Add some extra whitespace for readability

index-el.php

@@ -16,7 +16,7 @@
         <p>
         Αυτό το κείμενο απευθύνεται επίσης σε μαθητές γυμνασίου και λυκείου από την Ελλάδα ή από οπουδήποτε αλλού παγκοσμίως που αγωνίζονται στην
         <a href='http://en.wikipedia.org/wiki/International_Olympiad_in_Informatics'>Παγκόσμια Ολυμπιάδα Πληροφορικής</a>, έναν αλγοριθμικό διαγωνισμό για μαθητές, ή άλλους παρόμοιους διαγωνισμούς όπως ο <a href='http://pdp.gr/'>Πανελλήνιος Διαγωνισμός Πληροφορικής</a>. Έτσι, δεν έχει προαπαιτούμενες γνώσεις μαθηματικών και θα σας παρέχει το υπόβαθρο που χρειάζεστε για να συνεχίσετε τις σπουδές σας στους αλγορίθμους έχοντας μία βαθύτερη κατανόηση της θεωρίας που βρίσκεται από πίσω. Ως κάποιος που διαγωνιζόταν σε τέτοιους μαθητικούς διαγωνισμούς, σας συμβουλεύω να διαβάσετε όλο αυτό το εισαγωγικό υλικό και να προσπαθήσετε να το καταλάβετε πλήρως, διότι θα είναι απαραίτητο καθώς μελετάτε αλγορίθμους και μαθαίνετε πιο προχωρημένες τεχνικές.</p>
-        
+
         <p>Πιστεύω ότι αυτό το κείμενο θα είναι βοηθητικό για προγραμματιστές στη βιομηχανία που δεν έχουν μεγάλη εμπειρία στη θεωρητική επιστήμη των υπολογιστών (είναι γεγονός ότι κάποιοι από τους πιο εμπνευσμένους μηχανικούς λογισμικού δεν έχουν πάει ποτέ στο πανεπιστήμιο). Αλλά επειδή είναι ταυτόχρονα και για μαθητές, μπορεί μερικές φορές να ακούγεται σαν σχολικό κείμενο. Επιπρόσθετα, μερικά από τα ζητήματα σε αυτό το κείμενο μπορεί να φαίνονται υπερβολικά προφανή· για παράδειγμα, μπορείτε να τα έχετε δει στα σχολικά σας χρόνια. Αν νιώθετε ότι τα καταλαβαίνετε, μπορείτε να τα προσπεράσετε. Άλλες ενότητες μπαίνουν σε λίγο μεγαλύτερο βάθος και γίνονται ελαφρώς θεωρητικές, καθώς οι μαθητές που διαγωνίζονται σ' αυτό το διαγωνισμό χρειάζεται να ξέρουν περισσότερα περί θεωρίας αλγορίθμων από το μέσο επαγγελματία. Αλλά αυτά τα πράγματα είναι επίσης καλό να τα ξέρετε και δεν είναι τρομερά δύσκολο να τα παρακολουθήσετε, οπότε είναι πιθανότατα μία πολύ καλή επένδυση του χρόνου σας. Καθώς το αρχικό κείμενο απευθυνόταν σε μαθητές γυμνασίου και λυκείου, δεν χρειάζεται μαθηματικό υπόβαθρο, οπότε οποιοσδήποτε έχει κάποια εμπειρία στο να προγραμματίζει (π.χ. αν ξέρετε τι είναι αναδρομή) θα μπορεί να παρακολουθήσει χωρίς κανένα πρόβλημα.</p>
 
         <p>Διάσπαρτα σε τούτο το άρθρο θα βρείτε διάφορα links προς ενδιαφέρον υλικό συχνά εκτός του εύρους στο οποίο συζητιέται το εν λόγω θέμα στο παρόν άρθρο. Αν είστε προγραμματιστής που δουλεύει στη βιομηχανία, είναι πιθανό να είστε εξοικειωμένος με το μεγαλύτερο μέρος αυτών των εννοιών. Αν είστε μαθητής γυμνασίου ή λυκείου που συμμετέχει σε διαγωνισμούς, ακολουθώντας αυτούς τους συνδέσμους θα βρείτε ενδείξεις για άλλες περιοχές της επιστήμης των υπολογιστών ή του τομέα των μηχανικών λογισμικού που ενδέχεται να μην έχετε εξερευνήσει και που μπορείτε να κοιτάξετε για να διευρύνετε τα ενδιαφέροντά σας.</p>
@@ -39,7 +39,7 @@
         <h2>Μετρώντας εντολές</h2>
 
