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_posts/essay/2020-08-14-phone.md

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+layout: post
+title: '存储文件会增加手机的质量吗？'
+date: 2020-08-14
+author: 郑之杰
+cover: 'https://pic.imgdb.cn/item/6686887ad9c307b7e9ea0d14.png'
+tags: 随笔
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+> Will Storing Files Increase the Quality of Phones?
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+手机已经从方方面面进入了人类的生活：屏幕前的你每天用手机聊微信、刷微博、下载电影、拍照片......想必很多人都曾遇到过“您的存储空间已满”这样的痛苦。不知道大家有没有考虑过下面这个问题：
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+当你手机存储容量几乎已满的时候，和你刚买这部手机相比，它的质量有没有发生变化呢？
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+![](https://pic.imgdb.cn/item/668687ccd9c307b7e9e8bb74.png)
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+这里我们不考虑磨损老化等其他因素的影响，仅就手机存储数据带来的质量变化做讨论。在进行讨论之前，让我们先来了解一下手机的存储机制。
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+手机作为一种便捷的计算机，仍然遵守冯诺依曼体系。冯氏体系指出计算机应该由CPU（中央处理单元，主要来进行运算）和存储器（主要来进行存储）两大部分组成。所谓存储器就是用来存储我们在使用中产生的大量数据。计算机中的数据是一系列0和1构成的二进制代码，我们在使用手机的过程中，会产生很多中间数据需要暂时存储起来，也会有很多数据希望能够长时间的保存下来。
+
+熟悉电子技术的朋友很容易理解RAM和ROM：实际上这是两种存储器件，能够存储大量的0和1。所谓RAM即“随机存储器”，它的特点是存储的数据只能在供电的状态下维持，当我们切掉电源后数据会丢失；这一部分在手机中被称作“系统内存”，它的大小影响着手机的运行速度等性能，对于一部iPhone X，这个容量是3GB。而我们在使用手机下载番剧或电影时的数据则存在ROM中，ROM即“只读存储器”，这种存储器存储的数据在掉电后也不会丢失，在手机中这一部分被称作“非运行内存”，它的大小决定了用户能够存储的数据量，对于iPhone X目前则有64GB和256GB两种大小。
+
+在我们讨论的问题中，主要是对于手机中ROM部分的研究，因为我们下载的图片、音乐、照片等通常是存储在这里面的。目前在手机中应用的ROM是一种被称为闪存（Flash  Memory）的存储器，它是基于一种“浮栅场效应管”工作的。在介绍这个的原理之前，先让我们了解一下什么是场效应管。
+
+场效应管（FET）是一种很常用的晶体管。它和双极结型三极管（BJT）等原件共同构成了我们丰富多彩的电子电路。在这里我们只需要知道它是如何在数字电路中体现出0或1的特性的（实际上0和1正是我们要存储的内容），下面我们以N沟道增强型MOSFET管为例介绍一下它的开关特性：
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+![](https://pic.imgdb.cn/item/668687f0d9c307b7e9e901bb.png)
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+这种FET管被称作金属-氧化物-半导体场效应管，正如上图所示，P型硅衬底（灰色，半导体）通过二氧化硅的绝缘层（白色，氧化物）与铝（蓝绿色，金属）连接，其中两部分铝与P型硅直接连接，分别称为源极s和漏极d（注意到在与衬底引线连接之前，这两个极并无区别，因此是可以互换的！），另外一部分铝则在绝缘层上，称为栅极g。
+
