ee204.md

$$ \def\d{:\mathrm d} \def\snk{\sum^n_{k=1}} \def\o{\omega} \def\t{\theta} \def\ub#1{\underline{#1}} \def\b#1{\bar{#1}} \def\m#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} $$

EE204

GNU General Public License v3.0 licensed. Source available on github.com/zifeo/EPFL.

Fall 2014: Circuits & Systèmes I

[TOC]

Notions de base

• systèmes d'unité
  • ampère $A$
  • volt $V$
  • coulomb $C=\frac{A}{s}$
  • ohm $\Omega$
  • siemens $S$
  • henry $H$
  • farad $F$
  • watt $W$
  • joule $J$
  • hertz $Hz$
• grandeurs usuelles
  • charge : $q(t)=\int^t_0 i(t)\d t$ en coulomb avec $1C=6.24\cdot 10^{18}$ électrons
  • courant : intensité $i$ en ampère (quantitié de matière dynamique qui se déplace)
  • tension : potentiel éléctrique en volt (quantité de matière statique disponible)
  • puissance : en watt
    • instantée : $p(t)=u(t)i(t)=Ri^2(t)=\frac{u^2(t)}{R}$
    • moyenne : $P=\frac{1}{T}\int^T_0 u(t)i(t)\d t$
  • énergie: $w(t)=\int^T_0 p(t)\d t$ en joule
• éléments de base de circuit
  • branche : série de segments
  • noeuds : point du réseau relié au moins à deux branches
  • maille : parcours fermé, consistué de branches, ne passant qu'une seule fois par un noeud donné
  • boucle : maille qui ne contient pas d'autres mailles en son sein
  • dipôle : boîte noire connectée à son environnement par deux connexions (broches)
  • résistance : $u(t)=Ri(t)$ avec $R$ en ohm
    • court-circuit : résistance tend vers 0
    • circuit-ouvert : résistance tend vers l'infini
    • conductance : $G=\frac{1}{R}$ inverse la résistance en siemens
  • capacité : $q(t)=Cu(t)$ donc $u(t)=u(0)+\frac{1}{C}\int_0^T i(t)\d t$ en farad
    • énergie électrostatique : $w_c(t)=\frac{1}{2}Cu^2(t)$
  • inductance : $u(t)=L\frac{\d i}{\d t}$ en henry
    • énergie magnétique : $w_L(t)=\frac{1}{2}Li^2(t)$
    • inductances couplées : $u_1=L_{11}\frac{\d i_1}{\d t}+L_{12}\frac{\d i_2}{\d t}$ et $u_2=L_{12}\frac{\d i_1}{\d t}+L_{22}\frac{\d i_2}{\d t}$
  • éléments actifs : avec apport ou perte de courant/tension
    • source de tension : quantité de matière disponible
    • source de courant : déplacement d'une quanitité de matière
    • sources commandées
    • source de tension réele : en série avec une résistance
    • source de courant réele : en paralèlle avec une résistance
• loi d'Ohm : $u(t)=Ri(t)$
• lois de Kirchhoff : cas particulier du modèle de Maxwell (lorsque que la longueur d'onde est bien supérieure aux éléments)
  • loi des noeuds : $\sum_{j=1}^N i_j=0$
  • loi des mailles : $\sum_{j=1}^N u_j=0$
• combinaison d'élements
  • en série : même courant
    • résistance : $R_s=\sum_{k=1}^n R_k$
    • capacité : $\frac{1}{C_s}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{C_k}$ et $u(0)=\sum_{k=1}^n u_{Ck}(0)$
    • inductances : $L_s=\sum^n_{k=1}L_k$ et $i(0)=i_{Lk}(0)$
    • sourcee de tension : $u_s=\snk u_k$
    • source de courant : impossible sauf si même courant
  • en parallèle : même tension
    • résistance : $\frac{1}{R_p}=\snk \frac{1}{R_k}$
    • capacité : $C_p=\snk C_k$ et $u(0)=u_{Ck}(0)$
    • inductances : $\frac{1}{L_p}=\snk \frac{1}{L_k}$ et $i(0)=\snk i_{Lk}(0)$
    • sourcee de tension : impossible sauf si même tension
    • source de courant : $i_p=\snk i_k$
• diviseur de tension
  • résistif : $u_2=u\frac{R_2}{R_1+R_2}$
  • capacitif : $u_2=u\frac{C_1}{C_1+C_2}$
  • inductif : $u_2=u\frac{L_2}{L_1+L_2}$
• diviseur de courant
  • résistif : $i_2=i\frac{R_1}{R_1+R_2}$
  • capacitif : $i_2=i\frac{C_2}{C_1+C_2}$
  • inductif : $i_2=i\frac{L_1}{L_1+L_2}$

