pythonData-Structures-and-Algorithms

一、算法复杂度

O(1)、O(log n),O(n),O(n log n),O(n²),O(n³),O(nⁿ)

计算规则

1.基本循环程序：

基本操作：复杂度O(1) ,如果是函数调用，将其时间复杂度代入，参与整体时间复杂度计算。
加法规则（顺序复合）：两部分（多部分）的顺序复合，复杂度是两部分的加和。
T(n)=T₁(n)+T₂(n)=O(T₁(n))+O(T₂(n)) = O(max()T₁(n),T₂(n))
乘法规则（循环结构）：循环体执行T₁(n)次，每次执行要T₂(n)时间，那么：
T(n)=T₁(n) * T₂(n) = O(T₁(n)) * O(T₂(n)) = O(T₁(n)*T₂(n))
取最大规则（分支结构）：如果算法是条件分支，两个分支的时间复杂性分别为 T₁(n)和T₂(n) ，那么：
T(n) = O(max()T₁(n),T₂(n))

2.python的计算代价

时间开销:
1. 基本算术运算和逻辑运算是常量时间运算,O(1)
2. 组合对象的操作:
  复制和切片操作O(n),与长度有关
  list,tuple元素访问和赋值，是O(1)
  dict操作比较复杂
3. 字符串看组合对象来定
4. 创建对象余姚辅助空间和时间，代价都与对象大小有关
5. 构造新结构，如list、tuple、set等包含n个元素，O(n)
6. dict平均复杂度O(1)，最坏情况O（n）
空间开销：
1. 一般而言，创建n个元素的数据结构，为O(n)
2. python中没有预设最大元素个数，会自动扩充存储空间。
3. 注意python自动存储管理系统的影响

二、抽象数据类型ADT

定义一个抽象数据类型，目的是要定义一类计算对象，它们具有某些特定功能，可以在计算中使用。

构造有理数抽象数据类型,如下

ADT Rational:               #定义有理数抽象数据类型
Rational(int num,int den)   #构造有理数num,den
+(Rational r1, Rational r2)  #r1+r2
-(Rational r1, Rational r2)  #r1-r2
*(Rational r1, Rational r2)     #r1*r2
/(Rational r1, Rational r2)     #r1/r2

日期抽象数据类型:

ADT Date:
    Date(int year,int month,int day)    #定义年月日
    difference(Date d1,Date d2)         #求d1和d2的日期差
    plus(Date d,int n)                  #日期d后n天的日期
    num_date(int year,int n)            #计算year年第n天的日期

ADT是一种思想，也是一种组织程序的技术：

围绕一类数据定义程序模块
模块的接口和实现分离
在需要实现的时候，采用合理的技术，选择合适的机制，实现这种ADT功能，包括具体的数据表示和操作。

三、类

类定义和使用：
```
 class <类名>:
     <语句组>
```
类对象支持两种操作：属性访问和实例化。
实例对象：初始化和使用
使用__init__方法完成初始化，第一个参数self，其可以有更多的形式参数。
几点说明：

使用_，避免方法名字冲突,比如_num 和 num
如果在一个方法函数里需要调用在同类里的另一个方法函数，要使用self.g(...)，g()为类的另一个函数
方法函数可以通过global和nonlocal声明来访问全局变量和函数.
使用isinstance(obj,cls)检查类和对象的关系,检查obj对象是否是类cls 的实例

解调方法和类方法：

在def行前加@staticmethod表示静态方法，不需要 self参数，通过类名或值为实例对象的变量，以属性引用的方式调用静态函数
在def行前加@classmethod表示类方法，习惯用cls参数名

类定义的作用于规则：类定义的标识符具有局部作用域，只能在类里使用。外部通过类名字的属性引用方式来访问。
私有变量

用_一个下划线开头作为实例对象内部的东西，不应该在类以外访问他们.
用__开头，但不结尾，在类外访问不到这个对象。
此外，具有__add__的形式表示特殊的魔法方法

继承在class(object):括号里表示继承的父类，使用issubclass（cls1，cls2）来检查cls2是否为cls1 的基类

8.方法查找：在派生类里查找方法，根据继承关系来找，直到Attribute Error异常为止。

9.super（） super.m1()表示调用父类的m1函数，而不是本类的m1.