+我们把源极s接地，把栅极g作为控制极，把漏极d作为输出极，并在栅源（gs）和漏源（ds）的两端都加上正向电压。考察栅极和漏极电位的大小：在栅极电位较低的时候，管子没有发生明显变化，此时漏极电位较高（接近电源电压），我们认为此时为高电平即逻辑1，或者导通；当栅极电位增大到一定程度时，由于栅极到衬底电压足够大，会有大量的电子被吸引到栅极附近，由于绝缘层的作用堆积，产生一条导电的沟道，此时相当于漏极到源极之间被一条支路短路，漏极电压下降，接近于0电位，我们认为此时为低电平即逻辑0，或者截止。场效应管便通过栅极g的控制体现出0和1两种状态。
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+![](https://pic.imgdb.cn/item/66868810d9c307b7e9e93e06.png)
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+以上讨论并不严谨，希望对电子技术等有一定基础的朋友不必深究。基于此我们了解了如何利用场效应管表示0和1。但是这种场效应管通过控制建立的沟道在撤去电压后并不能保持，也就是并不具备存储的功能。那么我们是否能够制造一种场效应管，使它通过一定的工艺能够具有存储数据的功能呢？或者说，通过一定的手段，使这种场效应管在相同的外加条件下表现为不同的状态0或1呢？下面我们要介绍的便是一种能够实现这种功能的场效应管，也是闪存中使用的元件：浮栅场效应管。
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+![](https://pic.imgdb.cn/item/66868831d9c307b7e9e981e4.png)
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+浮栅场效应管的结构同之前介绍的NMOS管很相像，不同之处在于原来的栅极g被分成两部分，一部分是和之前类似的控制栅gc，另一部分是包裹在绝缘层中的浮栅gf。在之前的讨论中，实现场效应管状态变化是由于栅极g电压的升高，我们可以想象成存在一个阈值，只有栅极电压高于这个阈值时，沟道才能够形成，这个阈值被称作开启电压。如果对于同一个器件，我们能够改变这个开启电压，那么当栅极加一个固定的电压时，不就能够使管子处在0或1的状态了吗？
+
+在一开始时候，浮栅上是没有电荷的，此时就相当于之前提到的场效应管，控制栅的电压大小决定了漏极的电位。当我们在栅极g加上一个很高的电压（远大于形成沟道的电压）时，在P型半导体中会产生大量的高能电子，这些电子由于隧穿效应穿过绝缘层到达浮栅层，当移除这个电压时，由于绝缘层的存在浮栅无法放电，所以电子会留在浮栅上。由于浮栅上带有电子，这个管子的导通电压会变大，即当我们再次向控制栅加电压时，需要更大的电压才能够形成沟道使漏极表现为低电平0（理解为需要足够的电压克服浮栅内的电子）。如果在栅极g仍然加上之前的电压，那么此时在漏极d体现的便是高电平1，而不是低电平0。通过这种方法便实现了状态0或1，浮栅上的电子团即使在掉电的情况下，仍然会存留在浮栅上，所以信息能够长期保存（通常来说，这个时间可达10年）。
+
+这便是一个编程的过程，最初场效应管截止，加控制电压后导通体现为逻辑1,；通过编程改变了浮栅的特性，使得加控制电压后仍截止，体现为逻辑0。对于一个新买的手机，由于没有存储数据，其闪存内的所有浮栅管加电压后全部是导通的，即全部是数据“1”；只有存储了数据后，通过“编程”使得一部分浮栅管截止，最终实现0和1的存储。
+
+好了，既然我们已经清楚手机内存的存储过程，下面我们便讨论最初的问题：我的手机内存存满之后，质量会变化吗？我们注意到，你的手机在存储数据后，发生的变化是一部分浮栅场效应管的控制栅通过大电压使得其浮栅内存储了大量电子。尽管浮栅管内的电子总量没有发生变化，但是高电压使得电子能量发生变化，通过绝缘层进入浮栅的电子具有更高的势能，由于绝缘层的作用使得这部分势能被保留下来。也就是说，随着数据的存储，那些被置为0的浮栅场效应管中的一部分电子具有更高的能量，根据质能方程E=mc2，这些电子的质量也会有所增大。所以你的手机下载视频等占用存储空间之后，它的质量也会增加。
+
+这种质量的增加是微乎其微的，相对于一部手机的重量完全可以忽略不计。但是它至少提醒你一件事：你的手机在聊天看视频的时候（在质量上）都会有所收获；希望你也是如此。

_posts/essay/2020-08-15-resistance.md

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+layout: post
+title: '立方体电阻的等效问题'
+date: 2020-08-15
+author: 郑之杰
+cover: 'https://pic.imgdb.cn/item/66868a2fd9c307b7e9ed465b.png'
+tags: 随笔
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+
+> The Equivalent Problem of Cube Resistance.