Théorème fondamentaux

• circuits linéaires : résistance, capacité, inductance sont linéaires
• principe de superposition : analyser séparemment l'effet des sources (par annulation)
  • annuler tension : remplacer source par court-circuit
  • annuler courant : remplacer source par circuit-ouvert
• transformation de sources : source de tension en série avec une résistance peut être transformé en source de courant en parallèle avec la même résistance selon $U=RI$ (inversion du sens entre courant et tension)
  • substitution des sources : si même tension dans les mailles ou même courant dans les noeuds
• théorème de Thévenin : remplacer un circuit complexe par un circuit composé d'une source de tension et d'une résistance avec $u_0=u_{ab}|{i=0}$ et $R_i=R{ab}|_{u_j=0,i_k=0}$
  1. identifier les bornes du circuit et la charge externe
  2. mesurer ou calculer la tension aux bornes du circuit sans charge extéreure : c'est la charge de Thévenin
  3. annuler les sources indépendantes et déterminer la résistance vue des bornes du circuit : c'est la résistance de Thévenin
• théorème de Norton : même chose que Thévenin mais pour une source de courant avec $i_0=i|{u{ab}=0}$ et $R_i=R_{ab}|_{u_j=0,i_k=0}$
  1. identifier les bornes du circuit et la charge externe
  2. court-circuiter les bornes du circuit et déterminer théoriquement ou expérimentalement l'intensité du courant de court-circuit : c'est la source de courant de Norton
  3. annuler les sources indépendantes et déterminer la résistance vue des bornes du circuit : c'est la résistance de Norton et Thévenin
• théorème de Millman : $V_x=\frac{V_1/R_1+V_3/R_3+V_3/R_3}{1/R_1+1/R_2+1/R_3}$

Méthodes d'analyse

• analyse nodale : utilisation des tensions des noeuds comme variable $\begin{pmatrix}G_1+G_2 & -G_2 \\ -G_2 & G_2+G_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}I_1-I_2 \\ I_2\end{pmatrix}$ où
  • $G_{kk}$ : somme des conductances reliées au noeud $k$
  • $G_{kj}=G_{jk}$ : somme avec signe négatif des conductances reliant directement les noeuds $k$ et $j$
  • $v_k$ : tension inconnue au noeud $k$
  • $i_k$ : somme de toutes les sources indépendantes de courant directement relié au noeud $k$ (courants entrants considérés comme positif)
  • procédure :
    1. sélection du noeud de référence et attribution de tensions aux autres noeuds (différence de potentiel par rapport au noeud de référence)
    2. appliquer la loi des noeuds et exprimer le courants des branches
    3. résoudre le système d'équations
• analyse de mailles : utilisation des courants des mailles comme variable (uniquement pour les circuits planaires et utilise les boucles, pas les mailles) $\begin{pmatrix}R_1+R_3 & -R_3 \\ -R_3 & R_2+R_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}i_1\\ i_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}V_1 \\ -V_2\end{pmatrix}$
  • circuit planaire : circuit pour lequel les branches ne se croisent pas (aplatissement possible)
  • $R_{kk}$ : somme des résistances appartenant à la maille $k$
  • $R_{kj}=R_{jk}$ : somme avec signe négatif des réssitances communes aux mailles $k$ et $j$
  • $i_k$ : courant inconnu de la maille $k$
  • $v_k$ : somme des toutes les sources indépendantes de tension de la maille $k$
  • procédure :
    1. identifier les courants des mailles pour les boucles du circuit
    2. appliquer la loi des mailles et utiliser la loi d'Ohm
    3. résoudre le système d'équations