四、线性表

list和tuple采用了顺序表的实现技术。

基于下标的高效元素访问和更新，时间复杂度O(1)
允许任意元素加入，表对象的标识(id值)不变
要求操作为O（1），且保持顺序，只能采用连续表技术,表元素保存在一块连续存储区里。
要求能容纳任意多的元素，且保持id不变，采用分离式实现技术

list实现策略：建立空表，分配容纳8个元素的存储区，如果区满换一块4倍大的存储区，如果表很大，改变策略，换存储区时容量加倍，目前值时5000。

操作性质：

len()是O(1)操作
元素访问和赋值，尾端加入和尾端删除（尾端切片删除）为O(1),pop()
一般位置的元素加入、切片替换、切片删除、表拼接（extend）是O(n）,pop(n)指定位置
list.reverse()反转操作,O（n） list.clear()是O（1）去除元素的操作，两种方法
将表的元素计数值设置为0，变为空表。
另外分配一个空表用的存储空间，原存储区有python解释器的存储管理器自动回收。

五、字符串

1. python字符串相关概念：

字符串的长度：长度为0成为空串，长度为1的字符串。
字符在字符串励按顺序排列，和线性表一样。
字符串相等，说明长度相等，且两串的对应位置的个字符两两相同。
字典序：字符串的一种序关系。就是从左往右看两个穿中下标相同的各对字符，相比大小。
字符串拼接：用+来表示字符串拼接
字串关系：串s1与串s2中的一个连续片段相同，称s1是s2的字串。
前缀和后缀是两种特殊字串
python字符串是不变数据类型，python没有字符类型
统一Unicode编码字符集

2. 字符串匹配（字串查找）

朴素的传匹配算法

从左往右逐个字符匹配
发现不匹配，到目标穿下一个位置开始匹配

算法复杂性O(m*n)

 def navie_matching(t,p):
     m,n = len(p),len(t)
     i,j = 0,0
     while i<m and j<n:
         if p[i] == t[j]:
             i,j=i+1,j+1
         else:
             i,j=0,j-i+1
     if i == m:
         return -1

无回溯串匹配算法（KMP） 详见博客 KMP算法
KMP时间复杂度:O(m+n)

3. 正则表达式

元字符（特殊字符）:

正则表达式包re14个元字符: . ^ $ * + ? \ | { } [ ] ( )

主要操作：

生成表达式对象: re.compile(pattern,flag=0)
检索 : re.search(pattern,string,flag=0)在里检索pattern，返回一个match类型的对象，否则返回None。
匹配: re.match(pattern,string,flag=0)检查string是否存在一个与pattern匹配的前缀。成功返回match对象，否则None。
分割：re.split(pattern,string,maxsplit=0,flasg=0)以pattern作为分割串，maxsplit指明最大分割数，用0表示要求处理完整个string。返回一个列表。
找出所有匹配串：re.findall(pattern,string,flags=0)返回一个表，表中按顺序给出string里与pattern匹配的各个字串
完全匹配: re.fullmatch(string[,pos,[,endpos]])

正则表达式构造

字符组描述：[...]与[]里的字符序列里的任意字符匹配。[abc]可以与字符a,b,c匹配。
- 区间形式: [0-9a-zA-Z]
- 特殊形式: [^...],^表示对列出的字符组求补
圆点字符(.)：通配符，匹配所有字符,a..b表示以a开头b结尾的所有字符串
- \d:匹配十进制数字等价于[0-9]
- \D：匹配所有非十进制数字[^0-9]
- \s:匹配所有空白字符 [\t\v\n\f\r]
- \S:匹配所有非空字符 [^ \t\v\n\f\r]
- \w:匹配字母数字 [0-9a-zA-Z]
- \W:非字母数字 [^0-9a-zA-Z]
重复：
- 贪婪匹配:用 * 匹配0次或任意多次。
```
  re.split('[,]*',str)      
```
- 非贪婪匹配：用 + 匹配1次或任意多。\d+等价于\d\d*
可选描述符: ?
a?要求与a匹配的字符串的0或1次重复匹配
重复次数描述符: {n}
a{n}与a匹配的串n次重复
重复次数范围 {n,m} go{2,5}gle,匹配结构为：google,gooogle,goooogle,gooooogle.
a{n}等价于a{n,n},a?等价于a{0,1}
*、+、?、{m,n}都采取贪婪匹配规则
非贪婪匹配描述符:
*?,+?,??,{m,n}?表示非贪婪匹配策略，在后面加？
选择
- 选择描述符 |
  表示两种或多种串匹配模式
首位描述符:
- 行首描述符：以^开头的
- 行尾描述符: 以$符号结尾
- 串首描述符: \A开头的
- 串尾描述符: \Z结尾的
单词边界
\b描述单词边界，在实际单词边界位置匹配空串。单词是字母数字的任意连续序列，边界就是非字母数字的或者无字符.
\\表示转义
匹配对象(match对象)
mat表示通过匹配得到的一个match对象

