ME414_Aula10.Rmd

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title: 'ME414 - Estatística para Experimentalistas'
subtitle: 'Distribuições Contínuas'
author: | 
  | Prof. Carlos Trucíos
  | ctrucios@unicamp.br
  | ctruciosm.github.io
institute: |
  | Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. 
  | Universidade Estadual de Campinas
date: "Aula 10"
header-includes:
- \titlegraphic{ \vspace*{-1.2cm} \hspace*{8.75cm} \includegraphics[scale=.05]{unicamp.png}}
- |
  ```{=latex}
  \usepackage[portuges]{babel}
  \setbeamertemplate{frame footer}{\hspace{0.2cm} Carlos Trucíos (IMECC)            \hspace{1.4cm} | \hspace{1.3cm}   ME414 \hspace{1.3cm} | \hspace{3.0cm}
  }
  \setbeamerfont{page number in head/foot}{size=\small}
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  \makeatletter
  \setbeamertemplate{footline}{%
    \begin{beamercolorbox}[wd=\textwidth, sep=1ex]{footline}
        %\usebeamerfont{page number in head/foot}%
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  ```
output:
  beamer_presentation:
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    # theme: "Pittsburgh"
    #colortheme: "seahorse"
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---

```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```


# Variáveis Aleatórias

## Variaveis Aleatorias

#### Variável Aleatória (v.a)

Una variable aleatoria $X$ é uma função que associa um número real a cada resutado de um experimento aleatório. $$X : S  \rightarrow  \mathbb{R}$$


::: columns

:::: column

#### Variável aleatória discreta

Uma v.a. que pode assumir um número finito (ou infinito sempre que pudermos contar os elementos) de valores.

::::

:::: column


#### Variável aleatória contínua

Uma v.a. que pode assumir qualquer valor numérico em um intervalo (ou coleção de intervalos)

::::

:::


# Função de Densidade

## Função de Densidade

Se $X$ é uma v.a contínua, a função de densidade (f.d) de $X$ é uma função $f(\cdot)$ tal que:

>- $f(x) \geq 0 \quad \forall x$
>- $\displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} f(t)dt = 1$

\pause

A função $F(x)$ é chamada função de distribuição acumulada (ou simplesmente função distribuição) e é definida por: 

$$F(x) = \displaystyle \int_{- \infty}^{x} f(t)dt$$


## V.a's continuas

#### Observação

Se $X$ é v.a. contínua, então:

>- $P(X= x) = 0 \quad \forall x$
>- $P( a \leq X \leq b) = P( a < X \leq b) = P( a \leq X < b) = P( a < X <b)$
>- \color{red} $f(x)$ **não representa** a probabilidade de $x$, a probabilidade será calculada entre 2 pontos (e será igual á area abaixo da curva) \color{black}


## V.a's continuas

```{r, warning=FALSE, message=FALSE, echo=FALSE, fig.width = 12, fig.height = 6}
library(ggplot2)
x <- seq(0.1, 5, length.out = 500)
y <- dexp(x, rate = 1)
data <- data.frame(x, y)
ggplot(data, aes(x=x, y=y)) +
  geom_line(size=.5) + 
  ylab("f(x)") + 
  geom_ribbon(data=subset(data,x>0.5 & x<2.2),aes(x=x,ymax=y),ymin=0,alpha=0.3, fill = "green4")  + 
  geom_text(aes(label = "a", x = 0.5, y = 0), size = 6)+ 
  geom_text(aes(label = "b", x = 2.2, y = 0), size = 6) + 
  geom_text(aes(label = "P(a<X<b)", x = 1.3, y = 0.1), size = 9)
```


## V.a's continuas

```{r, warning=FALSE, message=FALSE, echo=FALSE, fig.width = 12, fig.height = 6}
x <- seq(-5, 5, length.out = 500)
y <- dnorm(x)
data <- data.frame(x, y)
ggplot(data, aes(x=x, y=y)) +
  geom_line(size=.5) + 
  ylab("f(x)") + 
  geom_ribbon(data=subset(data,x<1),aes(x=x,ymax=y),ymin=0,alpha=0.3, fill = "green4")  + 
  geom_text(aes(label = "b", x = 1, y = 0), size = 6) + 
  geom_text(aes(label = "P(X<b)", x = -0.7, y = 0.025), size = 9)
```



