weglässt.

\linie

\textbf{Satz von \name{Peano}}:
Seien $I \subset \real$, $M \subset \real^n$, $\Omega = I \times M$
und $(t_0, \mathbbm{y}_0) \in \Omega$. \\
$\mathbbm{v}\colon \Omega \rightarrow \real^n$ erfülle folgende
Voraussetzungen:
\begin{enumerate}
    \item
    $\mathbbm{v}\colon \Omega \rightarrow \real^n$ ist stetig

    \item
    $\norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x})} \le C$ für
    $t \in I$, $\mathbbm{x} \in M$
\end{enumerate}
Dann besitzt das Cauchy-Problem (CP) für $t \in \widetilde{I}_\varepsilon(t_0)$
mindestens eine Lösung mit \\
$\widetilde{I}_\varepsilon(t_0) := \{t \in I \;|\; |t - t_0| \le
(1 - \varepsilon) \frac{1}{C} \dist(\mathbbm{y}_0, \partial M)\}$
für $\varepsilon > 0$.

\linie

\textbf{Strategie des Beweises}:
Sei $(F, d)$ ein vollständiger metrischer Raum.

\textbf{relativ kompakt}:
$G \subset F$ heißt \emph{relativ kompakt}, falls $\overline{G}$ kompakt ist
(im Sinne von folgen-kompakt).

\emph{Beispiel}:
$G \subset \real^n$ ist relativ kompakt genau dann, wenn $G$ beschränkt ist
(Bolzano). \\
Dies gilt aber nicht in unendlich-dimensionalen Räumen! \\
Allgemein gesagt ist $G \subset F$ relativ kompakt genau dann, wenn für jede
Folge $\{f_n\}_{n \in \natural}$, $f_n \in G$ eine Teilfolge
$\{f_{n_k}\}_{k \in \natural}$ existiert mit $f_{n_k} \to f \in \overline{G}$.

\textbf{kompakte Abbildung}:
Seien $D \subset F$ und $T\colon D \rightarrow F$ eine Abbildung. \\
$T$ heißt \emph{kompakt auf $D$}, falls
$TD = \{y \in F \;|\; \exists_{x \in D}\; Tx = y\}$ relativ kompakt ist.

\textbf{approximative Lösung des Fixpunktproblems}:
Das \emph{Fixpunktproblem ist für $T$ auf $D$ approximativ lösbar},
falls es eine Folge $\{x_n\}_{n \in \natural}$, $x_n \in D$ gibt mit
$d(Tx_n, x_n) \xrightarrow{n \to \infty} 0$.

\textbf{Fixpunktsatz}: \\
Seien $(F, d)$ ein vollständiger metrischer Raum,
$D \subset F$ abgeschlossen und $T\colon D \rightarrow F$ mit
\begin{enumerate}
    \item
    $T$ ist stetig,

    \item
    $T$ ist auf $D$ kompakt und

    \item
    das Fixpunktproblem für $T$ auf $D$ lässt sich approximativ lösen.
\end{enumerate}
Dann hat $T$ mindestens einen Fixpunkt, d.\,h. es gibt ein $y \in D$ mit
$Ty = y$.

\linie
\pagebreak

\textbf{Wie wird diese Idee zum Beweis
des Satzes von \name{Peano} verwendet?}

$\C(\widetilde{I}_\varepsilon(t_0), \real^n)$ ist ein Banachraum.
Beim Beweis vom Satz von Picard-Lindelöf wurde gezeigt, dass $(F, d_\C)$ mit
$F := \overline{U_{r_\varepsilon}(\mathbbm{y}_0)}$ ein vollständiger
metrischer Raum ist, da folgen-abgeschlossen.
Dabei ist $\overline{U_{r_\varepsilon}(\mathbbm{y}_0)} =
\{f \in \C(\widetilde{I}_\varepsilon(t_0), \real^n) \;|\;
\forall_{t \in \widetilde{I}_\varepsilon(t_0)}\;
\norm{f(t) - \mathbbm{y}_0} \le r_\varepsilon\}$ mit \\
$r_\varepsilon := (1 - \varepsilon) \dist(\mathbbm{y}_0, \partial M)$.

Definiert man die Abbildung $T\colon D \rightarrow F$ mit
$D := F = \overline{D}$ gleich wie im Beweis vom Satz von Picard-Lindelöf,
d.\,h. $(Tf)(t) := \mathbbm{y}_0 +
\int_{t_0}^t \mathbbm{v}(\tau, f(\tau))\d\tau$,
$t \in \widetilde{I}_\varepsilon(t_0)$, dann lässt sich der Fixpunktsatz
anwenden, wenn man die Bedingungen 1., 2. und 3. gezeigt hat.
Wie im Beweis vom Satz von Picard-Lindelöf folgt aus $Ty = y$ für ein
$y \in D = F$, dass $\dot{\mathbbm{y}}(t) = \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t))$
mit $\mathbbm{y}(t_0) = \mathbbm{y}_0$.

\linie

Die erste Bedingung der Stetigkeit zeigt man, indem man $\mathbbm{v}$ auf
$\widetilde{I}_\varepsilon(t_0) \times
\overline{U_{r_\varepsilon}(\mathbbm{y}_0)}$ einschränkt. \\
Die eingeschränkte Abbildung $\mathbbm{v}$ ist gleichmäßig stetig, da
$\widetilde{I}_\varepsilon(t_0) \times
\overline{U_{r_\varepsilon}(\mathbbm{y}_0)}$ kompakt ist. \\
Aus der gleichmäßigen Stetigkeit in der zweiten Komponente folgt dann die
Aussage.

Die dritte Bedingung der approximativen Lösbarkeit beweist man konstruktiv:
Man definiert eine Folge $\{x_n\}_{n \in \natural}$ von Funktionen $x_n \in D$
mit $x_n(t) := \mathbbm{y}_0$ für $t \in [t_0, t_0 + \frac{1}{n}]$ und \\
$x_n(t) := \mathbbm{y}_0 +
\int_{t_0+1/n}^t \mathbbm{v}(\tau, x_n(\tau - \frac{1}{n}))\d\tau$
für $t > t_0 + \frac{1}{n}$.
Die Zeitverschiebung $\tau - \frac{1}{n}$ sorgt dafür, dass $x_n$
intervallweise in Intervallen der Länge $\frac{1}{n}$ berechnet werden kann. \\
Man zeigt anschließend $d_\C(Tx_n, x_n) \to 0$, d.\,h.
$\norm{(Tx_n)(t) - x_n(t)} \to 0$ für $n \to \infty$.

\linie

Die zweite Bedingung, dass $TD$ relativ kompakt ist, wird für die Existenz
einer konvergenten Teilfolge
$\{x_{n_k}\}_{k \in \natural}$ mit $x_{n_k} \to y$ benötigt. \\
In diesem Fall gilt dann mit $Tx_{n_k} - x_{n_k} =: s_{n_k}$ für $k \to \infty$
im Grenzwertübergang $Ty - y = 0$.

Für die zweite Bedingung benötigt man ein Kompaktheitskriterium
in $\C(\widetilde{I}_\varepsilon(t_0), \real^n)$.
Das Kompaktheitskriterium von Bolanzo gilt nicht:
Betrachtet man die abgeschlossene (und beschränkte) Einheitskugel
$\{f \in \C(\widetilde{I}, \real^n) \;|\; \norm{f}_\C \le 1\}$ mit
$\widetilde{I} := \widetilde{I}_\varepsilon(t_0)$, so kann man Funktionen $f_n$
aus dieser Einheitskugel definieren, wobei $f_n(t)$ auf dem vorderen
$\frac{1}{2^n}$-tel und dem hinteren $\frac{2^{n-1} - 1}{2^{n-1}}$-tel Teil
verschwindet und dazwischen linear bis zu $1$ ansteigt und abfällt (stetig).
Es gilt $\norm{f_n - f_m} = 1$ für $n \not= m$, d.\,h. $f_n$ ist keine
Cauchy-Folge, damit gibt es keine konvergente Teilfolge.

\textbf{gleichgradig stetig}:
Eine Menge $G$ von Funktionen $G \subset \C(\widetilde{I}, \real^n)$ heißt
\emph{gleichgradig stetig}, falls
$\forall_{\varepsilon > 0} \exists_{\delta_\varepsilon > 0}
\forall_{t', t'' \in \widetilde{I},\; |t' - t''| < \delta_\varepsilon}
\forall_{f \in G}\; \norm{f(t') - f(t'')} < \varepsilon$.

\textbf{Lemma}:
Seien $J \subset \widetilde{I}$ eine in $\widetilde{I}$ dichte Teilmenge,
$G$ gleichgradig stetig,
$\{f_n\}_{n \in \natural}$, $f_n \in G$ eine Folge in $G$ und
$f_n$ konvergiere punktweise auf $J$, d.\,h.
$\forall_{t \in J}\; f_n(t) \to f(t)$. \\
Dann gibt es eine stetige Funktion $f \in \C(\widetilde{I}, \real^n)$, sodass
$f_n$ gleichmäßig gegen $f$ auf $\widetilde{I}$ konvergiert, d.\,h.
$\exists_{f \in \C(\widetilde{I}, \real^n)}\;
f_n \xrightarrow{\norm{\cdot}_\C} f$.

\textbf{Lemma von \name{Arzelà}-\name{Ascoli}}:
$G \subset \C(\widetilde{I}, \real^n)$ ist relativ kompakt genau dann, \\
wenn $G$ beschränkt (also $\exists_{C} \forall_{f \in G}
\forall_{t \in \widetilde{I}}\; \norm{f(t)} \le C$) und
gleichgradig stetig ist.

Nun lässt sich die relative Kompaktheit von $TD$ leicht zeigen:
$TD$ ist beschränkt, da \\
$\norm{Tf} = \max_t
\norm{\mathbbm{y}_0 + \int_{t_0}^t \mathbbm{v}(\tau, f(\tau))\d\tau} \le
\norm{\mathbbm{y}_0} + |\widetilde{I}| \cdot C$.
Außerdem ist $TD$ gleichgradig stetig, da
$\norm{(Tf)(t') - (Tf)(t'')} =
\norm{\int_{t'}^{t''} \mathbbm{v}(\tau, f(\tau))\d\tau} \le
|t' - t''| \cdot C < \varepsilon$ für
$|t' - t''| < \delta_\varepsilon = \frac{\varepsilon}{C}$.

Damit ist der Beweis vom Satz von Peano abgeschlossen.

