Fine prima draft Dualita, Inizio scarti complementari, 13 out of 25

content/Dualità.md

@@ -88,7 +88,7 @@ Allora $y^Tb\leq c^Tx$
 Significato:
 
 
-> [!tldr] Teorema della Dualità debole
+> [!def] Teorema della Dualità debole
 > - La funzione obiettivo primale è un **upper bound** per il valore ottimo duale;
 > - La funzione obiettivo duale è un **lower bound** per il valore ottimo primale;
 
@@ -108,3 +108,12 @@ Riassunto dei possibili casi in una tabella:
 | Ottimo Finito | $\large\textcolor{lightgreen}{\checkmark}$ | $\large\textcolor{red}{\times}$ | $\large\textcolor{red}{\times}$ |
 | Illimitato | $\large\textcolor{red}{\times}$ | $\large\textcolor{red}{\times}$ | $\large\textcolor{lightgreen}{\checkmark}$ |
 | Inammissibile | $\large\textcolor{red}{\times}$ | $\large\textcolor{lightgreen}{\checkmark}$ | $\large\textcolor{lightgreen}{\checkmark}$ |
+
+## Teorema della Dualità Forte
+
+
+> [!def] Teorema della dualità forte
+> Se uno dei due problemi primale o duale ha ottimo finito allora anche l'altro ha ottimo finito, e i valori ottimi delle funzioni obiettivo coincidono.
+> Se uno dei due problemi è illimitato, l'altro è inammissibile.
+
+Continua in [[Scarti Complementari]]

content/Scarti Complementari.md

@@ -4,3 +4,23 @@ tags:
   - Ottimizzazione/ProgLineare
   - Ottimizzazione/Dualita
 ---
+# Scarti Complementari
+
+Siano dati i problemi primale-duale:
+
+$$
+\begin{align}
+& & minC^Tx & \qquad & max\ y^Tb  & \\
+& (P) & Ax \geq b & \qquad & y^TA\leq c^T &\qquad (D) \\
+& & x\geq 0 & \qquad & y\geq 0 &
+\end{align}
+$$
+
+Siano $\bar{x}$ ammissibile per (P) e $\bar{y}$ ammissibile per (D).
+
+$\bar{x},\bar{y}$ sono soluzioni ottime $\iff$ soddisfano le condizioni:
+- $\bar{y}^T(Ax-b)=0\leftarrow$ $m$ relazioni
+- $(y^TA-c^T)\bar{x}=0\leftarrow$ $n$ relazioni
+
+Abbiamo un sistema di $n+m$ equazioni.
+