## V.a's continuas

```{r, warning=FALSE, message=FALSE, echo=FALSE, fig.width = 12, fig.height = 6}
x <- seq(-5, 5, length.out = 500)
y <- dnorm(x)
data <- data.frame(x, y)
ggplot(data, aes(x=x, y=y)) +
  geom_line(size=.5) + 
  ylab("f(x)") + 
  geom_ribbon(data=subset(data,x>-0.5),aes(x=x,ymax=y),ymin=0,alpha=0.3, fill = "green4")  + 
  geom_text(aes(label = "a", x = -0.5, y = 0), size = 6) + 
  geom_text(aes(label = "P(X>a)", x = 0.9, y = 0.025), size = 9)
```


## V.a's continuas

```{r, warning=FALSE, message=FALSE, echo=FALSE, fig.width = 12, fig.height = 6}
x <- seq(-5, 5, length.out = 500)
y <- dnorm(x)
data <- data.frame(x, y)
ggplot(data, aes(x=x, y=y)) +
  geom_line(size=.5) + 
  ylab("f(x)") + 
  geom_ribbon(data=subset(data,x>-1.5 & x<2),aes(x=x,ymax=y),ymin=0,alpha=0.3, fill = "green4")  + 
  geom_text(aes(label = "a", x = -1.5, y = 0), size = 6) + 
  geom_text(aes(label = "b", x = 2, y = 0), size = 6) +
  geom_text(aes(label = "P(a<X<b)", x = 0.1, y = 0.025), size = 9)
```


# Esperança e Variância

## Esperança e Variância

Seja $X$ uma v.a. contínua com f.p $f(\cdot)$.


#### Esperança
O valor esperado de $X$ é definido como \begin{center}
$\mathbb{E}(X) = \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} x f(x) dx$
\end{center}

\pause

#### Variância
A Variância de $X$, denotada por $\mathbb{V}(X)$ é definida como \begin{center}
$\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}((X-\mu)^2) = \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} (x-\mu)^2 f(x)dx,$
\end{center} em que $\mu = E(X)$

## Esperança e Variância

#### Propriedades

Seja $X$ uma variável aleatória

- $\mathbb{E}(aX+b) = a \mathbb{E}(X) + b$ (onde $a$ e $b$ são constantes)
- $\mathbb{V}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mathbb{E}^2(X)$
- $\mathbb{V}(aX+b) = a^2 \mathbb{V}(X)$
- Sejam $X_1, X_2, \cdots,X_n$ v.a. com $\mathbb{E}(X_i) <\infty$, então, $$\mathbb{E}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = \mathbb{E}(X_1) + \cdots + \mathbb{E}(X_n)$$
- Sejam $X_1, X_2, \cdots,X_n$ v.a. **independentes** com $V(X_i) <\infty$. Então, $$\mathbb{V}(X_1 + X_2 + \cdots + X_n) = \mathbb{V}(X_1) + \cdots + \mathbb{V}(X_n)$$



# Distribuições Contínuas

## Distribuições Contínuas

```{r, warning=FALSE, message=FALSE, echo=FALSE, fig.width = 12, fig.height = 6}
library(ggplot2)
x1 = seq(-5, 5, by = 0.001)
y1 = dnorm(x1)
x3 = seq(0,10, by = 0.001)
y3 = dexp(x3, rate = 1)
x5 = seq(0,1,by = 0.001)
y5 = dunif(x5)
x6 = seq(0,10, by = 0.001)
y6 = dchisq(x6, df = 3)

x = c(x1,x3,x5,x6)
y = c(y1,y3,y5,y6)
names = c(rep("Normal Padrão",length(x1)),  rep("Exponencial", length(x3)),  rep("Uniforme", length(x5)), rep("Qui2", length(x6)))
dados = data.frame(x,y,names)
ggplot(dados) + geom_line(aes(x,y), colour = "green4") + facet_wrap(names~., scales = "free") + xlab(" ") + ylab(" ")
```