Circuits en régime sinusoidal 1

• fonctions périodiques : signal
  • alternatif : valeurs centrées autour d'un seuil de référence
  • périodique : reproduisant la même évolution après une période $T$
  • fréquence : nombre de cycle par unité de temps $f=\frac{1}{T}$ en hertz
  • continu : en MAJUSCULE $U$, $V$, $I$
  • variable : en miniscule $u(t)$, $v(t)$, $i(t)$, $\underline u$, $\underline v$, $\underline i$
  • valeur crête : amplitude avec un accent circonflexe
  • valeur crête-crête : valeur entre maximum et minimum
  • valeur moyenne : $\bar X =\frac{1}{T}\int_0^T x(t) \d t$
  • valeur moyenne redressée : $\frac{1}{T}\int_0^T |H(t)| dt$
  • valeur efficace : $X=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^Tx^2(t)\d t}$
  • redressement : valeur absolue du signal
• grandeurs sinusoidales : $x(t)=A\sin(\frac{2\pi}{T}t+\alpha)=A\sin(2\pi ft+\alpha)=A\sin(\omega t+\alpha)$
  • pulsation (fréquence angulaire) : $\omega=2\pi f =\frac{2\pi}{T}$ en radians par seconde
    • circuit RC : $\omega_0=\frac{1}{RC}$
    • circuit RL : $\omega_0=\frac{L}{R}$
    • circuit RLC : $\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
  • valeure moyenne : $0$
  • valeur efficace : $X=\frac{A}{\sqrt{2}}$
  • tension : $u(t)=\hat U\cos(\o t+\alpha)=\sqrt{2}U\cos(\o t+\alpha)$ où $U=\frac{\hat U}{\sqrt{2}}$
  • courant : $i(t)=\hat I\cos(\o t+\beta)=\sqrt{2}I\cos(\o t+\beta)$ où $I=\frac{\hat I}{\sqrt{2}}$
  • déphasage : $\phi=\alpha-\beta$, si $\phi > 0$ alors tension en avance sur courant, sinon en retard
  • échauffement d'une résistance : la valeur efficace a été définie de sorte qu'un volt continu ou alternatif produise le même échauffement
• importance du régime sinusoidal
  • génération triphasé grâce à la rotation d'un bobinage placé dans un champ magnétique
  • addition/dérivé/intrégrale également sinusoidale
• réponse d'un circuit linéaire à une excitation sinusoidale : tous les courants et tensons seront sinusoidaux de même fréquence