\linie
\pagebreak

Der Beweis ist nicht konstruktiv, da die Kompaktheit nicht aussagt, welche
Teilfolge man auswählen kann, sondern nur, dass es überhaupt eine solche gibt.
Das wird am Ende des Beweises verwendet, somit kann man nicht genau sagen,
welche der Teilfolgen nun tatsächlich konvergiert.

Am Beweis zeigt sich auch die Wichtigkeit von Fixpunktsätzen.
Alternativ hätte man den Satz von Peano auch aus folgendem Fixpunktsatz
ableiten können:

\textbf{Fixpunktsatz von \name{Schauder}}: \\
Seien $B$ ein Banachraum, $D \subset B$ nicht-leer, konvex, kompakt und
$T\colon D \rightarrow D$ stetig. \\
Dann gibt es einen Fixpunkt $y \in D$ von $T$, d.\,h.
$\exists_{y \in D}\; Ty = y$.

Im Spezialfall für $B = \real^n$ und
$D = \overline{U_1(0)} = \{x \in \real^n \;|\; \norm{x} \le 1\}$
und $T\colon \overline{U_1(0)} \rightarrow \overline{U_1(0)}$ stetig
erhält man den \textbf{Fixpunktsatz von \name{Brouwer}}.

\linie

Um die Rückrichtung des Lemmas von Arzelà-Ascoli zu beweisen, benötigt man
folgende Definition und folgendes Lemma:

\textbf{$\varepsilon$-Netz}:
Seien $(B, d)$ ein metrischer Raum und $G \subset B$. \\
$G_\varepsilon \subset G$ heißt \emph{$\varepsilon$-Netz} von $G$, falls
$\forall_{x \in G} \exists_{y = y(\varepsilon, x) \in G_\varepsilon}\;
d(x, y) < \varepsilon$.

\textbf{Lemma}:
Seien $(B, d)$ ein vollständiger metrischer Raum und $G \subset B$
relativ kompakt. \\
Dann gibt es für alle $\varepsilon > 0$ ein endliches $\varepsilon$-Netz
$G_\varepsilon$ von $G$.

\pagebreak

\section{%
    Stetigkeit der Lösung des \name{Cauchy}-Problems bzgl. den Anfangsdaten%
}

Gegeben sei wieder das Cauchy-Problem (CP) mit
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t))$,
$\mathbbm{y}(t_0) = \mathbbm{y}_0$. \\
Im Folgenden sei nun $(t_0, \mathbbm{y}_0) \in \inneres(I) \times \inneres(M)$
und es gelten die drei Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf.
Derselbe Satz garantiert dann die Existenz von einer Lösung \\
$\mathbbm{y}(t) = \mathbbm{y}(t, t_0, \mathbbm{y}_0)$ auf $I_\varepsilon$
sowie deren Eindeutigkeit.

\textbf{Satz}:
$\mathbbm{y}(t, t_0, \mathbbm{y}_0)$ ist stetig in allen drei Argumenten.

\section{%
    Dif"|ferenzierbarkeit der Lösung nach den Anfangsbedingungen%
}

Im Folgenden sei wieder das Cauchy-Problem (CP)
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t), \lambda)$,
$\mathbbm{y}(t_0) = \eta$
gegeben (nun hänge das Geschwindigkeitsfeld von einem zusätzlichen Parameter
$\lambda$ ab).
Gelten die Voraussetzungen von Picard-Lindelöf gleichmäßig in
$\lambda \in \real$, so ist $\mathbbm{y}(t, t_0, \eta, \lambda)$ stetig
in $t_0, \eta, \lambda$.

Allgemeiner folgt aus
$\mathbbm{v} \in \C(I \times M \times D, \real^n)$,
$\forall_{(t, \mathbbm{x}, \lambda) \in I \times M \times D}\;
\norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}, \lambda)} \le C$ und \\
$\forall_{(t, \mathbbm{x}, \lambda) \in I \times M \times D}\;
\norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}', \lambda) -
\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}'', \lambda)} \le
L \norm{\mathbbm{x}' - \mathbbm{x}''}$
die Stetigkeit von $\mathbbm{y}$ in $(t_0, \eta, \lambda)$.

\linie

Sei nun $\mathbbm{v}$ dif"|ferenzierbar und die Ableitung sei mit dem
Integral \\
$\mathbbm{y}(t, t_0, \eta, \lambda) =
\eta + \int_{t_0}^t
\mathbbm{v}(\tau, \mathbbm{y}(\tau, t_0, \eta, \lambda), \lambda) \d\tau$
vertauschbar.
Formale Dif"|ferentiation ergibt \\
$\frac{\partial \mathbbm{y}}{\partial t_0} = 0 +
\int_{t_0}^t \left(\frac{D \mathbbm{v}}{D \mathbbm{y}} \cdot
\frac{\partial \mathbbm{y}}{\partial t_0}\right) \d\tau -
\mathbbm{v}(t_0, \mathbbm{y}(t_0, t_0, \eta, \lambda), \lambda)$ (4), \\
$\frac{D \mathbbm{y}}{D \eta} = \mathbbm{1} +
\int_{t_0}^t \left(\frac{D \mathbbm{v}}{D \mathbbm{y}} \cdot
\frac{D \mathbbm{y}}{D \eta}\right) \d\tau$ (5) sowie \\
$\frac{\partial \mathbbm{y}}{\partial \lambda} = 0 +
\int_{t_0}^t \left(\frac{D \mathbbm{v}}{D \mathbbm{y}} \cdot
\frac{\partial \mathbbm{y}}{\partial \lambda} +
\frac{\partial \mathbbm{v}}{\partial \lambda} \right) \d\tau$ (6).

\textbf{Satz}:
Seien die Voraussetzungen des Satzes von Picard-Lindelöf gleichmäßig
erfüllt und $\frac{\partial v_k}{\partial y_\ell}$ stetig in
$I \times M \times D$. \\
Dann ist $\mathbbm{y}(t, t_0, \eta, \lambda)$ im Existenzbereich
(nach Picard-Lindelöf) bzgl. $t_0, \eta, \lambda$ dif"|ferenzierbar.
Diese (partiellen) Ableitungen sind stetig und erfüllen (4) bzw. (5). \\
Ist zusätzlich $\frac{\partial v_k}{\partial \lambda}$ stetig, so ist auch
$\frac{\partial y}{\partial \lambda}$ stetig und es gilt (6).

\textbf{Satz}:
Ist zudem $\mathbbm{v}$ \emph{analytisch} in $\lambda \in D \subset \complex$
(d.\,h. durch eine Potenzreihe darstellbar), \\
so ist auch $\mathbbm{y}$ im Existenzbereich analytisch in $\lambda$.

\pagebreak

\section{%
    Bewegungsintegrale und Erhaltungsgrößen%
}

Sei $\mathbbm{y}(t, t_0, y_0)$ die nach Picard-Lindelöf existente und
eindeutige Lösung des Cauchy-Problems (CP) mit $\mathbbm{y}(t_0) = y_0$.
Für ein vorgegebenes $t_1 \in I$ betrachtet man
$y_1 := \mathbbm{y}(t_1, t_0, y_0)$.
Weil die Lösung eindeutig ist, gilt
$\mathbbm{y}(t, t_0, y_0) = \mathbbm{y}(t, t_1, y_1)$ für alle $t \in I$.
Insbesondere gilt für $t = t_0$, dass
$y_0 = \mathbbm{y}(t_0, t_0, y_0) =
\mathbbm{y}(t_0, t_1, \mathbbm{y}(t_1, t_0, y_0))$
nicht von $t_1 \in I$ abhängt.

Definiert man nun für fixes $t_0 \in I$
eine Funktion $\psi\colon I \times M \rightarrow \real^n$
mit $\psi(t, z) := \mathbbm{y}(t_0, t, z)$, so ist
$\left.\psi(t, z)\right|_{z = \mathbbm{y}(t, t_0, y_0)} =
\mathbbm{y}(t_0, t, \mathbbm{y}(t, t_0, y_0)) = y_0$ konstant
auf Lösungen des Cauchy-Problems (CP) für beliebige $t \in I$.

\textbf{(allgemeines) Integral}:
Ein \emph{(allgemeines) Integral} einer DGL
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t))$ ist eine
Abbildung $\psi\colon I \times M \rightarrow \real^n$ mit $M \subset \real^n$,
welche auf allen Integralkurven einen konstanten Wert annimmt, d.\,h.
$\psi(t, z)$ ist für $z = \mathbbm{y}(t, t_0, y_0)$ und beliebige
$t \in I$ konstant. \\
Für $\psi \not\equiv \const$ heißt $\psi$ \emph{nicht-trivial}.

\textbf{erstes Bewegungsintegral}:
Ein \emph{erstes Integral (der Bewegung)} einer DGL
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t))$ ist eine
Abbildung $\psi_k\colon I \times M \rightarrow \real$ mit $M \subset \real^n$,
welche auf allen Integralkurven einen konstanten Wert annimmt.

\textbf{abhängig}:
Zwei erste Integrale $\psi_k$ und $\psi_\ell$ heißen \emph{abhängig},
falls es eine Funktion $g\colon \real \rightarrow \real$ gibt mit
$\psi_\ell = g \circ \psi_k$.

\emph{Beispiel}:
Betrachtet man wieder die Auslenkung $q(t)$ einer Feder mit
Massepunkt der Masse $m$, dessen Impuls $p(t) = m \dot{q}(t)$, Zustand
$\mathbbm{y}(t) = \begin{pmatrix}q(t) \\ p(t)\end{pmatrix}$ und DGL
$\dot{\mathbbm{y}}(t)
= \begin{pmatrix}1/m \cdot p(t) \\ -k \cdot q(t)\end{pmatrix} =
A \mathbbm{y}(t)$ mit $A = \begin{pmatrix}0 & 1/m \\ -k & 0\end{pmatrix}$,
so ist $E(t) = \frac{p^2(t)}{2m} + \frac{kq^2(t)}{2} = W_\kin + W_\pot$
ein erstes Integral, d.\,h.
eine Erhaltungsgröße (eine Größe, die sich im Zeitverlauf nicht ändert).
Dies kann man einerseits durch Einsetzen der allgemeinen Lösung der DGL
zeigen (untypisch, da erste Integrale oft als Hilfsmittel zur Lösungsbestimmung
verwendet werden), andererseits durch Ableitung (diese ist dann $0$, also
ist die Erhaltungsgröße konstant).