## Distribuição uniforme

>- É a distribuição continua mais simples

\begin{block}{Distribuição uniforme}
Uma v.a. continua $X$ tem distribuição uniforme no intervalo $[a,b]$, denotada por $X \sim U_{[a,b]}$ se sua função densidade é dada por 
$f(x) = f(x;a,b) = f(x|a,b)=
\begin{cases}
\dfrac{1}{b-a}, & \text{se } a \leq x \leq b \\ 
0, & \text{caso contrário}, 
\end{cases}$
\end{block}


## Distribuição uniforme

```{r, warning=FALSE, message=FALSE, echo=FALSE, fig.width = 12, fig.height = 6}
library(ggplot2)
x1 = seq(0,1,by = 0.001)
y1 = dunif(x1)
x2 = seq(1,3,by = 0.001)
y2 = dunif(x2, min = 1, max = 3)
x3 = seq(-2,2,by = 0.001)
y3 = dunif(x3, min = -2, max = 2)
x = c(x1,x2,x3)
y = c(y1,y2,y3)
names = c(rep("U[0,1]",length(x1)),  rep("U[1,3]", length(x2)),rep("U[-2,2]", length(x3)))
dados = data.frame(x,y,names)
ggplot(dados) + geom_line(aes(x,y), colour = "green4") + facet_grid(.~names, scales = "free") + xlab(" ") + ylab(" ") + theme(strip.text = element_text(face="bold", size=14), axis.text=element_text(size=18))
```

## Distribuição uniforme

- $E(X) = \dfrac{a+b}{2}$ 

\pause
**Demostração**

$E(X) = \displaystyle \int_{- \infty}^{\infty} x f(x) dx = \displaystyle \int_a^b x f(x) dx= \displaystyle \int_a^b \dfrac{x}{b-a}dx = \color{red} \dfrac{1}{b-a} \color{violet}\displaystyle \int_a^b x dx \color{black}$

\pause
\begin{block}{Lembre:}
$$\displaystyle \int_a^b x dx = \dfrac{b^2}{2} - \dfrac{a^2}{2}$$
\end{block}

\pause
$E(X) = \color{red}\dfrac{1}{b-a} \color{black}\times \color{violet}\dfrac{b^2-a^2}{2} \color{black}= \dfrac{(b+a) (b-a)}{2(b-a)} = \dfrac{a+b}{2}$


## Distribuição uniforme

- $V(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$

\pause
**Demostração**

$E(X^2) = \displaystyle \int_{a}^b x^2 f(x) dx = \dfrac{b^2 + ab+ a^2}{3}$ (Verificar!)

\pause

$V(X) = E(X^2) - E^2(X) = \dfrac{b^2 + ab+ a^2}{3} - \dfrac{(a+b)^2}{4} = \dfrac{(b-a)^2}{12}$

## Distribuição uniforme

#### Importante
Se $X \sim U[a,b]$, para qualquer intervalor $[c,d]$ com $a \leq c \leq d \leq b$, $$P(c \leq X \leq d) = \displaystyle \int_c^d \dfrac{1}{b-a}dx = \dfrac{d-c}{b-a}$$

\pause 
Por outro lado, $$F(x) = P(X \leq x)=
\begin{cases}
0, & \text{se }  x < a \\ 
\dfrac{x-a}{b-a}, & \text{se },  a \leq x < b \\
1, & \text{se } x \geq b
\end{cases}$$


## Distribuição uniforme: Exemplos

1. Suponha que João e Maria combinam de sair para um encontro e João diz que a buscará em casa às 21:30 hrs. Maria é super pontual e resolve que só sairá com o João se ele atrasar no máximo 10 minutos. Assuma que o tempo de chegada de João se distribui como uma v.a. uniforme entre 21:15 e 21:45. Qual é a probabilidade de João chegar no máximo 10 minutos atrasado?

