heap-sort.md

本页面将简要介绍堆排序。

定义

堆排序（英语：Heapsort）是指利用 二叉堆 这种数据结构所设计的一种排序算法。堆排序的适用数据结构为数组。

过程

堆排序的本质是建立在堆上的选择排序。

排序

首先建立大顶堆，然后将堆顶的元素取出，作为最大值，与数组尾部的元素交换，并维持残余堆的性质；

之后将堆顶的元素取出，作为次大值，与数组倒数第二位元素交换，并维持残余堆的性质；

以此类推，在第 $n-1$ 次操作后，整个数组就完成了排序。

在数组上建立二叉堆

从根节点开始，依次将每一层的节点排列在数组里。

于是有数组中下标为 i 的节点，对应的父结点、左子结点和右子结点如下：

iParent(i) = (i - 1) / 2;
iLeftChild(i) = 2 * i + 1;
iRightChild(i) = 2 * i + 2;

性质

稳定性

同选择排序一样，由于其中交换位置的操作，所以是不稳定的排序算法。

时间复杂度

堆排序的最优时间复杂度、平均时间复杂度、最坏时间复杂度均为 $O(n\log n)$。

空间复杂度

由于可以在输入数组上建立堆，所以这是一个原地算法。

实现

=== "C++" ```cpp void sift_down(int arr[], int start, int end) { // 计算父结点和子结点的下标 int parent = start; int child = parent * 2 + 1; while (child <= end) { // 子结点下标在范围内才做比较 // 先比较两个子结点大小，选择最大的 if (child + 1 <= end && arr[child] < arr[child + 1]) child++; // 如果父结点比子结点大，代表调整完毕，直接跳出函数 if (arr[parent] >= arr[child]) return; else { // 否则交换父子内容，子结点再和孙结点比较 swap(arr[parent], arr[child]); parent = child; child = parent * 2 + 1; } } }

void heap_sort(int arr[], int len) {
  // 从最后一个节点的父节点开始 sift down 以完成堆化 (heapify)
  for (int i = (len - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) sift_down(arr, i, len - 1);
  // 先将第一个元素和已经排好的元素前一位做交换，再重新调整（刚调整的元素之前的元素），直到排序完毕
  for (int i = len - 1; i > 0; i--) {
    swap(arr[0], arr[i]);
    sift_down(arr, 0, i - 1);
  }
}
```

=== "Python" ```python def sift_down(arr, start, end): # 计算父结点和子结点的下标 parent = int(start) child = int(parent * 2 + 1) while child <= end: # 子结点下标在范围内才做比较 # 先比较两个子结点大小，选择最大的 if child + 1 <= end and arr[child] < arr[child + 1]: child += 1 # 如果父结点比子结点大，代表调整完毕，直接跳出函数 if arr[parent] >= arr[child]: return else: # 否则交换父子内容，子结点再和孙结点比较 arr[parent], arr[child] = arr[child], arr[parent] parent = child child = int(parent * 2 + 1)

def heap_sort(arr, len):
    # 从最后一个节点的父节点开始 sift down 以完成堆化 (heapify)
    i = (len - 1 - 1) / 2
    while i >= 0:
        sift_down(arr, i, len - 1)
        i -= 1
    # 先将第一个元素和已经排好的元素前一位做交换，再重新调整（刚调整的元素之前的元素），直到排序完毕
    i = len - 1
    while i > 0:
        arr[0], arr[i] = arr[i], arr[0]
        sift_down(arr, 0, i - 1)
        i -= 1
```

外部链接

• 堆排序 - 维基百科，自由的百科全书