uh的含义和如何计算单元3个点处的结果

[YinLiu-91]

uh的含义

1. uh只是某个单元某个多项式系数的值: $c_0,c_1,c_2$
2. 而某个单元上最终的结果表示为: $u_h=c_0\phi_0+c_1\phi_1+c_2\phi_2$
3. 而所以有 $\int_{I_i}f(u_h^n)\phi_xdx$, uhG(i,:)表示的是对于某个单元i，所有积分点处的解的结果(不是系数,是真实的解),固定某个GLP点看，其表达的就是上面2中的叠加

% Step 1: calculate the Integral in cell
for i = 1:Nx                                      % 对所有对单元上的
    for d = 1:dimPk                               % 所有型函数进行计算，并累加到uhG上。进行对是所有型函数对累加
        uhG(i,:) = uhG(i,:) + uh(i,d)*phiG(:,d)'; % 这里计算的是f(u)中的u，下面才是计算的积分
    end
end

1. 从下面看出，uh程序中只是解的系数，并不是解：

for d = 1:dimPk
    uh(:,d) = uh(:,d)/mm(d);  % mm在get_basis.m中定义, 这里看出，uh只是多项式的系数，并不是解
end

如何计算与保存最后的真解

1. 由于uh只是系数，所以真解要用上面2中的公式计算

2. 由于在每个单元中，左中右的点分别为(-1,0,1),所以将其带入2中公式后得到：

   • $u_l=c_0-c_1+\frac{2}{3}\cdot c_2$
   • $u_m=c_0-\frac{1}{3}c_2$
   • $u_r=c_0+c_1+\frac{2}{3}\cdot c_2$

   if(mod(floor(t/dt),nsaveT)==0)
     i=i+1;
     % 在单元[-1,0,1]的三个位置处计算最终的求解变量结果
     saved(i,:,:)=[uh(:,1)-uh(:,2)+2/3*uh(:,3) uh(:,1)-1/3*uh(:,3) uh(:,1)+uh(:,2)+2/3*uh(:,3)];
   end
   

3. 真解图像为：
   

4. 而uh的图像为：