2017-08-22-konfidensintervaller.markdown

layout	title	date
post	Konfidensintervaller	2017-08-22 17:41:57

Dette indlæg er skrevet til [WebMatematik]({% post_url 2017-08-22-webmatematik %}), hvor målgruppen er gymnasieelever. Indholdet bør være korrekt men ikke nødvendigvis med 100% fyldestgørende forklaringer.

Hvis vi ønsker at bestemme middelværdien for højden af alle gymnasieelever i Danmark, kan vi fx udvælge en 1.g. klasse i Københavner området og beregne middelværdien for de studerendes højde i denne klasse.

Den beregnede middelværdi er så et estimat for middelværdien for højden for alle gymanisie elever i Danmark. Hvis vi nu vælger en anden klasse og igen beregner middelværdien, så får vi et andet estimat for middelværdien.

Dette estimat ligger sikkert tæt på den første beregnede middelværdi uden at være identisk med denne. Vi kalder det at udvælge en gymnasieklasse for tage en stikprøve ud af den samlede population bestående af samtlige gymnasieelever i Danmark.

Stikprøvens middelværdi kaldes også for et punktestimat for populations middelværdi. Men hvis to forskellige stikprøver giver to forskellige estimater for middelværdien, hvordan kan vi så stole på estimatet. Hvad nu hvis vi i stedet for bare et enkelt punktestimat kunne bestemme et interval, som med stor sandsynlighed indeholder den rigtige ukendte middelværdi for hele populatioen.

Et sådan interval kaldes også for et konfidensinterval. Et konfidensinterval er kendetegnet ved et niveau $1 - \alpha$ og en typisk værdi for $\alpha$ er $5%$, hvor man så taler om et $1-\alpha = 95%$ konfidensinterval.

Formel

Hvis vi antager, at gymnasieelevers højde er normalfordelt med ukendt middelværdi $\mu$ og en kendt spredning på $\sigma$, så er formlen for et $95%$-konfidensinterval

$$95%\mbox{-konfidensinterval} = \Big[\bar{x} - 1,96⋅\frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \bar{x} +1,96⋅\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Big],$$

hvor

• $\bar{x}$ er stikprøvens middelværdi og

• $n$ er stikprøvens størrelse.

Vi vender tilbage til konstanten $1,96$.

Eksempel

Hvis vi antager at gymnasieelevers højde er normalfordelt med ukendt middelværdi $\mu$ og standard afgivelse på $\sigma=10\mbox{cm}$, og vi har følgende stikprøve på 27 elevers højde (målt i cm)

$$\begin{aligned} &175, 161, 177, 173, 179, 174, 173, 184, 184, 170, 169, 175, 175, 186, \\ &169, 169, 176, 166, 181, 175, 179, 179, 183, 166, 179, 160, 170\end{aligned}$$

så kan vi beregne stikprøvens middelsværdi til 174,33 og derfor er $95%$-konfidensintervallet bestemt ved $$\begin{aligned} \Big[174,33 - 1,96 \frac{10}{\sqrt{27}}; 174,33 + 1,96 \frac{10}{\sqrt{27}} \Big] &=\Big[174,33 - 3,77 ; 174,33 + 3,77 \Big] \&= \Big[ 170,56; 178,10\Big]\end{aligned}$$

Konstanten 1,96

Hvor kom konstanten 1,96 fra som indgik i formlen for $95%$-konfidensintervallet? Hvis vi kigger for fordelingsfunktionen for en normalfordeling med middelværdi 0 og varians 1, så er det samlede areal under kurven 1. Hvis vi derfor er interesseret i at finde det område under grafen, som dækker 95% af arealet, skal vi altså fjerne 2,5% af arealet i begge ender.

De $\pm 1,96$ svarer præcis til det område under kurven som giver en areal på 95%. Andre ofte anvendte konfidensintervaller er angivet i denne tabel.

Konfidensniveau	konstant
68%	1
90%	1,645
95%	1,96
99%	2,58

Hvis man skal regne fx et 90% konfidensinterval skal konstanten 1,96 erstattes med 1,645.

For man brug for at bestemme andre konstanter kan man bruge Microsodt Office Excel til at udregne disse. Skal man bestemme et 92% konfidensinterval kan man finde konstanten med funktionen NORMSINV i Excel. Her skal man så udregne $1-\alpha = 0,92$ så $\alpha = 0,08$ og herefter indsætter man

$$\mbox{NORMSINV} \Big( 1-\frac{0,08}{2} \Big) = 1,75$$

Matlab fra MathWorks har tilsvarende funktionalitet. Her bruger man funktionen norminv $$\mbox{norminv}\big([0.04; 0.96], 0, 1\big),$$ hvor 0 angiver middelværdien og 1 variansen.

Konfidensinterval for binominalfordelinger

Ved en rundspørge på et gymnasie har 62 af 1.g. elever sagt, at de var tilfredse med introduktionsforløbet. 29 elever svarede, at de ikke var tilfredse.

Hvordan bestemmer man et $95%$-konfidensinterval for andelen af tilfredse elever? Hvis $X$ er antallet af elever som er tilfredse med introduktionsforløbet ud af en stikprøve på 62+29=91, så er X binominalfordelt $X \sim b\big(n=91,p \big)$

Vi har her en fast med ukendt sandsynlighed for at der bliver succes. Denne paramater kaldes sandsynlighedsparameteren og betegnes $p$. Sandsynlighedsparameteren kan estimeres til $\widehat{p}$

$$\widehat{p} = \frac{62}{91} = 0,68$$

Formel

Formlen for et $95%$-konfidensinterval i binominalfordelingen er $$\Bigg[ \widehat{p} - 1,96 \sqrt{\frac{\widehat{p}\big(1-\widehat{p}\big)}{n}} ; \widehat{p} + 1,96 \sqrt{\frac{\widehat{p}\big(1-\widehat{p}\big)}{n}} \Bigg]$$

Indsætter vi i denne formel findes konfidensintervallet $$\Bigg[ 0,68 - 1,96 \sqrt{\frac{0,68\big(1-0,68\big)}{n}} ; 0,68 + 1,96 \sqrt{\frac{0,68\big(1-0,68\big)}{n}} \Bigg] = \Big[0,58 ; 0,78 \Big]$$ Altså vil tilfredsheden med introforløbet med 95% sikkerhed være mellem 58% og 78%.

<script type="text/javascript" src="http://cdn.mathjax.org/mathjax/latest/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML,http://arnabocean.com/javascripts/MathJaxLocal.js"> </script>