/
2020-02-04-diferencialni-a-integralni-pocet.md
299 lines (197 loc) · 11.5 KB
/
2020-02-04-diferencialni-a-integralni-pocet.md
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
---
title: "Diferenciální a integrální počet"
category: "Mathematics"
language: "CZ"
latex: true
---
Malý tahák k diferenciálním a integrálním počtům
- .
{:toc}
---
## Úvod
Diferenciálními a integrálními počty se zabývá obor [Matematická analýza](https://cs.wikipedia.org/wiki/Matematick%C3%A1_anal%C3%BDza).
## Funkce
**Definice funkce**: Funkce je relace $$R$$ mezi dvěma množinami $$X$$ a $$Y$$ splňující, že pro každé $$x \in X$$ existuje nevýše jedno $$y \in Y$$ tak, že $$(x,y) \in R$$
značení funkce z množiny $$X$$ do množiny $$Y$$:
$$ f: X \to Y$$
### Definiční obor
Definiční obor funkce je množia všech přípustných hodnot, které můžeme ve funkci $$f(x)$$ dosadit za argument x tak, aby daná funkce měla smysl.
$$ D_f = \{ x \in X |( \exists Y \in X)(f(x) = y)\} $$
### Obor hodnot
Obor hodnot je množina všech hodnot, kterých může $$ f(x) $$ nabýt.
$$ H_f = \{ y \in Y |( \exists x \in X)(f(x) = y)\} $$
### Druhy zobrazení
- **Bijekce** - ke každému $$x$$ připadá právě jedno $$y$$
- **Injekce** - Ke každému $$y$$ připadá nejvýše jedno $$x$$
- **Surjekce** - Ke každému $$y$$ existuje alespoň jedno $$x$$
### Interval monotónosti
Funkce $$f$$ je na intervalu $$(a;b)$$:
- rostoucí $$\iff \forall x_1, x_2 \in (a;b) , x_1 < x_2 : f(x_1) < f(x_2)$$
- neklesající $$\iff \forall x_1, x_2 \in (a;b) , x_1 < x_2 : f(x_1) \leq f(x_2)$$
- klesající $$\iff \forall x_1, x_2 \in (a;b) , x_1 < x_2 : f(x_1) > f(x_2)$$
- nerostoucí $$\iff \forall x_1, x_2 \in (a;b) , x_1 < x_2 : f(x_1) \geq f(x_2)$$
### Sudost/Lichost
- Funkce $$f$$ je lichá $$ \iff f(x) = -f(x) $$
- Funkce $$f$$ je sudá $$ \iff f(x) = f(-x) $$
- Funkce není sudá ani lichá pokud neplatí ani jedna z předchozích vlastností
### Průsečíky s osami
Průsečík $$P$$ náleží průniku množiny bodů osy a oboru hodnot funkce: $$ P \in$$ osa $$ \cap H_f $$
#### Průsečík s osou Y
- Existuje nejvýše jeden průsečík s osou Y. (Vychází z definice funkce)
- pro průsečík $$P_Y$$ platí $$ P_Y = [0; f(0)] $$
#### Průsečík s osou X
- pro průsečík $$P_X$$ platí $$ P_X = [x; 0] ; f(x) = 0 $$
### Příklady základních funkcí
| Funkce | Příklad grafu |
|:------------------------------------------------------------------------------:|:-:|
| **Konstanttní funkce:**<br> $$f: y = c $$ <br> $$ D_f = \R $$ <br> $$ H_f = \{c\}$$ <br> Křivka: Rovnoběžka s osou X | {:.table-img} |
| **Lineární funkce:** <br> $$f: y = ax + b$$ <br> $$ D_f = \R $$ <br> $$ H_f = \R $$ <br> Křivka: Přímka| {:.table-img} |
| **Kvadratická funkce:** <br> $$ f: y = ax^2 + bx + c $$ <br> $$ D_f = \R $$ <br> Křivka: Parabola | {:.table-img} |
