https://youtu.be/gMHd8GNTz4o?si=y5Z2xXd40e9jIJ5S
- A Variância e o Desvio-Padrão são Medidas de Dispersão.
- Estudando a Amostragem (dados que estou coletando, dentro de um universo de dados (U)), no exemplo da montadora de automóveis de veículos, comprei 1 milhão de peças e vou testar uma amostra.
- Devemos estabelecer algumas medidas da amostra, que me permitam inferir algumas idéias que podem ser estendidas para o universo da amostragem, com certo rigor estatístico. De um conjunto (de 1 milhão) pegamos uma amostragem de 200 velas e testamos, pra saber se estão dentro dos padrões aceitáveis, ou não.
- Na aula passada, tivmeos as medidas centrais: Média, Mediana e Moda.
- Média é a soma dos valores da amostra, dividida pelo número de elementos.
- Mediana é o elemento central que divide um grupo obrigatoriamente ordenado em dois grupos iguais (meio-meio). Pode ser um elemento com amostra ímpar, ou uma média de um elemento de cada conjunto, sendo uma mediana composta.
- Moda é o(s) valor(es) que mais ocorreram na amostragem (ou a maior freqüência de sua ocorrência).
- Tomemos o seguinte exemplo, da seguinte amostra, coletando cinco valores: A = {2, 3, 5, 1, 10}
- A média é indicada por x̅ (x-barra). No caso, vamos calcular a média do conjunto A.
- x̅A = (2+3+5+1+10) / 5 = (21/5) = 4,2.
- A média dessa amostra de cinco valores é de 4,2.
- A Variância vai usar o x̅A = 4,2.
- Variância é s² (para variância da amostra) ou sigma-² ou σ² (para variância da população).
- s² = (SOMA (xi - x̅)²) / n-1
- s² = { (2 - 4,2)² + (3 - 4,2)² + (5 - 4,2)² + (1 - 4,2)² + (10 - 4,2)² } / 5-1
- O divisor é 5-1, pois existem 4 "espaços ocupados" entre os cinco valores da amostra. Entre 5 números, há 4 espaços entre eles.
- s² = { (-2,2)² + (-1,2)² + (0,8)² + (-3,2)² + (5,8)² } / (5-1) = {(4,84) + (1,44) + (0,64) + (10,24) + (33,64)} / 4 = {50,8}/4 = 12,7
- s² = 12,7 é minha Variância (da amostra)
- Na prática, o que isso representa? De certa forma, isso diz "como minha amostra se distribuiu...", no caso de uma reta...
- 0 --- 1 --- 2 --- 3 --- 4 --- 5 --- 6 --- 7 --- 8 --- 9 --- 10
- _ --- 1 --- 2 --- 3 --- _ --- 5 --- _ --- _ --- _ --- _ --- 10
- O valor 10 vai representar mais pra essa amostra, logo a Variância representará minha dispersão dos resultados...
- Agora, vamos visualizar o s = sqrt(variância).
- s = sqrt(s²)
- s = sqrt(12,7) = 3,563705936241092...
- s ou d ou desvio-padrão ~= 3,56
- Essa medida me dá uma idéia de como a amostra se distribuiu. No caso do exemplo, o desvio-padrão de 3,56 quer dizer que nessa amostra, a maioria dos valores estão orbitando perto do 3,56 (no caso 2, 3, 5, 1) e fica o 5 e o 10 mais pra longe... Significa que na amostra, os valores em geral estão mais próximos (oposto de dispersão, concentração) do 3,56. A maior parte dos valores "se espalham perto desse ponto".
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Lei dos Grandes Números
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Distribuição Normal
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Lei dos Grandes Números: se eu tiver uma amostra suficientemente grande, mais as coisas vão ficar concentradas no entorno da média.
- Num universo de 1 milhão (velas de automóveis), eu não poderia testar uma por uma. Quanto maior o número de valores, mais ocorrências se concentração próximo da média.
- Quanto mais números eu coletar, mais eu fico perto e colado e atraído na média.
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Distribuição Normal (Curva Boca de Sino ou Curva de Gauss)
- No centro dessa curva temos a média ( x̅ ou μ ). Dados intervalos de desvios-padrões (d ou s), a maioria dos valores, o grosso da amostra, se concentrará nessa região perto da média e com pouca variância e desvio-padrão.
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Por exemplo, tomemos um dado. O espaço amostral do dado é {1, 2, 3, 4, 5, 6} sendo as faces do dado D6.
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Os lados opostos do D6 somam sempre 7 (1+6, 2+5, 3+4).
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Espaço Amostral = Conjunto dos Valores Possíveis = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
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O espaço amostral representa a possibilidade de escolhas, no caso de elições, dos candidatos - somente os que estão concorrendo, esse é o espaço amostral, e os resultados serão variáveis...
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No dado, se eu tenho os números de 1 a 6, se eu fizer mil lançamentos de dados, terei uma LISTA com mil valores entre 1 e 6, inclusivos. Essa lista com mil resultados se chamará AMOSTRA, enquanto o Espaço Amostral era o conjunto de possibilidades de resultados (conjunto de valores possíveis). Quanto maior o número de lançamentos, mais as curvas centrais da Normal irão se aproximar da média ( x̅ ou μ ).