+
+大多数朋友们都听说过“电阻”这一元件。电阻作为构成电路的基本元件在生活中必不可少。在电路分析中为了简化问题，对于许多电阻串并联组成的复杂无源网络，我们总希望将其在端口等效成一个电阻。
+
+我在学习电路分析时，曾遇到过一个立方体电阻的等效问题：
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+如下图所示的3维立方体，每条边都是$1Ω$的电阻，问立方体对角线两个端点a、b之间的等效电阻是多少？
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+![](https://pic.imgdb.cn/item/66868a2fd9c307b7e9ed465b.png)
+
+第一次考虑这种问题会非常棘手，但是图中的电阻标有不同的颜色，这是一个非常有趣的提示。事实上这个立方体电路具有高度的对称性，这也是解决问题的出发点：假设电流I从a流入，从b流出，由对称性流进黄色电阻的三个电流应该相等，都为I/3。因此cde三点应该是等电势点。所谓等电势点可以将其连接起来而不会扰乱原来的系统。
+
+从这种思路出发，我们可以得到所有的等势点集合：$$\{cde\}, \{fgh\}$$；用线将等势点连接顺便改画电路图如下：
+
+![](https://pic.imgdb.cn/item/66868a6fd9c307b7e9edc994.png)
+
+即连接等势点之后，电路可以分成几组相同电路的并联，且组与组之间是串联。根据简单的电阻串并联知识，可以很容易的得到这个网络的等效电阻是：
+
+$$
+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6} \Omega
+$$
+
+这道题目到这里就算解决了，但是题目带给我们的乐趣远不止此；我们不妨把问题抽象成一般形式：对于一个n维立方体，仍假设该立方体每条边上都有$1Ω$的电阻，可不可以求得其对角线的等效电阻呢？
+
+为了进一步解决这个问题，找出其中的规律性，我们先做一个超酷的事：来想象一个4维的立方体。
+
+我们从最简单的考虑：一个1维的立方体就是简单的一个电阻，它的总电阻就是它本身。
+
+2维的立方体是一个正方形，四条边分别有四个电阻，对于一条对角线，其每一个端点分出2个电阻，或许我们可以这样理解：2维立方体可以看做1维立方体在第二个维度上用1维立方体并联取代；通俗的理解，是将两个1维立方体“并联”起来，这里的并联是指把两个立方体的的每个顶点用一条边连接，故2维立方体共有1+1+2=4条边（1维立方体边数+1维立方体边数+1维立方体顶点数），按照等势点的思想考虑，其总电阻是：
+
+$$
+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1 \Omega
+$$
+
+
+3维的立方体正如问题开始时所描述的，对于一条对角线，其每一个端点分出3个电阻，同样的，如果我们将两个2维立方体并联，将它们的每个顶点用一条边连接，便可以得到3维立方体。
+
+![](https://pic.imgdb.cn/item/66868afcd9c307b7e9eeddc3.png)
+
+那么4维的立方体会是什么样子呢？理论上它应该具有12+12+8=32条边，每4个边汇聚成1个顶点，如果我们画出两个3维的立方体，并将其顶点连接，便可以构思出所谓的4维立方体了：
+
+![](https://pic.imgdb.cn/item/66868b11d9c307b7e9ef0798.png)
+
+那么这种立方体的等效电阻如何计算呢？
+
+取其中的一条对角线ab（为什么ab是对角线的两端点？请读者思考），我们注意到有四条线是从任意一个顶点分出，且他们的端点是等势点；对角线的另一端也是一样。从一个等势面到另一个等势面的最短路径为通过剩下24个电阻中的任意两个电阻；这意味着24个电阻的内点也是等势点，即两组12个电阻是并联的，两个组是串联连接的。所以等效电阻计算为：
+
+$$
+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{2}{3} \Omega
+$$
+
+下面让我们寻找这个问题的规律性。在用等势点的思想解决立方体等效电阻时，我们首先将电路等效成若干个模块的串联，每个模块中则是若干个电阻的并联。如果我们考虑等效电阻计算时各分数相加的分母，前四维立方体电阻的等效参数如下：
+
+![](https://pic.imgdb.cn/item/66868b97d9c307b7e9f020f1.png)
+
+细心的读者可能看出其中的规律，如果每一排除以排数n的话，刚好得到的数列呈如下形式：
+
+![](https://pic.imgdb.cn/item/66868baad9c307b7e9f05401.png)
+
+这便是著名的杨辉三角形，也叫帕斯卡三角形（**Pascal’s triangle**）。该三角形中第$n$排的数是$(a+b)^n$二项式展开的系数。按此规律，对于一个$n$维立方体，设每边的体电阻为$1Ω$，则该立方体对角线等效电阻为：
+
+$$
+R_n = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{C_{n-1}^i}
+$$
+
+其中$R_n$表示$n$维立方体的对角线等效电阻，$C$是组合数。

_posts/essay/2020-08-18-belt.md

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+layout: post
+title: '讨论带传动的拉力关系'
+date: 2020-08-18
+author: 郑之杰
+cover: 'https://pic.imgdb.cn/item/66868cfad9c307b7e9f2e0b4.png'
+tags: 随笔
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+
+> Discussing the Tension Relationship of Belt Drive.