Circuits en régime sinusoidal 2

• nombres complexes
  • notions d'algèbre complexe : $z=a+jb$ et $j^2=-1$
    • conjugé : $z^*=a-jb$
    • module : $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$
    • argument : $\theta=arg(z)=\arctan\frac{b}{a}$
    • module d'un produit/rapport : produit des modules/rapport
    • argument d'un produit/rapport : somme/différence des arguments
  • formule d'Euler : $z=a+jb=re^{j\t}=r\cos\t+jr\sin\t$ car
    • $e^{j\t}=\cos\t+j\sin\t$
    • $\cos\t=\frac{1}{2}(e^{j\t}+e^{-j\t})$
    • $\sin\t=\frac{1}{2j}(e^{j\t}-e^{-j\t})$
    • $a=r\cos\t$
    • $b=r\sin\t$
  • dérivation : $\frac{\d z}{\d\t}=rje^{j\t}=re^{j\pi/2}e^{j\t}=re^{j(\t+\pi/2)}$
  • intégration : $\int z\d\t=\int re^{j\t}\d\t=rj^{-1}e^{j\t}=re^{j(\t-\pi/2)}$
• phaseur : moyen simple de représenter des tensions et courants sinusoidaux
  • définition : sachant $x(t)=\sqrt{2}X\cos(\o t+\t)=Re{\sqrt{2}Xe^{j(\o t+\t)}}$ on peut noter $\ub{\sqrt{2}Xe^{j(\o t+\t)}}$
    • dans un circuit linéaire en régime sinusoidale permanent, tous courants et tensions ont la même pulsation : toutes grandeurs peut être caractérisé uniquement par son amplitude (valeur efficace) et sa phase
    • phaseur : $\ub X = X e^{j\t}$ ne dépend pas du temps
    • valeur instantanée complexe : $\ub x=Xe^{j\t}e^{j\o t}$
    • $u(t)=\sqrt{2}U\cos(\o t+\alpha)\iff\ub U=Ue^{j\alpha}$
    • $i(t)=\sqrt{2}I\cos(\o t+\beta)\iff\ub I=Ie^{j\beta}$
  • opérations élémentaires
    • dérivation : $\ub Y = j\o\ub X$
    • intégration : $\ub Y = \frac{1}{j\o}\ub X$
• impédance : $\ub Z = \frac{\ub u}{\ub i}=\frac{\ub U}{\ub I}=Ze^{j\phi}=R+jX$
  • résistance : $R=Z\cos\phi$
  • réactance : $X=Z\sin\phi$
  • module : $Z=\sqrt{R^2+X^2}$
  • angle : $\phi=\arctan\frac{X}{R}$
  • résistance : $\ub Z_R=R$, $Z_R=R$ et $\phi_R=0$
  • capacité : $\ub Z_C=\frac{1}{j\o C}$, $Z_C=\frac{1}{\o C}$ et $\phi_C=-\pi/2$ où $R_C=0$ et $X_C=\frac{-1}{\o C}$
  • inductance : $\ub Z_L=j\o L$, $Z_L=\o L$ et $\phi_L=\pi/2$ où $R_L=0$ et $X_L=\o L$
• admittance : $\ub Y = \frac{1}{\ub Z}=Ye^{-j\phi}=G+jB$ en siemens
  • conductance : $G=Y\cos\phi$
  • susceptance : $B=-Y\sin\phi$
  • module : $Z=\sqrt{G^2+B^2}$
  • angle : $\phi=\arctan\frac{-B}{G}$

