02_loesungen_von_linearen_systemen.tex

\chapter{%
    Lösungen von linearen Systemen%
}

\section{%
    Diagonalisierbare Matrizen%
}

Die Zustandsraum-Darstellung eines dynamischen Systems ohne Ein- und Ausgang ist
$\dot{x} = f(x)$ mit $f\colon X \rightarrow \real^n$, $X \subset \real^n$.
Das System ist linear, falls $f$ eine lineare Abbildung ist.
Daher wird ein lineares, autonomes System beschrieben durch $\dot{x} = Ax$ mit
$A \in \real^{n \times n}$.
Lösungen solcher Systeme sind durch Methoden der linearen Algebra vollständig bekannt.

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\textbf{diagonale Matrix}:
Für $A = \diag(\lambda_1, \dotsc, \lambda_n)$ mit $\lambda_k \in \real$, $k = 1, \dotsc, n$,
ist das System äquivalent zu $\dot{x}_1 = \lambda_1 x_1$, \dots, $\dot{x}_n = \lambda_n x_n$.
Jede Gleichung dieses vollkommen entkoppelten Systems kann separat gelöst werden.
Als Lösungen erhält man $x_k(t) = e^{\lambda_k t} \xi_k$, $\xi_k \in \real$, für
$k = 1, \dotsc, n$.
Kompakter lässt sich das schreiben als
$x(t) = \smallpmatrix{e^{\lambda_1 t} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & e^{\lambda_n t}} \xi$ mit
$\xi = \smallpmatrix{\xi_1 \\ \vdots \\ \xi_n}$, wobei $x(0) = \xi$ gilt.

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Für $A$ nicht diagonal muss man eine Koordinatentransformation durchführen.

\textbf{Zustandskoordinaten-Transformation}:
Jede invertierbare Matrix $T \in \real^{n \times n}$ definiert eine
\begriff{Zustandskoordinaten-Transformation (state-coordinate transformation)} $z = Tx$.

Wenn $x(t)$ die Gleichung $\dot{x}(t) = Ax(t)$ erfüllt, dann gilt mit $z(t) := Tx(t)$, dass\\
$\dot{z}(t) = T\dot{x}(t) = TAx(t) = TAT^{-1} Tx(t) = \widetilde{A} z(t)$,
wobei in den neuen Koordinaten das System durch $\widetilde{A} := TAT^{-1}$ beschrieben wird.
Umgekehrt erfüllt $x(t) := T^{-1} z(t)$ die DGL $\dot{x}(t) = Ax(t)$, falls
$z(t)$ die DGL $\widetilde{z}(t) = \widetilde{A} z(t)$ erfüllt.

Die Lösungsmenge von $\dot{z} = \widetilde{A} z$ transformiert sich also linear durch $T^{-1}$
in die Lösungsmenge von $\dot{x} = Ax$.

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Oft ist $A$ zwar nicht diagonal, dafür aber diagonalisierbar.

\textbf{Satz (Lösung von $\dot{x} = Ax$ für $A$ diagonalisierbar)}:\\
Sei $T \in \real^{n \times n}$, sodass
$TAT^{-1} = \diag(\lambda_1, \dotsc, \lambda_n)$
mit $\lambda_1, \dotsc, \lambda_n \in \real$.
Dann ist die eindeutige Lösung von $\dot{x} = Ax$, $x(0) = \xi$, gegeben durch
$x(t) := \left[T^{-1} \diag(e^{\lambda_1 t}, \dotsc, e^{\lambda_n t}) T\right] \xi$.

Jede Komponente einer Lösung $x$ von $\dot{x} = Ax$ ist eine
Linearkombination von $e^{\lambda_k t}$, $k = 1, \dotsc, n$.
Genauer: Wenn $\xi$ gleich einer der Spalten $c_k$ von $S := T^{-1}$ ist,
dann ist $x(t) = c_k e^{\lambda_k t}$,
da
$Se_k = c_k$ und
$S \diag(e^{\lambda_1 t}, \dotsc, e^{\lambda_n t}) (S^{-1} c_k) =
S (\diag(e^{\lambda_1 t}, \dotsc, e^{\lambda_n t}) e_k) = S (e^{\lambda_k t} e_k) =
c_k e^{\lambda_k t}$.\\
Alle anderen Lösungen sind wegen Linearität Linearkombinationen dieser $n$ Lösungen:\\
$[S \diag(e^{\lambda_1 t}, \dotsc, e^{\lambda_n t}) S^{-1}] (\sum_{k=1}^n \mu_k c_k)
= \sum_{k=1}^n \mu_k c_k e^{\lambda_k t}$.

\textbf{Beispiel}:
Beim linearisierten inversen Federpendel bekommt man im oberen Gleichgewicht die Matrix
$A = \smallpmatrix{0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 3.92 & -2 & -0.32 \\ 0 & 22.1 & -3.23 & -1.82}$.
Man erhält Matrizen
$S = \smallpmatrix{1 & -0.03 & -0.04 & 0.58 \\ 0 & -0.26 & -0.16 & -0.11 \\
0 & -0.12 & 0.22 & -0.79 \\ 0 & -0.96 & 0.96 & 0.16}$ und\\
$\Lambda = \diag(0, 3.72, -6.16, -1.38)$ mit $\Lambda = S^{-1} AS$.
Die Lösung divergiert nicht bestimmt genau dann, wenn
$\xi \in \left\{S \left.\smallpmatrix{\widetilde{\xi}_1 \\ 0 \\
\widetilde{\xi}_3 \\ \widetilde{\xi}_4} \;\right|\;
\widetilde{\xi}_1, \widetilde{\xi}_3, \widetilde{\xi}_4 \in \real\right\}$.