\pause
>- X: tempo de chegada do Joao à casa da maria 
>- $X \sim U[15,45]$
>- Queremos $P(X \leq 40)$
>- $P(X \leq 40) = \displaystyle \int_{15}^{40} \dfrac{1}{45-15}dx = \dfrac{40-15}{45-15} = \dfrac{25}{30} = 0.83$

## Distribuição uniforme: Exemplos

**R**
```{r}
# X: tempo de chegada do Joao à casa da Maria, X ~ U[15,45]
# P(X <= 40)
punif(40,min=15, max = 45)
```


\pause

```{r}
# Y ~ U[-15,15] (forma alternativa)
# P(Y <= 10)
punif(10,min=-15, max = 15)
```


## Distribuição uniforme: Exemplos

2. A espessura de chapas de metal fabricadas pela *MetaisABC* segue uma distribuição uniforme entre 0.87cm e 1.03cm. Se selecionarmos uma chapa aleatoriamente, qual é a probabilidade da chapa ter espessura entre 0.98 e 1.02?

>- $X:$ espessura das chapas de metal fabricadas pela *MetaisABC*, 
>- $X \sim U[0.87, 1.03]$
>- Queremos $P(0.98 \leq X \leq 1.02)$
>- $P(0.98 \leq X \leq 1.02) = \dfrac{1.02-0.98}{1.03-0.87} = 0.25$


## Distribuição uniforme: Exemplos
**R**
```{r}
a = 0.87
b = 1.03
punif(1.02, a, b)-punif(0.98, a, b)
```

\pause

```{r}
# Cuidado, por padrão punif assume que queremos uma U[0,1]
# O seguinte código esta errado! 
# (precisamos definir os parametros da dist. Uniforme)
punif(1.02) - punif(0.98) 
```


## Distribuição uniforme: Exemplos

3. O metrô passa na estação Ipanema de 15 em 15 minutos começando as 5am. Se o tempo de chegada de um passageiro à plataforma se distribui de forma uniforme entre as 7:00 e 7:50. Qual é a probabilidade do passageiro esperar menos que 5 minutos pelo metrô?

>- Note que o metrô passará as 7:00, 7:15, 7:30, 7:45, 8:00, ....
>- Seja $X$ o número em minutos em que o passageiro chega na plataforma entre as 7:00 e as 7:50, $X \sim U[0,50]$
>- Para que o passageiro espere menos de 5 min deve chegar entre $10 < X < 15$, $25 < X < 30$ ou $40 < X < 45$
>- $\underbrace{P(10 < X < 15)}_{\dfrac{15-10}{50-0}}$ + $\underbrace{P(25 < X <30)}_{\dfrac{30-25}{50-0}}$ + $\underbrace{P(40 < X < 45)}_{\dfrac{45-40}{50-0}} = 15/50$





## Distribuição exponencial:


\begin{block}{Distribuição exponencial}
Uma v.a. continua $X$ tem distribuição exponencial com parâmetro $\lambda$, denotada por $X \sim Exp(\lambda)$ se sua função densidade é dada por 
$f(x;a,b) = f(x|a,b)=
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & \text{se } x \geq 0 \\ 
0, & \text{caso contrário.} 
\end{cases}$
\begin{itemize}
\item $E(X) = 1/ \lambda$
\item $V(X) = 1/\lambda^2$
\end{itemize}

\end{block}

Quem é o $\lambda$? $\lambda = 1/\mu$, onde $\mu:$ tempo medio


## Distribuição exponencial:

```{r, warning=FALSE, message=FALSE, echo=FALSE, fig.width = 12, fig.height = 6}
library(ggplot2)
x = seq(0,10, by = 0.001)
n = length(x)
y1 = dexp(x,rate = 1)
y2 = dexp(x, rate = 0.3)
y3 = dexp(x, rate = 2)
y4 = dexp(x, rate = 3)
x = rep(x,4)
y = c(y1,y2,y3,y4)
lambda = c(rep("1", n), rep("0.3",n), rep("2", n), rep("7",n))
dados = data.frame(x,y,lambda)
ggplot(dados) + geom_line(aes(x,y, colour=lambda)) + ylab("f(x)") 
```


## Distribuição exponencial

#### Importante
Se $X \sim Exp(\lambda)$, para qualquer intervalor $[a,b]$ com $0 \leq a \leq b$, $$P(a \leq X \leq b) = \displaystyle \int_a^b \lambda e^{-\lambda x}dx = e^{-a \lambda} - e^{-b \lambda}$$

\pause 
Por outro lado, $$F(x) = P(X \leq x)=
\begin{cases}
0, & \text{se }  x < 0 \\ 
1- e^{-\lambda x}, & \text{se },  x \geq 0  
\end{cases}$$


## Distribuição exponencial: Exemplos

1. O tempo (em horas) necessário para consertar uma maquina de café (com um determinado problema XYZ) pode ser modelado por uma distribuição exponencial com $\lambda = 2/3$. João, o conserta-tudo, fala que para consertar nossa maquina de café, demorará, no mínimo 3 horas. Qual a probabilidade disso acontecer?