取得被匹配的子串:mat.group()
在目标串里的匹配位置: mat.start()
目标串里的被匹配子串的结束位置: mat.end()
目标串里被匹配的区间: mat.span()得到匹配开始位置和结束位置组成的二元组
其他mat.re和mat.string（是数据与访问，不是函数）分别取得match对象的正则表达式和目标串。

模式里的组（group）
被匹配的组。

六、栈和队列

存取关系:

栈是保证元素后进先出(LIFO结构)
队列先进先出(FIFO结构)

1.栈抽象数据类型

    ADT Stack：
        Stack(self)         #创建空栈
        is_empty(self)      #判断栈是否为空，空返回True否则False
        push(self,elem)     #将元素elem加入栈，也常称压入或推入
        pop(self)           #弹出
        top(self)           #取得最后压入栈的元素

python的list及其操作来实现栈：
顺序表技术实现栈类

建立空栈对应于创建空表[]
list使用动态顺序表技术（分离式），所以栈不会满
压入元素对应于list.append()
访问栈顶元素 :list[-1]

弹出操作: list.pop()无参，默认弹出表尾元素

  class SStack():
      def __init__(self):
          self._elems= []
          
      def is_empty(self):
          return self._elems == []

      def top(self):
          if self._elems == []:
              raise StackUnderflow('in SStack.top') 
          return self._elems[-1]

      def push(self,elem):
          drlf._elems.append()

      def pop(self):
          if self._elems == []
              raise StackUnderflow('in SStack.pop')
          return self._elems.pop()
      
  st1 = SStack()
  st1.push(3)
  st1.push(2)
  while not st1.is_empty():
      print(st1.pop())

栈的链接表实现: 所有栈操作都在一端进行，采用链接表技术，用表头作为栈顶，用表尾作为栈底。

class LStak():
    def __init__(self):
        self._top=None

    def is_empty(self):
        return self._top is None
    
    def top(self):
        if self._top is None:
            raise StackUnderflow('in LStack.top')
        return self._top[-1]
    
    def push(self):
        self._top = LNode(elem,self._top)
    
    def pop(self):
        if self._top is None:
             raise StackUnderflow('in LStack.pop')
        p = self._top
        self._top = p.next
        return p.elem

2.栈的应用:

1.括号匹配问题: 三种括号[],(),{}

def check_parens(text):
    '''括号配对检查函数，text是被检查的正文串
    '''
    parens = "[](){}"
    open_parens="[({"
    
    def parenthese(text):
        """括号生成器，每次调用返回text的下一括号及其位置"""
        i,text_len=0,len(text) 
        while True:
            while i < text_len and text[i] not in parens:
                i+=1
            if i>= text_len:
                return
            yield text[i],i
            i+=1
    st = SStack()
    for pr,i in parentheses(text):
        if pr in open_parens:
            st.push(pr)
        elif st.pop() != opposite[pr]:
            print("Unmatching is found at",i,"for",pr)
            return False
    print("All parentheses are correctly matched.")
    return True

3.队列

队列(queue),称为队，先进先出，队列没有位置的概念，只支持默认方式的元素存入和取出。

ADT Queue:
    Queue(self)         #创建空队列
    is_empty(self)      #判断队列是否为空
    enqueue(self,elem)  #将elem加入队列，入队
    dequeue(self)       #出队
    peek(self)          #最早加入的元素，不删除

