PLI Metodo dei tagli, gomory, schemi, inizio b&b

content/Metodo dei Tagli di Gomory.md

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 tags:
-  - Ottimizzazione/FirstItinere
+  - Ottimizzazione
+  - Ottimizzazione/PLI
 aliases:
-  - Metodo dei Tagli
-  - Gomory
+  - Metodo di Gomory
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+![[Metodo dei piani di taglio#Schema Generale]]
+
+
+# Metodo di Gomory
+
+Genera il taglio sfruttando la tabella finale del [[Metodo del Simplesso|Simplesso]] del [[Problemi di Ottimizzazione Lineare Intera#Rilassamento Lineare|Rilassamento Lineare]] (RL).
+
+In particolare, usa la riga della tabella associata ad una componente frazionaria della soluzione ottima del (RL).
+
+Sia data la tabella finale della risoluzione del RL:
+
+-- WIP
+
+- $\beta_{r}$ è frazionario.
+- $x^{OTT}_{RL}=(\beta_{1},\dots,\beta_{r},\dots,\beta m)$
+
+$x^{OTT}_{RL}$ non è intero, supponiamo che $\beta_{r}$ non sia intero.
+
+## Procedimento
+
+Scriviamo la riga $r-$esima:
+
+$\Large x_{r}+\alpha_{rm+1}x_{m+1}+\dots+\alpha_{rn}x_{n}=\beta_{r}$
+
+e consideriamo i floor dei coefficienti:
+
+$\Large x_{r}+\left\lfloor {\alpha_{rm+1}} \right\rfloor x_{m+1}+\dots+ \left\lfloor {\alpha_{rn}} \right\rfloor x_{n}= \left\lfloor {\beta_{r}} \right\rfloor$
+
+Questo è il taglio di Gomory in forma intera.
+
+Il taglio va aggiunto al rilassamento lineare dopo averlo reso standard. Si aggiunge il vincolo standard:
+
+
+$\Large x_{r}+\left\lfloor {\alpha_{rm+1}} \right\rfloor x_{m+1}+\dots+ \left\lfloor {\alpha_{rn}} \right\rfloor x_{n}+x_{n+1}= \left\lfloor {\beta_{r}} \right\rfloor$
+
+Come precedentemente detto, la convergenza è lenta. I primi tagli risultano più efficaci, ma lo sono meno continuando ad iterare l'algoritmo.
+
+Se si opera un taglio alla volta e ci sono più valori frazionari si sceglie sempre la riga con indice minore, **oppure** quella con termine noto che ha la parte frazionaria maggiore.
+
+
+> [!success]- Esempio (Grafico, lungo)
+> EH, VOLEVI!
+> wip.
+
+

content/Metodo dei piani di taglio.md

@@ -3,3 +3,43 @@ tags:
   - Ottimizzazione
   - Ottimizzazione/PLI
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+Consideriamo il problema intero di prima:
+
+$$
+
+\begin{align}
+& minC^Tx \\ 
+& \begin{rcases}
+& Ax = b\\
+& x\geq 0 \\
+& x \text{ intero} \\
+\end{rcases} \ X
+\end{align}
+
+$$
+
+
+> [!def] Taglio
+> Sia $a^Tx\leq \alpha_{0}$ una disuguaglianza verificata $\forall\ x \in X$, essa si chiama **Taglio** se non è verificata dalla soluzione ottima del (RL)
+
+![[10-taglio.png|512]]
+
+Gli algoritmi dei piani di taglio risolvono una successione di problemi continui, ottenuti aggiungendo ogni volta un taglio, fino ad ottenre una soluzione intera.
+
+## Schema Generale:
+
+1. Si risolve il (RL), se $x_{RL}^{OTT}$ è intera $\implies STOP$
+2. Si genera un taglio (**nuovo vincolo!**) $a^Tx\leq \alpha_{0}$
+	- Tale che $a^Tx^{OTT}_{T}>a_{0}$
+	- Significa: Il taglio è verificato da tutti i punti interi, ma non è soddisfatto dall'ottimo del rilassamento continuo.
+3. Si risolve il nuovo problema continuo con l'aggiunta del nuovo vincolo
+
+## Procedimento ed Efficienza
+
+È un processo molto lungo ed estenuante da fare a mano, per questo in teoria esistono i computer, che possono operare più tagli contemporaneamente per migliorare l'efficienza, ma noi siamo studenti universitari e quindi abbiamo meno diritti delle macchine.
+
+A seconda della scelta del taglio si hanno diversi algoritmi, ma resta comunque l'idea comune di fondo di approssimare l'involucro convesso mediante l'inserimento dei tagli.
+
+## Implementazioni:
+
+Una implementazione è il [[Metodo dei Tagli di Gomory]].

