Problema zaino, inizio problema assegnamento

content/Algoritmo Ungherese.md

@@ -0,0 +1,5 @@
+---
+tags:
+  - Ottimizzazione
+  - Ottimizzazione/PLI
+---

content/Condizioni KKT.md

@@ -0,0 +1,4 @@
+---
+tags:
+  - Ottimizzazione/PNL
+---

content/Problema dell'assegnamento.md

@@ -3,3 +3,48 @@ tags:
   - Ottimizzazione
   - Ottimizzazione/PLI
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+Siano A e B due insiemi tali che $A\bigcap B=\emptyset$ e $|A|=|B|$.
+
+Sono dati dei costi agli abbinamenti tra gli elementi di $A$ e $B$.
+
+Il problema degli assegnamenti consiste nell'assegnare ad ogni elemento di A un solo elemento di $B$ in modo che non ci siano elementi non accoppiati e il costo totale sia minimo.
+
+Se $|A|\neq |B|$ si aggiungono elementi fittizi e costi nulli degli abbinamenti con elementi fittizi.
+
+## Formulazione Matematica
+
+$x_{j}, \quad j=1,\dots,$
+
+$$
+xj=
+\begin{cases}
+\ 1 \qquad\quad \text{se l'oggetto }i \in A \text{ è assegnato all'oggetto} j \in B \\
+\ 0 \qquad\quad \text{altrimenti}
+\end{cases}
+$$
+
+$$
+\begin{align}
+min \displaystyle& \sum^n_{j_{=1}}c_{j},x_{j} \\
+& \displaystyle\sum^n_{i=1}x_{ij}=1 \\
+& \sum^n_{j=1}x_{ij}=1 \\
+& x_{ij} \in \{ 0,1 \} \\ \\
+
+& \forall i,j = 1,\dots,n
+\end{align}
+$$
+
+È un particolare problema del trasporto con domanda e offerta = 1.
+
+La matrice dei coefficienti è **Totalmente Unimodulare**
+
+## Matrice Unimodulare
+
+
+> [!def] Matrice Unimodulare
+> Una matrice $A \in \mathbb{R}^{m\times x}$ si dice totalmente unimodulare quando ogni sottomatrice di ordine $P(p=1,\dots,m)$ ha determinante $\in \{ -1,0,1 \}$
+
+
+> [!tldr] Proposizione
+> Dato il poliedro
+

