-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
out.tex
91 lines (90 loc) · 3.84 KB
/
out.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
\documentclass[pdf, unicode, 12pt, a4paper,oneside,fleqn]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2B]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\frenchspacing
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{longtable}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{array}
\usepackage{color}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{listings}
\lstset{tabsize=2,
breaklines,
columns=fullflexible,
flexiblecolumns,
numbers=left,
numberstyle={\footnotesize},
extendedchars,
inputencoding=utf8}
\usepackage{longtable}
\def\@xobeysp{ }
\def\verbatim@processline{\hspace{1.2cm}\raggedright\the\verbatim@line\par}
\oddsidemargin=-0.4mm
\textwidth=160mm
\topmargin=4.6mm
\textheight=210mm
\parindent=0pt
\parskip=3pt
\definecolor{lightgray}{gray}{0.9}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}}
\lstdefinestyle{customc}{
belowcaptionskip=1\baselineskip,
breaklines=true,
frame=L,
xleftmargin=\parindent,
language=C,
showstringspaces=false,
basicstyle=\footnotesizettfamily,
keywordstyle=\bfseries\color{green!40!black},
commentstyle=\itshape\color{gray},
identifierstyle=\color{black},
stringstyle=\color{blue},
}
\lstdefinestyle{customasm}{
belowcaptionskip=1\baselineskip,
frame=L,
xleftmargin=\parindent,
language=[x86masm]Assembler,
basicstyle=\footnotesize\ttfamily,
commentstyle=\itshape\color{purple!40!black},
}
\lstset{escapechar=@,style=customc}
\newcommand{\CWPHeader}[1]{\addtocounter{section}{-1}\section{#1}}
\begin{document}
\section*{Статья в формате TeX о многочленаx Цернике.}
\par\textbf{Задача:} Вычислить первые 5 многочленов и построить их грaфики.
\subsection*{Определения:}
Есть чётные и нечётные многочлены Цернике. Чётные многочлены определены как
$$Z^{m}_{n}(\varphi,p)=R^{m}_{n}(p)*\cos \left(m\,\varphi\right)$$
а нечётные как\\
$$Z^{-m}_{n}(\varphi,p)=R^{m}_{n}(p)*\sin \left(m\,\varphi\right)$$
где m и n — неотрицательные целые числа, такие что n >= m,
$\varphi$ — азимутальный угол, а ρ — радиальное расстояние, 0 <= p <= 1.
Многочлены Цернике ограничены в диапазоне от -1 до +1, т.е
$\left| {\it Zm\_n}\left(p , \varphi\right)\right| \leq 1$. \\
Радиальные многочлены $R_{n}^{m}$ определяются как\\
$$R_{n}^{m}(p)=\sum_{k=0}^{{{n-m}\over{2}}}{{{\left(-1\right)^{k}\,\left(n-k\right)!\,p^{n-2\,k}}\over{k!\,\left({{n-m}\over{2}}-k\right)!\,\left({{n+m}\over{2}}-k\right)!}}}$$
для чётных значений n - m , и тождественно равны нулю для нечётных n - m .\\
\subsection*{Ортогональность:}
Ортогональность если m = 0:\\
$$\int_{x=0}^1 Z^{m}_{n}(p,\varphi)*Z^{m'}_{n'}(p,\varphi) \,dp = {{\pi}\over{n+1}}$$\\
Ортогональность если m $\neq$ 0:\\
$$\int_{x=0}^1 Z^{m}_{n}(p,\varphi)*Z^{m'}_{n'}(p,\varphi) \,dp = {{\pi}\over{2\,n+2}}$$
\subsection*{Примеры:}
Является ортогональным:$$R^{0}_{0}(p) = 1$$
\includegraphics[scale=0.5]{./graph1.png}\\
Не является ортогональным:$$R^{1}_{1}(p) = p\,\cos \varphi$$
\includegraphics[scale=0.5]{./graph2.png}\\
Является ортогональным:$$R^{0}_{2}(p) = 2\,p^2-1$$
\includegraphics[scale=0.5]{./graph3.png}\\
Не является ортогональным:$$R^{2}_{2}(p) = p^2\,\cos \left(2\,\varphi\right)$$
\includegraphics[scale=0.5]{./graph4.png}\\
Не является ортогональным:$$R^{1}_{3}(p) = \left(3\,p^3-2\,p\right)\,\cos \varphi$$
\includegraphics[scale=0.5]{./graph5.png}\\
\end{document}