Allgemeiner sei die DGL
$\dot{y}_1(t) = v_1(t, y_1(t), \dotsc, y_n(t))$, \dots,
$\dot{y}_n(t) = v_n(t, y_1(t), \dotsc, y_n(t))$
$\;\Leftrightarrow\; \dot{\mathbbm{y}}(t) = \mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t))$
gegeben.
Dabei sei $\mathbbm{y}(t)$ eine Lösung der DGL und
$\psi(t, \mathbbm{y}(t)) = \const$. \\
Wegen $\frac{d}{dt} \psi(t, \mathbbm{y}(t)) = 0$
gilt mit Kettenregel
$\frac{\partial \psi}{\partial t} +
\frac{\partial \psi}{\partial y_1} \cdot v_1 +
\dotsb + \frac{\partial \psi}{\partial y_n} \cdot v_n = 0$.

Diese partielle DGL muss jede Erhaltungsgröße $\psi$ erfüllen.
Umgekehrt ist jede Lösung dieser Gleichung eine Erhaltungsgröße.

Ist eine Erhaltungsgröße gefunden, d.\,h.
$\psi_1(t, y_1(t), \dotsc, y_n(t)) = c_1$, \dots, \\
$\psi_n(t, y_1(t), \dotsc, y_n(t)) = c_n$,
und ist der Satz über implizite Funktionen anwendbar
(insbesondere ist $\det \frac{D \psi}{D y} \not= 0$), so ist
$\mathbbm{y} = \mathbbm{y}(t)$ lokal auflösbar.

\pagebreak

\section{%
    Trennbare Veränderliche und lineare DGLs niedriger Ordnung%
}

\subsection{%
    Trennung der Veränderlichen%
}

$y'(x) = f(x, y)$ besitzt \textbf{trennbare Veränderliche}, falls
$f(x, y) = h(y) g(x)$ mit $h(y) \not\equiv 0$. \\
In diesem Fall erhält man mithilfe der Schreibweise
$\frac{dy}{dx} = h(y)g(x)$, also $\int \frac{1}{h(y)}\dy = \int g(x)\dx + c$,
einen allgemeinen Lösungsansatz (\emph{Trennung der Veränderlichen}).
Alternativ kann man diese Formel auch durch Integration nach $x$ und
die Substitution $u = y(x)$ erreichen. \\
Die DGL wird gelöst, indem integriert und nach $y = y(x)$ aufgelöst wird.
Erst dann wird die Anfangsbedingung eingesetzt, um $c$ zu ermitteln.
Geschieht dies vorher, können Lösungen eventuell wegfallen!

%\emph{Beispiele}:
%\begin{enumerate}
%    \item
%    $(x^2 - 1)y' = -2xy^2$, $y(0) = 1$. \\
%    Mit $g(x) = -\frac{2x}{x^2 - 1}$, $h(y) = y^2$ ist hier
%    $\int \frac{1}{y^2}\dy = - \int \frac{2x}{x^2 - 1}\dx + c$. \\
%    Integration ergibt $-\frac{1}{y} = -\ln|x^2 - 1| + c$, also
%    $y(x) = \frac{1}{\ln|x^2 - 1| - c}$. \\
%    $c$ lässt bestimmen, indem man die Anfangsbedingung einsetzt:
%    $1 = \frac{1}{\ln|0 - 1| + c}$, also $c = -1$, daher
%    ist die allgemeine Lösung $y(x) = \frac{1}{\ln|x^2 - 1| + 1}$.
%
%    \item
%    $y' = 2\sqrt{y}$, $y(0) = 1$. \\
%    Mit $g(x) = 2$, $h(y) = \sqrt{y}$ ist hier
%    $\int \frac{1}{\sqrt{y}}\dy = \int 2\dx + c$. \\
%    Integration ergibt $2\sqrt{y} = 2x + c$, also
%    $y(x) = \left(x + \frac{c}{2}\right)^2$. \\
%    $c$ lässt bestimmen, indem man die Anfangsbedingung einsetzt:
%    $1 = \left(0 + \frac{c}{2}\right)^2$, also $c = \pm 2$, daher
%    ist die allgemeine Lösung $y_{1,2}(x) = (x \pm 1)^2$. \\
%    Es gibt allerdings hier zwei weitere Lösungen:
%    $y_{3,4}(x) = \begin{cases}(x \pm 1)^2 & x > -1 \text{ bzw. } x < 1 \\
%    0 & \text{sonst.}\end{cases}$
%
%    \item
%    $xy' + y = y^2$, $y(1) = \frac{1}{2}$, $x \ge 1$. \\
%    Mit $g(x) = \frac{1}{x}$, $h(y) = y^2 - y$ ist hier
%    $\int \frac{1}{y^2 - y}\dy = \int \frac{1}{x}\dx + \widetilde{c}$. \\
%    Integration ergibt $\ln|y - 1| - \ln|y| = \ln|x| + \widetilde{c}$, also
%    $\frac{|y - 1|}{|y|} = c |x| = cx$ wegen $x \ge 1$. \\
%    Wegen der Anfangsbedingung gilt $0 \le y \le 1$, d.\,h.
%    $y(x) = \frac{1}{1 + cx}$. \\
%    $c$ lässt bestimmen, indem man die Anfangsbedingung einsetzt:
%    $\frac{1}{2} = \frac{1}{1 + c}$, also $c = 1$, \\
%    daher ist die allgemeine Lösung $y(x) = \frac{1}{1 + x}$. \\
%\end{enumerate}

\subsection{%
    Lineare DGLs erster Ordnung%
}

Lineare DGL 1. Ordnung sind von der allgemeinen Form
$a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = g(x)$
mit $a_1(x) \not\equiv 0$ und $x \in D$, $D$ gemeinsamer Definitionsbereich
von $a_1$, $a_0$ und $g$. \\
Die DGL heißt \emph{linear in $y$},
\emph{homogen} für $g(x) \equiv 0$ und \emph{inhomogen}
für $g(x) \not\equiv 0$.

\textbf{Satz}:
Seien $y_h(x)$ die \emph{allgemeine Lösung} der zugehörigen homogenen DGL
(erfüllt mittels geeigneten Parametern alle Anfangsbedingungen)
und $y_p(x)$ eine \emph{partikuläre Lösung} der inhomogenen DGL
(erfüllt nur eine Anfangsbedingung).
Dann löst $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$ die inhomogene DGL und
jede weitere Lösung $y(x)$ der DGL ist durch $y(x) = y_h(x) + y_p(x)$
gegeben.

\textbf{homogene DGL ($g(x) \equiv 0$)}: \\
$a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = 0$ besitzt trennbare Veränderliche, d.\,h.
$y'(x) = -\frac{a_0(x)}{a_1(x)} y(x)$ bzw. \\
$\int \frac{1}{y} \dy = -\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)}\dx + \widetilde{c}$ bzw.
$y_h(x) = c \cdot \exp\left(-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)}\dx\right) =:
c \cdot \widetilde{y}_h(x)$. \\
Dies ist die allgemeine Lösung der homogenen DGL.

\textbf{inhomogene DGL (Variation der Konstanten)}: \\
Setze $y_p(x) := c(x) \cdot \widetilde{y}_h(x)$, dabei soll
$a_1(x) y_p'(x) + a_0(x) y_p(x) = g(x)$ gelten.
Durch Einsetzen von $y_p$ erhält man $a_1(x) c'(x) \widetilde{y}_h(x) = g(x)$.
Auf"|lösen nach $c'(x)$ ergibt
$c'(x) = \frac{g(x)}{a_1(x) \widetilde{y}_h(x)}$,
also $c(x) = \int \frac{g(x)}{a_1(x) \widetilde{y}_h(x)}\dx$.
Die allgemeine Lösung lautet also $y(x) = c \cdot \widetilde{y}_h(x) + y_p(x)$
mit \\
$\widetilde{y}_h(x) = \exp\left(-\int \frac{a_0(x)}{a_1(x)}\dx\right)$ und
$y_p(x) = \int \frac{g(x)}{a_1(x) \widetilde{y}_h(x)}\dx
\cdot \widetilde{y}_h(x)$.

\subsection{%
    Nicht-lineare DGLs erster Ordnung%
}

Zu den nicht-linearen DGL 1. Ordnung
gehören die sog. \textbf{\name{Bernoulli}-DGL}, deren
allgemeine Form
$y'(x) + a(x) y(x) = b(x) y^n(x)$, $n \in \natural_0$ lautet. \\
Für $n = 0$ bzw. $n = 1$ erhält man
$y'(x) + a(x) y(x) = b(x)$ bzw.
$y'(x) + a(x) y(x) = b(x) y(x)$,
dies sind lineare DGL und lassen sich wie oben beschrieben lösen. \\
Für $n \ge 2$ muss man in
$\frac{y'(x)}{y^n(x)} + a(x) y^{1-n}(x) = b(x)$ die Substitution
$z(x) := y^{1-n}(x)$ durchführen.
Mit $z'(x) = (1 - n) y^{-n}(x) y'(x)$ ergibt sich
die äquivalente DGL $\frac{z'(x)}{1 - n} + a(x) z(x) = b(x)$. \\
Dies ist wiederum eine lineare DGL 1. Ordnung
und lässt sich auf bekannte Weise lösen.

\pagebreak

\subsection{%
    Lineare DGLs zweiter Ordnung mit konst. Koef"|fizienten%
}

Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koef"|fizienten sind von der
allgemeinen Form \\
$y''(x) + a_1 y'(x) + a_0 y(x) = g(x)$, $a_1, a_0 \in \real$.

\linie

\textbf{homogene DGL ($g(x) \equiv 0$)}:
$y''(x) + a_1 y'(x) + a_0 y(x) = 0$, $a_1, a_0 \in \real$ \qquad (1)

\textbf{Fundamentalsystem}:
Seien $y_1(x)$ und $y_2(x)$ Lösungen von (1), wobei $y_1$ und $y_2$ linear
unabhängig sind, d.\,h. für $c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) \equiv 0$ gilt
$c_1 = c_2 = 0$. \\
Dann heißt $\{y_1(x), y_2(x)\}$ \emph{Fundamentalsystem} von (1).
In diesem Fall ist \\
$y(x) := c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)$ für $c_1, c_2 \in \real$
die allgemeine Lösung von (1).