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\linie
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\textbf{komplexe Transformationen und Diagonalmatrizen}:
Für die Linearisierung im unteren Gleichgewicht sind die Matrizen
$T = \smallpmatrix{r_1 \\ r_2 \\ r_3 \\ r_4}$,
$S = \smallpmatrix{c_1 & c_2 & c_3 & c_4}$ und
$\Lambda = \diag(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4)$ komplex.
Dennoch stimmt obiger Satz, denn Eigenwerte von reellen Matrizen treten immer komplex konjugiert
auf.
Hier ist z.\,B. $\lambda_2 = \overline{\lambda_3}$, $c_2 = \overline{c_3}$ und
$r_2 = \overline{r_3}$.
Daher ist\\
$\left[T^{-1} \diag(e^{\lambda_1 t}, e^{\lambda_2 t}, e^{\lambda_3 t}, e^{\lambda_4 t}) T\right]
= \smallpmatrix{c_1 e^{\lambda_1 t} & c_2 e^{\lambda_2 t} &
\overline{c_2} e^{\overline{\lambda_2} t} & c_4 e^{\lambda_4 t}}
\smallpmatrix{r_1 \\ r_2 \\ \overline{r_2} \\ r_4}$\\
$= e^{\lambda_1 t} c_1 r_1 + e^{\lambda_2 t} c_2 r_2 +
e^{\overline{\lambda_2} t} \overline{c_2} \overline{r_2} + e^{\lambda_4 t} c_4 r_4
= e^{\lambda_1 t} c_1 r_1 + 2 \Re\!\left[e^{\lambda_2 t} c_2 r_2\right] + e^{\lambda_4 t} c_4 r_4$
immer eine reelle Matrix.
Dementsprechend ist die Lösung für den Anfangswert $\xi \in \real^4$ gleich\\
$e^{\lambda_1 t} c_1 (r_1 \xi) + 2 \Re\!\left[e^{\lambda_2 t} c_2 (r_2 \xi)\right] +
e^{\lambda_4 t} c_4 (r_4 \xi)$.

Das lässt sich noch etwas vereinfachen:
Für $\lambda = \sigma + \iu \omega \in \complex$ ($\sigma, \omega \in \real$) gilt\\
$e^{\lambda t} = e^{\sigma t}[\cos(\omega t) + \iu \sin(\omega t)]$.
Wenn also $c$ und $r$ komplexe Spalten- bzw. Zeilenvektoren sind, dann ist
$cr = [\Re(c) + \iu \Im(c)] [\Re(r) + \iu \Im(r)] = M + \iu N$ mit
$M := [\Re(c) \Re(r) - \Im(c) \Im(r)]$ und $N := [\Re(c) \Im(r) + \Im(c) \Re(r)]$.\\
Das führt zur expliziten Formel
$\Re\!\left[e^{\lambda t} c r\right] = e^{\sigma t} [\cos(\omega t) M - \sin(\omega t) N]$.\\
Die Komponenten von $\Re\!\left[e^{\lambda t} c r\right] \xi$ sind also
gleichbleibende ($\sigma = 0$),
wachsende ($\sigma > 0$) oder
kleiner werdende ($\sigma < 0$) Oszillationen.

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Bei der Diagonalisierung einer Matrix $A \in \real^{n \times n}$ bestimmt man für jeden
Eigenwert $\lambda$ eine Basis des zugehörigen Eigenraums $\Kern(A - \lambda I)$.
Die Basen aller Eigenräume fasst man zu $v_1, \dotsc, v_g$ zusammen,
diese Menge ist automatisch linear unabhängig und daher $g \le n$.

\textbf{Satz (Diagonalisierbarkeitskriterium)}:
Seien $v_1, \dotsc, v_g$ linear unabhängige Eigenvektoren zu Eigenwerten
$\lambda_1, \dotsc, \lambda_g$ der Matrix $A \in \real^{n \times n}$,
sodass keine größere Liste linear unabhängiger Eigenvektoren existiert.
Dann ist $A$ diagonalisierbar genau dann, wenn $g = n$.
In diesem Fall ist $S^{-1} A S = \diag(\lambda_1, \dotsc, \lambda_n)$ mit
$S = \smallpmatrix{v_1 & \dots & v_n}$.

\textbf{Modi, Modusformen}:
Die Eigenwerte von $A$ heißen \begriff{Modi (modes)} des Systems $\dot{x} = Ax$.
Die zugehörigen Eigenvektoren heißen \begriff{Modusformen (mode-shapes)}.

\section{%
    Nicht-diagonalisierbare Matrizen%
}

\textbf{Matrixexponential}:
Seien $A \in \real^{n \times n}$ und $t \in \real$.\\
Dann ist $e^{At} := \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} (At)^k$ das \begriff{Matrixexponential}
von $At$.

\textbf{Satz (Matrixexponential)}:
\begin{enumerate}
    \item
    Die Reihe $e^{At}$ konvergiert gleichmäßig auf $[-T, T]$ für jedes $T > 0$.\\
    Daher ist $t \mapsto e^{At}$ eine wohldefinierte, analytische Funktion auf $\real$.

    \item
    Es gilt $e^{A0} = I$, $e^{A(t + \tau)} = e^{At} e^{A\tau}$ und daher $e^{-At} = [e^{At}]^{-1}$.

    \item
    Es gilt $\frac{d}{dt} e^{At} = A e^{At} = e^{At} A$.

    \item
    Es gilt $e^{S^{-1} (At) S} = S^{-1} e^{At} S$.
\end{enumerate}

\textbf{diagonalisierbare Matrizen}:
Gilt $A = T^{-1} \Lambda T$, so ist
$e^{At} = T^{-1} \diag(e^{\lambda_1 t}, \dotsc, e^{\lambda_n t}) T$.

\textbf{Satz (Lösung von $\dot{x} = Ax$)}:
Für $A \in \real^{n \times n}$ ist die eindeutige Lösung von $\dot{x} = Ax$, $x(0) = \xi$
gegeben durch $x(t) = e^{At} \xi$
(für $x(\tau) = \xi$ durch $x(t) = e^{A(t - \tau)} \xi$).

\textbf{Beispiel}:
Den \begriff{Doppelintegrator (double integrator)} $\ddot{q} = u$ kann man durch
$\dot{x} = Ax + Bu$ mit Matrizen $A = \smallpmatrix{0 & 1 \\ 0 & 0}$ und
$B = \smallpmatrix{0 \\ 1}$ in die Zustandsraum-Darstellung bringen.
Es gilt $(At)^2 = 0$, somit also $e^{At} = I + (At) = \smallpmatrix{1 & t \\ 0 & 1}$.
Die Lösungen von $\dot{x} = Ax$ sind daher
$x(t) = e^{At} \xi = \smallpmatrix{\xi_1 + t \xi_2 \\ \xi_2}$.

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\textbf{Satz (\name{Jordan}-Normalform)}:
Sei $A \in \complex^{n \times n}$.
\begin{enumerate}
    \item
    Es gibt eine invertierbare Matrix $S \in \complex^{n \times n}$ mit
    $S^{-1} A S = J$
    mit der \begriff{\name{Jordan}-Normalform}
    $J := \smallpmatrix{J_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & J_g}$, wobei
    $J_\ell := \smallpmatrix{\lambda_\ell & 1 & & 0 \\ & \ddots & \ddots & \\
    & & \lambda_\ell & 1 \\ 0 & & & \lambda_\ell}$ die
    \begriff{\name{Jordan}-Blöcke} sind.