Circuits en régime sinusoidal 3

• source avec impédance interne
  • $\ub U=\ub U_0-\ub Z_i\ub I$
  • $\ub I=\ub I_0-\ub Y_i\ub U$
  • équivalence sources : $\ub U_0=\ub Z_i\ub I_0$ et $\ub I_0=\ub Y_i\ub U_0$
• réseaux d'impédances
  • en série : $\ub Z_s=\snk \ub Z_k$
  • en parallèle : $\ub Y_s = \snk \ub Y_k$
• diagramme de phaseur et d'impédance
  • résistance : uniquement réel $R$
  • inductance : imaginaire positif $j\o L$
  • capacité : imaginaire négatif $\frac{-j}{\o C}$
  • comportement capacitif : si $\o L <\frac{1}{\o C}$
  • comportement inductif : si $\o L >\frac{1}{\o C}$
• tripôles équivalents :
  • $Z_A=\frac{Z_{AB}Z_{AC}}{Z_{AB}+Z_{AC}+Z_{BC}}$
  • $Z_B=\frac{Z_{AB}Z_{BC}}{Z_{AB}+Z_{AC}+Z_{BC}}$
  • $Z_C=\frac{Z_{BC}Z_{AC}}{Z_{AB}+Z_{AC}+Z_{BC}}$
  • $Z_{BC}=\frac{Z_AZ_B+Z_AZ_C+Z_BZ_C}{Z_A}$
  • $Z_{AB}=\frac{Z_AZ_B+Z_AZ_C+Z_BZ_C}{Z_C}$
  • $Z_{AC}=\frac{Z_AZ_B+Z_AZ_C+Z_BZ_C}{Z_B}$
• diviseur de tension : $\ub U_2=\ub U\frac{\ub Z_2}{\ub Z_1+\ub Z_2}$
• diviseur de courant : $\ub I_2=\ub I\frac{\ub Z_1}{\ub Z_1+\ub Z_2}$
• théorème de Thévenin : $\ub U_0=\ub U_{ab}|{\ub I=0}$ et $\ub Z_i=\ub Z{ab}|_{u_j=0,i_k=0}$
• théorème de Norton : $\ub I_0=\ub I|{\ub U{ab}=0}$ et $\ub Z_i=\ub Z_{ab}|_{u_j=0,i_k=0}$
• filtre passe-bas $H(j\omega)=\frac{1}{1+jw\omega RC}$
  • si $\omega \to 0$ alors $|H(j\omega)|\to 1$ et $arg(H(j\omega))=0$
  • si $\omega \to \infty$ alors $|H(j\omega)|\to 0$ et $arg(H(j\omega))=-\pi/2$
• filtre passe-haut $H(j\omega)=\frac{\omega RC}{1+jw\omega RC}$
  • si $\omega \to 0$ alors $|H(j\omega)|\to 0$ et $arg(H(j\omega))=\pi/2$
  • si $\omega \to \infty$ alors $|H(j\omega)|\to 10$ et $arg(H(j\omega))=0$
• pertes :
  • facteur de qualité : $Q=\frac{R}{X}$ (superposable)
  • capacité réele : modélisation avec résistance en série $Z_S=R_S+\frac{1}{\o C_s}$ ou parallèle $Z_p$
  • inductance réele : modélisation avec résistance en série $Z_S=R_S+\o L_s$ ou parallèle $Z_p=\frac{j\o L_pR_p}{R_p+j\o L_p}$
• circuit résonant série : circuit RLC réel (avec résistance de source, de capacité et d'inductance)
  • impédance : $\ub Z=R+j(\o L-\frac{1}{\o C})$
  • courant : $\ub I=\frac{\ub V}{R+j(\o L-\frac{1}{\o C})}$
  • amplitude : $I=\frac{V}{\sqrt{R^2+(\o L-\frac{1}{\o C})^2}}$
  • angle : $\phi=-\arctan\frac{\o L-\frac{1}{\o C}}{R}$
  • le circuit se comporte comme une pure résistance et le courant passe par une valeur maximale $I_0=\frac{V}{R}$
  • facteur de qualité : $Q_0=\frac{\o_0 L}{R}=\frac{1}{\o_0 CR}$
• bande passante : $B=\frac{f_0}{Q_0}=\frac{\o_0}{2\pi Q_0}$
• lieu complexe : extrémité du vecteur en fonction d'un paramètre, généralement la pulsation
  • dans le plan complexe, l'inverse d'une droite (demi-droite) est un cercle (demi-cercle)