| **Kubická funkce:** <br> $$ f: y = ax^3 + bx^2 +cx + d $$ <br> $$ D_f = \R $$ <br> $$ H_f = \R $$ <br> Křivka: Kubická parabola | {:.table-img} |
| **Exponenciální funkce:** <br> $$f: y = c^x $$ <br> $$ D_f = \R $$ <br> $$ H_f = \R^+ $$ <br> Křivka: Exponenciála | {:.table-img} |
| **Logaritmická funkce:** <br> $$f: y = \log_a x $$ <br> $$ D_f = \R^+ $$ <br> $$ H_f = \R $$ <br> Křivka: Logaritmická křivka | {:.table-img} |
| **Absolutní hodnota:** <br> $$f: y = \|x\|$$ <br> $$ D_f = \R $$ <br> $$ H_f = \R^+ \cup \{0\} $$ <br> Křivka: Lomená přímka | {:.table-img} |
### Limita
$$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \epsilon \in \R^+ \exists \Delta \in \R^+ \forall x \in O_{\Delta}(a) \land x \neq a; f(x) \in O_{\epsilon}(L);$$ $$ x \in (a - \Delta; a + \Delta); f(x) \in (L - \epsilon; L + \epsilon)$$
$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = L \iff \forall \epsilon \in \R^+ \exists x_0 \in D_f \forall x > x_0 ; | f(x) -L | < \epsilon $$
$$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = L \iff \forall \epsilon \in \R^+ \exists x_0 \in D_f \forall x < x_0 ; | f(x) - L | < \epsilon $$
- Limita vlastní
- Limita je vlastní $$ \iff \lim_{x \to a} f(x) \in \R$$
- Limita nevlastní
- Limita je nevlastní $$ \iff \lim_{x \to a} f(x) \in \{-\infty;\infty\}$$
- Limita ve vlastním bodě
- Funkce $$f$$ má v bodě x limitu ve vlastním bodě $$\iff x \in D_f$$
#### Limity v nekonečnu
$$ \lim_{x \to \infty} x^n = \infty $$
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{a}{x^n} = 0 $$
$$ \lim_{x \to \infty} \sqrt[a]{x} = \infty $$
$$ \lim_{x \to \infty} a^x = \infty \iff a > 1$$
### Spojitost
Funkce $$f(x)$$ je spojitá v bodě $$ a \iff \lim_{x \to a}f(x) = f(a)$$
Funkce $$f(x)$$ je v bodě a spojitá $$\iff a \in D_f \land \forall \epsilon > 0 \, \exists \Delta > 0 ; \forall x \in O_{\epsilon}(a); f(x) \in O_{\epsilon}(f(a))$$
Funkce $$f(x)$$ je spojitá z prava v bodě $$ a \iff a \in D_f \land \forall \epsilon \in \R^+ \exists \Delta \in \R^+ \forall x \in <a;a + \Delta); f(x) \in (f(a) - \epsilon; f(a) + \epsilon) $$
Funkce $$f(x)$$ je spojitá z leva $$ a \iff a \in D_f \land \forall \epsilon \in \R^+ \exists \Delta \in \R^+ \forall x \in (a + \Delta;a> ; f(x) \in (f(a) - \epsilon; f(a) + \epsilon) $$
Funkce $$f(x)$$ je spojitá na intervalu <c; d> $$\iff f(x)$$ je spojitá na $$(c; d) \land f(x)$$ je v $$c$$ spojitá z prava $$\land f(x)$$ je v $$d$$ spojitá z leva
### Asymptoty
Asymptota je přímka, ke které funkce f konverguje.
#### Bez směrnice
- Je kolmá na osu X a rovnoběžná s osou Y
- je jí předpis je $$X = k$$
#### Se směrnicí
- Její předpis je $$y = kx + q$$ kdy $$ k = \lim_{x \to \infty} = \frac{f(x)}{x} $$ a $$q = \lim_{x \to \infty} = f(x) - kx $$
---
## Derivace
Derivace funkce se značí přidáním `'` za označení funkce.