队列类的list实现

class SQueue():
    def __init__(self,init_len=8):
        self._len = init_len        #存储区元素长度
        self._elems = [0]*init_len  #元素存储
        self._head = 0              #表头元素下标
        self._num = 0               #元素个数
    
    def is_empty(self):
        return self._num == 0
    
    def peek(self):
        if self._num == 0:
            raise QueueUnderflow
        return self._elems[self._head]
    
    def dequeue(self):
        if self._num == 0:
            raise QueueUnderflow
        e = self._elems[self._head]
        self._head = (self._head+1) % self._len
        self._num -= 1
        return e
    
    def enqueue(self,e):
        if self._num == self._len:
            self.__extend()
        self._elems[(self._head+self._num) % self._len] = e
        self._num += 1

    def __extend(self):
        old_len = self._len
        self._len *= 2
        new_elems = [0]*self._len
        for i in range(old_then):
            new_elems[i] = self._elems[(self._head + i )% old_len]
        self._elems,self._head = new_elems,0

七、二叉树和树

1.二叉树

是节点的有穷集合。包含一个根节点，其余节点分属两颗不相交的二叉树，分别是根节点的左子树和右子树

路径，数从根节点到任意一个节点都有路径，且唯一。
二叉树是层次结构，树根看作做高层元素，规定跟层数为0。
高度（深度）：根节点高度为0。

2.二叉树性质

在非空二叉树第i层至多有 2ⁱ 个节点(i>=0)
高度为h的二叉树至多有 2^h+1-1 个节点(h>=0)
对于任何非空二叉树T，其他节点个数为n₀，度数为二的节点个数为n₂，那么n₀ = n₂ +1

3.满二叉树，扩充二叉树

满二叉树：二叉树中所有分支节点度数为2，满二叉树是一般二叉树的一个子集。
满二叉树的节点比分支节点多一个
扩充二叉树：对二叉树T，加入足够多的节点，使其变为满二叉树T2。T2称为T的扩充二叉树。

3.完全二叉树：对一个高度h的二叉树，第0到h-1层的节点都满，而最后一层不满，且节点在左边，空位在右边。
性质：
1.n个节点的完全二叉树高度h=[log₂n]
2.n个节点的完全二叉树，按照从上到下从左到右的顺序从0开始编号，对任意节点i(0<=i<=n-1)都有

序号为0的是根
对i>0，父节点编号为(i-1)/2
2*i+1<n,左子节点序号为2*i+1,否则无左子节点
2*i+2<n,右子节点序号为2*i+2，否则无右子节点

3.抽象数据类型

ADT BinTree:
    BinTree(self,data,left,right)       #构造操作，创建二叉树
    is_empty(self)                      #判断是否为空
    num_nodes(self)                     #求二叉树节点个数
    data(self)                          #获取二叉树根存储的数据                     
    left(self)                          #左子树
    right(self)                         #右子树
    set_left(self,btree)                #用btree代替原左子树
    set_right(self,btree)               #用btree代替原右子树
    traversal(self)                     #遍历二叉树中个节点数据的迭代器
    forall(self,op)                     #对二叉树的每个节点进行op操作

4.遍历二叉树

深度优先:顺着一条路尽可能往下走，必要时回溯
- 先根序遍历(DLR顺序)
- 中根序遍历(LDR)
- 后根序遍历(LRD)
宽度优先：按层次逐层访问树中各节点。

5.二叉树的list实现

二叉树是递归结构

空树用None表示

非空二叉树用包含三个元素的表[d,l,r]表示,d表示根节点元素，l和r两颗子树
例如：

  ['A',
      ['B',None,None],
      ['C',
          ['D',['F',None,None],
              ['G',None,None]],
          ['E',['H',None,None],
              ['I',None,None]]
          ]
  ]

ptython二叉树实现

from graphviz import Digraph
import uuid
from random import sample

# 二叉树类
class BTree(object):
    # 初始化
    def __init__(self, data=None, left=None, right=None):
        self.data = data    # 数据域
        self.left = left    # 左子树
        self.right = right  # 右子树
        self.dot = Digraph(comment='Binary Tree')

    # 前序遍历
    def preorder(self):

        if self.data is not None:
            print(self.data, end=' ')
        if self.left is not None:
            self.left.preorder()
        if self.right is not None:
            self.right.preorder()

    # 中序遍历
    def inorder(self):

        if self.left is not None:
            self.left.inorder()
        if self.data is not None:
            print(self.data, end=' ')
        if self.right is not None:
            self.right.inorder()