content/Metodo del Branch and Bound.md

@@ -3,3 +3,7 @@ tags:
   - Ottimizzazione
   - Ottimizzazione/PLI
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+# Metodo Branch and Bound
+
+È un metodo molto utilizzato per risolvere problemi PLI.
+

content/Problemi di Ottimizzazione Lineare Intera.md

@@ -3,3 +3,100 @@ tags:
   - Ottimizzazione
   - Ottimizzazione/PLI
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+# Programmazione Lineare Intera
+
+Consideriamo problemi del tipo:
+
+$$
+\begin{align} \\
+
+& minC^Tx  \\
+& Ax \leq b\\
+& x\geq 0 \\
+& \boxed{x \text{ intero}}
+
+
+\end{align}
+$$
+
+
+> [!info] Osservazione
+> La regione ammissibile di un problema intero **non è** convessa.
+> In generale possono esservi alcune variabili continue e alcune intere. Si parla in tal caso di PLI mista (che non trattiamo)
+
+
+> [!success]- Esempio Grafico PLI
+> ![[09-pligraf.png]]
+
+Se risolviamo il problema senza vincolo di interezza, l'ottimo sarebbe $(2.7\ ;\ 2.2)$.
+
+Altrimenti: 
+
+- Soluzione ottima intera: $(2;3)\quad f.o.=7$
+- Soluzione arrotondata: $(2;2)\quad f.o.=6$
+
+Come è ovvio vedere, non è possibile risolvere il problema intero eliminando il vincolo di interezza e risolvendo il problema continuo approssimando la soluzione.
+
+Bisogna necessariamente risolvere il problema intero.
+
+## Relazioni problemi lineari < - > interi
+
+### Rilassamento Lineare
+
+Dato un problema PLI (definito sopra), è possibile ottenere un **Rilassamento Lineare** (RL), o **continuo**:
+
+$$
+
+\begin{align}
+& minC^Tx  \\
+& \begin{rcases}
+& Ax = b\\
+& x\geq 0 \\
+\end{rcases} \ P
+\end{align}
+
+$$
+
+- Risulta che $X=P\bigcap \mathbb{Z}^n$, cioè la regione ammissibile del problema di PLI è data dalla soluzione intera del poliedro P.
+
+- Inoltre $X\subseteq P$, cioè la reigone ammissibile del problema PLI è sempre contenuta nel poliedro P.
+
+
+Si ha che il valore ottimo di (RL) è sempre $\leq$ del valore ottimo di (PLI):
+
+- $z_{RL}\leq z_{PLI}$
+
+Infine:
+
+Se la soluzione ottima di (RL) è intera $\implies$ è soluzione del problema (PLI).
+
+## Involucro Convesso
+
+Dato un insieme discreto, esistono diversi poliedro che lo contengono. Il poliedro più interessante è l'**Involucro Convesso** (Convex Hull), e cioè il più piccolo insieme convesso che contiene i punti discreti.
+
+L'involucro convesso ha solo vertici interi, si potrebbe quindi risolvere il problema continuo usando l'involucro convesso come insieme dei vincoli:
+
+$$
+
+\begin{align}
+& minC^Tx & & min\ C^Tx \\ 
+& \begin{rcases}
+& Ax = b\\
+& x\geq 0 \\
+& x \text{ intero} \\
+\end{rcases} \ \overset{ \text{risolviamo} }{ \longrightarrow } & & x \in conv(X)
+\end{align}
+
+$$
+
+Il problema da risolvere è detto **Rilassamento Convessificato** e si ottiene la soluzione intera cercata.
+
+In generale però, non è facile costruire $conv(X)$. Servono dei metodi per costruirlo.
+
+
+> [!todo]- Metodo dei piani di taglio (Generico)
+> ![[Metodo dei piani di taglio]]
+
+
+> [!application]- Metodo di Gomory (Implementazione piani di taglio)
+> ![[Metodo dei Tagli di Gomory]]