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Num exemplo hipotético, se perguntássemos para todos os habitantes da terra (8 bilhões) qual o número preferido, qual o espaço amostral (valores possíveis são muito variados, muito amplo, quiçá infinitos). Mas o grosso dos valores (8 bilhões somados e divididos) teremos uma tendência de ter a maior parte dos resultados proximos da média.
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A média é uma medida de tendência central (o grosso dos valores perto dela). Quanto mais números, maior a certeza da atração pra média.
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- O desvio-padrão serve para nos mostrar a medida que a nossa amostra se dispersou. Não temos uma distribuição igual, os números de bilhões são raros, mas na média os resultados se encontram perto desses intervalos de + ou - 2 desvio-padrões (-2s até +2s).
- O desvio-padrão representa a forma como a amostra se dispersou em relação à média (curtose), nível de inclinação da amostra. Mais concentrado, menos concentrado, mas por regra, os valores serão mais concentrados e recorrentes próximos da média.
- Faz, então, um papel muito importante nas nossas análises. Pois vai representar a proximidade de onde estão os valores (o grosso dos valores) da amostra. Essa é a idéia por trás...
- A = {1, 8, 18, 15, 32, 1, 1, 8, 9, 16, 19, 1, 80, 51, 1, 3, 2, 8, 1, 5}
- Média ou x̅ ou μ = (SOMA(A)/20) = 290 / 20 = 14,5
- Vamos plotar um gráfico chamado HISTOGRAMA.
- Histograma é um gráfico que diz "quem ocorreu" e "quantas vezes" ocorreu. O espaço amostral vai de 1 até 80 (min, max). Essa é a AMPLITUDE de uma Amostra (espaço entre menor e maior valor).
- Amplitude = 80 - 1 = 79 espaços no meio da reta de (espaço amostral).
- A Moda é 1, pois é o valor que mais se repetiu.
- A Média é aprox. 13,8, então aleatoriamente os valores do Espaço Amostral tendem a se concentrarem (ocorrerem mais vezes) próximos da média, o grosso está perto, embora tenha 51 ou 80, fogem do padrão.
- A = {1, 8, 18, 15, 32, 1, 1, 8, 9, 16, 19, 1, 80, 51, 1, 3, 2, 8, 1, 5}
- SOMA = 7.588,80
- Média = 13,8 (erro do enunciado do Ed, temos 20 elementos e não 21).
- Variância = 379,44
- Desvio-padrão = sqrt(379,44) ~= 19,48
- Vamos somar +1d (um * desvio-padrão) e vamos subtrair -1d (um * desvio-padrão).
- Praticamente, quase, todos os elementos ficaram entre -5,6 e 33,28, sendo o desvio-padrão -1d e o desvio-padrão +1d. Só não serão representados dentro desse intervalo os 51 e 80.
- Histograma é o gráfico que pega o elemento que ocorreu e o número de vezes que ocorreu.
- O Histograma nos mostra onde estão os elementos da nossa amostra e onde se concentram.
- Se pegarmos o intervalo de x̅, e também os valores até 2*desvio-padrão positivos (+2d) e também os valores até 2*desvio-padrão*-1 (-2d), teremos nesse intervalo
- (... -2d ... -1d ... x̅ ... +1d ... +2d ...) Nesse intervalo entre -2d e +2d, se encontrarão e se concentrarão o grosso das ocorrências da minha amostra (em lilás).
- Somente o valor "80" estará fora dessa concentração (no caso, pra além de +2d).
- O meu desvio-padrão serviu pra medir a concentração de onde está espalhada a minha amostra no determiando espaço.
- A = {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 20}, totalizando vinte-e-um elementos
- Média = (20*1)+20 / 21 = 40/21 = 1,9
- Variância = [{20 * (1 - 1,9)²} + (20 - 1,9)² ] / 20 = (20*(0,81) + (18,1)²) / 20 = (16,2 + 327,61) = 17,19
- Desvio-padrão = sqrt(Variância) = sqrt(17,19) = aprox. 4,15
- Desvio-padrão -1d = 1,9 - 4,15 =~ -2,25 (limite inferior desvio-padrão)
- Desvio-padrão +1d = 1,9 + 4,15 =~ 6,05 (limite superior desvio-padrão)
- 2 * desvio-padrão -2d e +2d vai cobrir basicamente quase todos os elementos, exceto o 20 (que fugiu da média e foi um dado anômalo!)
- O valor 20 é muito pesado (a soma de todos os outros), então houve um pequeno pêso para 20, mas o grosso dos resultados se concentrou dentro de -1d e +1d, também -2d e +2d. E somente 20 foi anômalO!
- Não se apavorem com os cálculos! O computador e a calculadora farão a parte pesada. Os programas de computadores farão esses cálculos. Vamos analisar apenas os resultados.
- Questão mais de pensar do que fazer contas...
FIM!