Zur Bestimmung von $y_1$ und $y_2$ berechnet man die beiden Nullstellen
$\lambda_1, \lambda_2$ des \emph{charakteristischen Polynoms}
$P(\lambda) := \lambda^2 + a_1 \lambda + a_0$.
Für $\lambda_1 \not= \lambda_2$ ist $y_1(x) := e^{\lambda_1 x}$
und $y_2(x) := e^{\lambda_2 x}$. \\
Für $\lambda_1 = \lambda_2 =: \lambda$ ist
$y_1(x) := e^{\lambda x}$ und $y_2(x) := x e^{\lambda x}$.

Sind ausschließlich reelle Lösungen $y(x) \in \real$, $x \in \real$ verlangt
und $\lambda_1, \lambda_2 \in \complex \setminus \real$
(also $\lambda_1 \not= \lambda_2$), so kann man die Tatsache
ausnutzen, dass $y_1(x) = \overline{y_2(x)}$.
In diesem Fall kann man $y_1(x)$ und $y_2(x)$ durch
$\Re y_1(x)$ und $\Im y_1(x)$ ersetzen und erhält ein reelles
Fundamentalsystem. \\
Für $\lambda_{1,2} = a \pm bi$ ergibt sich nämlich
$y_1(x) := e^{ax} \sin(bx)$ und $y_2(x) := e^{ax} \cos(bx)$.

\linie

\textbf{inhomogene DGL ($g(x) \not\equiv 0$)}:
$y''(x) + a_1 y'(x) + a_0 y(x) = g(x)$, $a_1, a_0 \in \real$ \qquad (2)

Die inhomogene DGL besitzt die allgemeine Lösung
$y(x) := y_h(x) + y_p(x)$, wobei $y_h(x)$ die allgemeine Lösung der zugehörigen
homogenen DGL und $y_p(x)$ eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL ist.
$y_h(x)$ kann wie oben bestimmt werden, für $y_p(x)$ gibt es zwei
Möglichkeiten.

\textbf{Satz (Variation der Konstanten)}:
Seien $\{y_1(x), y_2(x)\}$ ein Fundamentalsystem von (1) und $c_1(x), c_2(x)$,
sodass $c_1'(x) y_1(x) + c_2'(x) y_2(x) = 0$ sowie
$c_1'(x) y_1'(x) + c_2'(x) y_2'(x) = g(x)$. \\
Dann ist $y_p(x) := c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x)$ eine partikuläre
Lösung von (2).

In der Praxis verwendet man diese Methode, indem man zunächst $y_1(x)$ und
$y_2(x)$ wie oben berechnet, $c_1(x)$ und $c_2(x)$ allgemein ansetzt und
schließlich versucht, diese durch Integration aus den obigen beiden Gleichungen
zu bestimmen.

\textbf{Ansatzmethode}:
Diese Methode funktioniert nur für Dif"|ferentialgleichungen der Form \\
$y''(x) + a_1 y'(x) + a_0 y(x) = g(x)$
mit $g(x) = e^{qx} \cdot (\alpha_m x^m + \dotsb + \alpha_1 x + \alpha_0)$. \\
In diesem Fall ist nämlich
$y_p(x) = x^\ell e^{qx} \cdot (\beta_m x^m + \dotsb + \beta_1 x + \beta_0)$
eine partikuläre Lösung der DGL, wobei
$\ell = 0$, falls $q$ keine Nullstelle des char. Polynoms ist, und \\
$\ell = n$, falls $q$ eine Nullstelle des char. Polynoms mit
Vielfachheit $n$ ist. \\
Um die $\beta_0, \dotsc, \beta_m$ zu bestimmen, muss man
den allgemeinen Ansatz von $y_p(x)$ in die DGL einsetzen und durch
Koef"|fizientenvergleich die Koef"|fizienten ermitteln.

\pagebreak

\section{%
    Existenz und Eindeutigkeit der Lösung linearer DGLs%
}

Für endlich-dimensionale Vektorräume ($\dim E = n$, z.\,B. $E = \real^n$)
ist die Menge $\L(E, E)$ der linearen, stetigen Operatoren auf $E$ definiert.
$(\L(E, E), \norm{\cdot}_\L)$ ist ein normierter Vektorraum. \\
Für $I := [a, b] \subset \real$ sei $A(\cdot)\colon [a, b] \rightarrow \L(E, E)$
stetig, d.\,h. $A(t) \in \L(E, E)$ für $t \in I$. \\
Des Weiteren sei $f\colon [a, b] \rightarrow E$ eine stetige Funktion.

\linie

Für den Fall $E := \real^n$ ist $\{e_j \;|\; j = 1, \dotsc, n\}$ mit
$e_j = (0, \dotsc, 0, 1, 0, \dotsc, 0)$ eine Basis von $\real^n$.
Die Abbildung $A(t)$ lässt sich dann als Matrix
$A(t) =$ \matrixsize{$\begin{pmatrix}
    \alpha_{11}(t) & \dots & \alpha_{1n}(t) \\
    \vdots & & \vdots \\
    \alpha_{n1}(t) & \dots & \alpha_{nn}(t)
\end{pmatrix}$} schreiben, wobei $A(t)$ stetig in $t$ ist genau dann, wenn
$\alpha_{kl}(\cdot)\colon I \rightarrow \real$ stetig ist für alle
$k, l = 1, \dotsc, n$. \\
Außerdem ist $f(t) = (f_1(t), \dotsc, f_n(t))$ stetig in $t$ genau dann,
wenn $f_k(\cdot)\colon I \rightarrow \real$ stetig ist für
alle $k = 1, \dotsc, n$.

Seien nun $\mathbbm{y}(t) = (y_1(t), \dotsc, y_n(t))$
und $f(t) \not\equiv 0$.
Man bezeichnet $\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t) + f(t)$, d.\,h. \\
$\left\{\begin{array}{ccccccccc}
\dot{y}_1(t) & = & \alpha_{11}(t) y_1(t) & + & \dotsb & + &
\alpha_{1n}(t) y_n(t) & + & f_1(t) \\
\vdots & & \vdots & & & & \vdots & & \vdots \\
\dot{y}_n(t) & = & \alpha_{n1}(t) y_1(t) & + & \dotsb & + &
\alpha_{nn}(t) y_n(t) & + & f_n(t),
\end{array}\right.$ \\
als eine \textbf{lineare, nicht-autonome, inhomogene DGL} \\
(nicht-autonom wegen $A = A(t)$, $f = f(t)$,
inhomogen wegen $f(t) \not\equiv 0$). \\
Im Gegensatz dazu heißt $\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t)$
\textbf{lineare, nicht-autonome, homogene DGL}.

Alternativ kann man auch $\dot{\mathbbm{y}}(t) =
\mathbbm{v}(t, \mathbbm{y}(t))$
mit $\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}) = A(t) \mathbbm{x} + f(t)$ schreiben.

\linie

Die Voraussetzungen von Picard-Lindelöf sind erfüllt, denn:
\begin{itemize}
    \item
    $\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x})$ ist stetig in $(t, \mathbbm{x})$

    \item
    $\norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x})}_E \le
    \norm{A(t) \mathbbm{x}}_E + \norm{f(t)}_E \le
    \norm{A(t)}_\L \norm{\mathbbm{x}}_E + \norm{f(t)}_E \le
    C_1 R + C_2$ \\
    für $(t, \mathbbm{x}) \in I \times U_R(0)$

    \item
    $\norm{\mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}') - \mathbbm{v}(t, \mathbbm{x}'')} \le
    \norm{A(t) (\mathbbm{x}' - \mathbbm{x}'')} \le
    C_1 \norm{\mathbbm{x}' - \mathbbm{x}''}$
\end{itemize}
Daher kann man nach dem Satz von Picard-Lindelöf die lokale Existenz und
Eindeutigkeit der Lösung folgern.
Die Lösung ist global fortsetzbar bis an den Rand des Phasenraums
$M = \real^n$.

\textbf{Satz}:
Sei (CP) das Cauchy-Problem der homogenen linearen DGL, d.\,h.
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t)$ mit
$\mathbbm{y}(t_0) = \mathbbm{y}_0$ für ein $t_0 \in [a, b]$.
Dann besitzt (CP) eine eindeutige Lösung für alle $t \in [a, b]$.

\pagebreak

\section{%
    Struktur der Lösungen der homogenen Gleichung%
}

Sind $\mathbbm{y}_1(t)$ und $\mathbbm{y}_2(t)$ Lösungen der homogenen
linearen DGL $\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t)$
(ohne Festlegung der Anfangsbedingung), so ist
$\mathbbm{y}(t) := \beta_1 \mathbbm{y}_1(t) + \beta_2 \mathbbm{y}_2(t)$
ebenfalls eine Lösung der DGL $\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t)$.
Die Menge $\mathcal{N}$ der Lösungen von
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t)$ ist daher linear, d.\,h.
$\mathcal{N} \subset \C^1(I, \real^n)$ ist ein Untervektorraum.

\textbf{Satz}:
Sei $\mathcal{B} = \{\mathbbm{b}_1, \dotsc, \mathbbm{b}_n\}$ eine Basis von $E$
und $Y_\mathcal{B} = \{\mathbbm{y}_{\mathbbm{b}_1}, \dotsc,
\mathbbm{y}_{\mathbbm{b}_n}\}$ eine Menge von Lösungen der
homogenen linearen DGL
$\dot{\mathbbm{y}}_{\mathbbm{b}_j}(t) = A(t) \mathbbm{y}_{\mathbbm{b}_j}(t)$
mit $\mathbbm{y}_{\mathbbm{b}_j}(t_0) = \mathbbm{b}_j$, $t_0 \in I$. \\
Ist $A(\cdot) \in \C(I, \L(E, E))$, so ist
$Y_\mathcal{B}$ eine Basis von $\mathcal{N}$, d.\,h.
$\dim \mathcal{N} = n = \dim E$. \\
Zusätzlich gilt für jede Linearkombination $\mathbbm{y}_0$
von $\mathcal{B}$, dass die
Linearkombination von $Y_\mathcal{B}$ mit den gleichen Koef"|fizienten die DGL
mit Startwert $\mathbbm{y}_0$ löst.

Das homogene, nicht-autonome Problem besitzt also einen $n$-dimensionalen
Lösungsraum \\
($n := \dim E$).

\textbf{Lemma}: \\
Das System von Vektoren
$\mathcal{B}^{(t_1)} = \{\mathbbm{y}_{\mathbbm{b}_1}(t_1), \dotsc,
\mathbbm{y}_{\mathbbm{b}_n}(t_1)\} \subset E$ bildet für jedes $t_1 \in I$
eine Basis.

