kholles2.tex

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%% Titling configuration
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\posttitle{\vspace{-2mm} \\\hrulefill\end{center}\vspace{-0.5em}}

\title{Khôlles, épisode 2}

\preauthor{\begin{center}}
\author{{\normalfont\scshape Lycée Julie-Victoire Daubié}}
\postauthor{\end{center}}

\date{}

%% Sectioning


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\begin{document}
	\maketitle

\exercice[Question de cours]

Méthode des rectangles (appliquée sur un exemple au choix, sans calcul). Définition de l'intégrale à partir de cette méthode.



\exercice[Question de cours]

Propriétés générales de l'intégrale (linéarité, positivité et croissance, relation de Chasles).


\exercice[Question de cours]

\begin{enumerate}
	\item Soit $n\in\ZZ$. Donner une primitive de $x\longmapsto x^n$.
	\item Donner les primitives des fonctions $\sin$ et $\cos$.
\end{enumerate}


\exercice

Calculer l'intégrale
\[
\int_{\pi/3}^{\pi/4} \tan(x)\dif x.
\]

On rappelle que $\tan = \dfrac{\sin}{\cos}$.

\exercice[Question de cours]

Démontrer, pour tout $n\in\NN^*$, l'égalité:
\[
1^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
\]


\exercice[Moyenne d'une fonction]

\paragraph{Questions de cours} Soit $[a,b]$ un segment de $\RR$ de longueur strictement positive, et $f\colon[a,b]\longrightarrow\RR$ une fonction continue.

\begin{enumerate}
	\item Que représente l'intégrale
	\[
	\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\dif x\quad ?
	\]
	\item Énoncer, puis démontrer, l'inégalité de la moyenne.
\end{enumerate}


\paragraph{Théorème de la moyenne} Montrer qu'il existe un réel $c\in{]a,b[}$ tel que
\[
f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \dif x.
\]






\exercice[Inégalité triangulaire]

Soient $x$ et $y$ deux réels. On rappelle que la \textit{valeur absolue} d'un réel $a$ est le réel $\sqrt{a^2}$, noté $\abs{a}$.

\begin{enumerate}
	\item Montrer que $\abs{x+y}\leq \abs x + \abs y$.
\end{enumerate}

Soient désormais $x_1,\ldots,x_n$ des réels, avec $n$ un entier naturel $\geq 2$.

\begin{enumerate}[resume]
	\item Montrer par récurrence l'inégalité:
	\[
	\abs{x_1 + \cdots + x_n} \leq \abs{x_1} + \cdots + \abs{x_n}.
	\]
\end{enumerate}

Soit $[a,b]$ un segment de $\RR$, et $f\colon[a,b]\longrightarrow\RR$ une fonction continue.

\begin{enumerate}[resume]
	\item En revenant à la méthode des rectangles, montrer l'inégalité suivante:
	\[
	\abs*{\int_{a}^{b} f(x)\dif x} \leq \int_{a}^{b} \abs{f(x)} \dif x.
	\]
\end{enumerate}


\exercice

Soit, pour tout $n\in\NN$, $f_n$ la fonction définie sur $[0,1]$ par
\[
f_n(x) := x^n.
\]

\begin{enumerate}
	\item Soit $x\in[0,1]$. Montrer que la suite $\left(f_n(x)\right)_{n\in\NN}$ converge vers un réel $f(x)$ que l'on précisera. La fonction $f$ est-elle continue ?
	\item Pour tout $n\in\NN$, calculer l'intégrale
	\[
	\int_0^1 f_n(x)\dif x = \frac{1}{n+1}.
	\]
	Quelle est sa limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?
\end{enumerate}

\exercice[Un résultat contre-intuitif]

Soit, pour tout entier naturel non nul $n$, la fonction $f_n$ définie sur $\RR^+$ par
\[
f_n(x) := \frac{1}{n}e^{-x/n}.
\]

\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel positif $x$, la suite $\left(f_n(x)\right)_{n\in\NN^*}$ converge vers un réel $f(x)$ que l'on précisera.
	\item Montrer que la fonction $x\longmapsto -e^{-x/n} $ est une primitive de $f_n$.
	\item Soit $n$ un entier naturel non nul. Montrer que le réel
	\[
	I_n := \int_0^{+\infty} f_n(x)\dif x = \lim_{R\to+\infty}\int_0^R f_n(x)\dif x
	\]
	est bien défini, et le calculer.
	\item Montrer que la suite $(I_n)$ converge vers un réel que l'on précisera.
\end{enumerate}

\exercice[Le théorème d'intégration par parties]

Soit $[a,b]$ un segment de $\RR$. Soient $u$ et $v$ des fonctions $[a,b]\longrightarrow \RR$ de classe $\mathcal{C}^1$ (c'est-à-dire dérivables de dérivées continues).

\begin{enumerate}
	\item Donner une primitive de $u'v + uv'$ sur $[a,b]$.
	\item En déduire la relation suivante:
	\[
	\int_{a}^{b} u'(x)v(x)\dif x = \left[u(x)v(x)\right]_{a}^b - \int_{a}^{b} u(x)v'(x)\dif x.
	\]
\end{enumerate}

On pourra désormais appliquer le théorème dans les exercices.