Circuits en régime sinusoidal 4

• puissance instantanée : $p(t)=u(t)i(t)=2UI\cos(\o t+\alpha)\cos(\o t+\beta)=UI\cos\phi+UI\cos(2\o t+\alpha+\beta)$
• puissance active : $P=UI\cos\phi$ en watt, traduit un échange d'énergie unidirectionnel (composante pulsée, positive, qui oscille autour de $UI\cos\phi$)
• puissance réactive : $Q=UI\sin\phi$ en volt-ampère-réactif ($var$), traduit un échange d'énergie oscillatoire (composante alternative de valeur moyenne nulle)
• puissance pour résistance : $P=UI=\frac{U^2}{R}=RI^2$, $Q=0$ et $p(t)=P(1+\cos(2\o t))$
• puissance pour capacité : $P=0$, $Q=-UI=\frac{U^2}{X_C}=X_CI^2$ et $p(t)=Q\sin(2\o t+2\alpha)$
• puissance pour inductance : $P=0$, $Q=UI=\frac{U^2}{X_L}=X_LI^2$ et $p(t)=Q\sin(2\o t+2\alpha)$ (pas de dissipation d'énergie)
• puissance pour impédance : $P=UI\cos\phi=RI^2$, $Q=UI\sin\phi=XI^2$ et $p(t)=P[1+\cos(2\o t+2\alpha)]+Q\sin(2\o t+2\alpha)$
• puissance aparente : $\ub S=P+jQ=UIe^{j\phi}=Se^{j\phi}=\ub{UI}^*$ en voltampère ($VA$)
• facteur de puissance : $F_p=\cos\phi$
  • résistance : $F_p=1$
  • capacité et inductance : $F_p=0$
• correction du facteur de puissance : minimiser puissance réactive causé par la nature inductive des charges industrielles
  • petit angle et $S$ doit tendre vers $P$
  • on dimimune l'angle en ajoutant des condensateurs en parallèle avec la charge

Circuits en régime sinusoidal triphasé

• systèmes triphasés : circuits alimentés par trois sources sinusoidales déphasées entre elles de 120°
  • source symétrique (équilibrée) : même amplitude de tensions de source (valeur efficace)
  • charge équilibrée : consommation des mêmes puissances active et réactive
• source triphasée
  • en étoile : 3 conducteurs de phase $R$, $S$, $T$ et un conducteur neutre $N$
  • tensions simples : $\ub U_{RN}=\ub U_1=U$, $\ub U_{SN}=\ub U_2=Ue^{-j2\pi/3}$, $\ub U_{TN}=\ub U_3=Ue^{+j2\pi/3}$
  • tensions de ligne ou composées : $\ub U_{RS}=\ub U_{RN}-\ub U_{SN}=\sqrt{3}Ue^{j\pi/6}$, $\ub U_{ST}=\ub U_{SN}-\ub U_{TN}=\sqrt{3}Ue^{-j\pi/2}$, $\ub U_{TR}=\ub U_{TN}-\ub U_{RN}=\sqrt{3}Ue^{+j5\pi/6}$ (en avance de 30° et $\sqrt{3}$ le module des tensions simples)
  • courants de ligne : $\ub I_R$, $\ub I_S$, $\ub I_T$ avec un courant de retour $\ub I_N=\ub I_R+\ub I_S+\ub I_T$
• charge triphasée équilibrée : trois impédances identiques appelées phases de l'utilisateur
  • en étoile : $R$, $S$, $T$ connectés au même point chacun à travers leur impédance
    • tensions de phase = tensions simples : $U_l=\sqrt{3}U_{ph}$
    • courants de phase = courants de ligne : $I_l=I_{ph}$ et $\ub U=\ub Z\ub I$
    • ainsi pas nécessaire d'avoir un point neutre : $\ub I_R+\ub I_S+\ub I_T=0$
  • en triangle : $R$, $S$, $T$ connectés entre eux à travers une impédance
    • tensions de phase = tensions de ligne : $U_l=U_{ph}$
    • courant de phase : $I_l=\sqrt{3}I_{ph}$ et $\ub U=\ub Z\ub I$
  • puissance : somme des phases avec $p(t)=P=3U_{ph}I_{ph}\cos\phi$ (pas de composante pulsée et puissance instantanée = puissance active)
    • $Q=3U_{ph}I_{ph}\sin\phi$
    • puissance apparente : $\ub S=3U_{ph}I_{ph}e^{j\phi}$ et $S=3U_{ph}I_{ph}$
    • en générale : $P_Y=\frac{1}{3}P_\Delta$
    • tripôles équivalents et impédances égales : $\ub Z_Y=\frac{1}{3}\ub Z_\Delta$
• systèmes triphasés non symétriques : impédances non identiques
  • en triangle : raisonnement par noeud
  • en étoile : courant de retour non nul
    • tension : $\ub U_N=\ub Z_p\ub I_{N0}$ où $\frac{1}{\ub Z_p}=\frac{1}{\ub Z_1}+\frac{1}{\ub Z_2}+\frac{1}{\ub Z_3}+\frac{1}{\ub Z_N}$ et $\ub I_{N0}=\frac{\ub U_{RN}}{\ub Z_1}+\frac{\ub U_{SN}}{\ub Z_2}+\frac{\ub U_{TN}}{\ub Z_3}$
  • décomposition symétrique : un système non symétrique peut être décomposé en un système direct, un système inverse et un système homopolaire (1 branche)