\textbf{Fundamentalsystem}:
Ein vollständiges, linear unabhängiges System von Lösungen der homogenen
Gleichung $\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t)$
(also eine Basis von $\mathcal{N}$) nennt man \emph{Fundamentalsystem}.

\textbf{Folgerung}:
Seien $Y = \{\mathbbm{y}_1, \dotsc, \mathbbm{y}_n\} \subset \mathcal{N}$
Lösungen der homogenen linearen DGL. \\
Dann ist $Y$ ein Fundamentalsystem (d.\,h. linear unabhängig)
genau dann, wenn \\
$Y_{\widetilde{t}} = \{\mathbbm{y}_1(\widetilde{t}), \dotsc,
\mathbbm{y}_n(\widetilde{t})\}$
linear unabhängig ist für ein $\widetilde{t} \in I$.
Dies ist der Fall genau dann, wenn
$Y_t = \{\mathbbm{y}_1(t), \dotsc, \mathbbm{y}_n(t)\}$
für alle $t \in I$ linear unabhängig ist.

\section{%
    Die \name{Wronski}-Determinante und die Formel von \name{Liouville}%
}

\textbf{\name{Wronski}-Determinante}: \\
Seien $n$ Funktionen
$\varphi_1, \dotsc, \varphi_n\colon I \rightarrow \real^n$ mit
$\varphi_j(\tau) :=$
\matrixsize{$\begin{pmatrix}
    \varphi_j^1(\tau) \\
    \vdots \\
    \varphi_j^n(\tau)
\end{pmatrix}$}
gegeben. \\
Dann heißt
$W(\varphi_1, \dotsc, \varphi_n)(\cdot)\colon I \rightarrow \real$,
$W(\varphi_1, \dotsc, \varphi_n)(\tau) := \det$
\matrixsize{$\begin{pmatrix}
    \varphi_1^1(\tau) & \dots & \varphi_n^1(\tau) \\
    \vdots & & \vdots \\
    \varphi_1^n(\tau) & \dots & \varphi_n^n(\tau)
\end{pmatrix}$} \\
$ = \det(\varphi_1(\tau), \dotsc, \varphi_n(\tau))$
\emph{\name{Wronski}-Determinante} oder \emph{Wronskian}.

\linie

\textbf{Lemma}:
$Y = \{\mathbbm{y}_1, \dotsc, \mathbbm{y}_n\} \subset \mathcal{N}$
ist ein Fundamentalsystem der homogenen linearen DGL  genau
dann, wenn $W(\mathbbm{y}_1, \dotsc, \mathbbm{y}_n)(t) \not= 0$ für alle
$t \in I$, was der Fall ist genau dann, wenn
$W(\mathbbm{y}_1, \dotsc, \mathbbm{y}_n)(\widetilde{t}) \not= 0$ für ein
$\widetilde{t} \in I$.

Sei eine $n \times n$-Matrix $A = (\alpha_{kl})_{k,l=1}^n$ gegeben.
$\Sp(A) := \sum_{k=1}^n \alpha_{kk}$ bezeichnet die Spur von $A$.
Wegen $\Sp(BAC) = \Sp(ACB) = \Sp(CBA)$ gilt insbesondere für $B$ invertierbar,
dass $\Sp(B^{-1} A B) = \Sp(A B B^{-1}) = \Sp(A)$, also ist die Spur invariant
bei Ähnlichkeitstransformationen (Basiswechsel).
Daraus folgt unter anderem, dass die Spur einer Matrix die Summe ihrer
Eigenwerte ist.

\textbf{Satz (Formel von \name{Liouville})}: \\
Sei $Y = \{\mathbbm{y}_1, \dotsc, \mathbbm{y}_n\} \subset \mathcal{N}$
ein System von Lösungen von $\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t)$. \\
Dann gilt $\frac{d}{dt} W(\mathbbm{y}_1, \dotsc, \mathbbm{y}_n)(t) =
\Sp(A(t)) \cdot W(\mathbbm{y}_1, \dotsc, \mathbbm{y}_n)(t)$, \\
d.\,h. $W(\mathbbm{y}_1, \dotsc, \mathbbm{y}_n)(t) =
W(\mathbbm{y}_1, \dotsc, \mathbbm{y}_n)(t_0) \cdot
\exp\left(\int_{t_0}^t \Sp(A(\tau))\d\tau\right)$.

\pagebreak

\section{%
    Der Evolutionsoperator%
}

\textbf{Evolutionsoperator}:
Gegeben sei die homogene lineare DGL
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t)$ mit \\
$A(\cdot)\colon I \rightarrow \L(E, E)$ stetig (z.\,B. $E = \real^n$).
Dann ist für $t_0, t_1 \in I$ der \emph{Evolutionsoperator} \\
$U(t_1, t_0)\colon E \rightarrow E$ definiert durch
$U(t_1, t_0) \mathbbm{y}_0 := \mathbbm{y}(t_1)$, wobei $\mathbbm{y}(t)$ die DGL
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t)$ mit
$\mathbbm{y}(t_0) = \mathbbm{y}_0$ löst.

Da die Lösung existiert und eindeutig ist (Picard-Lindelöf),
ist die Abbildung wohldefiniert.

$U(t_1, t_0)\colon E \rightarrow E$ ist eine lineare Abbildung, d.\,h. \\
es gilt $U(t_1, t_0)(\beta^{(1)} \mathbbm{y}_0^{(1)} +
\beta^{(2)} \mathbbm{y}_0^{(2)}) =
\beta^{(1)} U(t_1, t_0) \mathbbm{y}_0^{(1)} +
\beta^{(2)} U(t_1, t_0) \mathbbm{y}_0^{(2)}$.

\linie

Ist $E = \real^n$, $e_k$ der $k$-te Vektor der natürlichen Basis und
$\mathbbm{y}_0 = (y_0^1, \dotsc, y_0^n)^t =
\sum_{k=1}^n \innerproduct{\mathbbm{y}_0, e_k} e_k$
(Orthonormalentwicklung), so ist
$\mathbbm{y}(t) := \sum_{k=1}^n \innerproduct{\mathbbm{y}_0, e_k} \mathbbm{y}_k(t)$
mit $\dot{\mathbbm{y}}_k(t) = A(t) \mathbbm{y}_k(t)$,
$\mathbbm{y}_k(t_0) = e_k$ eine Lösung von
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t)$ mit
$\mathbbm{y}(t_0) = \mathbbm{y}_0$. \\
Wegen $\mathbbm{y}(t_1) =
\sum_{k=1}^n \innerproduct{\mathbbm{y}_0, e_k} \mathbbm{y}_k(t_1)$ gilt
$U(t_1, t_0) =$
\matrixsize{$\begin{pmatrix}
    y_1^1(t_1) & \dots & y_n^1(t_1) \\
    \vdots & & \vdots \\
    y_1^n(t_1) & \dots & y_n^n(t_1)
\end{pmatrix}$} $= (\mathbbm{y}_1(t_1), \dotsc, \mathbbm{y}_n(t_1))$. \\
Beachte, dass dieser Ausdruck immer noch von $t_0$ abhängig ist, denn
die $\mathbbm{y}_k(t)$ haben als $t_0$ Zeitpunkt der Anfangsbedingung.
Für die Determinante gilt
$\det(U(t_1, t_0)) = W(\mathbbm{y}_1, \dotsc, \mathbbm{y}_n)(t_1)$.

\linie

\textbf{Eigenschaften des Evolutionsoperators}:
\begin{enumerate}
    \item
    $U(t, t) = \mathbbm{1}$

    \item
    $U(t_1, t_0) = U(t_1, t) U(t, t_0)$

    \item
    $\frac{d}{dt} U(t, t_0) =
    (\dot{\mathbbm{y}}_1(t), \dotsc, \dot{\mathbbm{y}}_n(t)) =
    (A(t) \mathbbm{y}_1(t), \dotsc, A(t) \mathbbm{y}_n(t)) =
    A(t) U(t, t_0)$

    \item
    $U(t, t_0) \mathbbm{y}_0 = 0$ genau dann, wenn $\mathbbm{y}_0 = 0$, da
    $\det U(t, t_0) =
    W(\mathbbm{y}_1, \dotsc, \mathbbm{y}_n)(t) \not= 0$

    \item
    $U(t, t_0) E = E$

    \item
    $U(t_0, t) U(t, t_0) = U(t_0, t_0) = \mathbbm{1}$
\end{enumerate}

\linie

\textbf{Satz}: Seien $A(t)$, $f(t)$ stetig für alle $t \in I$. \\
Dann besitzt die inhomogene DGL $\mathbbm{y}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t) + f(t)$,
$\mathbbm{y}(t_0) = \mathbbm{y}_0$ für alle $ t \in I$
die eindeutige Lösung $\mathbbm{y}(t) = U(t, t_0) \mathbbm{y}_0 +
\int_{t_0}^t U(t, \tau) f(\tau) \d\tau$.

\emph{Anmerkung}: \\
Die Eindeutigkeit der Lösung folgt aus aus der Eindeutigkeit des homogenen
Problems (s.\,o.). \\
Nimmt man an, es gäbe zwei Lösungen
$\mathbbm{y}^{(I)}(t), \mathbbm{y}^{(II)}(t)$ der DGL mit
$\mathbbm{y}^{(I)}(t_0) = \mathbbm{y}^{(I)}(t_0) = \mathbbm{y}_0$,
so würde $\mathbbm{y}(t) := \mathbbm{y}^{(I)}(t) - \mathbbm{y}^{(II)}(t)$
die DGL $\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t)$ mit
$\mathbbm{y}(t_0) = 0$ lösen.
Allerdings ist die Nullfunktion eine ebensolche Lösung, aufgrund der
Eindeutigkeit der Lösung für das homogene Problem
gilt demnach $\mathbbm{y}(t) \equiv 0$, d.\,h.
die beiden Lösungen sind identisch.

\textbf{Satz}:
Seien $A(t)$, $f(t)$ stetig für alle $t \in I$. \\
Die allgemeine Lösung der DGL
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t) + f(t)$ ist die Summe
der allgemeinen Lösung $\mathbbm{y}_h$ der homogenen DGL
und einer Partikulärlösung $\mathbbm{y}_p$ der inhomogenen DGL.