    \item
    Bis auf Permutation der Jordan-Blöcke ist die Jordan-Normalform eindeutig bestimmt.

    \item
    $\lambda_1, \dotsc, \lambda_g$ sind die nicht notwendigerweise verschiedenen
    Eigenwerte von $A$.

    \item
    Es gibt genau $g$ linear unabhängige Eigenvektoren von $A$.

    \item
    $A$ ist diagonalisierbar genau dann, wenn alle Jordan-Blöcke Dimension $1$ haben.
\end{enumerate}

\textbf{Beispiel}:
Für $A = \smallpmatrix{1 & 7 & 7 & -8 & 6 \\ 1 & 5 & 5 & -5 & 5 \\ 1 & 0 & 2 & -1 & 1 \\
0 & 3 & 3 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & -5 & 5 & -4}$ ist
$J = \smallpmatrix{-1 & 1 & & & 0 \\ 0 & -1 & & & \\ & & 1 & 1 & \\ & & 0 & 1 & \\ 0 & & & & 1}$
mit einer bestimmten Matrix $S$.
Die erste, dritte und fünfte Spalte von $S$ sind linear unabhängige Eigenvektoren von $A$
für die Eigenwerte $-1$, $1$ und $1$.
Die anderen Spalten sind \begriff{verallgemeinerte Eigenvektoren},
d.\,h. in $\Kern((A - \lambda I)^\nu)$ für $\lambda \in \Eig(A)$ und $\nu \ge 2$.

\textbf{JNF in MATLAB}:
In MATLAB kann man die Jordan-Normalform mit \code{[S, J] = jordan(A)} berechnen.
Allerdings wird dies nicht für numerische Berechnungen empfohlen, da die Funktion
numerisch unzuverlässig ist.
Stattdessen soll die \begriff{\name{Schur}-Zerlegung} verwendet werden
(unitäre Ähnlichkeitstransformation auf obere Dreiecksmatrix, wenn das charakteristische Polynom
in Linearfaktoren zerfällt).

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\textbf{Satz (Berechnung von $e^{At}$ mit der JNF)}:
Sei $A = SJS^{-1}$ mit $J$ der JNF von $A$.\\
Dann gilt $e^{At} = S e^{Jt} S^{-1} = S \diag(e^{J_1 t}, \dotsc, e^{J_g t}) S^{-1}$, wobei
\begin{align*}
    e^{J_\ell t} = e^{\lambda_\ell t}
    \begin{pmatrix}
        1 & t & \frac{t^2}{2!} & \dots & \frac{t^{d-2}}{(d-2)!} & \frac{t^{d-1}}{(d-1)!} \\
        & 1 & t & \dotsb & \frac{t^{d-3}}{(d-3)!} & \frac{t^{d-2}}{(d-2)!} \\
        & & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
        & & & 1 & t & \frac{t^2}{2!} \\
        & & & & 1 & t \\
        0 & & & & & 1
    \end{pmatrix},\quad
    \ell = 1, \dotsc, g,
\end{align*}
wenn $J_\ell$ die Dimension $d$ besitzt.

\textbf{komplexe Eigenwerte}:
Für $S = \smallpmatrix{C_1 & \dots & C_g}$ und $T = \smallpmatrix{R_1 \\ \vdots \\ R_g}$
(Aufteilung wie bei $J$)
gilt $e^{At} = C_1 e^{J_1 t} R_1 + \dotsb + C_g e^{J_g t} R_g$.
Wenn $\lambda_k$ reell ist, dann sind $C_k$ und $R_k$ auch reell.
Wenn $\lambda_k$ dagegen komplex ist, dann gibt es ein $\ell$ mit
$\lambda_k = \overline{\lambda_\ell}$ sowie $C_k = \overline{C_\ell}$ und
$R_k = \overline{R_\ell}$.
Für $\lambda_1 = \overline{\lambda_2}$
addieren sich beispielsweise
$C_1 e^{J_1 t} R_1$ und $\overline{C_1} e^{\overline{J_1} t} \overline{R_1}$
in der Formel von eben zu $2\Re[C_1 e^{J_1 t} R_1]$.

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\section{%
    Stabilität linearer Systeme%
}

Die folgenden beiden Stabilitätsbegrif"|fe sind global, weil die Bedingung
jeweils für alle Anfangswerte gelten muss.

\textbf{asymptotische Stabilität}:
Das lineare System $\dot{x} = Ax$ bzw. das Gleichgewicht $0$ heißt
\begriff{(global) asymptotisch stabil}, falls
alle Lösungen $\lim_{t \to \infty} x(t) = 0$ erfüllen.

Asymptotische Stabilität heißt anders ausgedrückt,
dass $\lim_{t \to \infty} e^{At} = 0$.

\textbf{\name{Hurwitz}-Matrix}:\\
Eine \begriff{\name{Hurwitz}-Matrix} ist eine Matrix, deren Eigenwerte alle negative Realteile
besitzen.

\textbf{Satz (asymptotische Stabilität)}:\\
Das System $\dot{x} = Ax$ ist asymptotisch stabil genau dann,
wenn $A$ eine Hurwitz-Matrix ist.

\textbf{Lemma}:
$A \in \real^{2 \times 2}$ ist eine Hurwitz-Matrix genau dann, wenn $\det(A) > 0$ und
$\trace(A) < 0$.

\linie

\textbf{\name{Lyapunov}-Stabilität}:
Das lineare System $\dot{x} = Ax$ heißt \begriff{(global) \name{Lyapunov}-stabil},
falls jede Lösung $x(t)$ für $t \to \infty$ beschränkt bleibt.

Lyapunov-Stabilität heißt anders ausgedrückt,
dass $e^{At}$ für $t \to \infty$ beschränkt bleibt.

\textbf{Satz (\name{Lyapunov}-Stabilität)}:
Das System $\dot{x} = Ax$ ist Lyapunov-stabil genau dann, wenn
alle Eigenwerte von $A$ einen nicht-positiven Realteil und
alle Jordan-Blöcke zu Eigenwerten mit Realteil $0$ die Dimension $1$ besitzen.