    # 后序遍历
    def postorder(self):

        if self.left is not None:
            self.left.postorder()
        if self.right is not None:
            self.right.postorder()
        if self.data is not None:
            print(self.data, end=' ')

    # 层序遍历
    def levelorder(self):

        # 返回某个节点的左孩子
        def LChild_Of_Node(node):
            return node.left if node.left is not None else None
        # 返回某个节点的右孩子
        def RChild_Of_Node(node):
            return node.right if node.right is not None else None

        # 层序遍历列表
        level_order = []
        # 是否添加根节点中的数据
        if self.data is not None:
            level_order.append([self])

        # 二叉树的高度
        height = self.height()
        if height >= 1:
            # 对第二层及其以后的层数进行操作, 在level_order中添加节点而不是数据
            for _ in range(2, height + 1):
                level = []  # 该层的节点
                for node in level_order[-1]:
                    # 如果左孩子非空，则添加左孩子
                    if LChild_Of_Node(node):
                        level.append(LChild_Of_Node(node))
                    # 如果右孩子非空，则添加右孩子
                    if RChild_Of_Node(node):
                        level.append(RChild_Of_Node(node))
                # 如果该层非空，则添加该层
                if level:
                    level_order.append(level)

            # 取出每层中的数据
            for i in range(0, height):  # 层数
                for index in range(len(level_order[i])):
                    level_order[i][index] = level_order[i][index].data

        return level_order

    # 二叉树的高度
    def height(self):
        # 空的树高度为0, 只有root节点的树高度为1
        if self.data is None:
            return 0
        elif self.left is None and self.right is None:
            return 1
        elif self.left is None and self.right is not None:
            return 1 + self.right.height()
        elif self.left is not None and self.right is None:
            return 1 + self.left.height()
        else:
            return 1 + max(self.left.height(), self.right.height())

    # 二叉树的叶子节点
    def leaves(self):

        if self.data is None:
            return None
        elif self.left is None and self.right is None:
            print(self.data, end=' ')
        elif self.left is None and self.right is not None:
            self.right.leaves()
        elif self.right is None and self.left is not None:
            self.left.leaves()
        else:
            self.left.leaves()
            self.right.leaves()

    # 利用Graphviz实现二叉树的可视化
    def print_tree(self, save_path='./Binary_Tree.gv', label=False):

        # colors for labels of nodes
        colors = ['skyblue', 'tomato', 'orange', 'purple', 'green', 'yellow', 'pink', 'red']

        # 绘制以某个节点为根节点的二叉树
        def print_node(node, node_tag):
            # 节点颜色
            color = sample(colors,1)[0]
            if node.left is not None:
                left_tag = str(uuid.uuid1())            # 左节点的数据
                self.dot.node(left_tag, str(node.left.data), style='filled', color=color)    # 左节点
                label_string = 'L' if label else ''    # 是否在连接线上写上标签，表明为左子树
                self.dot.edge(node_tag, left_tag, label=label_string)   # 左节点与其父节点的连线
                print_node(node.left, left_tag)

            if node.right is not None:
                right_tag = str(uuid.uuid1())
                self.dot.node(right_tag, str(node.right.data), style='filled', color=color)
                label_string = 'R' if label else ''  # 是否在连接线上写上标签，表明为右子树
                self.dot.edge(node_tag, right_tag, label=label_string)
                print_node(node.right, right_tag)

        # 如果树非空
        if self.data is not None:
            root_tag = str(uuid.uuid1())                # 根节点标签
            self.dot.node(root_tag, str(self.data), style='filled', color=sample(colors,1)[0])     # 创建根节点
            print_node(self, root_tag)

        self.dot.render(save_path)                              # 保存文件为指定文件

6. 优先队列

优先队列存入的每项数据都有附加的数值，表示由优先程度。任何时候的访问和弹出都按照优先级最高的顺序。

list实现优先队列：

class PrioQue:
    def __init__(self,elist=[]):
        self._elems = list(elist)
        self._elems.sort(reverse=True)   #从大到小排列
    
    def enqueue(self,e):
        i = len(self._elems) - 1
        while i>=0:
            if self._elems[i] <=e:
                i -= 1
            else:
                break
        self._elems.insert(i+1,e)
    
    def is_empty(self):
        return not self._elems

    def peek(self):
        if self.is_empty():
            raise PrioQueueError("in top)
        return self._elems[-1]

    def dequeue(self):
        if self.is_empty():
            raise PrioQueueError("in pop)
        return self._elems.pop()