\linie

\textbf{Lösungsweg für nicht-autonome inhomogene Systeme}: \\
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t) + f(t)$,
$A(\cdot) \in \C(I, \L)$, $f(\cdot) \in \C(I, E)$
\begin{enumerate}
    \item
    Lösung $\mathbbm{y}_h \in \mathcal{N}$ des homogenen Systems bestimmen

    \item
    $U(t, t_0)$ bestimmen mit $\mathbbm{y}_k(t_0) = e_k$

    \item
    $\mathbbm{y}_p(t) := U(t, t_0) \mathbbm{y}_0 +
    \int_{t_0}^t U(t, \tau) f(\tau) \d\tau$
    ist eine Partikulärlösung
\end{enumerate}

\section{%
    Lineare autonome Systeme%
}

Ein lineares autonomes System ist gegeben, falls $A(t) \equiv A \in \L(E, E)$
unabhängig von $t$ ist.

Im Spezialfall $A = \alpha \cdot \mathbbm{1}$ für $\alpha \in \complex$ ist
die Lösung des Systems $\dot{\mathbbm{y}}(t) = A \mathbbm{y}(t)$ gegeben durch
$\mathbbm{y}(t) = e^{\alpha (t - t_0)} \mathbbm{y}_0$.
Im allgemeinen Fall $A \in \L(E, E)$ möchte man eine analoge Schreibweise
für die Lösung einführen:
$\mathbbm{y}(t) = e^{(t - t_0) A} \mathbbm{y}_0$ mit
$e^A = \exp(A) := \sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}$

\textbf{Eigenschaften von $\exp(A)$}:
\begin{enumerate}
    \item
    Diese Reihe konvergiert im Raum $(\L(E, E), \norm{\cdot}_\L)$ absolut.
    %$\sum_{k=0}^\infty \norm{\frac{A^k}{k!}}_\L \le
    %\sum_{k=0}^\infty \frac{\norm{A}_\L^k}{k!} = e^{\norm{A}_\L} < \infty$,
    %da $\norm{AB}_\L \le \norm{A}_\L \norm{B}_\L$.

    \item
    Multiplikationseigenschaft:
    $e^{A + B} = e^A e^B$ für $AB = BA$ (i.\,A. ist dies falsch).
    %$e^A e^B = \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{A^k}{k!}\right)
    %\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{B^n}{n!}\right)
    %= \sum_{k=0}^\infty \sum_{n=0}^\infty \frac{A^k B^n}{k! n!}
    %= \sum_{p=0}^\infty \frac{1}{p!} \sum_{k=0}^p
    %\frac{p!}{k! (p - k)!} A^k B^{p-k}
    %= \sum_{p=0}^\infty \frac{(A + B)^p}{p!} = e^{A + B}$, da man
    %wegen $AB = BA$ den binomischen Lehrsatz anwenden kann (i.\,A. falsch).

    \item
    Für $\exp(t \cdot A) = e^{t \cdot A}$, $t \in \real$ als
    Abbildung von $\real$ nach $\L(E, E)$ gilt
    $\frac{d}{dt} e^{tA} = A e^{tA}$.

    \item
    Für $B \in \L(E, E)$ invertierbar gilt
    $e^A = B e^{B^{-1}AB} B^{-1}$.
\end{enumerate}

Sei nun $\mathbbm{y}(t) = e^{(t - t_0) A} \mathbbm{y}_0$.
$\mathbbm{y}(t)$ löst das System $\dot{\mathbbm{y}}(t) = A \mathbbm{y}(t)$,
$\mathbbm{y}(t_0) = \mathbbm{y}_0$, da \\
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = \frac{d}{dt} (e^{(t - t_0) A}) \mathbbm{y}_0 =
A e^{(t - t_0) A} \mathbbm{y}_0 = A \mathbbm{y}(t)$.

\linie

\textbf{Wie berechnet man $e^{(t - t_0) A}$?}

Im Spezialfall $A$ diagonalisierbar gilt
$B^{-1} A B = \diag\{\lambda_1, \dotsc, \lambda_n\}$
für ein $B \in \L(E, E)$ invb.
Dann ist
$e^{\diag\{\lambda_1, \dotsc, \lambda_n\}} =
\sum_{k=0}^\infty \frac{\diag\{\lambda_1, \dotsc, \lambda_n\}^k}{k!} =
\sum_{k=0}^\infty \frac{\diag\{\lambda_1^k, \dotsc, \lambda_n^k\}}{k!} =$ \\
$\diag\left\{\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda_1^k}{k!}, \dotsc,
\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda_n^k}{k!}\right\} =
\diag\{e^{\lambda_1}, \dotsc, e^{\lambda_n}\}$ \\
und daher gilt
$e^{(t - t_0) A} =
B \cdot \diag\{e^{(t - t_0) \lambda_1}, \dotsc,
e^{(t - t_0) \lambda_n}\} \cdot B^{-1}$.

Im allgemeinen Fall kann man $A$ auf eine Matrix in Jordanform
$B^{-1} A B = J$ bringen, d.\,h.
$J = \diag\{J_{\nu_1}(\lambda_1), \dotsc, J_{\nu_k}(\lambda_k)\}$,
wobei $\lambda_1, \dotsc, \lambda_k$ die Eigenwerte von $A$ sind
und $\nu_1 + \dotsb + \nu_k = n$.
Dabei ist $J_\nu(\lambda) := $ \matrixsize{$\begin{pmatrix}
    \lambda & 1 & & 0 \\
    & \ddots & \ddots & \\
    & & \lambda & 1 \\
    0 & & & \lambda
\end{pmatrix}$} $ = \lambda \cdot \mathbbm{1}_\nu + T_\nu$ mit
$T_\nu := J_\nu(0)$. \\
Wegen $\lambda \mathbbm{1} \cdot T_\nu = T_\nu \cdot \lambda \mathbbm{1}$
gilt $e^{\lambda \mathbbm{1}_\nu + T_\nu} = e^\lambda e^{T_\nu}$.

Es gilt $T_\nu^2 = $ \matrixsize{$\begin{pmatrix}
    0 & 0 & 1 & & 0 \\
    & \ddots & \ddots & \ddots & \\
    & & 0 & 0 & 1 \\
    & & & 0 & 0 \\
    0 & & & & 0 \\
\end{pmatrix}$}, \dots,
$T_\nu^{\nu-1} = $ \matrixsize{$\begin{pmatrix}
    0 & \dots & 0 & 1 \\
    & & & 0 \\
    & & \ddots & \vdots \\
    0 & & & 0\\
\end{pmatrix}$}
und $T_\nu^m = 0$ für $m \ge \nu$, daher ist
$e^{T_\nu} = \sum_{k=0}^\infty \frac{T_\nu^k}{k!}
= \sum_{k=0}^{\nu-1} \frac{T_\nu^k}{k!} = $ \matrixsize{$\begin{pmatrix}
    1 & 1/1! & 1/2! & \dots & 1/(\nu - 1)! \\
    & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
    & & 1 & 1/1! & 1/2! \\
    & & & 1 & 1/1! \\
    0 & & & & 1
\end{pmatrix}$}. \\
Im Allgemeinen gilt also
$e^{(t - t_0) J_\nu(\lambda)} = e^{(t - t_0) \lambda} e^{(t - t_0) T_\nu} =
e^{(t - t_0) \lambda} \cdot $ \matrixsize{$\begin{pmatrix}
    1 & (t - t_0)/1! & \dots & (t - t_0)/(\nu - 1)! \\
    & \ddots & \ddots & \vdots \\
    & & 1 & (t - t_0)/1! \\
    0 & & & 1
\end{pmatrix}$}.

Für eine Jordanmatrix $J$ gilt
$e^{(t - t_0) J} = \diag\{e^{(t - t_0) J_{\nu_1}(\lambda_1)}, \dotsc,
e^{(t - t_0) J_{\nu_k}(\lambda_k)}\}$
und nach Rücktransformation ist
$e^{(t - t_0) A} = B e^{(t - t_0) J} B^{-1}$.

\linie

Betrachtet man erneut die Lösung der DGL mittels des Evolutionsoperators,
also \\
$\mathbbm{y}(t) = U(t, t_0) \mathbbm{y}_0 +
\int_{t_0}^t U(t, \tau) f(\tau) \d\tau$,
so erkennt man, dass sich diese aus der Lösung \\
$\widetilde{\mathbbm{y}}(t) = U(t, t_0) \mathbbm{y}_0$
des homogenen Problems mit Anfangsbedingung
$\widetilde{\mathbbm{y}}(t_0) = \mathbbm{y}_0$ und der Lösung \\
$\widehat{\mathbbm{y}}(t) = \int_{t_0}^t U(t, \tau) f(\tau) \d\tau$
des inhomogenen Problems mit
Anfangsbedingung $\widehat{\mathbbm{y}}(t_0) = 0$ zusammensetzt.
Für $A(t) \equiv A$ gilt $U(t, t_0) = e^{(t - t_0) A}$, d.\,h.
$\mathbbm{y}(t) = e^{(t - t_0) A} \mathbbm{y}_0 +
\int_{t_0}^t e^{(t - \tau) A} f(\tau) \d\tau$
löst die DGL $\dot{\mathbbm{y}}(t) = A \mathbbm{y}(t) + f(t)$
mit $\mathbbm{y}(t_0) = \mathbbm{y}_0$.

\section{%
    Lineare DGLs höherer Ordnung%
}

Für $f, a_j \in \C([a, b], \real)$, $j = 0, \dotsc, n - 1$ ist
$y^{(n)}(t) + a_{n-1}(t) y^{(n-1)}(t) + \dotsb + a_0(t) y(t) = f(t)$ ($\ast$)
eine \textbf{lineare, inhomogene DGL der Ordnung $n$}.

Fasst man die Ableitungen $y^{(j)}$ als Vektor auf, so erhält man \\
$\mathbbm{y}(t) = (y^1(t), \dotsc, y^n(t)) =
(y(t), \dot{y}(t), \dotsc, y^{(n-1)}(t))$
und obige DGL ($\ast$) ist dann äquivalent zur DGL
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t) + \mathbbm{f}(t)$ ($\ast\ast$),
wobei $A(t) := $ \matrixsize{$\begin{pmatrix}
    0 & 1 & & 0 \\
    & & \ddots & \\
    & & & 1 \\
    -a_0(t) & -a_1(t) & \dotsb & -a_{n-1}(t)
\end{pmatrix}$} und \\
$\mathbbm{f}(t) := (0, \dotsc, 0, f(t))$.

