mandelbrot-set

曼德勃罗集合

曼德勃罗特集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰丽的几何图形，曾被称为“上帝的指纹”。 这个点集均出自公式:Zn+1=(Zn)^2+C，对于非线性迭代公式 Zn+1=(Zn)^2+C，所有使得无限迭代后的结果能保持有限数值的复数 C 的集合，构成曼德勃罗集。

计算

Mandelbrot集合可以用下面的复二次多项式定义：Zn+1=(Zn)^2+C

其中 c 是一个复数。对于每一个 c，从 z=0 开始对函数进行迭代。序列的值或者延伸到无限大，或者只停留在有限半径的圆盘内。 Mandelbrot 集合就是使以上序列不发散的所有 c 点的集合。用程序绘制 Mandelbrot 集合时不能进行无限次迭代，最简单的方法是使用逃逸时间（迭代次数）进行绘制，具体算法如下：

• 判断每次调用函数得到的结果是否在半径 R 之内，即复数的模小于 R
• 记录下模大于 R 时的迭代次数
• 迭代最多进行 N 次
• 不同的迭代次数的点使用不同的颜色绘制

具体推导

我们把形如 a+bI（a,b 均为实数）的数称为复数，其中 a 称为实部，b 称为虚部，I 称为虚数单位。

定义复数（下面用 r 标识实部，i 称为虚部）：

var Complex = function (r, i) {
    this.r = r;
    this.i = i;
}

从 Zn+1=(Zn)^2+C 得出:

this.r * this.r + this.i * this.i * I * I + 2 * this.r * this.i * I + C

因为 I*I 为-1, 推导得出:

* new r 为 this.r*this.r - this.i*this.i + C.r 
* new i 为 2*this.r*this.i + C.i

所以得出方法定义:

  Complex.prototype = {
    madIteration: function (r, i) {
      return new Complex(this.r * this.r - this.i * this.i + r, 2 * this.r * this.i + i);
    },
    modulusSqu: function () {
      return this.r * this.r + this.i * this.i;
    }
  }

渲染:

function render(iterMax) {
    context.clearRect(0, 0, w, h);
    var imageData = context.getImageData(0, 0, 600, 400),
      iter = 0,
      current,
      temp;
    for (var x = 0; x < w; x++) {
      for (var y = 0; y < h; y++) {
        //x 和y 转换实部和虚部
        current = new Complex(x / 100 - 3, y / 100 - 2);
        temp = current;
        iter = 0;
        //mad 迭代判断复数C(即 current)
        while (temp.modulusSqu() <= 4 && iter < iterMax) {
          temp = temp.madIteration(current.r, current.i)
          iter = iter + 1;
        }
        var index = 4 * (canvas.width * y + x),
          color = colorRgb(colors[iter % 7]);
        if (iter > 7) {
          color =  colorRgb( '#e24337')
        }
        if (iter !== iterMax) {
          imageData.data[index] = color[0];
          imageData.data[index + 1] = color[1];
          imageData.data[index + 2] = color[2];
        }
        imageData.data[index + 3] =  255;
      }
    }
    context.putImageData(imageData, 0, 0);
  }