7.采用树形结构实现优先队列的一种有效技术为堆。

在一个堆中从树根到任何一个叶节点的路径上，节点里存的数据按照优先关系递减。
堆中最优元素必定位于二叉树根节点
位于数不同路径上的元素不必关系优先级

如果是最小元素优先，称为小顶堆，反之称为大顶堆

基于堆的优先队列类

class PrioQueue:
    def __init__(self,elist=[]):
        self._elems = list(elist)
        if elist:
            self.buildheap()
    def is_empty(self):
        return not self._elems
    
    def peek(self):
        if self.is_empty():
            raise PrioQueueError('in peek')
        return self._elems[0]
    
    #入队操作，主要由siftup完成
    def enqueue(self,e):
        self._elems.append(None)
        self.siftup(e,len(self._elems)-1)

    def siftup(self,e,last):
        elems,i,j = self._elems,last,(last-1)//2
        while i>0 and e < elems[j]:
            elems[i] = elems[j]
            i,j=j,(j-1)//2
        elems[i] = e
    
    def dequeue(self):
        if self.is_empty():
            raise PrioQueueError('in dequeue')
        elems = self._elems
        e0 = elems[0]
        e = elems.pop()
        if len(elems) > 0 :
            self.siftdown(e,0,len(elems))
        return e0

    def dequeue(self,e,begin,end):
        elems,i,j = self._elems,begin,begin*2+1
        while j< end:
            if j+1 < end and elems[j+1] < elems[j]:         
            #elems[j]不大于其他兄弟节点的数据
                j +=1
            if e< elems[j]:
                break
            elems[i] = elems[j]
            i,j = j,2*j+1
        elems[i] = e

    def buildheap(self):
        end = len(self._elems)
        for i in range(end//2,-1,-1):
            self.siftdown(self._elems[i],i,end)

堆构造复杂度为O（n），插入弹出操作为O(logn)，最坏情况O(n),其他操作O(1)。

八、字典和集合

九、排序算法

1. 插入排序

平均复杂度O(n²) ,稳定

def insert_sort(lst):
    for i in range(1,len(lst)):     #开始时片段[0:1]已排序
        x = lst[i]
        j = i
        while j>0 and lst[j-1].key >x.key:
            lst[j] = lst[j-1]       #反序逐个后移元素，确定插入排序
            j -= 1
        lst[j] = x

2. 选择排序

def select_sort(lst):
    for i in range(len(lst)-1):   #只需循环len(lst)-1次
        k=i                         #k是已知最小元素位置
        for j in range(i,len(lst)): 
            if lst[j].key < lst[k].key:
                k=j
            if i != k:          #lst[k]确定最小的元素，检查是否需要交换
                lst[i],lst[k] = lst[k],lst[i]

3.起泡排序

def bubble_sort(lst=[]):
    for i in rane(len(lst):
        found = False
        for j in range(1,len(lst)-i):
            if lst[j-1].key > lst[j].key :
            lst[j-1],lst[j] = lst[j],lst[j-1]
            found = True
        if not found:
            break

快速排序

def quick_sort(lst):
    qsort_rec(lst,0,len(lst-1))

def qsort_rec(lst,1,r):
    if 1 >= r:
        return          #分段无记录或只有一个记录
    i=1
    j=r
    pivot = lst[i]      #lst[i]是初始空位
    while i<j:          #找pivot的最终位置
        while i<j and lst[j].key >= pivot.key:      #用j向左扫描小于pivot的记录
            j-=1
        if i<j:
            lst[i] = lst[j]
            i+=1        #小记录移到右边
        while i<j and lst[i].key <= pivot.key:
            i+=1        #用i向右扫描找大于pivot的记录
        if i<j:
            lst[j] = lst[i]
            j-=1        #大记录移到右边
        lst[i] = pivot  #将pivot存入其最终位置
        qsort_rec(lst,1,i-1)    #递归处理左半区
        qsort_rec(lst,i+1,r)    #递归处理右半区

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3.抽象数据类型

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5.二叉树的list实现

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7.采用树形结构实现优先队列的一种有效技术为堆。

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2. 选择排序

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