Das äquivalente Cauchy-Problem von ($\ast$) für ein Cauchy-Problem \\
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t) + \mathbbm{f}(t)$,
$\mathbbm{y}(t_0) = \mathbbm{c}$ von ($\ast\ast$) ist \\
$y^{(n)}(t) + a_{n-1}(t) y^{(n-1)}(t) + \dotsb + a_0(t) y(t) = f(t)$,
$y(t_0) = c_1, \dotsc, y^{(n-1)}(t_0) = c_n$. \\
Aus der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für ($\ast\ast$) folgt,
dass ($\ast$) für alle $t \in I = [a, b]$ eine eindeutige Lösung besitzt.
Die Lösung ist wieder gegeben als Summe
$y(t) = y_h(t) + y_p(t)$
der allgemeinen Lösung und einer Partikulärlösung.

\linie

\textbf{DGL höherer Ordnung mit konstanten Koef"|fizienten}: \\
Hier bleibt $f(t)$ zeitabhängig, aber $a_j(t) \equiv a_j$ zeitunabhängig
für alle $j = 0, \dotsc, n - 1$, d.\,h. \\
$y^{(n)}(t) + a_{n-1} y^{(n-1)}(t) + \dotsc + a_0 y(t) = f(t)$.

Das \textbf{charakteristische Polynom} der DGL ist
$P(\lambda) := \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \dotsc + a_1 \lambda + a_0$.

Auch eine autonome DGL lässt sich (als Spezialfall mit $A(t) \equiv A$
zeitunabhängig) mit obiger Matrix umschreiben als
$\dot{\mathbbm{y}}(t) = A \mathbbm{y}(t) + \mathbbm{f}(t)$.
Dann kann man auch das charakteristische Polynom von $A$ betrachten:
$d_A(\lambda) := \det(A - \lambda \mathbbm{1})$.

\textbf{Satz}:
Es gilt $d_A(\lambda) = (-1)^n P(\lambda)$.

Man berechnet die Nullstellen $\lambda_1, \dotsc, \lambda_k$
von $P(\lambda)$ (das sind genau die Nullstellen
von $d_A(\lambda)$, d.\,h. die Eigenwerte von $A$)
mit deren Vielfachheiten $\nu_1, \dotsc, \nu_k$.

\textbf{Satz}:
Sei $\lambda_j$ eine Nullstelle von $P(\lambda)$ der Ordnung $\nu_j$,
dann löst jede Linearkombination von
$Y_j := \{e^{\lambda_j t}, t e^{\lambda_j t}, \dotsc,
t^{\nu_j - 1} e^{\lambda_j t}\}$ die homogene lineare DGL \\
$y^{(n)}(t) + a_{n-1} y^{(n-1)}(t) + \dotsb + a_0 y(t) = 0$.
Die allgemeine Lösung des homogenen Problems ist der Raum aufgespannt von
den Mengen $Y_j$ mit $j = 1, \dotsc, k$.

Zur Lösung des inhomogenen Problems benötigt man i.\,A.
die Laplace-Transformation.

\pagebreak

\section{%
    Die \name{Laplace}-Transformation%
}

\textbf{\name{Laplace}-Transformation}:
Für eine gegebene Funktion
$f\colon \left[0, +\infty\right[ \rightarrow \complex$ heißt \\
$\L[f](p) := \widetilde{f}(p) = \int_0^{+\infty} f(t) e^{-tp} \dt$,
$p \in \complex$ die \emph{\name{Laplace}-Transformierte}.

\emph{Beispiele}: \\
\begin{tabular}{l|ll}
    $f$ & $\widetilde{f}$ & \\\hline
    $f(t) = 1$ & $\widetilde{f}(p) = \frac{1}{p}$ & $\Re(p) > 0$ \\
    $f(t) = t^n$ & $\widetilde{f}(p) = \frac{n!}{p^{n+1}}$ &
    $\Re(p) > 0$, $n \in \natural$ \\
    $f(t) = e^{-ta}$ & $\widetilde{f}(p) = \frac{1}{p+a}$ & $\Re(p + a) > 0$ \\
    $f(t) = \cos(\omega t)$ &
    $\widetilde{f}(p) = \frac{p}{p^2 + \omega^2}$ &
    $\Re(p) > |\Im(\omega)|$ \\
    $f(t) = \sin(\omega t)$ &
    $\widetilde{f}(p) = \frac{\omega}{p^2 + \omega^2}$ &
    $\Re(p) > |\Im(\omega)|$ \\
\end{tabular}

Es gelten
$\L[\alpha f + \beta g](p) = \alpha \L[f](p) + \beta \L[g](p)$
(Linearität) sowie die Substitutionsregeln
$\L\left[f(\frac{t}{a})\right](p) = a \L[f](p \cdot a)$ für $a > 0$
und $\L[e^{-at}f(t)](p) = \L[f](p + a)$ für $a \in \complex$.

Mithilfe der \textbf{\name{Heaviside}-Funktion}
$H(t) := \chi_{\left[0, +\infty\right[}(t)$
kann man die Laplace-Transformierte von um $a \ge 0$ nach rechts verschobenen
Funktionen umformen: \\
$\L[f(t - a) H(t - a)](p) = e^{-ap} \L[f](p)$.

\linie

\textbf{Satz}:
Sei $f \in \C^n(\left[0, +\infty\right[, \complex)$,
$\L[f^{(k)}](p)$ existiere für ein $p \in \complex$ und
alle $k = 0, \dotsc, n$ und
$f^{(k)}(t) e^{-tp} \to 0$ für $t \to \infty$
für alle $k = 0, \dotsc, n - 1$. \\
Dann ist $\L[f^{(n)}](p) = p^n \L[f](p) - p^{n-1} f(0) - p^{n-2} f'(0) -
\dotsb - f^{(n-1)}(0)$.

\textbf{Satz}:
Sei $\L[f](p)$ existent für $\Re(p) > c$.
Dann ist $\L[f](p)$ analytisch in allen Punkten $p \in \complex$ mit
$\Re(p) > c$ (insbesondere ist $\L[f](p)$ in allen solchen Punkten
unendlich oft dif"|ferenzierbar) und es gilt
$\L[t^n f(t)](p) = (-1)^n \frac{d^n}{dp^n} \L[f](p)$.

\linie

\textbf{Faltung}:
Seien $f, g\colon \real \rightarrow \complex$ Funktionen. \\
Dann ist $(f \ast g)(t) := \int_\real f(\tau) g(t - \tau) \d\tau$
die \emph{Faltung} von $f$ und $g$.

Sind wie hier bei der Laplace-Transformation Funktionen
$f, g\colon \left[0, +\infty\right[ \rightarrow \complex$ gegeben,
so setzt man $f$ und $g$ auf $\real$ mit $0$ fort.
Dann ist $(f \ast g)(t) = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) \d\tau$.

Die Faltung erfüllt Kommutativität ($f \ast g = g \ast f$),
Assoziativität ($f \ast (g \ast h) = (f \ast g) \ast h$),
Distributivität ($f \ast (g + h) = (f \ast g) + (f \ast h)$) sowie
Assoziativität mit der skalaren Multiplikation
($a(f \ast g) = (af) \ast g = f \ast (ag)$ mit $a \in \complex$). \\
Außerdem gilt für die Ableitung
$D(f \ast g) = (Df) \ast g = f \ast (Dg)$.

\textbf{Satz}:
Seien $\L[f](p)$ und $\L[g](p)$ existent für alle $p \in \complex$ mit
$\Re(p) > c$. \\
Dann ist $\widetilde{h}(p) := \widetilde{f}(p) \cdot \widetilde{g}(p)$ die
Laplace-Transformierte von $h := f \ast g$, \\
d.\,h. $\L[f](p) \cdot \L[g](p) = \L[f \ast g](p)$.

\linie
\pagebreak

\textbf{\name{Laplace}-Transformation und lineare DGLs}: \\
Sei nun die inhomogene, autonome DGL
$y^{(n)}(t) + a_{n-1} y^{(n-1)}(t) + \dotsb + a_0 y(t) = f(t)$ \\
mit partikulärer Anfangsbedingung
$y(0) = 0$, \dots, $y^{(n-1)}(0) = 0$ gegeben.

Dann gilt
$\L[f](p) = \L[y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dotsb + a_0 y](p)
= P(p) \cdot \L[y](p)$ aufgrund den konstanten Koef"|fizienten und der speziell
gewählten Startbedingung, wobei
$P(p) = p^n + a_{n-1} p^{n-1} + \dotsb + a_0$ das charakteristische Polynom
der DGL ist.

Daher gilt $\L[y](p) = \frac{\L[f](p)}{P(p)}$ und $y$ kann als inverse
Laplace-Transformierte berechnet werden, wobei auf Polstellen (Nullstellen
des charakteristischen Polynoms) geachtet werden muss.

Besser ist es, wenn $y$ in der Form
$y = Q \ast f$ mit $\L[Q](p) = \frac{1}{P(p)}$ gegeben ist. \\
In diesem Fall ist nämlich
$\L[y](p) = \L[Q](p) \cdot \L[f](p) = \frac{\L[f](p)}{P(p)}$.

\linie

\textbf{Wie bestimmt man $Q$?}

Für $P(p) = (p - \lambda_1)^{\nu_1} \dotsm (p - \lambda_k)^{\nu_k}$
ist $\frac{1}{P(p)} = (p - \lambda_1)^{-\nu_1} \dotsm
(p - \lambda_k)^{-\nu_k}$. \\
Für $\ell = 1, \dotsc, k$ gilt
$(p - \lambda_\ell)^{-\nu_\ell} = \L[j_{\nu_\ell}(\lambda_\ell, t)](p)$ mit
$j_\nu(\lambda, t) := \frac{e^{\lambda t} t^{\nu-1}}{(\nu - 1)!} H(t)$.

Somit ist $Q(t) = j_{\nu_1}(\lambda_1, t) \ast \dotsm
\ast j_{\nu_k}(\lambda_k, t)$, d.\,h. \\
$y(t) = (Q \ast f)(t) =
(j_{\nu_1}(\lambda_1, \cdot) \ast \dotsb
\ast j_{\nu_k}(\lambda_k, \cdot) \ast f)(t)$.

\emph{Beispiel}:
$\ddot{y}(t) - y(t) = f(t)$ \\
Hier ist $P(p) = (p - 1)(p + 1)$,
d.\,h. $\L^{-1}\left[\frac{1}{p+1}\right] = e^{-t} H(t)$ bzw.
$\L^{-1}\left[\frac{1}{p-1}\right] = e^t H(t)$. \\
Daraus folgt $Q(t) = (e^{-t} H(t)) \ast (e^t H(t)) =
\int_0^t e^{-\tau} e^{t - \tau} \d\tau = \sinh t$ für $t \ge 0$. \\
Also ist $y(t) = \int_0^t \sinh(t - \tau) f(\tau) \d\tau$.