### Formální definice
$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$
#### Vzorce pro derivování funkcí
$$ (k . f(x))' = k . f'(x) $$
$$ (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) $$
$$ (f(x).g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $$
$$ \bigg( \frac{f(x)}{g(x)}\bigg) ' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)} $$
$$ [f(g(x))]' = f'(g(x)).g'(x)$$
$$ f(x)^{g(x)} = e^{g(x) \ln {f(x)}} $$
$$ ([f(x)]^{g(x)})' = [f(x)]^{g(x)} \bigg( g'(x)\ln (f(x)) + g(x)\frac{f'(x)}{f'(x)} \bigg)$$
### Derivace elementárních funkcí
| $$ c' = 0 $$ | $$ c \in \R $$ |
| $$ (x^m)' = mx^{m-1} $$ | $$ x \neq 0 \land m \in \Z $$ |
| $$ (a^x)' = a^x\ln a $$ | $$ x \in (0; \infty) \land a \in \R^+ $$ |
| $$ (e^x)' = e^x $$ | $$ x \in \R $$ |
| $$ (\ln x)' = \frac{1}{x} $$ | $$ x \in \R^+ $$ |
| $$ (\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a} $$ | $$ x \in \R^+ $$ |
| $$ (\sin x)' = \cos(x) $$ | $$ x \in \R $$ |
| $$ (\cos x)' = -\sin(x) $$ | $$ x \in \R $$ |
| $$ (\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x} $$ | $$ x \in \R - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \} \land k \in \Z $$ |
| $$ (\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} $$| $$ x \in \R - \{ k\pi \} \land k \in \Z $$ |
<br/>
| $$ (\sinh x)' = \cosh x $$ | $$ x \in \R $$ |
| $$ (\cosh x)' = \sinh x $$ | $$ x \in \R $$ |
| $$ (\tanh x)' = \frac{1}{\cosh^2 x} $$ | $$ x \in \R $$ |
| $$ (\coth x)' = - \frac{1}{\sinh^2 x} $$ | $$ x \in \R - \{0\} $$ |
| $$ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt {1 + x^2}} $$ | $$ x \in (-1;1) $$ |
| $$ (\arccos x)' = - \frac{1}{\sqrt {1 - x^2}} $$ | $$ x \in (-1;1) $$ |
| $$ (\arctan x)' = -\frac{1}{1 + x^2} $$ | $$ x \in \R - \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \} \land k \in \Z $$ |
### Stacionární body
- Body ve kterých může funkce dosáhnout svého lokálního extrému.
- V těchto bodech platí $$f'(x) = 0$$
- Funkce $$f$$ má v bodě $$M \in D_f$$ lokální maximum $$\iff \exists U; U = (M - \epsilon,M + \epsilon); \epsilon > 0 \land \forall x \in U \cap D_f$$ platí $$ f(x) \leq f(M)$$
- Funkce $$f$$ má v bodě $$M \in D_f$$ lokální minimum $$\iff \exists U; U = (M - \epsilon,M + \epsilon); \epsilon > 0 \land \forall x \in U \cap D_f$$ platí $$ f(x) \geq f(M)$$
Legenda:
- $$ f: y = \bigg(\frac{x - 10}{3}\bigg)^3 - (x - 10) + 5 $$ $$$$
- $$ g: f'(x) $$ $$$$
### Monotónost
Funkce $$f$$, která je spojitá na intervalu $$(A;B)$$:
- rostoucí $$\iff$$ $$\forall x \in (A;B); f'(x) > 0$$
- klesající $$\iff$$ $$\forall x \in (A;B); f'(x) < 0$$
- konstatní $$\iff$$ $$\forall x \in (A;B); f'(x) = 0$$
- neklesající $$\iff$$ $$\forall x \in (A;B); f'(x) \geq 0$$
- neroustoucí $$\iff$$ $$\forall x \in (A;B); f'(x) \leq 0$$
### Tečna ke grafu funkce
Tečna ke grafu funkce $$f$$ v bodě $$T = [x_0, y_0]$$; $$y_0 = f(x_0)$$:
$$ y -y_0 = f'(x).(x - x_0) $$
### Inflexe
- Pro bod podezřelý z inflexe platí: $$f''(x) = 0$$
Nechť $$J$$ je interval, $$f$$ je funkce a $$J \subset D_f$$. Řekneme, že $$f$$ je:
- **Konvexní** na $$ J \iff \forall x,y \in J \forall \lambda \in [0,1]: f(\lambda x + ( 1 - \lambda )y) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)$$
- **Konkávní** na $$ J \iff \forall x,y \in J \forall \lambda \in [0,1]: f(\lambda x + ( 1 - \lambda )y) \geq \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)$$
- funkce $$f$$ je v bodě $$A$$ konvexní $$ \iff f''(A_X) > 0 $$
- funkce $$f$$ je v bodě $$A$$ konkávní $$ \iff f''(A_X) < 0 $$
Legenda:
- $$ f: y = \bigg(\frac{x - 10}{3}\bigg)^3 - (x - 10) + 5 $$ $$ $$
- $$ g: f''(x) $$ $$ $$
- V bodě $$A$$ je funkce konkávní
- V bodě $$B$$ je funkce konvexní
## L' Hospitalovo pravidlo
Nechť $$ a \in \R \cup \{-\infty\}, f,g$$ jsou funkce $$\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$.
Předpokládejme, že buď $$\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} g(x) = 0$$ , nebo $$\lim_{x \to a^+} |g(x)| = \infty$$. Potom $$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$.
---
## Vyšetření průběhu funkce
> 1. **Spojitost**
> 2. **Sudost/lichost**
> 3. **Průsečíky s osami**
> 4. **První derivace**
> - Stacionární body
> - Monotónost funkce
> - Lokální extrémy
> 5. **Druhá derivace**
> - Inflexní body
> - Konkávnost/konvexnost
> 6. **Asymptoty**
> - Asymptoty se bez směrnice
> - Asymptoty se směrnicí
> 7. **Periodicita**
> 8. **Funkční hodnoty ve význačných bodech**
> 9. **Náčrt grafu**
> 10. **Obor funkčních hodnot**
## Integrál
### Primitivní funkce
Primitivní funkce se značí velkým písmenem. První derivace primitivní funkkce je funkce zadaná
$$ F'(x) = f(x) $$
### Neurčitý integrál
Pro neurčitý integrál platí:
| $$ \int k dx = kx + C $$ |
| $$ \int x^a dx = \frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C $$ | $$ a \neq -1 $$ |
| $$ \int e^x dx = e^x + C $$ |
| $$ \int \frac{1}{x} dx = \ln ∣x∣ + C $$ |
| $$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $$ |
| $$ \int \sin x dx = -\cos x + C $$ |
| $$ \int \cos x dx = \sin x + C $$ |
### Integrace _per partes_
$$ \int u.v' = u.v - \int u'.v $$
### Integrace _substitucí_
$$ \int f(\phi (t)) \cdot \phi^{\prime}(t) dt = F(\phi(t)) $$
$$sub: x = \phi(t)$$
$$ \int f(\phi(t))\cdot\phi^{\prime}(t) dt = \int f(x) \cdot x^{\prime} dx = F(x)$$
### Newton Leibnizova věta
$$ \int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) $$
#### Obsah pod grafem
Obsah útvaru ohraničeného grafem, osou X a dvěmi rovnoběžkami procházející hranicemi intervalu na které je útvar určen se rovná
$$ \int_a^b f(x) dx$$
#### Objem rotačního tělesa
Objem rotačního tělesa lze vyjárřit jako
$$ V = \pi \int_a^b f^2(x) dx $$