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\section{%
    Stabilität nicht-linearer Systeme (\name{Lyapunov}-Funktionen)%
}

Im Folgenden betrachtet man das System $\dot{x} = f(x)$ mit $f \in \C^1(G, \real^n)$
für eine of"|fene Menge $G \subset \real^n$.
$\varphi(\cdot, \xi)$ sei die Lösung des Anfangswertproblems mit $x(0) = \xi \in G$.
Man nennt $\varphi$ auch den \begriff{Fluss (flow)} der DGL.

\textbf{Stabilität nicht-linearer Systeme}:
Ein Gleichgewicht $x_e \in G$ von $\dot{x} = f(x)$ heißt
\begin{enumerate}
    \item
    \begriff{stabil}, falls
    $\forall_{\varepsilon > 0} \exists_{\delta > 0}
    \forall_{\xi \in G,\; \norm{\xi - x_e} \le \delta} \forall_ {t \ge 0}\;
    \norm{\varphi(t, \xi) - x_e} \le \varepsilon$,

    \item
    \begriff{instabil}, falls es nicht stabil ist,

    \item
    \begriff{attraktiv}, falls
    $\exists_{\delta > 0} \forall_{\xi \in G,\; \norm{\xi - x_e} \le \delta}\;
    \lim_{t \to \infty} \varphi(t, \xi) = x_e$, und

    \item
    \begriff{asymptotisch stabil}, falls es stabil und attraktiv ist.
\end{enumerate}

Alle Begrif"|fe sind lokal, d.\,h. die Kriterien gelten nur für bestimmte Anfangsbedingungen.
Stabilität und Attraktivität sind voneinander unabhängige Eigenschaften.

\linie

\textbf{\name{Lyapunov}-Funktion}:
Eine Funktion $V \in \C^1(G, \real)$ heißt
\begriff{\name{Lyapunov}-Funktion} für die nicht-linea"-re DGL $\dot{x} = f(x)$, falls
$\forall_{x \in G}\; \dot{V}(x) := \partial_x V(x) \cdot f(x) \le 0$.

Ist $x(\cdot)$ eine Trajektorie der nicht-linearen DGL in $G$, so gilt für alle $t$\\
$\frac{d}{dt} V(x(t)) = \partial_x V(x(t)) \cdot \dot{x}(t)
= \partial_x V(x(t)) \cdot f(x(t)) = \dot{V}(x(t)) \le 0$.
Daher ist $t \mapsto V(x(t))$ für jede Lösung $x(\cdot)$ der DGL monoton fallend.
Deswegen kann man $V$ als ein Potential betrachten,
sodass Trajektorien zu den Punkten konvergieren, in denen $V$ minimal ist.

\linie

\textbf{Satz (direkte Methode von \name{Lyapunov})}:\\
Sei $V$ eine Lyapunov-Funktion für $\dot{x} = f(x)$ und $x_e \in G$ ein Gleichgewicht.
\begin{enumerate}
    \item
    Wenn $\forall_{x \in G \setminus \{x_e\}}\; V(x) > V(x_e)$,
    dann ist $x_e$ stabil.

    \item
    Wenn $\forall_{x \in G \setminus \{x_e\}}\; V(x) > V(x_e) \;\land\; \dot{V}(x) < 0$,
    dann ist $x_e$ asymptotisch stabil.
\end{enumerate}

Man kann ohne Einschränkung annehmen, dass $V(x_e) = 0$ (durch Verschiebung von $V$).
In der Praxis wird oft eine Lyapunov-Funktion gesucht, um die Stabilität eines Gleichgewichts
zu sichern.
Allerdings ist dies schwierig und die Stabilitätseigenschaften gelten dann auch nur lokal.
Zur Vereinfachung wird $G$ meist als eine of"|fene Kugel um $x_e$ gewählt.

\textbf{Beispiel}:
Beim gedämpften Federpendel ohne Eingang ist
$\smallpmatrix{\dot{x}_1 \\ \dot{x}_2} =
\smallpmatrix{x_2 \\ -\frac{k}{m} x_1 - \frac{1}{m} c(x_2)}
=: f(x_1, x_2)$ mit $c(\cdot) \in \C^1(\real, \real)$.
Sei $c$ so gewählt, dass $c(x_2) = 0 \iff x_2 = 0$,
d.\,h. $x_e = (0, 0)$ ist das eindeutige Gleichgewicht.
Definiere $V(x_1, x_2) := \frac{1}{2} kx_1^2 + \frac{1}{2} mx_2^2$
(Gesamtenergie bestehend aus der Federenergie und der kinetischen Energie).
Es gilt $\dot{V}(x) = \partial_x V(x) \cdot f(x) = -x_2 c(x_2)$.
$V$ ist also eine Lyapunov-Funktion,
wenn man annimmt, dass $x_2 c(x_2) \ge 0$ für alle $x_2 \in \real$.
Außerdem gilt $V(x) > V(0) = 0$ für alle $x \not= 0$.
Somit ist $x_e = 0$ nach dem ersten Teil des Satzes stabil.\\
Den zweiten Teil des Satzes kann man nicht anwenden, da $\dot{V}(x) = 0 \iff x_2 = 0$.

\linie

\textbf{Satz (Invarianzprinzip von \name{LaSalle})}:\\
Sei $V$ eine Lyapunov-Funktion für $\dot{x} = f(x)$ und $x_e \in G$ ein Gleichgewicht.
Außerdem gelte
\begin{enumerate}
    \item
    $\forall_{x \in G \setminus \{x_e\}}\; V(x) > V(x_e)$ und

    \item
    $\forall_{\xi \in G}\;
    ([\forall_{t \in (t_-, t_+)}\; \dot{V}(\varphi(t, \xi)) = 0] \;\Rightarrow\;
    \xi = x_e)$.
\end{enumerate}
Dann ist $x_e$ asymptotisch stabil.

Gilt $\forall_{x \in G \setminus \{x_e\}}\; \dot{V}(x) < 0$ wie im obigen Satz,
so gilt Bedingung \emph{(2)} des Invarianzprinzips, da für $\xi \in G$ mit
$\dot{V}(\varphi(t, \xi)) = 0$ für alle $t \in (t_-, t_+)$ gilt, dass
$\dot{V}(\varphi(0, \xi)) = \dot{V}(\xi) = 0$, also $\xi = x_e$.

\linie
\pagebreak

\textbf{Beispiel}:
Im obigen Beispiel gilt für $\xi \in \real^2$ mit
$\forall_{t \in (t_-, t_+)}\; \dot{V}(\varphi(t, \xi)) = 0$ und $x(t) := \varphi(t, \xi)$, dass
$-x_2(t) c(x_2(t)) \equiv 0$, also $x_2(t) \equiv 0$.
Insbesondere gilt $\dot{x}_2(t) \equiv 0$.
Aus der DGL ergibt sich damit $x_1(t) \equiv 0$.
Man erhält also $\varphi(t, \xi) \equiv 0$, d.\,h. $\xi = x_e = 0$.
Daher ist $x_e$ asymptotisch stabil.