+
+
+带传动是利用张紧在带轮上的柔性带进行运动或动力传递的一种机械传动。我们的问题是能否建立带传动时柔性带两侧拉力的关系？
+
+![](https://pic.imgdb.cn/item/66868cfad9c307b7e9f2e0b4.png)
+
+首先对问题作定量的描述。机械设计中习惯于如下图所示的简图来建立带传动的模型；两带轮的转向都是顺时针，带则同样以顺时针方向运动。带之所以能够运动是由于带与带轮之间的摩擦力。由于小带轮为主动轮，且带轮转向已确定，所以带受到的摩擦力$F_f$方向也能够确定。
+
+![](https://pic.imgdb.cn/item/66868d25d9c307b7e9f32a1d.png)
+
+由于$F_1 = F_f+F_2$，我们得到第一个感性的结论是$F_1$数值上大于$F_2$。这意味着带进入小带轮前受到的力要比离开小带轮后受到的力大；我们把下面的带（进入小带轮的那部分）叫做紧边，上面的带（离开小带轮的那部分）叫做松边。
+
+由于真正使带传动工作的是带与带轮之间的摩擦力$F_f$，这个力决定了带传动的承载能力；我们希望带传动的承载能力足够大，但是摩擦力$F_f$是不可能无限增大的；由于我们往往关心传动装置的极限情况，因此下面讨论在摩擦力达到极限时两个拉力$F_1$和$F_2$的关系。
+
+需要解释一下，这里我们之所以讨论极限摩擦力的情况，涉及到带传动的特点。如果你没有接触过“弹性滑动”、“打滑”这些概念，事实上你可以理解为当摩擦力达到极限时，带绕过带轮的那一部分均匀的受到摩擦力，这是带传动最理想的工作情况。如果没有达到这个摩擦力大小，将会有一部分带不能充分的起到传递动力的作用；如果我们希望传递更大的动力，而带与带轮间提供不了这么大的摩擦力，带与带轮将产生相对运动，使得带脱离带轮。
+
+下面我们便可以建立带传动达到最大摩擦力时松边与紧边的对应关系了。我们把小带轮和一部分带单独拿出来分析：假设小带轮绕圆心$O$顺时针转动，转速为$n$；带绕过小带轮的包角为$β$，紧边拉力和松边拉力分别为$F_1$和$F_2$。
+
+![](https://pic.imgdb.cn/item/66868dd6d9c307b7e9f485a4.png)
+
+如果我们研究带的受力情况，则接触面的法向分布压力$F_N$和摩擦力$F$都是角度$α$的函数。如果我们取其中的一个带微段进行研究，它将受到法向压力$dF_N$、摩擦力$dF$，两端拉力为$F_T+dF_T$和$F_T$。在临界状态下，$dF=fdF_N$。$f$是摩擦系数，取决于带和带轮的材料。
+
+![](https://pic.imgdb.cn/item/66868e25d9c307b7e9f51798.png)
+
+我们可以列出受力分析的平衡方程：
+
+$$
+dF+F_T\cos \frac{d\alpha}{2} = (F_T+dF_T)\cos \frac{d\alpha}{2} \\
+dF_N = F_T\sin \frac{d\alpha}{2} + (F_T+dF_T)\sin \frac{d\alpha}{2}
+$$
+
+注意$dα$是小量，于是有$\sin(dα/2)=dα/2, \cos(dα/2)=1$；略去二阶小量$dF_Tdα$；得到：
+
+$$
+dF=dF_T=fdF_N \\
+dF_N=f_Td\alpha
+$$
+
+上式联立得：
+
+$$
+\frac{dF_T}{F_T} = fd\alpha
+$$
+
+由初始条件$α=0$时$F_T=F_2$；$α=β$时$F_T=F_1$，上式两边从$α=0$到$α=β$积分并整理可得：
+
+$$
+\ln F_1 - \ln F_2 = f\beta \quad \to \quad \frac{F_1}{F_2} = e^{f\beta}
+$$
+
+这便是带传动即将打滑时的古典柔韧体摩擦欧拉公式。在学习机械设计时直接给出了这个公式，其推导过程也比较简单。通过这个公式可以进一步对带传动进行细致的分析，在此就不一一赘述了。