         <p>Σε αυτό το άρθρο θα χρησιμοποιήσω ποικίλες γλώσσες προγραμματισμού στα παραδείγματα. Όμως μην απελπίζεστε αν δεν ξέρετε μία συγκεκριμένη γλώσσα προγραμματισμού. Καθώς ξέρετε προγραμματισμό, θα μπορείτε να διαβάζετε τα παραδείγματα χωρίς κανένα πρόβλημα ακόμα και αν δεν είστε εξοικειωμένος με τη γλώσσα προγραμματισμού της επιλογής μου, καθώς θα είναι απλά και δεν θα χρησιμοποιώ καμία από τις μυστήριες λειτουργίες της εκάστοτε γλώσσας. Αν είστε μαθητής και διαγωνίζεστε σε αλγοριθμικούς διαγωνισμούς, σχεδόν σίγουρα δουλεύετε με την <a href='http://www.cplusplus.com/doc/tutorial/'>C++</a>, οπότε δεν θα έχετε πρόβλημα να παρακολουθήσετε. Σ' αυτή την περίπτωση, σας συνιστώ να λύσετε τις ασκήσεις χρησιμοποιώντας C++ για εξάσκηση.</p>
-        
+
         <p>Το μέγιστο στοιχείο σ' ένα πίνακα μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας ένα απλό τμήμα κώδικα όπως αυτό το κομμάτι κώδικα <a href='http://www.quirksmode.org/js/intro.html'>Javascript</a>. Δεδομένης εισόδου ενός πίνακα <var>A</var> μεγέθους <var>n</var>:</p>
 
         <pre name='code' class='brush: js; gutter: false; toolbar: false'>
@@ -165,7 +165,7 @@
         </div>
 
         <h2 id='complexity'>Πολυπλοκότητα</h2>
-        
+
         <p>Άρα αυτό που μας μένει είναι ότι καθώς μπορούμε να πετάξουμε όλες αυτές τις διακοσμητικές σταθερές, είναι αρκετά εύκολο το να βρούμε την ασυμπτωτική συμπεριφορά της συνάρτησης μέτρησης εντολών ενός προγράμματος. Στην πραγματικότητα, οποιοδήποτε πρόγραμμα δεν περιέχει βρόγχους θα έχει f( n ) = 1, καθώς ο αριθμός των εντολών που χρειάζεται είναι απλώς μία σταθερά (εκτός αν χρησιμοποιεί αναδρομή· βλ. παρακάτω). Οποιοδήποτε πρόγραμμα έχει μόνο ένα βρόγχο που πάει από το 1 έως το <var>n</var> θα έχει f( n ) = n, καθώς θα τρέχει ένα σταθερό πλήθος εντολών πριν το βρόγχο, ένα σταθερό πλήθος εντολών μετά το βρόγχο, και ένα σταθερό πλήθος εντολών μέσα στο βρόγχο κάθε μία από τις οποίες τρέχει <var>n</var> φορές.</p>
 
         <p>Αυτό θα πρέπει να είναι αρκετά πιο εύκολο και λιγότερο επίπονο από τη μέτρηση εντολών μία-μία, οπότε ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα για να εξοικειωθούμε. Το παρακάτω πρόγραμμα σε <a href='http://php.net/'>PHP</a> ελέγχει αν μία συγκεκριμένη τιμή υπάρχει μέσα σε ένα πίνακα <var>A</var> μεγέθους <var>n</var>:</p>
@@ -394,7 +394,7 @@
         <p>Ας σημειώσουμε εδώ ότι παρ᾽ όλο που το Ω μας δίνει ένα κάτω φράγμα για τη συνάρτησή μας (δηλαδή έχουμε βελτιώσει το πρόγραμμά μας και το έχουμε κάνει να τρέχει λιγότερες εντολές) συνεχίζουμε να αναφερόμαστε σε ανάλυση "χειρότερης περίπτωσης". Τούτο διότι ταΐζουμε το πρόγραμμά μας τη χειρότερη δυνατή είσοδο για το n που μας ενδιαφέρει και αναλύουμε τη συμπεριφορά του κάτω από αυτή την υπόθεση.</p>
 