content/Problema dello Zaino.md

@@ -3,3 +3,135 @@ tags:
   - Ottimizzazione
   - Ottimizzazione/PLI
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+Sia $E=\{ 1,\dots,n \}$ un insieme di $n$ oggetti.
+
+Ad ogni oggetto $j$ si associano un profitto $P_{j}$ e un peso $w_{j}$, entrambi interi positivi.
+
+Sia $W$ la capacità.
+
+
+> [!def] Problema dello Zaino
+> Consiste nello scegliere quali oggetti inserire nello zaino in modo da massimizzare il profitto, rispettando il vincolo sulla capacità.
+
+
+## Definizione Formale
+
+$x_{j}, \quad j=1,\dots,$
+
+$$
+xj=
+\begin{cases}
+\ 1 \qquad\quad \text{se l'oggetto }j \text{ è inserito} \\
+\ 0 \qquad\quad \text{altrimenti}
+\end{cases}
+$$
+
+$$
+\begin{align}
+max \displaystyle& \sum^n_{j_{=1}}p_{j},x_{j} \\
+& \displaystyle\sum^n_{j=1}w_{j}x_{j}\leq W \\
+& x_{j} \in \{ 0,1 \}
+\end{align}
+$$
+
+Il problema fa parte dei problemi di riempimento.
+
+## Problema di Riempimento
+
+Siano $S_{1},\dots,S_{k}$ sottoinsiemi di $E$ e sia $c_{j}$ il profitto associato ad ogni $S_{j}$.
+
+Il problema di riempimento consiste nel determinare la sottofamiglia $\mathcal{F}$ degli insiemi $S_{1},\dots,S_{k}$ che sia di profitto massimo e tale che ogni elemento di $E$ appartenga al più ad un solo sottoinsieme di $\mathcal{F}$.
+
+$$
+\begin{align}
+Siano:& \\
+&a_{ij}=\begin{cases}
+\ 1 & & \text{se l'oggetto }i\in S_{j} \\
+\ 0 & & \text{altrimenti}
+\end{cases} \\
+&x_{j}= \begin{cases}
+\ 1 & & \text{se } S_{j} \in \mathcal{F} \\
+\ 0 & & \text{altrimenti}
+\end{cases} \\ \\
+
+max \displaystyle& \sum^k_{j_{=1}}c_{j},x_{j} \\
+& \displaystyle\sum^k_{j=1}a_{ij}x_{j}\leq 1 \qquad \forall\ i=1,..,n\\
+& x_{j} \in \{ 0,1 \}
+\end{align}
+$$
+
+## Approccio Euristico
+
+Si costruisce una soluzione inserendo nello zaino per primi gli elementi migliori secondo un certo criterio.
+
+Ci sono tre criteri:
+
+1. Peso non decrescente (inseriamo molti oggetti)
+2. Profitto non decrescente (inseriamo oggetti di maggior valore)
+3. Rapporto profitto/peso decrescente (più efficace)
+
+Comunque con questo approccio non si arriva all'ottimo
+
+## Metodo (esatto) Branch and Bound per lo zaino
+
+Per applicare il [[Metodo del Branch and Bound]] dobbiamo specificare:
+
+- Come ottenere l'upper bound
+- Come fare branching
+- Come ottenere un lower bound
+
+Per l'operazione di bounding adottiamo l'eliminazione del vincolo di interezza ([[Problemi di Ottimizzazione Lineare Intera#Rilassamento Lineare|RL]]|), perciò risolviamo il problema di PL:
+
+$$
+\begin{align}
+max \displaystyle& \sum^n_{j_{=1}}p_{j},x_{j} \\
+& \displaystyle\sum^n_{j=1}w_{j}x_{j}\leq W \\
+& x_{j} \in [ 0,1 ]
+\end{align}
+$$
+
+Si potrebbe usare il simplesso ma è più efficace un altro metodo.
+
+Si sceglie il criterio di ordinamento $\dfrac{\text{profitto}}{\text{peso}}$ decrescente.
+
+
+Si ordinano gli oggetti secondo questo criterio e si inizia l'inserimento. Supponiamo che si possano inserire i primi $h$ oggetti, ma non l'oggetto $h+1$
+
+$\displaystyle\sum^h_{j=1}w_{j}x_{j}\leq W$
+
+e
+
+$\displaystyle\sum^h+1_{j=1}w_{j}x_{j}> W$
+
+Inseriamo per intero i primi $h$ oggetti: $x_{1}=x_{2}=\dots =x_{h}=1$
+
+Mentre l'oggetto $h+1$ sarà inserito frazionalmente (in parte):
+
+$\large x_{h+1}=\dfrac{W-\text{spazio occupato}/}{P_{h+1}}=\dfrac{W-\displaystyle\sum^h_{j-1}w_{j}}{P_{h+1}}$
+
+Lo zaino è pieno $x_{h+2}=\dots=x_{n}=0$
+
+Il valore ottimo è $\displaystyle\sum^h_{j=1}P_{j}+P_{h+1} \dfrac{W-\displaystyle\sum^h_{j=1}w_{j}}{P_{h+1}}$
+
+$x_{h+1}$ infatti è detta variabile critica ed è la variabile di branch, che effettua la partizione.
+
+Un Lower Bound si ottiene considerando come Soluzione Intera Ammissibile l'arrotondamento per difetto della soluzione del $I$ rilassamento lineare $P_{0}$.
+
+
+- Soluzione $P_{0}: x_{1}=\dots=x_{h}=1\qquad,\qquad x_{h+1=}\dfrac{W-\displaystyle\sum^h_{j-1}w_{j}}{P_{h+1}} \qquad,\qquad x_{h+2}=\dots=x_{n}=0$
+
+- L'arrotondamento è: $x_{1}=\dots=x_{h}=1 \qquad,\qquad x_{h+1}=\dots=x_{n}=0$
+
+
+- e il lower bound: $\displaystyle\sum^h_{j=1}P_{j}$
+
+
+Come strategia si usa in genere il best bound.
+
+
+> [!success] Esempio (WIP)
+> 
+
+
+
+

content/index.md

@@ -35,6 +35,8 @@ Questa pagina funge da indice.
 	- [[Metodo dei Tagli di Gomory]]
 - [[Metodo del Branch and Bound]]
 - [[Problema dello Zaino]]
+- [[Problema dell'assegnamento]]
+	- [[Algoritmo Ungherese]]
 - [[Problema del Commesso viaggiatore]]
 
 ## Programmazione Non Lineare