typo in name

imperfect-information.md

@@ -0,0 +1,95 @@
+# Игры с неполной информацией
+
+Рассмотрим следующую ситуацию, известную как *дилемма заключённого*:
+
+> Двое преступников — А и Б — попались примерно в одно и то же время на сходных преступлениях. Полиция предполагает, что они действовали по сговору, и, изолировав их друг от друга, предлагает им одну и ту же сделку:
+> 
+> - Если один свидетельствует против другого, а тот хранит молчание, то первый освобождается за помощь следствию, а второй получает максимальный срок лишения свободы (10 лет).
+> 
+> - Если оба молчат, их деяние проходит по более лёгкой статье, и каждый из них приговаривается к году тюрьмы.
+> 
+> - Если оба свидетельствуют друг против друга, они получают по 2 года.
+> 
+> Каждый заключённый выбирает, молчать или свидетельствовать против другого. Однако ни один из них не знает точно, что сделает другой. Что произойдёт?
+
+Игры, в которых у игроков (в данном случае — узников) есть некоторая неопределенность относительно действий других игроков (например, из-за одновременности действий), называются *играми с неполной информацией*.
+
+Данную «игру» можно представить в виде следующей табилцы:
+
+|                                    | Б хранит молчание | Б даёт показания |
+| А хранит молчание | (1, 1)                          |  (10, 0)                    |
+| А даёт показания    |  (0, 10)                       | (2, 2)                        |
+
+Пары чисел в ячейках означают сроки, которые получают заключенные А и Б соответственно.
+
+Предположим, что оба преступника заботятся только о минимизации собственного срока заключения. Тогда рассуждения каждого узника будут следующими:
+
+* Если партнёр молчит, то лучше его предать и выйти на свободу (иначе — полгода тюрьмы).
+
+* Если партнёр свидетельствует, то лучше тоже свидетельствовать против него, чтобы получить 2 года (иначе — 10 лет) тюрьмы.
+
+Стратегия «свидетельствовать» *строго доминирует* над стратегией «молчать», то есть свидетельствовать всегда лучше вне зависимости от действия другого узника. Оба узника приходят к этому выводу и в итоге получают по 2 года каждый.
+
+С точки зрения группы лучше всего хранить молчание и получить по году, так как это уменьшит срок заключения каждого. Такие состояния называются *Парето-эффективными*, но, как мы видим, они не всегда являются стабильными.
+
+## Игры с нулевой суммой
+
+Рассмотрим другой пример игры с неполной информацией: «камень-ножницы-бумага». Эта игра в каком-то смысле более «человечная»: игроки явно соревнуются друг с другом, и им не нужно делать сделки с совестью и предавать друг друга.
+
+**Определение.** Игра называется *с нулевой суммой*, если один игрок выигрывает столько, сколько второй проигрывает.
+
+**Примечание.** Дилемма заключенного — пример игры *с ненулевой суммой*.
+
+В играх с нулевой суммой исходы можно записывать разницей между выгодой первого и второго игрока:
+
+|     |  К2 |  Н2 | Б2|
+| К1  | 0   | +1 | -1|
+| Н1 | -1  | 0   | +1|
+| Б1 | +1 | -1  | 0  |
+
+Каждая фиксированная стратегия (в данном случае выбор действия — камень, ножницы или бумага), которую может выбрать игрок, называется его чистой *стратегией*.
+
+**Смешанной стратегией** игрока называется набор чистых стратегий, задаваемый вероятностями (относительными частотами) выбора соответствующих чистых стратегий. Задача обоих игроков — выбрать смешанную стратегию, максимизирующую свой выигрыш.
+
+Понятно, что в этой игре любая чистая стратегия может быть *доминирована* (то есть, если всегда делать один и тот же ход, то оппонент сообразит, как побеждать).
+
+Обозначим смешанную стратегию первого игрока за $x$, а второго игрока за $y$. Тогда ожидаемый счёт можно записать так:
+
+$$
+V = xAy^T
+$$
+
+Действительно, эта формула раскрывается в $\sum A_{ij} \cdot x(i) \cdot y(j)$.
+
+**Минимаксная теорема.** Первый игрок хочет минимизировать это значение, а второй — максимизировать. Обозначим за $V_a$ и $V_b$ оптимальные значения, которые удаётся достичь игрокам вне зависимости от действий оппонента, то есть:
+
+$$
+V_a = \min_x \max_y xAy^T
+\\ V_b = \max_y \min_x xAy^T
+$$
+
+Утверждение: $V_a = V_b$.
+
+**Доказательство.** Запишем матрицу $A'$, приписав к $A$ справа единичную матрицу:
+
+
+
+Будем доказывать от противного: покажем, что ситуация $V_a < 0 < V_b$ невозможна, а значит для любого $t$ ситуация невозможна.
+
+Рассмотрим выпуклую оболочку $C$ её столбцов.
+
+Предположим, что $\vec{0} \in C$.
+
+Тогда существуют $z_1, z_2, \ldots z_{n+m}$ такие что $0 \leq z_i \leq 1$ и $\sum z_i = 1$ (то есть вероятностное распределение).
+
+$sum_{j=1}^n a_{ij} z_{ij} $ 
+
+В этой игре оптимальной 
+
+### Несимметричные игры
+
+### Минимаксная теорема
+
+Докажем очень частный случай. Это утверждение оказывается верно, и даже в случае многопользовательских игр и игр с ненулевой суммой, но доказательства этих фактов содержат слишком много матана, чтобы добавлять их навключать сайт по программированию.
+
+Пусть имеется матрица $A$ размера $n \times m$. Задача