\pause
>- $X:$ tempo (em horas) necessário para consertar uma maquina de café
>- $X \sim Exp(\lambda = 2/3)$
>- Queremos $P(X \geq 3)$
>- $P(X \geq 3) = 1- P(X<3) = 1-P(X \leq 3) = 1-[1-e^{-2/3 \times 3}] = 0.1353353$

## Distribuição exponencial: Exemplos

**R**
```{r}
# P(X >= 3) = 1-P(X<3) = 1-P(X<=3)
lambda = 2/3
1-pexp(3, rate = lambda)
```


## Distribuição exponencial: Exemplos

2. A vida útil de um celular Xing-Ling segue uma distribuição exponencial com tempo de vida médio de 3 meses. João esta precisando muito de um celular, e um vendedor oferece um celular Xing-Ling por um preço bem camarada e ainda afirma que, se o celular estragar em menos de 2 meses, João receberá o dinheiro de volta. Qual a probabilidade do celular durar menos do que 2 meses?

\pause

>- $X$ tempo de vida útil de um celular Xing-Ling
>- $X \sim Exp(\lambda = 1/3)$  ($\lambda = 1/\mu, \quad \mu = 3$)
>- Queremos $P(X<2)$

## Distribuição exponencial: Exemplos

$\underbrace{P(X<2) = P( X \leq 2)}_{\text{pois } P(X=2)=0} = F(2)$ 

\pause

\begin{block}{Lembre que}
$$F(x) = 1- e^{-\lambda x}$$
\end{block}

\pause

$P(X \leq 2) = F(2) = 1- e^{-\frac{2}{3}} = 1-e^{-2/3} = 0.4865829$


## Distribuição exponencial: Exemplos

**R**
```{r}
lambda = 1/3
# P(X<2) = P(X<=2)
pexp(2, rate = lambda)
1-exp(-2/3)
```


## Distribuição exponencial:

\begin{block}{Proposição: Poisson-Exponencial}
Suponha que o número de eventos que ocurrem em um intervalo de tempo/espaço $t$ tenha distribuição $Pois (\lambda t)$ onde $\lambda$ é o número esperado de eventos que ocorrem em uma unidade de tempo/espaço. Se o número de ocorrencias em intervalos não sobrepostos é independente entre intervalos, então a distribuição do tempo entre a ocorrencia de dois eventos sucessivos é $Exp(\lambda)$.
\end{block}

3. Suponha que as ligações recebidas numa central de denuncias ocorram segundo um processo de Poisson com taxa de 0.7 ligações por dia. Qual a probabilidade de haver mais de 2 dias entre chamadas?

## Distribuição exponencial: Exemplos

>- Seja $X:$ número de dias entre as chamadas
>- Queremos $P(X>2)$

\pause
Como o número de chamadas segue uma $Poisson(0.7)$, pela **Proposição Poisson-Exponencial**, $X:$ o número de occorencias entre dois eventos sucessivos $\sim Exp(0.7)$

>- $P(X>2) = 1-P(X\leq2) = 1-e^{-2 \times 0.7} = 0.246597$

\pause

```{r}
1-pexp(2, rate = 0.7)
```



## Distribuição Normal

>- É a distribuição continua mais importante de todas
>- tem forma de sino

#### Distribuição Normal
Uma v.a. continua $X$ tem distribuição Normal (Gaussiana), denotada por $N(\mu, \sigma)$, se sua função densidade é da forma $$f(x; \mu, \sigma) = f(x| \mu, \sigma) = f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}, \text{ com } x \in (-\infty, \infty)$$

