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\chapter{%
Reelle Vektorräume%
}
\section{%
\texorpdfstring{Der $n$-dimensionale reelle Raum}%
{Der n-dimensionale reelle Raum}%
}
\begin{Def}{Vektorraum $\real^n$}
Sei $n \in \natural$.
Auf $\real^n$ ist eine \begriff{Addition} definiert durch \\
$(\alpha_1, \ldots, \alpha_n) + (\beta_1, \ldots, \beta_n)
= (\alpha_1 + \beta_1, \ldots, \alpha_n + \beta_n)$ und eine
\begriff{skalare Multiplikation} definiert durch
$\lambda (\alpha_1, \ldots, \alpha_n) =
(\lambda \alpha_1, \ldots, \lambda \alpha_n)$,
wobei $\alpha_i, \beta_i, \lambda \in \real$ für $i = 1, \ldots, n$.
\end{Def}
\begin{Satz}{Vektorraum-Axiome im $\real^n$}
Die Addition im $\real^n$ ist assoziativ, es gibt einen Nullvektor
$0 = (0, \ldots, 0)$ (neutrales Element), für jeden Vektor $v \in \real^n$
gibt es ein eindeutig bestimmtes additiv Inverses $-v \in \real^n$
und die Addition ist kommutativ. \\
$1 \in \real$ ist bzgl. der skalaren Multiplikation ein neutrales Element,
die skalare Multiplikation ist skalar assoziativ
($(\lambda \mu) v = \lambda (\mu v)$),
skalar distributiv ($\lambda (u + v) = \lambda u + \lambda v$) sowie
vektoriell distributiv ($(\lambda + \mu) v = \lambda v + \mu v$). \qquad
Außerdem gilt $0 \cdot v = 0$ sowie $(-1) \cdot v = -v$.
\end{Satz}
\section{%
Linearkombinationen und Unterräume%
}
\begin{Def}{skalare Vielfache}
Seien $V = \real^n$ und $v \in V$. \\
Man schreibt $\real v = \{\lambda v \;|\; \lambda \in \real\}$,
die Elemente von $\real v$ heißen \begriff{skalare Vielfache}.
\end{Def}
\begin{Def}{Linearkombination}
Seien $V = \real^n$ und $T \subseteq V$ mit $T \not= \emptyset$.
Eine \begriff{Linearkombination} von $T$ ist ein Ausdruck der Form
$\lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_k v_k$, wobei $v_i \in T$ und
$\lambda_i \in \real$ für $i = 1, \ldots, k$ ist.
\end{Def}
\begin{Def}{linearer Aufspann}
Seien $V = \real^n$ und $T \subseteq V$ mit $T \not= \emptyset$.
Die Menge aller Linearkombinationen von $T$ heißt
\begriff{linearer Aufspann} und wird mit $\aufspann{T}$ bezeichnet. \\
Also ist $\aufspann{T} = \left\{\left. \sum_{i=1}^k \lambda_i v_i
\;\right|\; v_i \in T,\; \lambda_i \in \real,\;
i = 1, \ldots, k \right\}$ \\
$= \left\{\left. \sum_{t \in T} \lambda_t t
\;\right|\; \lambda_t \in \real,\;
\lambda_t = 0 \text{ f"ur fast alle } t \in T \right\}$. \qquad
Es ist $\aufspann{\{v_1, \ldots, v_j\}} = \aufspann{v_1, \ldots, v_j}$.
\end{Def}
\begin{Satz}{Aufspann einer Teilmenge ist abgeschlossen}
Sei $T \subseteq \real^n$ mit $T \not= \emptyset$ sowie
$U = \aufspann{T}$. \\
Dann gilt $u + v \in U$ und $\lambda v \in U$ für $u, v \in U$.
Die Teilmenge $U$ ist also abgeschlossen bzgl. Addition und skalarer
Multiplikation.
\end{Satz}
\begin{Def}{reeller Vektorraum}
Ein \begriff{reeller Vektorraum} ($\real$-Vektorraum) ist eine Menge $V$,
für die zwei Abbildungen
$\boldsymbol{+}: V \times V \rightarrow V$, $(u, v) \mapsto u + v$ sowie
$\boldsymbol{\cdot}: \real \times V \rightarrow V$,
$(\lambda, v) \mapsto \lambda \cdot v$ definiert sind.
Dabei bildet $V$ mit der Addition eine abelsche Gruppe und
die skalare Multiplikation besitzt das neutrale Element $1 \in \real$
($1 \cdot v = v$), ist skalar assoziativ sowie skalar und vektoriell
distributiv über der Vektoraddition.
\end{Def}
\begin{Kor}
Nullvektor und additiv inverse Elemente sind eindeutig. \\
Es gilt $0 \cdot v = 0$, \quad
$\alpha \cdot 0 = 0$ \quad und \quad
$(-1) \cdot v = -v$.
\end{Kor}
\section{%
\emph{Zusätzliches}: Polynome%
}
\begin{Def}{Polynom}
Sei $K$ ein Körper. \\
$K[x]$ ist die Menge der Ausdrücke der Form
$f(x) = \sum_{i=0}^n \alpha_i x^i$ ($n \in \natural_0$,
$\alpha_i \in K$). \\
$f(x)$ heißt \begriff{Polynom} vom Grad $n = \deg f$ ($a_n \not= 0$).
Für $f = 0$ ist $\deg f = -1$. \\
Eine \begriff{polynomiale Funktion} ist eine Funktion
$f: K \rightarrow K$, $f(x) = \sum_{i = 0}^n \alpha_i x^i$.
\end{Def}
\pagebreak