\linie

\textbf{Satz (Abschätzung des Attraktivitätsgebiets)}:\\
Sei $V$ eine Lyapunov-Funktion für $\dot{x} = f(x)$ und $x_e \in G$ ein Gleichgewicht.
Außerdem gelte
\begin{enumerate}
    \item
    $M := \{x \in G \;|\; V(x) \le \alpha\}$ kompakt in $\real^n$ für ein $\alpha \in \real$ und

    \item
    $\forall_{\xi \in M}\;
    ([\forall_{t \in (t_-, t_+)}\; \dot{V}(\varphi(t, \xi)) = 0] \;\Rightarrow\;
    \xi = x_e)$.
\end{enumerate}
Dann gilt $\forall_{\xi \in M}\; \lim_{t \to \infty} \varphi(t, \xi) = x_e$.

Die \begriff{Unterniveaumenge (sublevel-set)} $M$ enthält Punkte, die durch $x_e$ angezogen werden.
Mit anderen Worten ist $M$ eine Teilmenge des Attraktivitätsgebiets, d.\,h. von\\
$\{\xi \in G \;|\; \lim_{t \to \infty} \varphi(t, \xi) = x_e\}$.
$M$ kann groß sein und die Stabilität von $x_e$ wird nicht vorausgesetzt oder behauptet.

\linie

\textbf{Satz (globale Attraktivität)}:\\
Sei $V$ eine Lyapunov-Funktion für $\dot{x} = f(x)$ und $x_e \in G$ ein Gleichgewicht.
Außerdem gelte
\begin{enumerate}
    \item
    $\forall_{(x_\nu)_{\nu \in \natural},\; x_\nu \in G}\;
    \left(\left[x_\nu \to x \in \partial G \;\lor\; \norm{x_\nu} \to \infty\right] \;\Rightarrow\;
    V(x_\nu) \xrightarrow{\nu \to \infty} \infty\right)$ und

    \item
    $\forall_{\xi \in G}\;
    ([\forall_{t \in (t_-, t_+)}\; \dot{V}(\varphi(t, \xi)) = 0] \;\Rightarrow\;
    \xi = x_e)$.
\end{enumerate}
Dann gilt $\forall_{\xi \in G}\; \lim_{t \to \infty} \varphi(t, \xi) = x_e$.

Wenn $G = \real^n$ ist, dann ist die erste Bedingung äquivalent zu $V(x) \to \infty$
für $\norm{x} \to \infty$.
Solche Lyapunov-Funktionen heißen \begriff{radial unbeschränkt}.

\linie

Die Linearisierung von $\dot{x} = f(x)$ um $x_e$ ist gegeben durch
$\dot{x}_\Delta = Ax_\Delta$ mit $A = \partial_x f(x_e)$.
Man hofft, dass $x(t) = x_e + x_\Delta(t)$, d.\,h. eine Lösung des linearen Systems führt
zu einer guten Approximation der Lösung des nicht-linearen Systems.

\textbf{Satz (indirekte Methode von \name{Lyapunov})}:
Sei $\partial_x f(x_e)$ eine Hurwitz-Matrix.\\
Dann ist $x_e$ ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht von $\dot{x} = f(x)$.

(Globale) asymptotische Stabilität der Linearisierung führt also zu (lokaler) asymptotischer
Stabilität des nicht-linearen Systems um den Punkt der Linearisierung.
Die Umkehrung gilt nicht
(nur bei exponentiell-asymptotischer Stabilität).

\textbf{Beispiel}:
Im obigen Beispiel ist $\dot{x} = f(x) :=
\smallpmatrix{x_2 \\ -\frac{k}{m} x_1 - \frac{1}{m} c(x_2)}$.
Es gilt
$\partial_x f(x) = \smallpmatrix{0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{1}{m} c'(x_2)}$,
also ist $\dot{x}_\Delta = Ax_\Delta$ mit
$A := \smallpmatrix{0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{1}{m} c'(0)}$
die Linearisierung um $x_e = 0$.
Diese Matrix ist eine Hurwitz-Matrix genau dann, wenn $c'(0) > 0$
(nämlich $\det(A) > 0$ und $\trace(A) < 0$).
Somit ist $x_e = 0$ ein (lokal) asymptotisch stabiles Gleichgewicht von $\dot{x} = f(x)$,
wenn $c'(0) > 0$.
Allerdings wurde vorhin mit dem Invarianzprinzip von LaSalle
schon asymptotische Stabilität auch für $c'(0) = 0$ gezeigt (wenn $x_2 c(x_2) \ge 0$ gilt).
Man erkennt also, dass die Linearisierung auch nicht asymptotisch stabil sein kann,
obwohl die nicht-lineare DGL asymptotisch stabil ist.

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\section{%
    Verhalten linearer Systeme%
}

Im Folgenden werden wieder lineare Systeme $\dot{x} = Ax + Bu$, $y = Cx + Du$ betrachtet
mit $A \in \real^{n \times n}$, $B \in \real^{n \times m}$, $C \in \real^{k \times n}$ und
$D \in \real^{k \times m}$.

\textbf{Satz (explizite Lösung linearer Systeme)}:
Für den Eingang $u \in \C([a, b], \real^m)$ und die Anfangsbedingung $x(\tau) = \xi \in \real^n$,
$\tau \in [a, b]$, ist die eindeutige Lösung gegeben durch\\
$x(t) = e^{A(t - \tau)} \xi + \int_\tau^t e^{A(t - s)} Bu(s) \ds$
und der Ausgang daher durch\\
$y(t) = Ce^{A(t - \tau)} \xi + \int_\tau^t [Ce^{A(t - s)} B]u(s) \ds + Du(t)$.

