| title |
emoji |
type |
topics |
published |
随伴と随伴射～自然変換による随伴の定義～ |
🗣️ |
tech |
|
true |
関手 $F : X \rightarrow A$、$G : A \rightarrow X$ について、ある自然変換 $\eta : 1_X \Rightarrow GF$ と $\varepsilon : FG \Rightarrow 1_A$ が
$$
\begin{align*}
\varepsilon F \circ F \eta = 1_F \\
G \varepsilon \circ \eta G = 1_G \\
\end{align*}
$$
を満たすとき、
$$
F \dashv G
$$
と表し、$F$ は $G$ の 左随伴（left adjoint） または $G$ は $F$ の 右随伴（right adjoint） であるといいます。
このとき、自然変換 $\eta$ を単位元（unit）、$\varepsilon$ を余単位元（counit）と呼びます。
圏 $X$ の対象 $x$ と 圏 $A$ の対象 $a$ について、射 $f : Fx \rightarrow a$ の右随伴射（right adjunct） $\hat{f} : x \rightarrow Ga$ を
$$
x \xrightarrow[]{\eta_x} GF x \xrightarrow[]{G f} Ga
$$
つまり、
$$
\hat{f} = Gf \circ \eta_x
$$
と定めます。また、同様に射 $g : x \rightarrow Ga$ の左随伴射（left adjunct） $\bar{g} : F x \rightarrow a$ を
$$
F x \xrightarrow[]{F g} FG a \xrightarrow[]{\varepsilon_a} a
$$
つまり、
$$
\bar{g} = \varepsilon_a \circ F g
$$
と定めます。
随伴射が定まるためには、域に $F$ が係る、もしくは余域に $G$ が係れば十分です。たとえば、単位元 $\eta$ の $x$ 成分 $\eta_x : x \rightarrow GF x$ を考えましょう。余域に $G$ が係っているため、左随伴射
$$\bar{\eta}_x : F x \rightarrow F x$$
が定まります。定義に当てはめると、
$$
\begin{align*}
\bar{\eta}x &= \varepsilon{Fx} \circ F \eta_x \
&= (\varepsilon F \circ F \eta)_x \
&= (1_F)x \
&= 1{Fx}
\end{align*}
$$
となります。つまり、$\bar{\eta}x = 1{Fx}$ です。同様に $\hat{\varepsilon}a = 1{Ga}$ も成り立ちます。
$f : F x \rightarrow a$ の右随伴射を $g : x \rightarrow G a$ とします。つまり、$g = \hat{f}$ です。$g$ の余域には $G$ が係っているため、左随伴射
$$
\bar{g} : F x \rightarrow a
$$
が定まります。定義に当てはめると、
$$
\begin{align*}
\bar{g} &= \varepsilon_{a} \circ F g \\
&= \varepsilon_{a} \circ F (Gf \circ \eta_x) \\
&= \varepsilon_{a} \circ F (Gf \circ \eta_x) \\
&= \varepsilon_{a} \circ FGf \circ G\eta_x
\end{align*}
$$
となります。ここで $\varepsilon_{x} \circ FGf$ に注目します。図式で表すと、
$$
FGF x \xrightarrow[]{FG f} FG a \xrightarrow[]{\varepsilon_a} a
$$
です。一方で $\varepsilon$ は 自然変換であるため図式
$$
\begin{CD}
FGF x @>FG f>> FG a \\
@V \varepsilon_{Fx} VV @VV \varepsilon_a V \\
Fx @>>f> a
\end{CD}
$$
が可換になります。つまり、
$$
\varepsilon_{x} \circ FGf = f \circ \varepsilon_{Fx}
$$
が成り立ちます。そのため、$\bar{g}$ は
$$
\begin{align*}
\bar{g} &= \varepsilon_{a} \circ FGf \circ G\eta_x \
&= f \circ \varepsilon_{Fx} \circ G\eta_x \
&= f \circ (\varepsilon F \circ G \eta)x \
&= f \circ (1{F})x \
&= f \circ 1{Fx} \
&= f
\end{align*}
$$
が成り立ちます。以上で示されたのは、
$$
g = \hat{f} \implies \bar{g} = f
$$
です。同様に
$$
f = \bar{g} \implies \hat{f} = g
$$
を示すことができます。つまり、
$$
f = \bar{g} \iff \hat{f} = g
$$
あるいは、より図式的に表すと
$$
F x \rightarrow a \iff x \rightarrow G a
$$
が成り立ちます。
関数 $f : X \times Y \rightarrow Z$ をカリー化（currying）すると、
$$
\hat{f} : X \rightarrow Z^Y
$$
となります。一方で関数 $g : X \rightarrow Z^Y$ を非カリー化（uncurrying）すると、
$$
\bar{g} : X \times Y \rightarrow Z
$$
となります。これは随伴射の例になっています。このときの随伴は
$$
(_) \times Y \dashv (_)^Y
$$
です。