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calculus_no_answer.tex
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\documentclass[addtable,twoside,12pt]{hnuexam}
% 为了和含答案的版本基本一致，这里没有答案的也写了答案，只是没有加入显示答案的选项
\begin{document}
\studentTable
\examinformation%
{衡阳师范学院2018-2019 学年第二学期}%
{化学与材料科学学院化学专业2020级}%
{《高等数学（\Rmnum{2}）》期末考试试题A卷}%
{闭卷}%
{120}%
\vspace{-1.2em}
\sectiongradetable
\begin{questions}
\makepart{单选题}[3]{15}
\question
\num{.3e45}\si{\newton} = \hfill $(\qquad)$
\begin{oneparchoices}
\choice \num{.3e45}
\choice \ang{12.3}
\CorrectChoice \num{.3e45}\si{kg.m/s^2}
\choice \num{3e45}\si{\kilo\gram\metre\per\square\second}
\end{oneparchoices}
\question
求初值问题$y^\prime=y,y(0)=1$的特解为$y=$\hfill $(\qquad)$
\begin{oneparchoices}
\choice $e^x+1$
\choice $\frac{1}{2}x^2+1$
\choice $x^2+C,\text{其中}C$为任意常数
\CorrectChoice $e^x$
\end{oneparchoices}
\question
求初值问题$y^\prime=y,y(0)=1$的特解为$y=$\hfill $(\qquad)$
\begin{oneparchoices}
\choice $e^x+1$
\choice $\frac{1}{2}x^2+1$
\choice $x^2+C,\text{其中}C$为任意常数
\CorrectChoice $e^x$
\end{oneparchoices}
\question
求初值问题$y^\prime=y,y(0)=1$的特解为$y=$\hfill $(\qquad)$
\begin{oneparchoices}
\choice $e^x+1$
\choice $\frac{1}{2}x^2+1$
\choice $x^2+C,\text{其中}C$为任意常数
\CorrectChoice $e^x$
\end{oneparchoices}
\question
求初值问题$y^\prime=y,y(0)=1$的特解为$y=$\hfill $(\qquad)$
\begin{oneparchoices}
\choice $e^x+1$
\choice $\frac{1}{2}x^2+1$
\choice $x^2+C,\text{其中}C$为任意常数
\CorrectChoice $e^x$
\end{oneparchoices}
\makepart{填空题}[3]{15}
\question 求椭圆$\frac{x^2}{4}+y^2=2$在点$(-2,1)$处的切线方程\fillin[$x-2y+4=0$][1.5in].
\question 求椭圆$\frac{x^2}{4}+y^2=2$在点$(-2,1)$处的切线方程\fillin[$x-2y+4=0$][2in].
\question 吃饭，睡觉，\fillin[打豆豆][0.5in].
\question 求椭圆$\frac{x^2}{4}+y^2=2$在点$(-2,1)$处的切线方程\fillin[$x-2y+4=0$][2in].
\question 求椭圆$\frac{x^2}{4}+y^2=2$在点$(-2,1)$处的切线方程\fillin[$x-2y+4=0$][2in].
\makepart{判断题}[2]{10}
\question\torf[\xmark]若二元函数$f(x,y)$在点$(1,1)$处连续，则其在该点处可微.
\question\torf[\cmark]如果常数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛,那么$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$.
\question\torf[\xmark]若二元函数$f(x,y)$在点$(1,1)$处连续，则其在该点处可微.
\question\torf[\cmark]如果常数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛,那么$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$.
\question\torf[\cmark]如果常数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$收敛,那么$\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%这里给出一个每个大题分数不一样的例子%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% 请注意，这里\makepart命令只有两个参数，可选参数没有，因为有一些大题的分数不一样。
\makepart{解答题}{60}
\question[10]
试将微分方程$x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x^2+3y,\,x>0$转换成一阶非齐次线性微分方程的标准形式，然后使用常数变易法求解，最后对求得的结果进行验算。
\begin{solution}
一阶非齐次线性微分方程的标准形式为：$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{-3}{x}y=x.$\score{2}
先解其对应的齐次线性微分方程$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{-3}{x}y=0.$得：$y=cx^3$,其中$c$为任意的实常数。\score{5}
使用常数变易法将常数$c$替换成与$x$相关的函数$c(x)$代入原微分方程解得：$\frac{\mathrm{d}c(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x^2}$,即$c(x)=-\frac{1}{x}+C$,其中$C$为任意常数。故原微分方程的通解为：
\[
y=Cx^3-x^2,x>0\quad \text{其中}C\text{为任意常数。}\score{8}
\]
检验：代入原微分方程，左边为$x(3Cx^2-2x)=3Cx^3-2x^2$,右边为$x^2+3Cx^3-3x^2=3Cx^3-2x^2.$验算可得结果正确。\score{10}
\end{solution}
\vspace*{\stretch{1}}
\clearpage
\question[9]
试求出不共线三点$P(1,-1,0),Q(2,1,-1),R(-1,1,2)$所确定的平面的单位法向量。
\begin{solution}
设法向量为$\vec{n}$,则$\vec{n}=\vec{PQ}\times\vec{PR}=
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 2 & -1 \\
-2 & 2 & 2
\end{vmatrix}=(6,0,6).$\score{7}
故其单位法向量$\pm\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(1,0,1).$\score{9}
\end{solution}
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\question[9]
试求出不共线三点$P(1,-1,0),Q(2,1,-1),R(-1,1,2)$所确定的平面的单位法向量。
\begin{solution}
设法向量为$\vec{n}$,则$\vec{n}=\vec{PQ}\times\vec{PR}=
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 2 & -1 \\
-2 & 2 & 2
\end{vmatrix}=(6,0,6).$\score{7}
故其单位法向量$\pm\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(1,0,1).$\score{9}
\end{solution}
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\question[9]
试求出不共线三点$P(1,-1,0),Q(2,1,-1),R(-1,1,2)$所确定的平面的单位法向量。
\begin{solution}
设法向量为$\vec{n}$,则$\vec{n}=\vec{PQ}\times\vec{PR}=
\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 2 & -1 \\
-2 & 2 & 2
\end{vmatrix}=(6,0,6).$\score{7}
故其单位法向量$\pm\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}(1,0,1).$\score{9}
\end{solution}
\vspace*{\stretch{1}}
\clearpage
\question[10]
求函数$f(x,y)=x+y$在$g(x,y)=x^2+y^2=1$限制下的条件最大值与最小值。（提示：可以使用拉格朗日乘数法。）
\begin{solution}
注：此题也可以不使用乘数法。小题可以看几何意义，大题可以用三角函数代换。另外也可以使用从限制条件中解出$y$代入$f$来解无条件极值。
设$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda [g(x,y)-1]$由
$\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x}=1-2\lambda x=0 \\
\frac{\partial L}{\partial x}=1-2\lambda y=0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x^2+y^2-1=0
\end{cases}$\score{4}
由前两式相减得$x=y$或者$\lambda=0$(舍去)。\score{5}
将$x=y$代入最后一式得$x^2=\frac{1}{2}$,所以$x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$或者$x=y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.\score{7}
于是$f$的条件极值为$f(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2},f(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})=-\sqrt{2}.$\score{9}
综上所述，$f$的最大值为$\sqrt{2}$,最小值为$-\sqrt{2}.$\score{10}
\end{solution}
\vspace*{\stretch{1}}
% 这个地方和有答案的文件里有区别
\question[13]
朱自清是怎么描写时间过得比较快的？
\fillwithlines{\stretch{1}}
\end{questions}
\end{document}