- $E(X) = \mu$
- $V(X) = \sigma^2$

## Distribuição Normal

```{r, warning=FALSE, message=FALSE, echo=FALSE, fig.width = 12, fig.height = 6}
library(ggplot2)
x = seq(-10,10, by = 0.001)
n = length(x)
y1 = dnorm(x)
y2 = dnorm(x, mean = 0, sd = 2)
y3 = dnorm(x, mean = 3, sd = 2)
y4 = dnorm(x, mean = 4, sd = 3)
x = rep(x,4)
y = c(y1,y2,y3,y4)
Paremetros = c(rep("mu = 0, sigma = 1", n), rep("mu = 0, sigma = 2",n), rep("mu = 3, sigma = 2", n), rep("mu = 4, sigma = 3",n))
dados = data.frame(x,y,Paremetros)
ggplot(dados) + geom_line(aes(x,y, colour=Paremetros)) + ylab("f(x)")
```



## Distribuição Normal


#### Distribuição Normal Padrão
Quando $\mu = 0$ e $\sigma = 1$, a distribuição Normal é conhecida como Normal Padrão, denotada por $N(0, 1)$, e sua função de densidade é da forma  $$f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}, \text{ com } x \in (-\infty, \infty)$$

- $E(X) = 0$
- $V(X) = 1$
- $F(x) = \displaystyle \int_{-\infty}^x f(t) dt = \Phi (x)$


## Distribuição Normal

#### Padronização
Se $X \sim N(\mu, \sigma)$, então $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

#### Observação 1

Embora no computador consigamos calcular as probabilidade para quaisquer valores de $\mu$ e $\sigma$, sempre levaremos tudo para uma distribuição padrão.


## Distribuição Normal: Exercicios

1. Se $X \sim N(0,1)$, calcule: $P(X \leq -3)$, $P(X > 3)$ e $P(-2 \leq X \leq 2)$

```{r}
# P(X<= -3)
pnorm(-3)
# P(X>3)
1-pnorm(3)
# (c) P(-2 <= X <= 2)
pnorm(2)-pnorm(-2)
```


## Distribuição Normal: Exercicios

2. O tempo gasto em terminar a $P_1$ de MAD211 tem distribuição normal, com média 120 minutos e desvio padrão de 15 min. Qual é a probabilidade de um aluno terminar a prova em menos de 45 minutos?

\pause

>- $X:$ tempo gastos em terminar a $P_1$ de MAD211
>- $X \sim N(120, 15)$
>- $Z = \dfrac{X-120}{15}$
>- Queremos $P(X < 45)$
>- $P(X < 45) = P(\dfrac{X-120}{15} < \dfrac{45-120}{15}) = P(Z < -5)$

\pause 

```{r}
pnorm(-5)
```



## Distribuição Normal: Exercicios

3. Suponha que o peso médio dos porcos de uma fazenda seja 70 kg e que o desvio padrão dos pesos seja 10 kg. Supondo que esses pesos se distribuem normalmente, qual é a probabilidade de um porco escolhido ao acaso pesar entre 65 e 75 kg?

\pause

>- $X:$ pesos dos porcos de uma determinada fazenda, $X \sim N(70,10)$
>- Queremos $P(65 \leq X \leq 75)$
>- Padronizando: $P \big( \dfrac{65-70}{10} \leq \dfrac{X -70}{10} \leq \dfrac{75-70}{10} \big) = P(-0.5 \leq Z \leq 0.5)$

\pause 

```{r}
pnorm(0.5)-pnorm(-0.5)
```



## Distribuições especiais: Como identificar?

- **Binomial:** $X:$ número total de sucessos em $n$ realizações
- **Poisson:**  $X:$ número de ______ em um intervalo fixo de tempo/espaço
- **Hipergeométrica:** parecido com Binomial mas conhecemos $N$ e a probabilidade de sucesso muda de ensaio para ensaio.
- **Uniforme:** *se distribui uniformemente*
- **Exponencial: ** $X:$ tempo até a occorencia de eventos sucessivos 
- **Normal:** *se distribui normalmente*



## Leituras recomendadas

- Anderson, D. R; Sweeney, D. J.; e Williams, T. A. (2008). *Estatística Aplicada à Administração e Economia*. 2ed. Cengage Learning. **Cap 6**
- Morettin, P.A;  e Bussab, W. de O. (2004). *Estatística Básica*. 5ed, Saraiva. **Cap 7**