2008. 出租车的最大盈利

题目描述

你驾驶出租车行驶在一条有 n 个地点的路上。这 n 个地点从近到远编号为 1 到 n ，你想要从 1 开到 n ，通过接乘客订单盈利。你只能沿着编号递增的方向前进，不能改变方向。

乘客信息用一个下标从 0 开始的二维数组 rides 表示，其中 rides[i] = [start_i, end_i, tip_i] 表示第 i 位乘客需要从地点 start_i 前往 end_i ，愿意支付 tip_i 元的小费。

每一位 你选择接单的乘客 i ，你可以盈利 end_i - start_i + tip_i 元。你同时最多只能接一个订单。

给你 n 和 rides ，请你返回在最优接单方案下，你能盈利最多多少元。

注意：你可以在一个地点放下一位乘客，并在同一个地点接上另一位乘客。

示例 1：

输入：n = 5, rides = [[2,5,4],[1,5,1]]
输出：7
解释：我们可以接乘客 0 的订单，获得 5 - 2 + 4 = 7 元。

示例 2：

输入：n = 20, rides = [[1,6,1],[3,10,2],[10,12,3],[11,12,2],[12,15,2],[13,18,1]]
输出：20
解释：我们可以接以下乘客的订单：
- 将乘客 1 从地点 3 送往地点 10 ，获得 10 - 3 + 2 = 9 元。
- 将乘客 2 从地点 10 送往地点 12 ，获得 12 - 10 + 3 = 5 元。
- 将乘客 5 从地点 13 送往地点 18 ，获得 18 - 13 + 1 = 6 元。
我们总共获得 9 + 5 + 6 = 20 元。

提示：

1 <= n <= 10⁵
1 <= rides.length <= 3 * 10⁴
rides[i].length == 3
1 <= start_i < end_i <= n
1 <= tip_i <= 10⁵

解法

方法一：记忆化搜索 + 二分查找

我们先将 rides 按照 start 从小到大排序，然后设计一个函数 $dfs(i)$，表示从第 $i$ 个乘客开始接单，最多能获得的小费。答案即为 $dfs(0)$。

函数 $dfs(i)$ 的计算过程如下：

对于第 $i$ 个乘客，我们可以选择接单，也可以选择不接单。如果不接单，那么最多能获得的小费为 $dfs(i + 1)$；如果接单，那么我们可以通过二分查找，找到在第 $i$ 个乘客下车地点之后遇到的第一个乘客，记为 $j$，那么最多能获得的小费为 $dfs(j) + end_i - start_i + tip_i$。取两者的较大值即可。即：

$$ dfs(i) = \max(dfs(i + 1), dfs(j) + end_i - start_i + tip_i) $$

其中 $j$ 是满足 $start_j \ge end_i$ 的最小的下标，可以通过二分查找得到。

此过程中，我们可以使用记忆化搜索，将每个状态的答案保存下来，避免重复计算。

时间复杂度 $O(m\times \log m)$，其中 $m$ 为 rides 的长度。

方法二：动态规划 + 二分查找

我们可以将方法一中的记忆化搜索改为动态规划。

先将 rides 排序，这次我们按照 end 从小到大排序。然后定义 $dp[i]$，表示前 $i$ 个乘客中，最多能获得的小费。答案即为 $dp[m]$。初始化 $dp[0] = 0$。

对于第 $i$ 个乘客，我们可以选择接单，也可以选择不接单。如果不接单，那么最多能获得的小费为 $dp[i]$；如果接单，我们可以通过二分查找，找到在第 $i$ 个乘客上车地点之前，最后一个下车地点不大于 $start_i$ 的乘客，记为 $j$，那么最多能获得的小费为 $dp[j] + end_i - start_i + tip_i$。取两者的较大值即可。即：

$$ dp[i] = \max(dp[i - 1], dp[j] + end_i - start_i + tip_i) $$

其中 $j$ 是满足 $end_j \le start_i$ 的最大的下标，可以通过二分查找得到。

时间复杂度 $O(m\times \log m)$，其中 $m$ 为 rides 的长度。

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Python3

class Solution:
    def maxTaxiEarnings(self, n: int, rides: List[List[int]]) -> int:
        @cache
        def dfs(i):
            if i >= len(rides):
                return 0
            s, e, t = rides[i]
            j = bisect_left(rides, e, lo=i + 1, key=lambda x: x[0])
            return max(dfs(i + 1), dfs(j) + e - s + t)

        rides.sort()
        return dfs(0)

class Solution:
    def maxTaxiEarnings(self, n: int, rides: List[List[int]]) -> int:
        rides.sort(key=lambda x: x[1])
        m = len(rides)
        dp = [0] * (m + 1)
        for i, (s, e, t) in enumerate(rides):
            j = bisect_right(rides, s, hi=i, key=lambda x: x[1])
            dp[i + 1] = max(dp[i], dp[j] + e - s + t)
        return dp[m]