Circuits en régime transitoire

• régime transitoire : variation brusque décrite par une équation différentielle linéaire à coefficients constants conduisant à un terme permanent (solution particulière) et un term transisoire (solution générale de l'équation homogène)
• comportement de la capacité : si la pulsion est $0$, le circuit est ouvert sinon si la pulsion est infinie, le circuit est un court circuit
• lors d’un saut, la fréquence est infinie
• saut de tension : interupteur
  • résistance : saut répercuter sur courant selon loi d'Ohm
  • inductance : $i(t)=I_0+\frac{1}{L}\int_0^T u(t)\d t$
  • capacité : pas possible
• saut de courant : interupteur
  • résistance : saut répercuter sur tension selon loi d'Ohm
  • inductance : pas possible
  • capacité : $u(t)=U_0+\frac{1}{C}\int_0^T i(t)\d t$
• réponse indicielle
  • $RC$ : $u=u_R+u_C$ et $i(t)=\frac{U-U_0}{R}e^{-t/RC}$
  • $RL$ : $u=u_R+u_L$ et $i(t)=\frac{U}{R}+(I_0-\frac{U}{R})e^{-\frac{R}{L}t}$
    • enclenchement sur une source sinusoidale : seule la composante permanente est modifiée $i_p(t)=\sqrt{2}\frac{U}{Z}\cos(\o t +\alpha-\phi)$ ainsi $i(t)=i_p(t)+i_h(t)=\sqrt{2}\frac{U}{Z}[\cos(\o t +\alpha-\phi)-\cos(\alpha-\phi)e^{-\frac{R}{L}t}]$
  • $RLC$ : $L\frac{\d^2i}{\d t^2}+R\frac{\d i}{\d t}+\frac{i}{C}=0$ avec $\o_0=\frac{}{\sqrt{LC}}$ et $Q=\frac{\o_0L}{R}$
    • régime pseudopériodique : $\Delta<0\iff Q>1/2$ ainsi $i(t)=Ae^{-\frac{\o_0}{2Q}t}\cos(\o' t+\phi)$ où $\o'=\o_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}$
    • régime critique : $\Delta=0\iff Q=1/2$ ainsi $i(t)=(A_1t+A_2)e^{-\o_0t}$
    • régime apériodique : $\Delta>0\iff Q< 1/2$ ainsi $i(t)=A_1 e^{X_+ t}+A_2 e^{X_- t}$