Die Lösung kann man durch \begriff{Variation der Konstanten} herleiten:
Mit dem Ansatz $x(t) = e^{At} z(t)$ mit geeignetem $z(t)$
erhält man $\dot{x}(t) = A e^{At} z(t) + e^{At} \dot{z}(t) = Ax(t) + e^{At} \dot{z}(t)$.
Dies ist gleich $Ax(t) + Bu(t)$ genau dann, wenn $e^{At} \dot{z}(t) = Bu(t) \iff
\dot{z}(s) = e^{-As} Bu(s)$.
Integration führt zu $z(t) = c + \int_\tau^t e^{-As} Bu(s) \ds$ mit einem konstanten Vektor $c$,
der durch $\xi = x(\tau) = e^{A\tau} z(\tau) = e^{A\tau} c$ bestimmt ist als
$c = e^{-A\tau} \xi$.
Einsetzen von $c$ in $z(t)$ und Berechnung von $x(t) = e^{At} z(t)$ ergibt die Formel.

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Im Folgenden wird oBdA $\tau = 0$ angenommen.

\textbf{Herleitung der Antwort auf konstanten Eingang}:\\
Für einen konstanten Eingang $u(t) \equiv u_e$ gilt\\
$x(t) = e^{At} \xi + \int_0^t e^{A(t - s)} B u_e \ds =
e^{At} \xi + \left(\int_0^t e^{A\varrho} d\varrho\right) B u_e$ mit $\varrho = t - s$.
Ist $A$ eine Hurwitz-Matrix, so ist $A$ invertierbar und es gilt
$\int_0^t e^{A\varrho} d\varrho = \int_0^t \frac{d}{d\varrho} e^{A\varrho} A^{-1} d\varrho
= e^{At} A^{-1} - A^{-1}$.
Damit kann man die Zustandsgröße schreiben als
$x(t) = e^{At} [\xi + A^{-1} B u_e] - A^{-1} B u_e$.
Für $t \to \infty$ gilt $e^{At} \to 0$ und somit
$x(t) \to x_e := -A^{-1} B u_e$
(wenn $A$ eine Hurwitz-Matrix ist).
Der Zustand konvergiert also in diesem Fall zum eindeutigen Gleichgewicht
(d.\,h. zur Lösung von $Ax_e + Bu_e = 0$).

\textbf{Antwort auf konstanten Eingang}:
Die \begriff{Antwort auf einen konstanten Eingang} $u(t) \equiv u_e$ ist\\
$y(t) = Ce^{At} [\xi + A^{-1} B u_e] + [D - CA^{-1}B] u_e$.
Dabei bezeichnet
\begin{itemize}
    \item
    $Ce^{At} [\xi + A^{-1} B u_e]$ die \begriff{Einschwingant"-wort (transient response)} und

    \item
    $[D - CA^{-1} B] u_e$ die \begriff{stationäre Antwort (steady-state response)}.\\
    Die Matrix $D - CA^{-1}B$ heißt
    \begriff{stationäre Verstärkung (steady-state gain)}.
\end{itemize}

\linie

\textbf{Superpositionsprinzip}:
Der Zustand sowie der Ausgang hängen jeweils linear von $\xi$ und von $u(\cdot)$ ab
(wenn $u(\cdot)$ bzw. $\xi$ auf Null gesetzt wird).
Dies nennt man das \begriff{Superpositionsprinzip}.

Nach dem Superpositionsprinzip kann man zum Beispiel für $m > 1$ den Ausgang als Summe
von Ausgängen für einen skalaren Eingang $u(\cdot)$ darstellen:
Ist $u(t) = \smallpmatrix{u_1(t) \\ \vdots \\ u_m(t)}$ und sind $B_k$ und $D_k$ die Spalten
von $B$ bzw. $D$, so gilt
$y(t) = C e^{At} \xi + \sum_{k=1}^m \left(\int_0^t Ce^{A(t-s)} B_k u_k(s)\ds + D_k u_k(t)\right)$.
Jeden dieser Beiträge kann man also separat analysieren.

\linie
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Sprünge und Impulse sind Testeingänge, mit denen man Informationen
über das dynamische Verhalten eines Systems gewinnen kann.
Beispielsweise kann man mit dem Impulsausgang $H(t) := Ce^{At}B + D\delta(t)$
durch $\int_0^t H(t - s) u(s) \ds$ den Ausgang für jeden anderen Eingang
$u(\cdot)$ bestimmen (Anfangsbedingung $x(0) = 0$).

\textbf{Herleitung der Sprungantwort}:
Ist $u_k(\cdot)$ gleich der Sprungfunktion $\Theta(t) := 0$ für $t < 0$ und
$\Theta(t) := 1$ für $t \ge 0$
(\begriff{\name{Heaviside}-Funktion}), so erhält man\\
$\int_0^t Ce^{A(t-s)} B_k u_k(s)\ds + D_k u_k(t) = \int_0^t Ce^{A\varrho} B_k d\varrho + D_k$
als Ausgang für den $k$-ten Eingang.

\textbf{Herleitung der Impulsantwort}:
Ist $u_k(\cdot)$ gleich dem Impuls $\delta(\cdot)$ bei $t = 0$
(\begriff{\name{Dirac}sche Delta-Dis"-tribution}), so erhält man\\
$\int_0^t Ce^{A(t-s)} B_k u_k(s)\ds + D_k u_k(t) = Ce^{At}B_k + D_k \delta(t)$
als Ausgang für den $k$-ten Eingang.\\
Die Delta-Distribution ist gleich der Ableitung der Heaviside-Funktion,
daher ist die Impulsantwort die Ableitung der Sprungantwort.

\textbf{Sprung- und Impulsantwort}:
Man nennt
\begin{itemize}
    \item
    $\int_0^t Ce^{A\varrho}B d\varrho + D$ die \begriff{Sprungantwort (step response)} und

    \item
    $C e^{At} B + D \delta(t)$ die \begriff{Impulsantwort (impulse response)}.
\end{itemize}
Die Antworten erhält man durch Anwendung von $m$ Sprüngen/Impulsen (für jeden Eingang).

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\textbf{Herleitung der Antwort für sinusförmigen Eingang}:\\
Für $\lambda = \sigma + \iu\omega \in \complex$ und $u_e \in \real^m$ betrachtet man den \begriff{sinusförmigen Eingang (sinusoidal input)}\\
$u(t) := u_e e^{\lambda t} = u_e e^{\sigma t} [\cos(\omega t) + \iu \sin(\omega t)]$.\\
Wenn $A - \lambda I$ invertierbar ist (d.\,h. $\lambda$ ist kein Eigenwert von $A$), so gilt
mit $\varrho = t - s$, dass\\
$y(t) = Ce^{At} \xi + \int_0^t [Ce^{A(t - s)} B]u(s) \ds + Du(t)$\\
$= C \left(e^{At} \xi +
\left[\int_0^t e^{A\varrho} e^{\lambda (t - \varrho)} d\varrho\right] Bu_e\right) +
D (u_e e^{\lambda t})$\\
$= C \left(e^{At} \xi + e^{\lambda t}
\left[\int_0^t e^{(A - \lambda I) \varrho} d\varrho\right] Bu_e\right) + D (u_e e^{\lambda t})$\\
$= C \left(e^{At} \xi +
e^{\lambda t} \left[e^{(A - \lambda I)t} - I\right] (A - \lambda I)^{-1} B u_e\right) +
D (u_e e^{\lambda t})$.