Java

class Solution {
    private int[][] rides;
    private long[] f;
    private int m;

    public long maxTaxiEarnings(int n, int[][] rides) {
        m = rides.length;
        f = new long[m];
        Arrays.sort(rides, (a, b) -> a[0] - b[0]);
        this.rides = rides;
        return dfs(0);
    }

    private long dfs(int i) {
        if (i >= m) {
            return 0;
        }
        if (f[i] != 0) {
            return f[i];
        }
        int s = rides[i][0], e = rides[i][1], t = rides[i][2];
        int j = search(rides, e, i + 1);
        long ans = Math.max(dfs(i + 1), dfs(j) + e - s + t);
        f[i] = ans;
        return ans;
    }

    private int search(int[][] rides, int x, int i) {
        int left = i, right = m;
        while (left < right) {
            int mid = (left + right) >> 1;
            if (rides[mid][0] >= x) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
}

class Solution {
    public long maxTaxiEarnings(int n, int[][] rides) {
        Arrays.sort(rides, (a, b) -> a[1] - b[1]);
        int m = rides.length;
        long[] dp = new long[m + 1];
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            int s = rides[i][0], e = rides[i][1], t = rides[i][2];
            int j = search(rides, s, i);
            dp[i + 1] = Math.max(dp[i], dp[j] + e - s + t);
        }
        return dp[m];
    }

    private int search(int[][] rides, int x, int n) {
        int left = 0, right = n;
        while (left < right) {
            int mid = (left + right) >> 1;
            if (rides[mid][1] > x) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }
}

C++

using ll = long long;

class Solution {
public:
    long long maxTaxiEarnings(int n, vector<vector<int>>& rides) {
        sort(rides.begin(), rides.end());
        int m = rides.size();
        vector<ll> f(m);
        vector<int> x(3);
        function<ll(int)> dfs = [&](int i) -> ll {
            if (i >= m) return 0;
            if (f[i]) return f[i];
            int s = rides[i][0], e = rides[i][1], t = rides[i][2];
            x[0] = e;
            int j = lower_bound(rides.begin() + i + 1, rides.end(), x, [&](auto& l, auto& r) -> bool { return l[0] < r[0];}) - rides.begin();
            ll ans = max(dfs(i + 1), dfs(j) + e - s + t);
            f[i] = ans;
            return ans;
        };
        return dfs(0);
    }
};

using ll = long long;

class Solution {
public:
    long long maxTaxiEarnings(int n, vector<vector<int>>& rides) {
        sort(rides.begin(), rides.end(), [&](auto& l, auto& r) -> bool { return l[1] < r[1]; });
        int m = rides.size();
        vector<ll> dp(m + 1);
        vector<int> x(3);
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            int s = rides[i][0], e = rides[i][1], t = rides[i][2];
            x[1] = s;
            int j = upper_bound(rides.begin(), rides.begin() + i, x, [&](auto& l, auto& r) -> bool { return l[1] < r[1]; }) - rides.begin();
            dp[i + 1] = max(dp[i], dp[j] + e - s + t);
        }
        return dp[m];
    }
};

Go

func maxTaxiEarnings(n int, rides [][]int) int64 {
	sort.Slice(rides, func(i, j int) bool { return rides[i][0] < rides[j][0] })
	m := len(rides)
	f := make([]int64, m)
	var dfs func(int) int64
	dfs = func(i int) int64 {
		if i >= m {
			return 0
		}
		if f[i] != 0 {
			return f[i]
		}
		s, e, t := rides[i][0], rides[i][1], rides[i][2]
		j := sort.Search(m, func(k int) bool { return rides[k][0] >= e })
		ans := max(dfs(i+1), dfs(j)+int64(e-s+t))
		f[i] = ans
		return ans
	}
	return dfs(0)
}

func max(a, b int64) int64 {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

func maxTaxiEarnings(n int, rides [][]int) int64 {
	sort.Slice(rides, func(i, j int) bool { return rides[i][1] < rides[j][1] })
	m := len(rides)
	dp := make([]int64, m+1)
	for i, ride := range rides {
		s, e, t := ride[0], ride[1], ride[2]
		j := sort.Search(m, func(k int) bool { return rides[k][1] > s })
		dp[i+1] = max(dp[i], dp[j]+int64(e-s+t))
	}
	return dp[m]
}

func max(a, b int64) int64 {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

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