Geometria Programmazione Lineare. 5 out of 25

Aka carrellata di definizioni

content/Algebra della programmazione lineare.md

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+tags:
+  - Ottimizzazione
+  - Ottimizzazione/ProgLineare
+  - Algoritmi/SecondaProva
+---
+Cerchiamo di esprimere il concetto di vertice in modo algebrico, sfruttando la struttura di vincolo.
+
+# Forma Standard
+
+Si dice Forma Standard di un problema di PL, il problema scritto nella forma:

content/Geometria della programmazione lineare.md

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+tags:
+  - Ottimizzazione
+  - Ottimizzazione/ProgLineare
+---
+Mettiamo in luce le proprietà geometriche della regione ammissibile.
+
+
+> [!def] Iperpiano
+> L'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare in $n$ variabili.
+> $\text{iperpiano }\to\ a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots+a_{n}x_{n}=b$
+
+
+> [!def] Semispazio
+> L'insieme delle soluzioni di una disequeazione lineare in n variabili.
+> $\text{semispazio}\to a_{1}z_{1}+a_{2}x_{2}+\dots+a_{n}x_{n} \gtreqless b$
+
+
+O, per riassumere:
+
+| $\mathbb{R}^2$ | $\mathbb{R}^n$ |
+| :--: | :--: |
+| retta | iperpiano |
+| semipiano | semispazi |
+## Problema di PL
+
+$$
+\begin{align}
+min( & c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots+c_{n}x_{n}) \\
+& a_{11}x_{1}+\dots+a_{1n}x_{n}\gtreqqless b_{1} \\
+& a_{21}x_{1}+\dots+a_{2n}x_{n}\gtreqqless b_{2} \\
+& \dots \\
+& a_{m1}x_{1}+\dots+a_{mn}x_{n}\gtreqqless b_{m} \\
+& x_{1},\dots,x_{n} \in \mathbb{R}
+\end{align}
+$$
+
+
+Sistema di equazioni e diseguazioni lineari in $n$ variabili $\to$ intersezione di iperpiani e semispazi chiusi. 
+
+
+
+> [!def] Poliedro
+> Intersezione di un numero finito di iperpiani e semispazi chiusi.
+> Alias: un insieme convesso (vedi sotto)
+
+
+> [!def] Combinazione convessa
+> Sia $x,y \in \mathbb{R}^n$, è il punto $z=\lambda x+(1-\lambda)y$ con $\lambda \in [0,1]$
+> Propria $\iff \lambda \in \ ]0,1[$ 
+
+- La combinazione convessa di 2 punti dà il segmento che ha per estremi i due punti considerati;
+- La combinazione convessa di 3 punti dà il triangolo 
+
+> [!def] Combinazione convessa generale
+> Siano $x^1,\dots,x^m \in \mathbb{R}^n$, il punto $z=\displaystyle\sum^m_{i=1}\lambda_{i}x^i$ si chiama combinazione convessa di questi punti.
+> Con $\lambda_{i}\geq 0$ e la somma di tutti i $\lambda_{i}=1$
+
+
+> [!def] Insieme convesso
+> Un insieme $k \subseteq \mathbb{R}^n$ si dice convesso se $\forall x,y \in k$ anche il punto $z$ appartiene a $k$
+> Cioè dati due punti di k, il segmento ottenuto è tutto convenuto in $k$.
+
+
+> [!def] Vertice
+> Un Vertice di un poliedro è un punto che **non** può essere espresso come combinazione convessa **propria** (cioè con $\lambda \in\ ]0,1[$) di altri punti del poliedro.
+> Un Vertice è un estremo di un segmento $\to$ non può trovarsi "dentro" un segmento generato da altri punti.
+
+
+> [!tldr] Per riassumere
+> - La regione ammissibile di un problema di [[Problemi di Ottimizzazione#Programmazione Lineare|PL]] è un poliedro $\to$ è convessa;
+> - I problemi di PL sono problemi convessi $\to$ Gli ottimi locali sono globali.
+
+
+## Teorema Fondamentale della PL
+
+Dato il problema:
+
+$$
+\begin{align} \\
+
+& minC^Tx  \\
+& Ax \leq b\\
+& x\geq 0
+\end{align}
+$$
+
+Se ha una soluzione ottima, allora esiste un vertice ottimo. 
+
+
+Conseguenza: La soluzione ottima va cercata fra i vertici
+
+
+
+> [!question] Esistono sempre vertici?
+> Risulta che un poliedro ha vertici $\iff$ non contiene rette.
+> C'è una **sola situazione** nella quale la regione ammissibile non ha vertici, contiene rette, e ha soluzioni ottime.
+
+$$
+\begin{align}
+max(& x_{1}+x_{2}) \\
+& x_{1}+x_{2}\geq 1 \\
+ & x_{1}+x_{2}\leq 2
+\end{align}
+$$
+Il poliedro è una **striscia**. 
+
+Ci sono $\infty$ soluzioni ottime che sono tutti i punti della retta $x_{1}+x_{2}=2$, e quindi il valore ottimo della funzione obiettivo è 2.

content/Programmazione Lineare.md

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 tags:
   - Ottimizzazione
   - Ottimizzazione/FirstItinere
+draft: true
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 # Classificazione dei Problemi
 

content/index.md

@@ -15,7 +15,7 @@ Questa pagina funge da indice.
 - [[Metodo Grafico per la programmazione Lineare]]
 	- [[Geometria della programmazione lineare]]
 - [[Algebra della programmazione lineare]]
-	- [[Forma Standard]]
+	- [[Algebra della programmazione lineare#Forma Standard|Forma Standard]]
 - [[Metodo del Simplesso]]
 - [[Dualità]]