Durch Umordnung erhält man
$y(t) = Ce^{At} [\xi - (\lambda I - A)^{-1} Bu_e] +
[C (\lambda I - A)^{-1} B + D] (u_e e^{\lambda t})$,
wobei man die Summanden wieder als \begriff{Einschwingantwort} und \begriff{stationäre Antwort}
bezeichnet
(für $A$ Hurwitz-Matrix ergibt die Namensgebung einen Sinn, in diesem Fall geht die
Einschwingantwort gegen Null für $t \to \infty$).

\textbf{Antwort auf sinusförmigen Eingang}:
Für exponentiell gewichtete, sinusförmige, komplexe Eingänge
$u(t) = u_e e^{\lambda t} = u_e e^{\sigma t} [\cos(\omega t) + \iu \sin(\omega t)]$
($\lambda = \sigma + \iu \omega \in \complex$) mit $\lambda I - A$ invertierbar erhält man den
Zustand $x(t) = e^{At} [\xi - (\lambda I - A)^{-1} Bu_e] +
(\lambda I - A)^{-1} B (u_e e^{\lambda t})$ und den Ausgang
$y(t) = C e^{At} [\xi - (\lambda I - A)^{-1} Bu_e] +
[C (\lambda I - A)^{-1} B + D] (u_e e^{\lambda t})$.

Weil $A, B, C, D$ und $\xi$ reell sind, erhält man die Zustände und Ausgänge für
die Eingänge\\
$v(t) = u_e e^{\sigma t} \cos(\omega t)$ und $w(t) = u_e e^{\sigma t} \sin(\omega t)$,
indem man einfach den Real- bzw. den Imaginärteil betrachtet.

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\section{%
    \name{Laplace}-Transformation und Übertragungsmatrizen%
}

\textbf{\name{Laplace}-Transformation}:
Sei $f\colon \real \rightarrow \complex$ messbar und von
\begriff{exponentieller Ordnung (expo"-nential type)}, d.\,h.
$\exists_{\sigma, c > 0} \forall_{t \ge 0}\; |e^{-\sigma t} f(t)| \le c$.
Dann ist die \begriff{(einseitige) \name{Laplace}-Transformation} von $f$ für alle
$s \in \complex$ mit $\Re(s) > \sigma$ definiert durch
$\widehat{f}(s) = \L(f)(s) := \int_0^\infty e^{-st} f(t) \dt$.

Die Laplace-Transformierte $\widehat{f} = \L(f)$ ist auf
$\{s \in \complex \;|\; \Re(s) > \sigma\}$ analytisch.
Oft kann man die Laplace-Transformierte aber auf viel größere Bereiche von $\complex$
analytisch fortsetzen.

Die Abbildung $\L\colon f \mapsto \widehat{f} = \L(f)$ ist linear und injektiv
(d.\,h. aus $\L(f) = \L(g)$ folgt $f = g$).

\textbf{Eigenschaften der \name{Laplace}-Transformation}:
Sei $\widehat{f} = \L(f)$.
Dann gilt
\begin{itemize}
    \item
    $\L(f')(s) = s \widehat{f}(s) - f(0)$,

    \item
    $\L(\int_0^t f(\tau)\d\tau)(s) = \frac{1}{s} \widehat{f}(s)$ und

    \item
    $\L(e^{-pt} f(t))(s) = \widehat{f}(s + p)$.
\end{itemize}

\textbf{Beispiel}:
Durch iterative Anwendung erhält man bspw.
$\L(\frac{1}{(m-1)!} t^{m-1} e^{-pt})(s) = \frac{1}{(s + p)^m}$.

\linie

\textbf{Berechnung von Ausgängen mit der \name{Laplace}-Transformation}:
Wenn man die Laplace-Transformation auf beiden Seiten von $\dot{x} = Ax + Bu$, $y = Cx + Du$
anwendet, erhält man
$s \widehat{x}(s) - x(0) = A\widehat{x}(s) + B\widehat{u}(s)$,
$\widehat{y}(s) = C\widehat{x}(s) + D\widehat{u}(s)$.
Es treten keine Ableitungen mehr auf, sodass man algebraisch nach $\widehat{x}(s)$ auf"|lösen kann:
$\widehat{x}(s) = (sI - A)^{-1} \xi + (sI - A)^{-1} B \widehat{u}(s)$,
$\widehat{y}(s) = C (sI - A)^{-1} \xi + [C (sI - A)^{-1} B + D] \widehat{u}(s)$.

Man nennt diese Formel die sog. \begriff{frequenzbasierte Darstellung (frequency-domain analogue)}
der zeitbasierten Lösungsformeln für $x(t)$ und $y(t)$.
Das Faltungsintegral in der zeitbasierten Darstellung ist durch eine simple Multiplikation
in der frequenzbasierten Darstellung ersetzt worden.
Mit der inversen Laplace-Transformation kann man oft $x(t)$ und $y(t)$ berechnen.

\linie

\textbf{Übertragungsmatrix}:
Die Matrix $G(s) := C(sI - A)^{-1} B + D$ mit $s \in \complex$ heißt
\begriff{Übertragungs"-matrix (transfer matrix)} des Systems $\dot{x} = Ax + Bu$, $y = Cx + Du$.

Wenn $s \in \complex$ kein Eigenwert von $A$ ist, so kann man $G(s)$ berechnen.

Die Einträge von $(sI - A)^{-1}$ sind rationale Funktionen, da
$(sI - A)^{-1} = \frac{1}{\det(sI - A)} \operatorname{adj}(sI - A)$
nach der Cramerschen Regel mit der Adjunkten $\operatorname{adj}(sI - A)$.
Die Einträge von $(sI - A)^{-1}$ können daher als $\frac{n_{ij}(s)}{\chi_A(s)}$ geschrieben werden,
wobei $n_{ij}(s)$ Polynome vom Grad $< n$ sind und $\chi_A(s) = \det(sI - A)$
ein Polynom vom Grad $n$ ist,
denn bei Bildung der Adjunkten sind die Einträge bis auf das Vorzeichen gleich
Determinaten von Komatrizen, die entstehen, wenn man aus $sI - A$ jeweils eine Zeile und
eine Spalte entfernt.