Une application:
\begin{enumerate}[resume]
	\item Déterminer une primitive de la fonction logarithme népérien $\ln$.
\end{enumerate}




\exercice[Aix-Marseille 1985]

Soit $x$ un réel. Calculer l'intégrale:
\[
G(x) = \int_0^x t^2e^{-t}\dif t.
\]

Dresser le tableau de variations de $G$ sur $\RR$.

\exercice[Antilles 1986]

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$,
		\[
		\frac{1}{(e^x+1)^2} = 1 - \frac{e^x}{e^x+1} - \frac{e^x}{(e^x+1)^2}.
		\]
		\item Calculer l'intégrale
		\[
		I = \int_{0}^{1} \frac{1}{(e^x + 1)^2}\dif x.
		\]
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de la fonction
		\[
		x\longmapsto \frac{e^x}{(e^x+1)^3}.
		\]
		\item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale
		\[
		J = \int_0^1 \frac{xe^x}{(e^x + 1)^3}\dif x.
		\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\exercice[Fonctions paires, impaires, périodiques]

Soit $a$ un réel non nul.
Soit $f\colon[-a,a]\longrightarrow\RR$ une fonction continue.

\begin{enumerate}
	\item On suppose qu'elle est paire, donc telle que
	\[
	\forall x\in[-a,a]\quad f(-x) = f(x).
	\]
	Exprimer
	\[
	\int_{-a}^{a} f(x)\dif x
	\]
	\item De même si $f$ est impaire, soit telle que
	\[
	\forall x\in[-a,a]\quad f(-x) = -f(x).
	\]
\end{enumerate}

On suppose désormais que $f$ est définie sur $\RR$, et qu'elle est \textit{périodique}: il existe un réel $T > 0$ tel que
\[
\forall x\in\RR\quad f(x+T) = f(x).
\]
\begin{enumerate}[resume]
	\item Soit $a$ un réel. Montrer que
	\[
	\int_{a}^{a+T} f(x)\dif x.
	\]
	ne dépend pas de $a$.
\end{enumerate}


\exercice[Lille 1989]

Le but de l'exercice est d'étudier les intégrales $I_n$ définies pour tout entier naturel non nul $n$ par
\[
I_n = \int_0^1 (1-x^n)\sqrt{1-x^2}\dif x.
\]
On pose
\[
J_0 = \int_0^1 \sqrt{1-x^2}\dif x
\]
et pour tout $n\in\NN^*$
\[
J_n = \int_0^1 x^n\sqrt{1-x^2}\dif x.
\]

\begin{enumerate}
	\item Tracer la courbe représentative de la fonction $x\in[0,1]\longmapsto \sqrt{1-x^2}$. En déduire $J_0$.
	\item \begin{enumerate}
		\item Calculer $J_1$.
		\item En déduire $I_1$. Une interprétation géométrique ?
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la suite $(J_n)_{n\geq 1}$.
		\item En déduire que les suites $(J_n)$, puis $(I_n)$, convergent.
	\end{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Démontrer l'encadrement
		\[
		0 \leq J_n \leq \int_0^1 x^n\dif x.
		\]
		\item En déduire les limites de $(I_n)$ et $(J_n)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\exercice

\begin{enumerate}
	\item Soit $x$ un réel. Démontrer que
	\[
	\sin(x) = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.
	\]
	\item En déduire $\sin^3 x$ en fonction de $\sin x$, et $\sin(3x)$.
	\item En déduire l'intégrale
	\[
	\int_0^{\pi/4} \sin^3x \dif x.
	\]
\end{enumerate}


\exercice[Strasbourg 1987]

On pose $I_0 =\int_0^e x\dif x$, et pour tout $n$ de $\NN^*$,
\[
I_n = \int_1^e x(\ln x)^n\dif x.
\]

\begin{enumerate}
	\item Calculer $I_0$ et $I_1$.
	\item Pour tout $n$ de $\NN^*$, établir, via une intégration par parties,
	\[
	2I_n + nI_{n-1} = e^2.
	\]
	En déduire $I_2$.
	\item Montrer que la suite $(I_n)_{n\geq 1}$ est décroissante. En déduire, en utilisant la relation de récurrence précédente, l'encadrement
	\[
	\frac{e^2}{n+3} \leq I_n \leq \frac{e^2}{n+2}.
	\]
	Calculer $\lim\limits_{n\to+\infty}I_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}nI_n$.
\end{enumerate}


\exercice[Lille 1985]

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\geq 3$ par
\[
u_n = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k\ln k} = \frac{1}{2\ln 2}+ \cdots + \frac{1}{n\ln n}.
\]

\begin{enumerate}
	\item Soit $f$ la fonction de la variable réelle définie par $f(x)= \frac{1}{x\ln x}$. Quel est son ensemble de définition ?\\
	Montrer que $f$ est décroissante sur $]1,+\infty[$.
	\item Montrer que, pour tout $k\geq 2$,
	\[
	\frac{1}{k\ln k} \geq \int_{k}^{k+1}f(x)\dif x.
	\]
	En déduire que
	\[
	u_n \geq \int_2^{n+1} f(x)\dif x.
	\]
	\item Calculer
	\[
	I_n = \int_2^n f(x) \dif x
	\]
	en fonction de $n$, puis sa limite.\\
	En déduire la limite de $(u_n)$.
\end{enumerate}

\end{document}