Quadripôles

• définition : élément de circuit à 4 bornes (2 entrées et 2 sorties)
  • passif : inductances couplées, filtre passe-bas
• matrice représentatives : $\m{Y_1 \\ Y_2}=\m{Q_{11} & Q_{12} \\ Q_{21} & Q_{22}}\m{X_1 \\ X_2}$
  • inversion : si $ad-bc\not=0$ alors $\m{a & b \\ c & d}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\m{d & -b \\ -c & a}$
• matrice d'impédance : $\m{\ub U_1 \\ \ub U_2}=\m{\ub Z_{11} & \ub Z_{12} \\ \ub Z_{21} & \ub Z_{22}}\m{\ub I_1 \\ \ub I_2}$
  • détermination
    • $\ub Z_{11}=\frac{\ub U_1}{\ub I_1}|_{\ub I_2=0}$
    • $\ub Z_{21}=\frac{\ub U_2}{\ub I_1}|_{\ub I_2=0}$
    • $\ub Z_{12}=\frac{\ub U_1}{\ub I_2}|_{\ub I_1=0}$
    • $\ub Z_{22}=\frac{\ub U_2}{\ub I_2}|_{\ub I_1=0}$
  • représentation équivalent en T : $\ub Z_a=\ub Z_{11}-\ub Z_{12}$, $\ub Z_b=\ub Z_{22}-\ub Z_{12}$, $\ub Z_c=\ub Z_{12}$ et inversément $\m{\ub Z_a+\ub Z_c & \ub Z_c \\ \ub Z_c & \ub Z_b+\ub Z_c}$
  • réciprocité : si linéaire et pas de sources dépendantes alors $\ub Z_{12}=\ub Z_{21}$
  • impédance d'entrée : $\ub U_1=\ub Z_{11}\ub I_1+\ub Z_{12}\ub I_2$ et $\ub Z_E=\frac{\ub U_1}{\ub I_1}$
  • impédance de sortie : $\ub U_2=\ub Z_{21}\ub I_1+\ub Z_{22}\ub I_2$ et $\ub Z_S=\frac{\ub U_2}{\ub I_2}$
  • gain en courant : $\ub A_i=\frac{\ub I_2}{\ub I_1}$
• matrice d'admittance
• matrice de chaine (transmission) : relation entre les grandeurs de l'entrée et celles de la sortie $\m{\ub U_1\\ \ub I_1}=\m{\ub A&\ub B\\ \ub C&\ub D}\m{\ub U_2\\ -\ub I_2}$
  • détermination
    • $\ub A=\frac{\ub U_1}{\ub U_1}|_{\ub I_2=0}$
    • $\ub B=-\frac{\ub U_1}{\ub I_12}|_{\ub U_2=0}$
    • $\ub C=\frac{\ub I_1}{\ub U_2}|_{\ub I_2=0}$
    • $\ub D=-\frac{\ub I_1}{\ub I_2}|_{\ub U_2=0}$
  • inverse : $\m{\ub U_2\\ -\ub I_2}=\m{\ub D&-\ub B\\ -\ub C&\ub A}\m{\ub U_1\\ub I_1}$
• interconnexion de quadripoles
  • en série : addition des impédances
  • en parallèle : addition des admittances
  • en cascade : multiplication des paramètres
  • décomposition en sous-matrice

Appendix

• $2\sin^2 t = 1-\cos 2t$
• $2\cos^2 x = 1+\cos 2x$
• $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
• $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
• $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$
• $\tan^2 x +1=\frac{1}{\cos^2 x}$
• $\cot^2 x +1=\frac{1}{\sin^2 x}$
• $\sin 0 = \frac{1}{2}\sqrt{0} = \cos \pi/2 = 0$
• $\sin \pi/6 = \frac{1}{2}\sqrt{1} = \cos \pi/3 = \frac{1}{2}$
  • $\sin \pi/4 =\frac{1}{2}\sqrt{2} = \cos \pi/4 =\frac{\sqrt{2}}{2}$
• $\sin \pi/3 = \frac{1}{2}\sqrt{3} = \cos \pi/6=\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin \pi/2 = \frac{1}{2}\sqrt{4} = \cos 0 = 1$
• $\cosh z =\frac{e^z+e^{-z}}{2}$
• $\sinh z =\frac{e^z-e^{-z}}{2}$
• $\cos z =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cosh iz$
• $\sin z =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\frac{\sinh iz}{i}$
• $e^z=\cosh z +\sinh z=\cos z+i\sin z$
• $e^{-z}=\cosh z -\sinh z$
• $\cosh^2 z -\sinh^2 z = 1$
• $\sin mx\cos nx=\frac{1}{2}[\sin (m+n)x + \sin (m-n)x]$
• $\cos mx\cos nx=\frac{1}{2}[\cos (m+n)x + \cos (m-n)x]$
• $\sin mx\sin nx=\frac{1}{2}[\sin (m-n)x - \cos (m-n)x]$