\textbf{(echt) proper}:
Eine rationale Funktion heißt \begriff{(echt) proper ((strictly) proper)},\\
falls der Zählergrad echt kleiner als der bzw. kleiner/gleich dem Nennergrad ist.

Die Elemente von $(sI - A)^{-1}$ und von $C(sI - A)^{-1} B$ sind echt propere rationale Funktionen.
Die Einträge von $G(s)$ sind Linearkombinationen von denen von $(sI - A)^{-1}$ plus eine
konstante Matrix $D$, d.\,h. im Allgemeinen nur noch propere Funktionen.

\textbf{Polstellen}:
Jeder Eintrag von $G(s)$ wird in der Form $\frac{n_{ij}(s)}{d_{ij}(s)}$ geschrieben,
wobei die Zähler- und Nennerpolynome keine gemeinsamen Nullstellen besitzen.
Die \begriff{Polstellen} von $G(s)$ sind dann definiert als $\{s \in \complex \;|\;
\exists_{i, j}\; d_{ij}(s) = 0\}$.

\textbf{stabil}:
$G(s)$ heißt \begriff{stabil}, wenn jede Polstelle von $G(s)$ einen negativen Realteil besitzt.

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Die Übertragungsmatrix bringt den meisten Nutzen, wenn der Anfangswert $\xi$ gleich Null ist.
In diesem Fall ist mit $\widehat{y}(s) = G(s) \widehat{u}(s)$ der Ausgang durch den Eingang
$u(\cdot)$ bestimmt.

Sind zwei Systeme $\dot{x}_1 = A_1 x_1 + B_1 u_1$, $y_1 = C_1 x_1 + D_1 u_1$, $x_1(0) = 0$,
und\\
$\dot{x}_2 = A_2 x_2 + B_2 u_2$, $y_2 = C_2 x_2 + D_2 u_2$, $x_2(0) = 0$,
gegeben, so lauten die Übertragungsmatrizen $G_1(s) = C_1 (sI - A_1)^{-1} B_1 + D_1$ bzw.
$G_2(s) = C_2 (sI - A_2)^{-1} B_2 + D_2$\\
(damit gilt $\widehat{y}_1(s) = G_1(s) \widehat{u}_1(s)$ bzw.
$\widehat{y}_2(s) = G_2(s) \widehat{u}_2(s)$).

\textbf{Reihenschaltung}:
Bei einer Reihenschaltung erhält man als Übertragungsmatrix das Produkt der
Übertragungsmatrizen durch
$\widehat{y}(s) = (G_2(s) G_1(s)) \cdot \widehat{u}(s)$
(zuerst System $1$, dann System $2$).

\textbf{Parallelschaltung}:
Bei einer Parallelschaltung erhält man als Übertragungsmatrix die Summe der
Übertragungsmatrizen durch
$\widehat{y}(s) = (G_1(s) + G_2(s)) \cdot \widehat{u}(s)$.

\textbf{stationäre Antworten}:
Wenn $A$ eine Hurwitz-Matrix und $\lambda = \sigma + \iu \omega \in \complex$
kein Eigenwert von $A$ ist, dann sind die stationären Antworten gegeben durch
\begin{itemize}
    \item
    $G(0) u_e$ für den konstanten Eingang $u(t) \equiv u_e$,

    \item
    $G(\iu\omega) u_e e^{\iu\omega t}$ für den sinusförmigen Eingang
    $u(t) = u_e e^{\iu\omega t}$ und

    \item
    $G(\lambda) u_e e^{\lambda t}$ für den exponentiell gewichteten, sinusförmigen Eingang
    $u(t) = u_e e^{\lambda t}$.
\end{itemize}
Der erste und der zweite Fall sind im dritten als Spezialfall enthalten
(für $\lambda = 0$ bzw. $\lambda = \iu\omega$).

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Ein System in Zustandsraum-Darstellung bestimmt seine Übertragungsmatrix durch direktes Ausrechnen.
Man kann sich jedoch auch eine umgekehrte Fragestellung überlegen.

\textbf{Realisierungsproblem}:
Für $s \in \complex$ sei eine Matrix $G(s) \in \real^{k \times m}$ gegeben,
deren Einträge proper-rationale Funktionen in $s$ sind.
Gibt es Matrizen $A \in \real^{n \times n}$, $B \in \real^{n \times m}$,
$C \in \real^{k \times n}$ und $D \in \real^{k \times m}$, sodass
$G(s) = C(sI - A)^{-1} B + D$
(\begriff{Realisierungsproblem (realization problem)})?

\textbf{Realisierung}:
Falls für die gegebene Funktion $G(s)$ gilt,
dass $G(s) = C(sI - A)^{-1} B + D$, dann heißt $(A, B, C, D)$
\begriff{(Zustandsraum-)Realisierung ((state-space) realization)} von $G(s)$.

\textbf{Invarianz der Übertragungsmatrix unter Koordinatentransformation}:\\
Eine Realisierung von $G(s)$ ist nie eindeutig.
Ein Grund unter vielen ist, dass ein Zustandsraum-Koordinatenwechsel zwar die
beschreibenden Matrizen eines Zustandsraum-Systems verändert, aber nicht die Übertragungsmatrix:\\
Seien $\dot{x} = Ax + Bu$, $y = Cx + Du$ das System und $z = Tx$ mit $T$ invertierbar
der Koordinatenwechsel.
Es gilt $\dot{z} = T\dot{x} = TAx + TBu = (TAT^{-1})z + TBu = \widetilde{A}z + \widetilde{B}u$
mit $\widetilde{A} := TAT^{-1}$ und $\widetilde{B} := TB$.
Analog ist $y = CT^{-1}z + Du = \widetilde{C}z + \widetilde{D}u$
mit $\widetilde{C} := CT^{-1}$ und $\widetilde{D} := D$.
Die Übertragungsmatrix berechnet sich durch
$\widetilde{G}(s)
= \widetilde{C} (sI - \widetilde{A})^{-1} \widetilde{B} + \widetilde{D}
= CT^{-1} (sI - TAT^{-1})^{-1} TB + D$\\
$= C (T^{-1} (sI - TAT^{-1}) T)^{-1} B + D
= C (sI - A) B + D
= G(s)$, d.\,h. sie bleibt invariant unter dem Koordinatenwechsel.

\pagebreak