         <p>Ο παρακάτω πίνακας συνοψίζει τα σύμβολα που μόλις εισάγαμε και τις αντιστοιχίες τους με τα συνήθη μαθηματικά σύμβολα που χρησιμοποιούμε για τους αριθμούς. Ο λόγος που δεν χρησιμοποιούμε τα συνήθη σύμβολα εδώ αλλά Ελληνικά γράμματα είναι για να δείξουμε ότι κάνουμε μία σύγκριση σε ασυμπτωτικό επίπεδο, και όχι μία απλή σύγκριση.</p>
-        
+
         <div class='figure'>
             <table>
                 <thead>
@@ -500,7 +500,7 @@
         <p>Αν είστε αβέβαιος γι᾽ αυτό, θυμηθείτε ότι μπορείτε να βρείτε την ακριβή πολυπλοκότητα μετρώντας εντολές. Αν το επιθυμείτε, μπορείτε τώρα να μετρήσετε τις εντολές που πραγματικά εκτελεί αυτή η συνάρτηση και να βρείτε μία συνάρτηση f( n ) και να δείτε ότι είναι πραγματικά γραμμική (θυμηθείτε ότι γραμμική σημαίνει Θ( n )).</p>
 
         <p>Δείτε την <strong>Εικόνα 5</strong> για ένα διάγραμμα που θα σας κατατοπίσει σχετικά με τις αναδρομικές κλήσεις που εκτελεί η factorial( 5 ).</p>
-         
+
         <p>Αυτό θα πρέπει να ξεκαθαρίσει τα πράγματα σχετικά με το γιατί αυτή η συνάρτηση έχει γραμμική πολυπλοκότητα.</p>
 
         <div class='right sidefigure'>

index-en.php

@@ -634,7 +634,7 @@
             <img src='images/mergesort-recursion.png' alt='N splits into N / 2 and N / 2. Each of those splits into N / 4 and N / 4, and the process continues until we have calls of size 1.' />
             <label><strong>Figure 7</strong>: The recursion tree of merge sort.</label>
         </div>
-         
+
         <p>Let's see what's going on here. Each circle represents a call to the <code>mergeSort</code> function. The number written in the circle indicates the size of the array that is being sorted. The top blue circle is the original call to <code>mergeSort</code>, where we get to sort an array of size <var>n</var>. The arrows indicate recursive calls made between functions. The original call to <code>mergeSort</code> makes two calls to <code>mergeSort</code> on two arrays, each of size n / 2. This is indicated by the two arrows at the top. In turn, each of these calls makes two calls of its own to <code>mergeSort</code> two arrays of size n / 4 each, and so forth until we arrive at arrays of size 1. This diagram is called a <em>recursion tree</em>, because it illustrates how the recursion behaves and looks like a tree (the <em>root</em> is at the top and the <em>leaves</em> are at the bottom, so in reality it looks like an inversed tree).</p>
 
         <p>Notice that at each row in the above diagram, the total number of elements is n. To see this, take a look at each row individually. The first row contains only one call to <code>mergeSort</code> with an array of size <var>n</var>, so the total number of elements is <var>n</var>. The second row has two calls to <code>mergeSort</code> each of size n / 2. But n / 2 + n / 2 = n and so again in this row the total number of elements is <var>n</var>. In the third row, we have 4 calls each of which is applied on an n / 4-sized array, yielding a total number of elements equal to n / 4 + n / 4 + n / 4 + n / 4 = 4n / 4 = n. So again we get <var>n</var> elements. Now notice that at each row in this diagram the caller will have to perform a <code>merge</code> operation on the elements returned by the callees. For example, the circle indicated with red color has to sort n / 2 elements. To do this, it splits the n / 2-sized array into two n / 4-sized arrays, calls <code>mergeSort</code> recursively to sort those (these calls are the circles indicated with green color), then merges them together. This merge operation requires to merge n / 2 elements. At each row in our tree, the total number of elements merged is n. In the row that we just explored, our function merges n / 2 elements and the function on its right (which is in blue color) also has to merge n / 2 elements of its own. That yields n elements in total that need to be merged for the row we're looking at.</p>