\section{%
    Zum Langzeitverhalten autonomer Systeme%
}

Gegeben sei ein autonomes System
$\dot{\mathbbm{y}} = \mathbbm{v}(\mathbbm{y})$.
Man kann sich nun fragen, ob es konstante Lösungen gibt, d.\,h.
Lösungen $\mathbbm{y}(t) \equiv \const$.
In diesem Fall gilt $\dot{\mathbbm{y}} = 0 = \mathbbm{v}(\mathbbm{y})$.
Solche Punkte $\mathbbm{y}$ heißen \textbf{kritische Punkte}.

Es gibt dabei mehrere Möglichkeiten:
Das Geschwindigkeitsfeld kann so gebaut sein, dass die Lösung schon bei
kleinster Änderung aus dem kritischen Punkt divergiert (instabile Lösung).
Der umgekehrte Fall tritt ein, falls die Lösung in jedem Fall gegen den
kritischen Punkt konvergiert (stabile Lösung).
Natürlich gibt es auch Zwischenfälle, in denen das asymptotische Verhalten
vom Ausgangspunkt abhängt.

\emph{Beispiel}:
$\dot{\mathbbm{y}} = \begin{pmatrix}\dot{y}_1 \\ \dot{y}_2\end{pmatrix} =
A\mathbbm{y} = \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2\end{pmatrix}$ mit $\det A \not= 0$ \\
Hier gibt es zwei Eigenwerte $\lambda_1, \lambda_2 \not= 0$ mit zugehörigen
Eigenvektoren $\mathbbm{b}_1, \mathbbm{b}_2$.
Da die Matrix invertierbar ist, gibt es genau einen kritischen Punkt
$\mathbbm{y} = 0$.
Die allgemeine Lösung des Systems ist
$\mathbbm{y}(t) = \alpha_1 \mathbbm{b}_1 e^{\lambda_1 t} +
\alpha_2 \mathbbm{b}_2 e^{\lambda_2 t}$.
Nun entscheiden $\Re(\lambda_1)$ und $\Re(\lambda_2)$, welcher der obigen
Fälle eintrifft:
Für $\Re(\lambda_1), \Re(\lambda_2) > 0$ erhält man eine instabile,
für $\Re(\lambda_1), \Re(\lambda_2) < 0$ eine stabile Lösung.
Keine pauschale Aussage lässt sich bei verschiedenen Vorzeichen der Realteile
tref"|fen.

Allgemein geht man meistens so vor:
Man bestimmt zunächst die kritischen Punkte und verwendet dann in einer
Umgebung der Punkte lineare Approximationen (also lineare DGL), um etwas
über das asymptotische Verhalten auszusagen.

\pagebreak

\begin{landscape}
    \section{%
        \emph{Zusatz}:
        Übersicht über die behandelten Arten von DGLs%
    }

    \footnotesize
    \begin{tabular}{p{50mm}p{50mm}p{148mm}}
        \toprule

        \textbf{DGL} & \textbf{Typ} & \textbf{Lösungsweg} \\

        \midrule

        $y'(x) = h(y)g(x)$ &
        trennbare Veränderliche &
        $\int \frac{1}{h(y)} \dy = \int g(x) \dx + c$ \\

        \midrule

        $y'(x) = f(\frac{y}{x})$ &
        homogene DGL &
        Transformation $w = \frac{y}{x}$,
        $\int \frac{1}{f(w) - w} \dw = \ln |x| + c$ \\

        \midrule

        $a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = g(x)$ &
        lineare DGL 1. Ordnung &
        \underline{homogen}: $y_h(x)$ durch Trennung der Veränderlichen,
        \newline
        \underline{inhomogen}: $y_p(x)$ durch Variation der Konstanten,
        $y(x) := y_h(x) + y_p(x)$ \\

        \midrule

        $y'(x) + a(x)y(x) = b(x)y^n(x)$ &
        \name{Bernoulli}-DGL &
        für \underline{$n = 0, 1$} lineare DGL lösen, \newline
        für \underline{$n \ge 2$} Substitution $z(x) := y^{1-n}(x)$
        durchführen und lineare DGL lösen \\

        \midrule

        $y''(x) + a_1 y'(x) + a_0 y(x) = g(x)$ &
        lineare autonome DGL \newline
        2. Ordnung &
        \underline{homogen}:
        NS von $\lambda^2 + a_1 \lambda + a_0 = 0$ bestimmen,
        $y_h(x) := c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)$ mit
        $y_1(x) := e^{\lambda_1 x}$, $y_2(x) := e^{\lambda_2 x}$
        für $\lambda_1 \not= \lambda_2$ und
        $y_1(x) := e^{\lambda x}$, $y_2(x) := x e^{\lambda x}$
        für $\lambda_1 = \lambda_2 =: \lambda$,
        für reelle Lösungen und $\lambda_{1,2} = a \pm bi$ ist
        $y_1(x) := e^{ax} \sin(bx)$ und $y_2(x) := e^{ax} \cos(bx)$
        ein reelles Fundamentalsystem, \newline
        \underline{inhomogen}:
        Variation der Konstanten,
        $y_p(x) := c_1(x) y_1(x) + c_2(x) y_2(x)$ mit \newline
        $c_1'(x) y_1(x) + c_2'(x) y_2(x) = 0$ und
        $c_1'(x) y_1'(x) + c_2'(x) y_2'(x) = g(x)$ \\

        \midrule

        $y''(x) + a_1 y'(x) + a_0 y(x) =$ \newline
        $e^{qx} \cdot (\alpha_m x^m + \dotsb + \alpha_1 x + \alpha_0)$ &
        lineare autonome DGL \newline
        2. Ordnung mit Ansatzmethode &
        $y_p(x) := x^\ell e^{qx} \cdot
        (\beta_m x^m + \dotsb + \beta_1 x + \beta_0)$
        mit $\ell := 0$ für $q$ keine NS des char. Polynoms und
        $\ell := n$ für $q$ NS des char. Polynoms mit Vielfachheit $n$,
        danach in DGL einsetzen und Koef"|fizientenvergleich durchführen,
        um $\beta_0, \dotsc, \beta_m$ zu bestimmen \\

        \midrule

        $y^{(n)}(t) + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dotsb +$ \newline
        $a_0 y(t) = f(t)$ &
        lineare autonome DGL \newline
        $n$-ter Ordnung &
        \underline{homogen}:
        Bestimmung der Nullstellen $\lambda_j$ mit Vielfachheiten $\nu_j$,
        $j = 1, \dotsc, k$ des char. Polynoms \newline
        $P(\lambda) := \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \dotsb +
        a_1 \lambda + a_0$,
        $Y_j := \{e^{\lambda_j t}, t e^{\lambda_j t}, \dotsc,
        t^{\nu_j-1} e^{\lambda_j t}\}$, \newline
        allgemeine Lösung $y_h$ ist der Raum aufgespannt durch alle $Y_j$,
        $j = 1, \dotsc, k$, \newline
        \underline{inhomogen}:
        \name{Laplace}-Transformation, d.\,h.
        $\L[f](p) = \L[y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \dotsb + a_0 y](p)
        = P(p) \cdot \L[y](p)$ mit dem char. Polynom
        $P(p) = p^n + a_{n-1} p^{n-1} + \dotsb + a_0$, also
        $\L[y](p) = \frac{\L[f](p)}{P(p)}$ \\

        \midrule

        $y^{(n)}(t) + a_{n-1}(t) y^{(n-1)} + \dotsb +$ \newline
        $a_0(t) y(t) = f(t)$ &
        lineare DGL \newline
        $n$-ter Ordnung &
        äquivalent zu
        $\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t) + \mathbbm{f}(t)$,
        $\mathbbm{y}(t_0) = \mathbbm{c}$ mit
        $\mathbbm{y}(t) := (y(t), \dot{y}(t), \dotsc, y^{(n-1)}(t))$, \newline
        $\mathbbm{f}(t) := (0, \dotsc, 0, f(t))$,
        $c_1 = y(t_0)$, \dots, $c_n = y^{(n-1)}(t_0)$ \\

        \midrule

        $\dot{\mathbbm{y}}(t) = A \mathbbm{y}(t)$ &
        lineares autonomes DGS \newline
        (homogen) &
        $\mathbbm{y}(t) := e^{(t - t_0)A} \mathbbm{y}_0$, \newline
        \underline{$A$ diagonalisierbar}:
        $B^{-1} A B = \diag\{\lambda_1, \dotsc, \lambda_n\}$,
        $e^{(t - t_0)A} = B \cdot \diag\{e^{(t - t_0)\lambda_1}, \dotsc,
        e^{(t - t_0)\lambda_n}\} \cdot B^{-1}$, \newline
        \underline{allg. mit Jordanform}:
        $B^{-1} A B = J = \diag\{J_{\nu_1}(\lambda_1), \dotsc,
        J_{\nu_k}(\lambda_k)\}$,
        $e^{(t - t_0)A} =$ \newline
        $B \cdot \diag\{e^{(t - t_0)J_{\nu_1}(\lambda_1)},
        \dotsc, e^{(t - t_0)J_{\nu_k}(\lambda_k)}\} \cdot B^{-1}$,
        $e^{(t - t_0)J_\nu(\lambda)} =
        e^{(t - t_0)\lambda} \cdot e^{(t - t_0)T_\nu}$,
        $T_\nu := J_\nu(0)$ \\

        \midrule

        $\dot{\mathbbm{y}}(t) = A(t) \mathbbm{y}(t) + f(t)$ &
        lineares DGS &
        allgemeine Lösung $\mathbbm{y}_h$ des homogenen Systems bestimmen,
        $U(t, t_0) = (\mathbbm{y}_1(t), \dots, \mathbbm{y}_n(t))$
        bestimmen mit $\dot{\mathbbm{y}}_k(t) = A(t) \mathbbm{y}_k(t)$,
        $\mathbbm{y}_k(t_0) = e_k$
        (im Fall $A(t) \equiv A$ gilt $U(t, t_0) = e^{(t - t_0)A}$), \newline
        partikuläre Lösung $\mathbbm{y}_p(t) := U(t, t_0)\mathbbm{y}_0, +
        \int_{t_0}^t U(t, \tau)f(\tau) \d\tau$ bestimmen \\

        \bottomrule
    \end{tabular}
\end{landscape}

\pagebreak